Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Пирамида — это многогранник , у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды . Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

Пирамида , Усеченная Пирамида

Правильная пирамида

Если основание пирамиды — правильный многоугольник , а высота опускается в центр основания, то — пирамида правильная. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды .

Усеченная пирамида

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды .

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.

Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р - вершина пирамиды.

ABCD - основание пирамиды.

РА - боковое ребро.

АВ - ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S полн = S бок + S осн

Пирамида называется правильной, если:

• ее основание - правильный многоугольник;
• отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,

АВСD - квадрат,

РО - высота пирамиды.

Доказать :

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство .

РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО - высота.

Доказать : . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S бок = 3S РАВ

Теорема доказана.

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,

АВСD - квадрат,

r = 3 м,

РО - высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти : S бок. См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение .

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).

Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.

РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ : 60 м 2 .

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.

Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R = м,

S бок = 18 м 2 .

Найти : . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение .

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:

Ответ : 4 м.

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.

1. Интернет портал «Якласс» ()
2. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
3. Интернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнее задание

1. Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
2. Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
3. Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
4. РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

Треугольная пирамида - это пирамида, в основе которой находится треугольник. Высота этой пирамиды - это перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на ее основания.

Нахождение высоты пирамиды

Как найти высоту пирамиды? Очень просто! Для нахождения высоты любой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = (1/3)Sh, где S - это площадь основания, V - объем пирамиды, h - ее высота. Из этой формулы вывести формулу высоты: для нахождения высоты треугольной пирамиды, нужно умножить объем пирамиды на 3, а потом поделить получившееся значение на площадь основания, это будет: h = (3V)/S. Поскольку основание треугольной пирамиды - это треугольник, можно воспользоваться формулой подсчета площади треугольника. Если нам известны: площадь треугольника S и его сторона z, то по формуле площади S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, где h - это высота пирамиды, γ - это ребро треугольника; угол между сторонами треугольника и сами две стороны, то по такой формуле: S = (1/2)γφsinQ, где γ, φ - это стороны треугольника, находим площадь треугольника. Значение синуса угла Q нужно посмотреть в таблице синусов, которая есть в Интернете. Далее подставляем значение площади в формулу высоты: h = (2S)/γ. Если в задании требуется вычислить высоту треугольной пирамиды, то объем пирамиды уже известен.

Правильная треугольная пирамида

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, то есть пирамиды, в которой все грани - это равносторонние треугольники, зная величину ребра γ. В этом случае ребра пирамиды - это стороны равносторонних треугольников. Высота правильной треугольной пирамиды будет: h = γ√(2/3), где γ - это ребро равностороннего треугольника, h - это высота пирамиды. Если площадь основания (S) неизвестна, а даны лишь: длина ребра (γ) и объем (V) многогранника, то необходимую переменную в формуле из прежнего шага нужно заменить ее эквивалентом, который выражен через длину ребра. Площадь треугольника (правильного) равна 1/4 от произведения длины стороны этого треугольника, возведенную в квадрат на квадратный корень из 3. Подставляем эту формулу вместо площади основания в предыдущую формулу, и получаем такую формулу: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Объем тетраэдра можно выразить через длину его ребра, то из формулы для вычисления высоты фигуры можно убрать все переменные и оставить только сторону треугольной грани фигуры. Объем такой пирамиды можно вычислить, поделив на 12 из произведения возведенную в куб длину его грани на квадратный корень из 2.

Подставляем это выражение в предыдущую формулу, получаем такую формулу для вычисления: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Также правильную треугольную призму можно вписывать в сферу, и зная только радиус сферы (R) можно найти и саму высоту тетраэдра. Длина ребра тетраэдра равна: γ = 4R/√6. Заменим переменную γ этим выражением в предыдущей формуле и получаем формулу: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Такую же формулу можно иметь, зная радиус (R) окружности, вписанной в тетраэдр. В таком случае длина ребра треугольника будет равна 12 соотношениям между квадратным корнем из 6 и радиусом. Подставляем это выражение в предыдущую формулу и имеем: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Как найти высоту правильной четырехугольной пирамиды

Чтобы ответить на вопрос, как найти длину высоты пирамиды, необходимо знать, сто такое правильная пирамида. Четырехугольная пирамида - это пирамида, в основе которой находится четырехугольник. Если в условиях задачи мы имеем: объем (V) и площадь основания (S) пирамиды, то формула для вычисления высоты многогранника (h) будет такая - разделить объем, умноженный на 3 на площадь S: h = (3V)/S. При квадратном основании пирамиды с известными: заданным объемом (V) и длиной стороны γ, замените площадь (S) в предыдущей формуле на квадрат длины стороны: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Высота правильной пирамиды h = SO проходит как раз через центр окружности, которая описанная около основания. Поскольку основание данной пирамиды - это квадрат, то точка О - это точка пересечения диагоналей AD и BC. Мы имеем: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Далее, мы в прямоугольном треугольнике SOC находим (по теореме Пифагора): SO = √(SC 2 -OC 2). Теперь Вы знаете, как найти высоту правильной пирамиды.

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды , которая проведена из ее вершины (кроме того, апофемой является длина перпендикуляра, который опущен из середины правильного многоугольника на 1-ну из его сторон);
• боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) — треугольники, которые сходятся в вершине;
• боковые ребра ( AS , BS , CS , DS ) — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды (т. S) — точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания;
• высота ( SO ) — отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания;
• основание (ABCD) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Свойства пирамиды.

1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
• кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• высоты боковых граней имеют равную длину;
• площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.

3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.

Простейшая пирамида.

По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.

Пирамида будет треугольной , четырехугольной , и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр . Четырехугольная — пятигранник и так далее.