Задачи на среднюю скорость (далее СК). Мы уже рассматривали задания на прямолинейное движение. Рекомендую посмотреть статьи " " и " " . Типовые задания на среднюю скорость это группа задач на движение, они включены в ЕГЭ по математике и такая задача вполне вероятно может оказаться перед вами в момент самого экзамена. Задачки простые, решаются быстро.

Смысл таков: представьте объект передвижения, например автомобиль. Он проходит определённые участки пути с разной скоростью. На весь путь затрачивается какое-то определённое время. Так вот: средняя скорость это такая постоянная скорость с которой автомобиль преодолел бы данный весть путь за это же время То есть формула средней скорости такова:

Если участков пути было два, тогда

Если три, то соответственно:

*В знаменателе суммируем время, а в числителе расстояния пройденные за соответствующие им отрезки времени.

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Как уже сказано необходимо весь путь разделить на всё время движения. В условии сказано о трёх участках пути. Формула:

Обозначим весь пусть S. Тогда первую треть пути автомобиль ехал:

Вторую треть пути автомобиль ехал:

Последнюю треть пути автомобиль ехал:

Таким образом

Решите самостоятельно:

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В условии сказано о трёх участках пути. СК будем искать по формуле:

Участки пути нам не даны, но мы можем без труда их вычислить:

Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров.

Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров.

Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров.

Вычисляем скорость:

Решите самостоятельно:

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 120 км - со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км - со скоростью 100 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Сказано о трёх участках пути. Формула:

Протяжённость участков дана. Определим время, которое автомобиль затратил на каждый участок: на первый затрачено 120/60 часов, на второй участок 120/80 часов, на третий 150/100 часов. Вычисляем скорость:

Решите самостоятельно:

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км - со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км - со скоростью 100 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

*Есть задача про путешественника, который пересёк море. С решением у ребят возникают проблемы. Если вы не видите его, то пройдите регистрацию на сайте! Кнопка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 323 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Все задачи, в которых присутствует движение объектов, их перемещение или вращение, так или иначе связаны со скоростью.

Данный термин характеризует перемещение объекта в пространстве за определенный отрезок времени – число единиц расстояния за единицу времени. Он является частым «гостем» как разделов математики, так и физики. Исходное тело может менять свое расположение как равномерно, так и с ускорением. В первом случае величина скорости статична и в ходе движения не меняется, во втором наоборот – увеличивается или уменьшается.

Как найти скорость – равномерное движение

Если скорость движения тела оставалась неизменной от начала перемещения и до окончания пути, то речь идет о перемещении с постоянным ускорением – равномерном движении. Оно может быть прямолинейным или же криволинейным. В первом случае траекторией перемещения тела является прямая.

Тогда V=S/t, где:

• V – искомая скорость,
• S – пройденное расстояние (общий путь),
• t – общее время движения.

Как найти скорость – ускорение постоянно

Если объект двигался с ускорением, то его скорость по мере движения менялась. В таком случае найти искомую величину поможет выражение:

V=V (нач) + at, где:

• V (нач) – первоначальная скорость движения объекта,
• a – ускорение тела,
• t – общее время пути.

Как найти скорость – неравномерное движение

В данном случае имеет место ситуация, когда разные участки пути тело проходило за разное время.
S(1) – за t(1),
S(2) – за t(2) и т.д.

На первом участке движение происходило в “темпе” V(1), на втором – V(2) и т.д.

Чтобы узнать скорость перемещения объекта на всем пути (ее среднее значение) воспользуйтесь выражением:

Как найти скорость – вращение объекта

В случае вращения речь идет об угловой скорости, определяющей угол, на который поворачивается элемент за единицу времени. Обозначается искомая величина символом ω (рад/с).

• ω = Δφ/Δt, где:

Δφ – пройденный угол (приращение угла),
Δt – прошедшее время (время движения – приращение времени).

• В случае, если вращение равномерное, искомая величина (ω) связана с таким понятием как период вращения – за какое время наш объект совершит 1 полный оборот. В таком случае:

ω = 2π/T, где:
π – константа ≈3,14,
T – период.

Или ω = 2πn, где:
π – константа ≈3,14,
n – частота обращения.

• При известной линейной скорости объекта для каждой точки на пути движения и радиусе окружности, по которой она перемещается, для нахождения скорости ω потребуется следующее выражение:

ω = V/R, где:
V – численное значение векторной величины (линейной скорости),
R – радиус траектории следования тела.

Как найти скорость – сближение и отдаление точек

В подобного рода задачах уместным будет использование терминов скорость сближения и скорость отдаления.

Если объекты направляются друг к другу, то скорость сближения (отдаления) будет следующей:
V (сближ) = V(1) + V(2), где V(1) и V(2) – скорости соответствующих объектов.

Если одно из тел догоняет другое, то V (сближ) = V(1) – V(2), V(1) больше V(2).

Как найти скорость – движение по водоему

Если события разворачиваются на воде, то к собственной скорости объекта (движение тела относительно воды) добавляется еще и скорость течения (т.е. движение воды относительно неподвижного берега). Как взаимосвязаны эти понятия?

В случае перемещения по течению V=V(собст) + V(теч).
Если против течения – V=V(собств) – V(теч.).

В данной статье рассказано о том, как найти среднюю скорость. Дано определение этого понятия, а также рассмотрено два важных частных случая нахождения средней скорости. Представлен подробный разбор задач на нахождение средней скорости тела от репетитора по математике и физике.

Определение средней скорости

Средней скоростью движения тела называется отношение пути , пройденного телом, ко времени , в течение которого двигалось тело:

Научимся ее находить на примере следующей задачи:

Обратите внимание, что в данном случае это значение не совпало со средним арифметическим скоростей и , которое равно:
м/с.

Частные случаи нахождения средней скорости

1. Два одинаковых участка пути. Пусть первую половину пути тело двигалось со скоростью , а вторую половину пути — со скоростью . Требуется найти среднюю скорость движения тела.

2. Два одинаковых интервала движения. Пусть тело двигалось со скоростью в течение некоторого промежутка времени, а затем стало двигаться со скоростью в течение такого же промежутка времени. Требуется найти среднюю скорость движения тела.

Здесь мы получили единственный случай, когда средняя скорость движения совпала со средним арифметическим скоростей и на двух участках пути.

Решим напоследок задачу из Всероссийской олимпиады школьников по физике, прошедшей в прошлом году, которая связана с темой нашего сегодняшнего занятия.

Пройденный телом путь составляет: м. Можно найти также путь, который прошло тело за последние с своего движения: м. Тогда за первые с своего движения тело преодолело путь в м. Следовательно, средняя скорость на этом участке пути составила:
м/с.

Задачи на нахождение средней скорости движения очень любят предлагать на ЕГЭ и ОГЭ по физике, вступительных экзаменах, а также олимпиадах. Научиться решать эти задачи должен каждый школьник, если он планирует продолжить свое обучение в вузе. Помочь справиться с этой задачей может знающий товарищ, школьный учитель или репетитор по математике и физике. Удачи вам в изучении физики!

Сергей Валерьевич

1. Материальная точка прошла половину окружности. Найти отношение средней путевой скорости к модулю средней векторной скорости.

Решение . Из определения средних значений путевой и векторной скоростей с учетом того, что путь, пройденный материальной точкой за время движенияt , равенR , а величина перемещения 2R , гдеR - радиус окружности, получим:

2. Автомобиль проехал первую треть пути со скоростью v 1 = 30 км/ч, а оставшуюся часть пути - со скоростью v 2 = 40 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пройденном пути.

Решение . По определению =гдеS - путь, пройденный за времяt . Очевидно, что
Поэтому искомая средняя скорость равна

3. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростьюv 1 = 12 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростьюv 2 = 10 км/ч, а оставшуюся часть пути шел пешком со скоростьюv 3 = 6 км/ч. Определить среднюю скорость движения студента на всем пути.

Решение . По определению
гдеS – путь, аt - время движения. Ясно, чтоt =t 1 +t 2 +t 3 . Здесь
- время движения на первой половине пути,t 2 – время движения на втором участке пути иt 3 - на третьем. По условию задачиt 2 =t 3 . Кроме того,S /2 =v 2 t 2 + v 3 t 3 = (v 2 +v 3)t 2 . Отсюда следует:

Подставив t 1 и t 2 +t 3 = 2t 2 в выражение для средней скорости, получим:

4. Расстояние между двумя станциями поезд прошел за времяt 1 = 30 мин. Разгон и торможение длилисьt 2 = 8 мин, а остальное время поезд двигался равномерно со скоростью v = 90 км/ч. Определить среднюю скорость поезда , считая, что при разгоне скорость увеличивалась с течением времени по линейному закону, а при торможении уменьшалась тоже по линейному закону.

Р

Задачи и упражнения

1.1. Мяч упал с высотыh 1 = 4 м, отскочил от пола и был пойман на высотеh 2 = 1 м. Чему равен путьS и величина перемещения
?

1.2. Материальная точка переместилась на плоскости из точки с координатамиx 1 = 1 см иy 1 = 4cм в точку с координатамиx 2 = 5 см иy 2 = 1 см. Построить вектор перемещения и с помощью линейки определить модуль вектора перемещения и проекции вектора перемещения на осиx иy . Найти эти же величины аналитически и сравнить результаты.

1.3. Первую половину пути поезд шел со скоростью вn = 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость поезда на всем пути = 43,2 км/ч. Каковы скорости поезда на первой и второй половинах пути?

1.4. Первую половину времени своего движения велосипедист проехал со скоростью v 1 = 18 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью v 2 = 12 км/ч. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.

1.5. Движение двух автомобилей описывается уравнениями
и
, где все величины измеряются в системе СИ. Запишите закон изменения расстояния
между автомобилями от времени и найдите
через время
с. после начала движения.

Очень просто! Нужно весь путь разделить на время, которое объект движения находился в пути. Выражаясь иначе, можно определить среднюю скорость как среднее арифметическое всех скоростей движения объекта. Но существуют некоторые нюансы при решении задач данного направления.

Например, для вычисления средней скорости даётся такой вариант задачи: путник сначала шёл со скоростью 4 км в час в течение часа. Затем попутная машина «подобрала» его, и остаток пути он проехал за 15 минут. Причём автомобиль шёл со скоростью 60 км в час. Как определить среднюю скорость перемещения путника?

Не следует просто складывать 4 км и 60 и делить их пополам, это будет неверный ход решения! Ведь пройденные пути пешком и на автомашине нам неизвестны. Значит, сначала нужно вычислить весь путь.

Первую часть пути найти легко: 4 км в час Х 1 час = 4 км

Со второй частью пути небольшие проблемы: скорость выражена в часах, а время движения - в минутах. Этот нюанс частенько мешает найти правильный ответ, когда поставлены вопросы, как найти среднюю скорость, путь или время.

Выразим 15 минут в часах. Для этого 15 мин: 60 мин = 0,25 часа. Теперь рассчитаем, какой же путь путник проделал на попутке?

60 км/ ч Х 0,25ч = 15 км

Теперь найти весь преодолённый путником путь не составит особого труда: 15 км + 4 км = 19 км.

Время движения также довольно легко вычислить. Это 1 час + 0,25 часа = 1,25 часа.

И теперь уже понятно, как найти среднюю скорость: нужно весь путь поделить на время, которое путник затратил на его преодоление. То есть, 19 км: 1,25 часа = 15,2 км/час.

Есть такой анекдот в тему. Мужчина, торопящийся на спрашивает владельца поля: «Можно ли мне пройти к вокзалу через ваш участок? Я немного опаздываю и хотел бы сократить свой путь, пройдя напрямую. Тогда я определённо успею к электричке, которая отходит в 16 часов 45 минут!» - «Конечно, вы можете сократить свой путь, пройдя через мой луг! И если вас там заметит мой бык, то вы успеете даже на ту электричку, которая отходит в 16 часов 15 минут».

Эта комичная ситуация, между тем, имеет самое прямое отношение к такому математическому понятию, как средняя скорость движения. Ведь потенциальный пассажир пытается сократить свой путь по той простой причине, что он знает среднюю скорость своего движения, например, 5 км в час. И пешеход, зная, что обходной путь по асфальтированной дороге равняется 7,5 км, произведя мысленно простые вычисления, понимает, что ему потребуется на эту дорогу полтора часа (7,5 км: 5 км/час = 1,5 час).

Он же, выйдя из дома слишком поздно, ограничен во времени, поэтому и решает сократить свой путь.

И вот тут мы сталкиваемся с первым правилом, которое диктует нам, как найти среднюю скорость движения: учитывая прямое расстояние между крайними точками пути или именно просчитывая Из вышесказанного всем ясно: следует вести расчёт, принимая во внимание именно траекторию пути.

Сократив путь, но не изменяя свою среднюю скорость, объект в лице пешехода получает выигрыш во времени. Фермер же, предполагая среднюю скорость убегающего от разъярённого быка «спринтера», также делает простые расчёты и выдаёт свой результат.

Автомобилисты часто используют второе, немаловажное, правило вычисления средней скорости, которое касается времени нахождения в пути. Это касается того вопроса, как найти среднюю скорость в случае, если объект имеет во время пути остановки.

В этом варианте обычно, если нет дополнительных уточнений, для расчёта берут полное время, включая остановки. Поэтому водитель авто может сказать, что его средняя скорость движения утром по свободной дороге намного выше, чем средняя скорость движения в час-пик, хотя спидометр показывает одну и ту же цифру в обоих вариантах.

Зная эти цифры, опытный шофёр никогда и никуда не опоздает, заранее предположив, какова будет его средняя скорость передвижения в городе в разное время суток.