Menguji dan mengukur bahan. Aljabar dan permulaan analisis: kelas 10 / Komp. SEBUAH. Rurukin. - M.: VAKO, 2011. - 112 hal. - (Menguji dan mengukur bahan).
Panduan ini menyajikan materi tes dan pengukuran (KIM) pada aljabar dan analisis dasar untuk kelas 10: tes dalam format tugas Unified State Examination, serta tugas mandiri dan tes pada semua topik yang dipelajari. Jawaban disediakan untuk semua tugas. Materi yang diusulkan memungkinkan Anda menguji pengetahuan menggunakan berbagai bentuk kontrol.
Publikasi ini ditujukan untuk guru, anak sekolah dan orang tua mereka.
Isi
Dari penyusun................................................ 3
Persyaratan tingkat persiapan siswa ............... 4
Menyelesaikan tugas dan menilainya................................... 4
Tes 1. Fungsi. Domain definisi dan rentang nilai suatu fungsi.................. 6
Tes 2. Sifat dasar fungsi................................ 8
Tes 3. Grafik fungsi................................................ ....... ............10
Tes 4. Generalisasi topik “Fungsi numerik dan sifat-sifatnya”................................. 12
Tes 5. Arti ekspresi trigonometri................16
Tes 6. Identitas dasar trigonometri. Rumus reduksi.................18
Uji 7. Fungsi y = sinx dan y = cosx.................................. ...20
Tes 8. Fungsi y = tgx dan y = ctgx.................................. ............. .....22
Tes 9. Generalisasi topik “Fungsi trigonometri” ... 24
Tes 10. Arccosine dan arcsinus. Menyelesaikan persamaan cosx = a dan sinx = a...........28
Tes 11. Arctangen dan arckotangen. Menyelesaikan persamaan tgx = a dan ctgx = a...........30

Tes 12. Persamaan dan pertidaksamaan paling sederhana..................................32
Tes 13. Generalisasi topik “Persamaan Trigonometri”.................................34
Tes 14. Fungsi jumlah dan selisih argumen.................................38
Tes 15. Rumus argumen ganda................................................ .....40
Tes 16. Mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi hasil kali................................42
Tes 17. Mengubah ekspresi trigonometri... 44
Tes 18. Persamaan trigonometri, sistem persamaan, pertidaksamaan......46
Tes 19. Generalisasi topik “Transformasi ekspresi trigonometri”................................48
Tes 20. Batas konsistensi. Jumlah barisan geometri tak hingga........52
Tes 21. Batas fungsi. Pengertian turunan.... 54
Tes 22. Perhitungan turunan................................................ .......56
Tes 23. Persamaan garis singgung grafik suatu fungsi......58
Tes 24. Penerapan turunan untuk mempelajari fungsi monotonisitas dan ekstrem....60
Tes 25. Menggunakan turunan untuk mencari nilai besaran terbesar dan terkecil....62
Tes 26. Generalisasi topik “Derivatif”.................................64
Tes 27. Akhir menurut program kelas 10................................68

Pelajaran 1-2. Definisi fungsi numerik dan metode untuk menentukannya

Target: membahas pengertian suatu fungsi dan cara mendefinisikannya.

I. Mengkomunikasikan topik dan tujuan pembelajaran

II. Review materi kelas 9

Berbagai aspek topik ini telah dibahas di kelas 7-9. Sekarang kita perlu memperluas dan merangkum informasi tentang fungsi-fungsi tersebut. Izinkan kami mengingatkan Anda bahwa topik ini adalah salah satu topik terpenting untuk keseluruhan kursus matematika. Berbagai fungsinya akan dipelajari hingga lulus dan selanjutnya di perguruan tinggi. Topik ini erat kaitannya dengan penyelesaian persamaan, pertidaksamaan, soal cerita, perkembangan, dan lain-lain.

Definisi 1. Misalkan diberikan dua himpunan bilangan real D dan E dan hukumnya ditunjukkan F yang menurutnya setiap bilangan x∈ D cocok dengan nomor tunggal kamu ∈ E (lihat gambar). Kemudian dikatakan bahwa fungsi y = f(x ) atau y(x) dengan domain definisi (O.O.) D dan luas perubahan (O.I.) E. Dalam hal ini nilai x disebut variabel bebas (atau argumen fungsi), nilai y disebut variabel terikat (atau nilai fungsi).

Domain Fungsi f menunjukkan D(f ). Himpunan yang terdiri dari semua bilangan f(x ) (rentang fungsi f), melambangkan E(f).

Contoh 1

Pertimbangkan fungsinyaUntuk mencari y untuk setiap nilai x, Anda harus melakukan operasi berikut: kurangi angka 2 (x - 2) dari nilai x, ekstrak akar kuadrat dari ekspresi inidan terakhir tambahkan angka 3Himpunan operasi ini (atau hukum yang menentukan nilai y untuk setiap nilai x) disebut fungsi y(x). Misalnya, untuk x = 6 kita temukanJadi, untuk menghitung fungsi y pada titik x tertentu, nilai x ini perlu disubstitusikan ke dalam fungsi tertentu y(x).

Jelasnya, untuk suatu fungsi tertentu, untuk sembarang bilangan x yang diperbolehkan, hanya satu nilai y yang dapat ditemukan (yaitu, untuk setiap nilai x terdapat satu nilai y).

Sekarang mari kita perhatikan domain definisi dan rentang variasi fungsi ini. Akar kuadrat dari ekspresi (x - 2) hanya dapat diekstraksi jika nilainya non-negatif, yaitu x - 2 ≥ 0 atau x ≥ 2. TemukanKarena menurut definisi akar aritmatikalalu kita tambahkan angka 3 pada semua bagian pertidaksamaan ini, kita peroleh:atau 3 ≤ y< +∞. Находим

Fungsi rasional sering digunakan dalam matematika. Dalam hal ini, fungsi form f(x ) = p(x) (di mana p(x) adalah polinomial) disebut fungsi rasional keseluruhan. Fungsi formulir(di mana p(x) dan q(x ) - polinomial) disebut fungsi rasional pecahan. Jelas sebagian kecildidefinisikan jika penyebutnya q(x ) tidak hilang. Oleh karena itu, domain definisi fungsi rasional pecahan- himpunan semua bilangan real yang akar-akar polinomialnya dikecualikan q(x).

Contoh 2

Fungsi rasionaldidefinisikan untuk x - 2 ≠ 0, mis. X ≠ 2. Oleh karena itu, domain definisi fungsi ini adalah himpunan semua bilangan real yang tidak sama dengan 2, yaitu gabungan interval (-∞; 2) dan (2; ∞).

Ingatlah bahwa gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota yang termasuk dalam paling sedikit salah satu himpunan A atau B. Gabungan himpunan A dan B dilambangkan dengan simbol A kamu B. Jadi, gabungan segmen dan (3; 9) adalah suatu interval (interval yang tidak berpotongan) dilambangkan dengan .

Kembali ke contoh, kita dapat menulis:Karena untuk semua nilai x yang dapat diterima adalah pecahantidak hilang, maka fungsinya f(x ) mengambil semua nilai kecuali 3. Oleh karena itu

Contoh 3

Mari kita cari domain definisi fungsi rasional pecahan

Penyebut pecahan hilang pada x = 2, x = 1 dan x = -3. Oleh karena itu, domain definisi fungsi ini

Contoh 4

Kecanduan sudah tidak berfungsi lagi. Memang jika kita ingin menghitung nilai y, misalnya untuk x = 1, maka dengan rumus atas kita mencari: y = 2 1 - 3 = -1, dan dengan rumus bawah kita mendapatkan: y = 12 + 1 = 2. Jadi, satu nilai x(x = 1) sesuai dengan dua nilai y (y = -1 dan y = 2). Oleh karena itu, ketergantungan ini (menurut definisi) bukanlah suatu fungsi.

Contoh 5

Grafik dari dua dependensi ditampilkan kamu(x ). Mari kita tentukan yang mana yang merupakan fungsi.

Pada Gambar. dan grafik fungsinya diberikan, karena pada titik mana pun x 0 hanya satu nilai y0 yang sesuai. Pada Gambar. b adalah grafik ketergantungan (tetapi bukan fungsi), karena titik-titik tersebut ada (misalnya, x 0 ), yang berhubungan dengan lebih dari satu nilai y (misalnya, y1 dan y2).

Sekarang mari kita perhatikan cara utama menentukan fungsi.

1) Analitik (menggunakan rumus atau rumus).

Contoh 6

Mari kita lihat fungsinya:

Meskipun bentuknya tidak biasa, hubungan ini juga menentukan suatu fungsi. Untuk setiap nilai x, mudah untuk mencari nilai y. Misalnya, untuk x = -0,37 (karena x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, lalu kita menggunakan ekspresi yang lebih rendah) kita punya:Dari metode mencari y jelas bahwa setiap nilai x hanya bersesuaian dengan satu nilai y.

c) 3x + y = 2y - x2. Mari kita nyatakan nilai y dari hubungan ini: 3x + x2 = 2y - y atau x2 + 3x = y. Jadi, relasi ini juga mendefinisikan fungsi y = x2 + 3x.

2) Tabel

Contoh 7

Mari kita tuliskan tabel kuadrat y untuk bilangan x.

Data tabel juga mendefinisikan suatu fungsi - untuk setiap nilai x (diberikan dalam tabel), satu nilai y dapat ditemukan. Misalnya, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25, dst.

3) Grafis

Dalam sistem koordinat persegi panjang, untuk menggambarkan ketergantungan fungsional y(x), akan lebih mudah menggunakan gambar khusus - grafik fungsi.

Definisi 2. Grafik suatu fungsi kamu(x ) adalah himpunan semua titik pada sistem koordinat yang absisnya sama dengan nilai variabel bebas x, dan ordinatnya sama dengan nilai variabel terikat y.

Berdasarkan definisi ini, semua pasangan titik (x0, y0) yang memenuhi ketergantungan fungsional y(x) terletak pada grafik fungsi. Pasangan titik lain yang tidak memenuhi ketergantungan kamu(x ), fungsinya tidak terletak pada grafik.

Contoh 8

Diberikan suatu fungsi Apakah titik yang koordinatnya termasuk dalam grafik fungsi ini: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. Temukan nilai fungsi y diKarena y(-2) = -6, maka titik A (-2; -6) termasuk dalam grafik fungsi tersebut.

2. Tentukan nilai fungsi y pada Sejak kamu (-3) = -11, maka titik B (-3; -10) tidak termasuk dalam grafik fungsi tersebut.

Menurut grafik fungsi y = f(x ) mudah untuk menemukan domain definisi D(f ) dan jangkauan E(f ) fungsi. Untuk melakukan ini, titik-titik grafik diproyeksikan ke sumbu koordinat. Kemudian absis titik-titik tersebut membentuk domain definisi D(f ), ordinat - rentang nilai E(f).

Mari kita bandingkan berbagai cara untuk mendefinisikan suatu fungsi. Metode analisis harus dianggap paling lengkap. Ini memungkinkan Anda membuat tabel nilai fungsi untuk beberapa nilai argumen, membuat grafik fungsi, dan melakukan penelitian fungsi yang diperlukan. Pada saat yang sama, metode tabular memungkinkan Anda dengan cepat dan mudah menemukan nilai fungsi untuk beberapa nilai argumen. Grafik suatu fungsi dengan jelas menunjukkan perilakunya. Oleh karena itu, seseorang tidak boleh menentang metode yang berbeda dalam menentukan suatu fungsi, yang masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangannya sendiri. Dalam praktiknya, ketiga cara untuk menentukan suatu fungsi digunakan.

Contoh 9

Diketahui fungsi y = 2x2 - 3x +1.

Mari kita cari: a) y (2); b) kamu (-3x); c) kamu(x + 1).

Untuk mencari nilai suatu fungsi untuk nilai argumen tertentu, nilai argumen tersebut perlu disubstitusikan ke dalam bentuk analitik fungsi tersebut. Oleh karena itu kita mendapatkan:

Contoh 10

Diketahui y(3 - x) = 2x2 - 4. Carilah: a) kamu(x); b) kamu(-2).

a) Mari kita nyatakan dengan huruf z = 3, maka x = 3 - z . Mari kita substitusikan nilai x ini ke dalam bentuk analitik dari fungsi ini y(3 - x) = 2x2 - 4 dan dapatkan: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, atau y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, atau y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, atau y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Karena tidak masalah huruf apa yang dilambangkan dengan argumen fungsi - z, x, t atau yang lainnya, kita langsung mendapatkan: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Sekarang mudah untuk mencari y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Contoh 11

Diketahui bahwa Mari kita cari x(y).

Mari kita tunjukkan dengan huruf z = x - 2, maka x = z + 2, dan tuliskan kondisi masalahnya: atau Ke kami akan menulis kondisi yang sama untuk argumen (- z ): Untuk kenyamanan, kami memperkenalkan variabel baru a = y (z) dan b = y (- z ). Untuk variabel seperti itu kita memperoleh sistem persamaan linier

Kami tertarik pada hal yang tidak diketahui A.

Untuk mencarinya kita menggunakan metode penjumlahan aljabar. Oleh karena itu, persamaan pertama kita kalikan dengan angka (-2), persamaan kedua dengan angka 3. Kita peroleh:

Mari tambahkan persamaan ini:Di mana Karena argumen fungsi dapat dilambangkan dengan huruf apa saja, kita mempunyai:

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa pada akhir kelas 9 properti dan grafik dipelajari:

a) fungsi linier y = kx + M (grafiknya berupa garis lurus);

b) fungsi kuadrat y = ax2 + B x + c (grafik - parabola);

c) fungsi linier pecahan(grafik - hiperbola), khususnya fungsi

d) fungsi pangkat y = xa (khususnya fungsi

e) fungsi y = |x|.

Untuk mempelajari materi lebih lanjut, kami menyarankan untuk mengulangi sifat-sifat dan grafik fungsi-fungsi ini. Pelajaran berikut akan membahas metode dasar konversi grafik.

1. Definisikan fungsi numerik.

2. Menjelaskan cara mendefinisikan suatu fungsi.

3. Apa yang disebut gabungan himpunan A dan B?

4. Fungsi apa yang disebut bilangan bulat rasional?

5. Fungsi apa yang disebut rasional pecahan? Apa domain definisi fungsi tersebut?

6. Apa yang disebut grafik suatu fungsi f(x)?

7. Berikan sifat-sifat dan grafik fungsi utama.

IV. Tugas pelajaran

§ 1, No.1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a,b); 4 (c,d); 5 (a,b); 6 (c); 7 (a,b); 8 (c, d); 10 ( A ); 13 (c,d); 16 (a,b); 18.

V.Pekerjaan Rumah

§ 1, No.1 (b, c); 2 (a,b); 3 (c,d); 4 (a,b); 5 (c,d); 6 (g); 7 (c,d); 8 (a,b); 10 (b); 13 (a,b); 16 (c, d); 19.

VI. tugas kreatif

1. Carilah fungsi y = f(x), jika:

Jawaban:

2. Carilah fungsi y = f(x) jika:

Jawaban:

VII. Menyimpulkan pelajaran

Mereka memiliki banyak properti:

1. Fungsi tersebut dipanggil membosankan pada interval tertentu A, apakah bertambah atau berkurang pada interval tersebut

2. Fungsi tersebut dipanggil meningkat pada interval tertentu A, jika untuk sembarang bilangan pada himpunannya A kondisi berikut terpenuhi :.

Grafik fungsi meningkat memiliki ciri khusus: ketika bergerak sepanjang sumbu x dari kiri ke kanan sepanjang interval A ordinat titik-titik grafik bertambah (Gbr. 4).

3. Fungsi tersebut dipanggil menurun pada interval tertentu A, jika untuk suatu bilangan jumlahnya banyak A syaratnya terpenuhi :.

Grafik fungsi menurun memiliki ciri khusus: ketika bergerak sepanjang sumbu x dari kiri ke kanan sepanjang interval A ordinat titik-titik grafik menurun (Gbr. 4).

4. Fungsi tersebut dipanggil bahkan pada beberapa set X, jika syaratnya terpenuhi: .

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu ordinat (Gbr. 2).

5. Fungsi tersebut dipanggil aneh pada beberapa set X, jika syaratnya terpenuhi: .

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal (Gbr. 2).

6. Jika fungsinya kamu = f(x)
f(x) f(x), lalu mereka mengatakan itu fungsinya kamu = f(x) menerima nilai terkecil pada=f(x) pada X= X(Gbr. 2, fungsi mengambil nilai terkecil pada titik dengan koordinat (0;0)).

7. Jika fungsinya kamu = f(x) didefinisikan pada himpunan X dan terdapat ketidaksetaraan untuk sembarang f(x) f(x), lalu mereka mengatakan itu fungsinya kamu = f(x) menerima nilai tertinggi pada=f(x) pada X= X(Gbr. 4, fungsi tidak memiliki nilai terbesar dan terkecil) .

Jika untuk fungsi ini kamu = f(x) semua properti yang terdaftar telah dipelajari, lalu mereka mengatakan demikian belajar fungsi.

n1.doc

Perguruan Tinggi Pedagogis OGOU SPO Ryazan

ABSTRAK

Topik: “Fungsi numerik dan sifat-sifatnya. Hubungan berbanding lurus dan berbanding terbalik"

Titova Elena Vladimirovna

Keahlian Khusus: 050709 “Mengajar di sekolah dasar dengan pelatihan tambahan di bidang pendidikan prasekolah”

Kursus: 1 Grup: 2

Departemen: sekolah

Ketua: Pristuplyuk Olga Nikolaevna
Ryazan

Pendahuluan…………………………………………………………………………………3
Bagian teoretis

1. 
   Fungsi numerik

1.2 Metode penentuan fungsi……………………………………….6
1.3 Sifat fungsi…………………………………………………7
2. Hubungan berbanding lurus dan berbanding terbalik

2.1 Konsep proporsionalitas langsung………………..9
2.2 Sifat ketergantungan berbanding lurus……………………………………….10
2.3 Konsep proporsionalitas terbalik dan sifat-sifatnya……………………………………………………………-
Bagian praktis

3.1 Propaedeutika fungsional pada mata kuliah awal matematika....11

3.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan besaran-besaran yang bergantung secara proporsional……18
Kesimpulan……………………………………………………………......21

Daftar referensi……………………………..22

Perkenalan

Dalam matematika, gagasan tentang fungsi muncul bersamaan dengan konsep besaran. Hal ini erat kaitannya dengan konsep geometri dan mekanik. Istilah fungsi (dari bahasa Latin – eksekusi) pertama kali diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1694. Berdasarkan fungsinya, ia memahami absis, ordinat, dan segmen lain yang terkait dengan suatu titik yang menggambarkan garis tertentu.
Pada paruh pertama abad ke-18. ada transisi dari representasi visual konsep fungsi ke definisi analitis. Matematikawan Swiss Johann Bernoulli, dan kemudian akademisi Leonhard Euler, meyakini fungsi tersebut

Ini ekspresi analitis, terdiri dari variabel dan konstanta.

Dengan kata lain, fungsi tersebut dinyatakan dengan berbagai jenis rumus: y=ax+b, y= =axІ+bx+c, dst.
Saat ini kita mengetahui bahwa suatu fungsi tidak hanya dapat dinyatakan dalam bahasa matematika, tetapi juga secara grafis. Penemu metode ini adalah Descartes. Penemuan ini memainkan peran besar dalam perkembangan matematika lebih lanjut: terjadi transisi dari titik ke bilangan, dari garis ke persamaan, dari geometri ke aljabar. Dengan demikian, menjadi mungkin untuk menemukan teknik-teknik umum untuk memecahkan masalah.
Di sisi lain, berkat metode koordinat, ketergantungan yang berbeda secara geometris dapat digambarkan.
Dengan demikian, grafik memberikan gambaran visual tentang sifat hubungan antar besaran; sering digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.

Kecenderungan utama dalam perkembangan pendidikan sekolah modern diekspresikan dalam gagasan humanisasi, humanisasi, pendekatan berbasis aktivitas dan berorientasi pada kepribadian dalam mengatur proses pendidikan.

Dalam landasan pengajaran matematika di sekolah menengah, prinsip pengutamaan fungsi perkembangan pengajaran dikedepankan.

Oleh karena itu, pembelajaran konsep fungsi numerik di sekolah dasar merupakan komponen yang cukup signifikan dalam pembentukan konsep matematika anak sekolah. Bagi seorang guru sekolah dasar perlu fokus mempelajari konsep ini, karena terdapat hubungan langsung antara fungsi dengan banyak bidang aktivitas manusia, yang nantinya akan membantu anak memasuki dunia sains.

Di samping itu , Siswa pada umumnya memahami secara formal definisi konsep fungsi dan tidak memiliki pemahaman holistik tentang ketergantungan fungsional, yaitu. tidak dapat menerapkan pengetahuannya untuk memecahkan masalah matematika dan praktis; mengasosiasikan suatu fungsi secara eksklusif dengan ekspresi analitik yang mengandung variabel pada dinyatakan melalui variabel X; tidak dapat menafsirkan representasi fungsi dalam model yang berbeda; kesulitan membuat grafik fungsi berdasarkan propertinya, dll.

Penyebab kesulitan-kesulitan ini tidak hanya terkait dengan metodologi pembelajaran materi fungsional dalam mata kuliah aljabar, tetapi juga karena ketidaksiapan berpikir siswa untuk memahami dan mengasimilasi konsep “fungsi”.
Artinya, sebelum konsep “fungsi” diperkenalkan, perlu dilakukan upaya pembentukan keterampilan berpikir fungsional, sehingga “pada saat gagasan umum tentang ketergantungan fungsional harus memasuki kesadaran siswa, kesadaran ini akan cukup siap untuk persepsi substantif dan efektif, dan bukan hanya persepsi formal tentang konsep baru serta ide dan keterampilan terkait” (A.Ya. Khinchin)

1. Fungsi numerik

1.1 Perkembangan konsep ketergantungan fungsional dalam matematika

Mari kita menganalisis kemajuan pengembangan ide-ide pedagogis di bidang pengajaran komponen terpenting matematika - ketergantungan fungsional.

Garis fungsional mata kuliah matematika sekolah merupakan salah satu mata kuliah unggulan dalam bidang aljabar, aljabar dan permulaan analisis. Ciri utama materi pendidikan jalur ini adalah dengan bantuannya Anda dapat membangun berbagai koneksi dalam pengajaran matematika.

Selama beberapa abad, konsep fungsi telah berubah dan meningkat. Kebutuhan untuk mempelajari ketergantungan fungsional dalam kursus matematika sekolah telah menjadi fokus pers pedagogis sejak paruh kedua abad ke-19. Para ahli metodologi terkenal seperti M.V. Ostrogradsky, V.N. Shklarevich, S.I. Shokhor-Trotsky, V.E. Serdobinsky, V.P.
Perkembangan gagasan ketergantungan fungsional berlangsung dalam beberapa tahap:

Tahap pertama- tahap pengenalan konsep fungsi (terutama melalui ekspresi analitis) ke dalam mata pelajaran matematika sekolah.

Fase kedua Pengenalan konsep fungsi ke dalam mata pelajaran aljabar sekolah menengah terutama ditandai dengan transisi ke representasi grafis ketergantungan fungsional dan perluasan jangkauan fungsi yang dipelajari.

Tahap ketiga Perkembangan sekolah Rusia dimulai pada tahun 20-an. Abad ke dua puluh. Analisis terhadap literatur metodologi periode Soviet menunjukkan bahwa pengenalan konsep fungsi ke dalam mata pelajaran matematika sekolah disertai dengan diskusi yang hangat, dan memungkinkan kita untuk mengidentifikasi empat masalah utama yang menimbulkan perbedaan pendapat di antara para ahli metodologi, yaitu:

1) tujuan dan pentingnya mempelajari konsep fungsi oleh siswa;

2) pendekatan untuk mendefinisikan suatu fungsi;

3) persoalan propaedeutika fungsional;

4) tempat dan volume materi fungsional dalam mata pelajaran matematika sekolah.

Tahap keempat karena pengalihan perekonomian RSFSR ke arah yang direncanakan

Pada tahun 1934, sekolah menerima buku teks stabil pertama oleh A.P. Kiselev, "Aljabar", yang direvisi di bawah editor A.P. Barsukov dalam dua bagian.

Bagian kedua mencakup bagian “Fungsi dan grafiknya”, “Fungsi kuadrat”. Selain itu, pada bagian “Generalisasi Konsep Derajat” dibahas fungsi eksponensial dan grafiknya, dan pada bagian “Logaritma” dibahas fungsi logaritma dan grafiknya.

Di situlah fungsi didefinisikan melalui konsep besaran variabel: “Besaran variabel itu, yang nilai numeriknya berubah tergantung pada nilai numerik yang lain, disebut variabel terikat, atau fungsi dari kuantitas variabel lain.” Namun, definisi tersebut tidak mencerminkan gagasan korespondensi dan tidak disebutkan ekspresi analitisnya, yang memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa definisi ini memiliki kelemahan yang signifikan.
I. Ya.Khinchin menaruh perhatian besar pada masalah ini dalam karyanya.

Ilmuwan menganggap terbentuknya gagasan suatu fungsi sebagai wujud formalisme dalam pengajaran. Ia percaya bahwa di sekolah menengah konsep fungsi harus diajarkan berdasarkan konsep korespondensi.

Periode ini ditandai dengan kurangnya waktu untuk mempelajari fungsi, sistem latihan yang kurang dipahami, kurangnya pemahaman siswa tentang esensi sebenarnya dari konsep fungsi, dan rendahnya tingkat keterampilan fungsional dan grafis lulusan sekolah.

Oleh karena itu, kebutuhan untuk mereformasi pengajaran matematika di sekolah menengah kembali muncul. Restrukturisasi seluruh matematika sekolah berdasarkan pendekatan teori himpunan menandai tahap kelima dalam pengembangan gagasan ketergantungan fungsional. Ide pendekatan teori himpunan dilakukan oleh sekelompok ilmuwan Perancis yang bersatu dengan nama samaran Nicolas Bourbaki. Sebuah pertemuan internasional diadakan di Roymont (Prancis, 1959), di mana penggulingan semua program konvensional diproklamirkan. Fokusnya adalah pada struktur dan penyatuan semua matematika sekolah berdasarkan teori himpunan.

Peran penting dalam pengembangan ide-ide reformasi dimainkan oleh artikel-artikel V.L. Goncharov, di mana penulisnya menunjukkan pentingnya propaedeutika fungsional awal dan jangka panjang, dan mengusulkan penggunaan latihan yang terdiri dari melakukan sejumlah latihan yang telah ditentukan sebelumnya. substitusi numerik dalam ekspresi huruf yang sama.

Pemantapan program dan buku teks menjadi landasan bagi perubahan positif dalam kualitas pengetahuan fungsional siswa. Pada akhir tahun enam puluhan dan awal tahun tujuh puluhan, seiring dengan ulasan negatif, ulasan mulai bermunculan di media, yang mencatat adanya peningkatan tertentu dalam pengetahuan lulusan sekolah tentang fungsi dan grafik. Namun, tingkat perkembangan matematika siswa secara keseluruhan secara umum masih kurang. Mata kuliah matematika sekolah terus menghabiskan banyak waktu untuk persiapan formal dan kurang memberikan perhatian terhadap pengembangan kemampuan belajar mandiri siswa.

1. 
   1.2 Metode untuk menentukan fungsi

Jadi, fungsi numerik adalah korespondensi antara himpunan numerik R dari bilangan real, di mana setiap bilangan dari himpunan X berkorespondensi dengan satu bilangan dari himpunan R.

Oleh karena itu, X mewakili domain definisi fungsi (DOF).

Fungsinya sendiri dilambangkan dengan huruf kecil alfabet latin (f, d, e, k).

Jika suatu fungsi f diberikan pada himpunan X, maka bilangan real y yang bersesuaian dengan bilangan x dari himpunan X dinotasikan sebagai f(x) (y=f(x)).

Variabel x disebut argumen. Himpunan bilangan yang berbentuk f(x) untuk semua x disebut rentang fungsiF.

Seringkali, fungsi ditentukan dengan berbagai jenis rumus: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, dengan x adalah bilangan real, y adalah bilangan tunggal yang bersesuaian.

Namun, dengan satu rumus yang bisa Anda atur sekelompok fungsi, perbedaannya hanya ditentukan oleh domain definisinya:

Y= 2x-3, dimana x termasuk dalam himpunan bilangan real dan y=2x-3,

X - milik himpunan bilangan asli.

Seringkali, ketika menentukan suatu fungsi menggunakan rumus, OOF tidak ditentukan (OOF adalah domain definisi dari ekspresi f(x)).

Juga cukup mudah untuk merepresentasikan fungsi numerik secara visual, mis. menggunakan bidang koordinat.
1.3 Properti fungsi.

Seperti banyak fungsi lainnya, fungsi numerik memiliki properti berikut:

Menaik, menurun, monotonisitas, daerah definisi dan daerah nilai suatu fungsi, batas dan tidak terbatas, genap dan ganjil, periodisitas.

Domain dan rentang fungsi.

Dalam matematika dasar, fungsi hanya dipelajari pada himpunan bilangan real R. Artinya argumen suatu fungsi hanya dapat mengambil nilai real yang fungsi tersebut didefinisikan, yaitu. ia juga hanya menerima nilai-nilai nyata. Himpunan X dari semua nilai riil yang diperbolehkan dari argumen x yang fungsi y = f(x) terdefinisi disebut domain dari fungsi tersebut. Himpunan Y dari semua nilai real y yang diambil suatu fungsi disebut rentang fungsi tersebut. Sekarang kita dapat memberikan definisi fungsi yang lebih tepat: aturan (hukum) korespondensi antara himpunan X dan Y, yang menyatakan bahwa untuk setiap elemen dari himpunan X, satu dan hanya satu elemen dari himpunan Y dapat ditemukan, adalah disebut suatu fungsi.

Suatu fungsi dianggap terdefinisi jika: domain definisi fungsi X ditentukan; rentang nilai fungsi Y ditentukan; aturan (hukum) korespondensi diketahui, sehingga untuk setiap nilai argumen hanya satu nilai fungsi yang dapat ditemukan. Persyaratan keunikan fungsi ini bersifat wajib.
Fungsi terbatas dan tidak terbatas. Suatu fungsi disebut terbatas jika terdapat bilangan positif M sedemikian rupa sehingga | f(x) | M untuk semua nilai x. Jika bilangan tersebut tidak ada, maka fungsinya tidak terbatas.

Fungsi genap dan ganjil. Jika untuk sembarang x dari daerah definisi fungsi berlaku: f (- x) = f (x), maka fungsi tersebut disebut genap; jika terjadi: f (- x) = - f (x), maka fungsinya disebut ganjil. Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu Y (Gbr. 5), dan grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal (Gbr. 6).

Fungsi periodik. Suatu fungsi f (x) bersifat periodik jika terdapat bilangan bukan nol T sehingga untuk sembarang x dari domain definisi fungsi tersebut berlaku: f (x + T) = f (x). Bilangan terkecil ini disebut periode fungsi tersebut. Semua fungsi trigonometri bersifat periodik.

Namun sifat yang paling penting untuk fungsi pembelajaran di kelas dasar adalah nada datar.

Fungsi monoton. Jika untuk dua nilai argumen x1 dan x2 kondisi x2 > x1 menyiratkan f(x2) > f(x1), maka fungsi | f(x) | disebut meningkat; jika untuk sembarang x1 dan x2 kondisi x2 > x1 berarti f (x2)
2. Hubungan berbanding lurus dan berbanding terbalik.
2.1 Konsep proporsionalitas langsung.

Di sekolah dasar, fungsi tersebut diwujudkan dalam bentuk hubungan berbanding lurus dan berbanding terbalik.

Proporsionalitas langsung- ini, pertama-tama, fungsi, yang dapat diberikan dengan menggunakan rumus y=kx, dimana k adalah bilangan real bukan nol. Nama fungsi y = kx dikaitkan dengan variabel x dan y yang terdapat dalam rumus ini. Jika sikap dua besaran yang sama dengan suatu bilangan selain nol, maka disebut berbanding lurus.

K adalah koefisien proporsionalitas.

Secara umum, fungsi y=kx merupakan model matematika dari banyak situasi nyata yang dibahas dalam kursus matematika awal.

Misalnya, ada 2 kg tepung dalam satu kemasan, dan x kemasan tersebut dibeli, maka seluruh massa tepung yang dibeli adalah y. Hal ini dapat dituliskan dalam rumus seperti ini: y=2x, dimana 2=k.
2.2 Sifat proporsionalitas langsung.

Proporsionalitas langsung memiliki sejumlah sifat:

• 
  Daerah definisi fungsi y=kx adalah himpunan bilangan real R;
• 
  Grafik proporsionalitas langsung adalah garis lurus yang melalui titik asal;
• 
  Untuk k>0, fungsi y=kx meningkat di seluruh domain definisi (untuk k
• 
  Jika fungsi f berbanding lurus, maka (x1,y1),(x2,y2) adalah pasangan variabel yang bersesuaian x dan y, dimana x tidak sama dengan nol, artinya x1/x2=y1/y2.

Xbeberapa kali nilai positif y yang bersangkutan bertambah (berkurang) dengan jumlah yang sama.

2.3 Konsep proporsionalitas terbalik.
Proporsionalitas terbalik- Ini fungsi, yang dapat diberikan dengan menggunakan rumus y=k/x, dimana k adalah bilangan real bukan nol. Nama fungsi y = k/x dikaitkan dengan variabel x dan y, yang produknya sama dengan suatu bilangan real yang tidak sama dengan nol.

Sifat-sifat proporsionalitas terbalik:

• 
  Daerah asal definisi dan rentang nilai fungsi y=k/x adalah himpunan bilangan real R;
• 
  Grafik proporsionalitas langsung – hiperbola;
• 
  Ketika k 0, masing-masing, berkurang di seluruh domain definisi, bercabang ke bawah)
• 
  Jika fungsi f berbanding terbalik, maka (x1,y1),(x2,y2) adalah pasangan variabel yang bersesuaian x dan y, dimana x tidak sama dengan nol, artinya x1/x2=y2/y1.

Jika nilai variabelXDankamuakan menjadi bilangan real positif, maka

dengan variabel naik (turun).Xbeberapa kali nilai y yang bersangkutan berkurang (meningkat) dengan jumlah yang sama.

Bagian praktis
3.1 Propaedeutika fungsional pada mata kuliah awal matematika

Konsep ketergantungan fungsional merupakan salah satu yang terdepan dalam ilmu matematika, oleh karena itu pembentukan konsep ini pada siswa merupakan tugas penting dalam kegiatan guru yang bertujuan untuk mengembangkan pemikiran matematis dan aktivitas kreatif anak. Perkembangan pemikiran fungsional mengandaikan, pertama-tama, pengembangan kemampuan untuk menemukan koneksi baru dan menguasai teknik dan keterampilan pendidikan umum.

Dalam kursus awal matematika, peran penting harus diberikan kepada propaedeutika fungsional, yang mempersiapkan siswa untuk mempelajari kursus sistematis dalam aljabar dan geometri, dan juga menanamkan dalam diri mereka sifat berpikir dialektis, pemahaman tentang hubungan sebab akibat antara fenomena realitas disekitarnya. Berkaitan dengan itu, kami akan menguraikan arahan utama kerja propaedeutik pada tahap awal pengajaran mata pelajaran sesuai program L.G. Peterson:

Konsep himpunan, korespondensi unsur-unsur dua himpunan dan fungsinya. Ketergantungan hasil operasi aritmatika terhadap perubahan komponen.

Metode tabel, verbal, analitis, grafis untuk menentukan suatu fungsi.

Ketergantungan linier.

Sistem koordinat, koordinat pertama dan kedua, pasangan terurut.

Memecahkan masalah kombinatorial paling sederhana: menyusun dan menghitung jumlah kemungkinan permutasi, himpunan bagian dari elemen himpunan berhingga.

Menggunakan pencacahan sistematis nilai natural satu dan dua variabel saat menyelesaikan masalah plot.

Mengisi tabel dengan perhitungan aritmatika, data kondisi permasalahan yang diterapkan. Memilih data dari tabel berdasarkan kondisi.

Hubungan antara besaran proporsional; studi terapan dari grafik mereka.

Isi kursus matematika awal memungkinkan siswa untuk membentuk pemahaman tentang salah satu ide terpenting dalam matematika - gagasan kesesuaian.Saat menyelesaikan tugas untuk menemukan arti ekspresi dan mengisi tabel, siswa menetapkan bahwa setiap pasangan angka sesuai dengan tidak lebih dari satu angka yang diperoleh sebagai hasilnya. Namun untuk memahami hal ini, isi tabel harus dianalisis.

Buatlah semua kemungkinan contoh penjumlahan dua angka satu digit dengan jawabannya 12.

Saat menyelesaikan tugas ini, siswa membangun hubungan antara dua himpunan nilai istilah. Korespondensi yang ditetapkan adalah suatu fungsi, karena setiap nilai suku pertama bersesuaian dengan satu nilai suku kedua dengan jumlah yang konstan.

Ada 10 apel dalam vas. Berapa buah apel yang tersisa jika diambil 2 buah apel? 3 apel? 5 apel? Tuliskan penyelesaiannya pada tabel. Hasilnya bergantung pada apa? Berapa unit perubahannya? Mengapa?

Masalah ini sebenarnya menyajikan fungsinya pada = 10 - X, dimana variabelnya X mengambil nilai 2, 3, 5. Setelah menyelesaikan tugas ini, siswa harus menyimpulkan: semakin besar pengurangnya, semakin kecil selisihnya.

Gagasan korespondensi fungsional juga hadir dalam latihan seperti:

Hubungkan dengan panah ekspresi matematika dan nilai numerik yang sesuai:

15 + 6 27 35

Perkenalan simbol huruf memungkinkan Anda untuk memperkenalkan siswa pada konsep terpenting matematika modern - variabel, persamaan, pertidaksamaan, yang berkontribusi pada pengembangan pemikiran fungsional, karena gagasan ketergantungan fungsional terkait erat dengan mereka. Ketika bekerja dengan suatu variabel, siswa menyadari bahwa huruf-huruf yang termasuk dalam suatu ekspresi dapat memiliki nilai numerik yang berbeda, dan ekspresi huruf itu sendiri adalah notasi umum dari ekspresi numerik.

Pengalaman siswa berkomunikasi dengan latihan pada menetapkan pola barisan bilangan dan kelanjutannya:

1, 2, 3, 4… (pada = X + 1)

1, 3, 5, 7… (pada= 2 · X + 1)

Konsep jumlah, bersama dengan konsep bilangan, merupakan konsep utama mata kuliah matematika awal. Materi pada bagian ini merupakan sumber yang kaya untuk penerapan propaedeutika fungsional tidak langsung. Pertama, ini adalah ketergantungan (berbanding terbalik) antara satuan besaran (ukuran) yang dipilih dan nilai numeriknya (ukuran) - semakin besar ukurannya, semakin kecil angka yang diperoleh dari pengukuran besaran dengan ukuran tersebut. Oleh karena itu, penting bahwa ketika mengerjakan setiap besaran, siswa memperoleh pengalaman dalam mengukur besaran dengan standar yang berbeda agar dapat secara sadar memilih, pertama yang mudah, dan kemudian pengukuran tunggal.

Kedua, ketika mempelajari besaran-besaran yang mencirikan proses pergerakan, kerja, pembelian dan penjualan, terbentuklah gagasan tentang hubungan antara kecepatan, waktu dan jarak, harga, kuantitas dan biaya dalam proses pemecahan masalah kata-kata dari jenis berikut - reduksi menjadi kesatuan (menemukan proporsional keempat) , menemukan yang tidak diketahui oleh dua perbedaan, pembagian proporsional.

Sangat sulit bagi siswa untuk memahami hubungan antara besaran-besaran ini, karena konsep “ketergantungan proporsional” bukanlah subjek kajian dan asimilasi khusus. Dalam program L.G. Peterson secara metodis memecahkan masalah ini dengan menggunakan teknik berikut:

- Memecahkan masalah dengan data yang hilang (kondisi "terbuka"):

Rumah Vasya ke sekolah berjarak 540 m, dan rumah Pasha berjarak 480 m. Siapa yang tinggal lebih dekat? Siapa yang akan sampai di sana lebih cepat?

Sasha membeli buku catatan seharga 30 rubel dan pensil seharga 45 rubel. Barang apa yang paling banyak dia habiskan uangnya? Barang apa yang lebih banyak dia beli?

Dengan menganalisis teks soal ini, siswa menemukan bahwa mereka kekurangan data dan jawaban atas pertanyaan bergantung pada harga dan kecepatan.

- Memperbaiki kondisi tugas tidak hanya dalam bentuk tabel (seperti yang diusulkan dalam metode klasik), tetapi juga dalam bentuk diagram. Hal ini memungkinkan Anda untuk "memvisualisasikan" dependensi yang dipertimbangkan dalam masalah. Jadi, jika benda bergerak menempuh jarak yang sama yaitu 12 km dalam waktu yang berbeda (2 jam, 3 jam, 4 jam, 6 jam), maka dengan menggunakan diagram hubungan terbalik ditafsirkan dengan jelas - semakin banyak bagian (waktu), semakin kecil setiap bagiannya. bagian (kecepatan).

- Mengubah salah satu data tugas dan membandingkan hasil penyelesaian masalah.

48 kg apel dibawa ke kantin sekolah. Berapa kotak yang dapat mereka bawa jika semua kotak berisi apel dalam jumlah yang sama?

Siswa melengkapi kondisi masalah dan mencatat hubungan antar besaran dengan menggunakan berbagai cara untuk menyusun pengetahuan teoritis - dalam tabel, diagram dan secara lisan.

Di sini berguna untuk memperhatikan rasio kelipatan dari besaran-besaran yang dipertimbangkan - berapa kali lebih banyak salah satu besaran, berapa kali lebih banyak (kurang) besaran lainnya, dan yang ketiga konstan.

Di sekolah dasar, siswa diperkenalkan secara implisit metode tabel, analitis, verbal, grafis untuk menentukan fungsi.

Misalnya hubungan antara kecepatan, waktu dan jarak dapat dinyatakan:

A) secara lisan: “untuk mencari jarak, Anda perlu mengalikan kecepatan dengan waktu”;

B) secara analitis: S=v T;

B) tabel: v =5 km/jam

d) secara grafis (menggunakan sinar atau sudut koordinat).

Cara grafis untuk menentukan ketergantungan antara v, T, S memungkinkan kita untuk membentuk gagasan tentang kecepatan sebagai perubahan lokasi benda bergerak per satuan waktu (bersama dengan yang diterima secara umum - sebagai jarak yang ditempuh per satuan waktu) Dan perbandingan grafik gerak dua benda (bergerak secara mandiri satu sama lain) memperjelas gagasan kecepatan sebagai besaran yang mencirikan kecepatan gerak.

Ekspresi Numerik Majemuk(dengan dan tanpa tanda kurung), menghitung nilainya menurut aturan urutan tindakan memungkinkan siswa menyadari bahwa hasilnya tergantung pada urutan tindakan yang dilakukan.

Susunlah tanda kurung untuk membentuk persamaan yang benar.

20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26

Dalam perjalanan L.G. Peterson, siswa diperkenalkan secara implisit ketergantungan linier, sebagai kasus khusus dari suatu fungsi. Fungsi ini dapat ditentukan dengan rumus formulir pada= kh + B, Di mana X- variabel bebas, k Dan B- angka. Domain definisinya adalah himpunan semua bilangan real.

Setelah menempuh jarak 350 kilometer, kereta api mulai menempuh perjalanan selama t jam dengan kecepatan 60 km/jam. Berapa kilometer total perjalanan kereta api tersebut?(350 + 60 T)

Dengan menyelesaikan tugas-tugas yang diberi nama angka, siswa menyadari ketergantungannya nilai numerik besaran dari penggunaan satuan pengukuran yang berbeda.

Segmen yang sama diukur terlebih dahulu dalam sentimeter, kemudian dalam desimeter. Pada kasus pertama, jumlah yang kami dapatkan adalah 135 lebih banyak dibandingkan pada kasus kedua. Berapakah panjang ruas tersebut dalam sentimeter? (Ketergantungan= 10 · X)

Dalam proses pembelajaran mata kuliah awal matematika, siswa membentuk konsep deret bilangan natural, ruas deret natural, mengasimilasi sifat-sifat deret bilangan natural - tak terhingga, keteraturan, dsb., bentuk gagasan tentang kemungkinan peningkatan bilangan asli yang tidak terbatas atau penurunan bagiannya.

Dalam kursus matematika untuk kelas 3-4, perhatian besar diberikan pada pengajaran siswa bagaimana menggunakan rumus, kesimpulan independen mereka. Di sini penting untuk mengajarkan siswa menyajikan informasi yang sama dalam bentuk yang berbeda – secara grafis dan analitis, sehingga memberikan siswa hak untuk memilih bentuk yang sesuai dengan gaya kognitifnya.

Siswa sangat tertarik pada tugas-tugas yang berkaitan dengan menganalisis tabel nilai variabel, “menemukan” ketergantungan di antara tabel tersebut dan menuliskannya sebagai rumus.

Ketika menganalisis angka-angka yang disajikan dalam tabel, siswa dengan mudah memperhatikan bahwa angka-angka pada baris pertama bertambah satu, angka-angka pada baris kedua bertambah empat. Tugas guru adalah memperhatikan hubungan antara nilai-nilai variabel A Dan B. Untuk memperkuat orientasi terapan pendidikan matematika, situasi ini harus “direvitalisasi” dan dialihkan ke status plot.

Untuk mengembangkan kemampuan siswa dalam menurunkan rumus, Anda perlu mengajari mereka menulis berbagai pernyataan dalam bahasa matematika (dalam bentuk persamaan):

Pena tiga kali lebih mahal dari pensil ( R = Ke + 3);

Nomor A Bila dibagi 5, sisanya adalah 2 ( A= 5 · B + 2);

Panjang suatu persegi panjang lebih besar 12 cm dari lebarnya ( A = B + 12).

Prasyaratnya adalah mendiskusikan opsi yang memungkinkan untuk nilai besaran ini dan mengisi tabel yang sesuai.

Tempat khusus dalam perjalanan L.G. Peterson mengambil tugas yang berkaitan dengan penelitian matematika:

Nyatakan bilangan 16 sebagai hasil kali dua faktor dengan cara yang berbeda. Untuk setiap metode, tentukan jumlah faktornya. Dalam hal manakah jumlah yang lebih kecil diperoleh? Lakukan hal yang sama pada angka 36 dan 48. Bagaimana tebakanmu?

Saat menyelesaikan tugas serupa (mempelajari hubungan antara jumlah sudut suatu poligon dan nilai total besaran derajat sudut, antara nilai keliling bangun-bangun yang berbeda bentuk dengan luas yang sama, dll.), siswa meningkatkan kemampuan mereka keterampilan dalam bekerja dengan tabel, karena akan lebih mudah untuk mencatat solusi dalam sebuah tabel. Selain itu, metode tabel untuk memperbaiki solusi digunakan ketika menyelesaikan masalah matematika non-standar dengan menggunakan metode pencarian terurut atau seleksi rasional.

Ada 13 anak di kelas. Anak laki-laki mempunyai jumlah gigi yang sama banyaknya dengan jumlah jari tangan dan kaki anak perempuan. Berapa banyak anak laki-laki dan berapa banyak anak perempuan di kelas tersebut? (Setiap anak laki-laki memiliki tepat 32 gigi).

Mengajar matematika sesuai program L.G. Peterson memastikan bahwa siswa memahami hubungan antara hasil dan komponen operasi aritmatika, dan gagasannya “kecepatan” perubahan hasil operasi aritmatika tergantung pada perubahan komponen:

Latihan komposisi bilangan;

Metode perhitungan tertentu (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);

Estimasi jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi.

Saat melakukan tugas seperti ini, penting untuk menyajikan informasi dengan cara multisensori.

Bagaimana perubahan jumlah jika suku yang satu ditambah 10 dan suku kedua dikurangi 5?

Bagaimana luas persegi panjang (atau hasil kali dua bilangan) berubah jika salah satu sisinya (salah satu bilangan) ditambah 3?

Sebagian besar siswa menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan mengganti nilai numerik tertentu. Kompeten secara metodologis dalam situasi ini adalah menafsirkan kondisi secara grafis dan analitis.

(A+ 3) · B = A· B+ 3 ·B

Konsep fungsi di sekolah menengah dikaitkan dengan sistem koordinasi. Dalam perjalanan L.G. Peterson berisi materi untuk karya propaedeutik ke arah ini:

Segmen numerik, sinar numerik, sinar koordinat;

Tabel Pythagoras, koordinat pada bidang (sudut koordinat);

Jadwal lalu lintas;

Diagram lingkaran, batang, dan garis yang secara visual mewakili hubungan antara kuantitas diskrit.

Jadi, ilmu yang mempelajari tentang operasi aritmatika, penambahan dan pengurangan suatu bilangan beberapa satuan atau beberapa kali, hubungan antar komponen dan hasil operasi aritmatika, penyelesaian masalah mencari perbandingan keempat, hubungan antara kecepatan, waktu dan jarak; harga, kuantitas dan nilai; massa suatu benda, jumlah dan massa totalnya; produktivitas, waktu dan pekerjaan; dll, di satu sisi mendasari pembentukan konsep fungsi, dan di sisi lain dipelajari berdasarkan konsep fungsional. Perlu dicatat bahwa pemodelan grafis memiliki signifikansi propaedeutik yang cukup besar: interpretasi grafis dari kondisi masalah, menggambar, menggambar, dll. Informasi yang disajikan dalam bentuk grafik lebih mudah dipahami, luas dan agak bersyarat, dirancang untuk menyampaikan informasi hanya tentang fitur-fitur penting dari suatu objek dan untuk mengembangkan keterampilan grafis siswa.

Selain itu, hasil dari propaedeutika ketergantungan fungsional adalah aktivitas mental yang tinggi pada anak sekolah yang lebih muda, perkembangan intelektual, mata pelajaran umum dan keterampilan matematika khusus. Semua ini menciptakan dasar yang kokoh tidak hanya untuk memecahkan masalah metodologis matematika dasar - pembentukan keterampilan komputasi, kemampuan memecahkan masalah kata, dll., tetapi juga untuk implementasi kemungkinan pengembangan konten matematika dan, yang tidak kalah pentingnya, untuk keberhasilan studi fungsi di sekolah menengah.

3.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan besaran-besaran yang bergantung secara proporsional

Memecahkan masalah berarti menggunakan urutan tindakan yang benar secara logis

dan operasi dengan angka, kuantitas, secara eksplisit atau implisit tersedia dalam masalah,

hubungan untuk memenuhi persyaratan tugas (menjawab pertanyaannya).

Yang utama dalam matematika adalah: hitung Dan

aljabar cara untuk memecahkan masalah. Pada hitung jalan

jawaban atas pertanyaan masalah ditemukan sebagai hasil dari melakukan aritmatika

tindakan pada angka.

Metode aritmatika yang berbeda untuk menyelesaikan masalah yang sama juga berbeda

hubungan antara data, data dan yang tidak diketahui, data dan apa yang dicari,

mendasari pilihan operasi aritmatika, atau barisan

menggunakan hubungan ini saat memilih tindakan.

Menyelesaikan soal cerita menggunakan aritmatika merupakan aktivitas yang kompleks.

penentu. Namun ada beberapa tahapan di dalamnya:

1. Persepsi dan analisis isi tugas.

2. Mencari dan menyusun rencana pemecahan masalah.

3. Eksekusi rencana solusi. Perumusan kesimpulan tentang pemenuhan persyaratan

tugas (menjawab pertanyaan tugas).

4. Memeriksa solusi dan menghilangkan kesalahan jika ada.

Masalah pembagian proporsional diperkenalkan dengan cara yang berbeda: Anda dapat menawarkan

untuk memecahkan masalah yang sudah jadi, atau Anda dapat menyusunnya terlebih dahulu dengan mentransformasikan masalah tersebut

untuk menemukan proporsional keempat. Dalam kedua kasus tersebut, keberhasilan solusinya

Masalah pembagian proporsional akan ditentukan oleh kemampuan menyelesaikannya yang kokoh

masalah mencari proporsional keempat, oleh karena itu, sebagai

persiapan harus mencakup pemecahan masalah dari jenis yang sesuai untuk ditemukan

proporsional keempat. Itu sebabnya yang kedua lebih disukai

opsi yang disebutkan untuk memperkenalkan masalah pembagian proporsional.

Beralih ke pemecahan masalah yang sudah jadi dari buku teks, serta masalah yang disusun

guru, termasuk berbagai kelompok besaran, pertama-tama Anda perlu menentukan yang mana

besaran yang dibahas dalam soal, kemudian tuliskan soal tersebut secara singkat pada tabel,

setelah sebelumnya membagi soal soal menjadi dua soal, jika mengandung kata

setiap. Sebagai aturan, siswa menyelesaikan solusi secara mandiri, menganalisis

dilakukan hanya dengan siswa secara individu. Alih-alih membuat catatan singkat, Anda bisa membuat

menggambar. Misalnya, jika masalahnya melibatkan potongan kain, gulungan kawat, dan

dll., maka mereka dapat diwakili oleh segmen dengan menulis angka yang sesuai

nilai-nilai besaran tersebut. Perhatikan bahwa Anda tidak boleh melakukan lari jarak pendek setiap saat.

mencatat atau menggambar, jika siswa setelah membaca soal mengetahui cara menyelesaikannya, maka

biarkan dia yang memutuskan, dan bagi yang kesulitan menggunakan catatan atau gambar pendek

Untuk menyelesaikan tugas. Secara bertahap tugas-tugas tersebut akan menjadi lebih kompleks dengan diperkenalkannya

data tambahan (misalnya: “Bagian pertama berisi materi sepanjang 16 m, dan bagian kedua

2 kali lebih sedikit.”) atau mengajukan pertanyaan (misalnya: “Berapa meter

Apakah materi pada bagian pertama lebih banyak dibandingkan pada bagian kedua?).

Setelah Anda memahami solusi masalah pembagian tidak proporsional, Anda bisa melanjutkan

cara lain: pertama selesaikan masalah yang sudah jadi, lalu jalankan

mengubah masalah mencari proporsional keempat menjadi masalah

pembagian proporsional dan, setelah menyelesaikannya, bandingkan masalah itu sendiri dan

keputusan mereka.

Latihan membantu menggeneralisasi kemampuan memecahkan masalah dari jenis yang dipertimbangkan.

sifat kreatif. Sebutkan beberapa di antaranya.

Sebelum menyelesaikannya, ada baiknya menanyakan pertanyaan mana dalam soal yang akan dijawab

jumlah yang lebih besar dan alasannya, dan setelah memutuskan untuk memeriksa apakah itu sesuai dengan tipe ini

angka-angka yang dihasilkan, yang akan menjadi salah satu cara untuk memeriksa solusinya. Anda bisa lebih jauh

mencari tahu apakah jawabannya bisa menghasilkan angka yang sama dan dalam kondisi apa.

Latihan yang berguna bagi siswa untuk menyusun masalah dan kemudian menyelesaikannya,

dan latihan transformasi tugas. Ini, pertama-tama, adalah kompilasi

masalah serupa dengan yang dipecahkan. Jadi, setelah menyelesaikan masalah kuantitas: harga,

kuantitas dan biaya - tawaran untuk menyusun dan memecahkan masalah serupa

besaran yang sama atau dengan besaran lain, seperti kecepatan, waktu dan jarak.

Ini adalah kumpulan masalah untuk penyelesaiannya, ditulis secara terpisah

tindakan, dan dalam bentuk ekspresi, inilah kompilasi dan penyelesaian masalah menurutnya

notasi skema pendek

1 cara:

X = 15*30 / 8 = 56 rubel 25 kopek

2 jalan: jumlah kain bertambah 15/8 kali lipat, artinya mereka akan membayar uang 15/8 kali lebih banyak

X =30*15/8 = 56 rubel 25 kopek

2. Seorang pria memanggil seorang tukang kayu dan memerintahkan dia untuk membangun sebuah halaman. Dia memberinya 20 pekerja dan menanyakan berapa hari mereka akan membangun pekarangannya. Tukang kayu menjawab: dalam 30 hari. Tetapi tuannya perlu membangunnya dalam 5 hari, dan untuk ini dia bertanya kepada tukang kayu: berapa banyak orang yang perlu Anda miliki agar Anda dapat membangun halaman bersama mereka dalam 5 hari; dan tukang kayu, karena bingung, bertanya kepada Anda, ahli aritmatika: berapa banyak orang yang perlu dia pekerjakan untuk membangun pekarangan dalam 5 hari?

Kondisi singkat yang belum selesai tertulis di papan tulis:

Opsi I: proporsi

Opsi II: tanpa proporsi

SAYA.

II. X = 20*6 = 120 pekerja

3. Mereka membawa 560 tentara dengan makanan selama 7 bulan, tetapi mereka diperintahkan untuk bertugas selama 10 bulan, dan mereka ingin menyingkirkan orang-orang dari diri mereka sendiri agar ada cukup makanan untuk 10 bulan. Pertanyaannya, berapa banyak orang yang harus dikurangi?

Sebuah tugas kuno.

Selesaikan masalah ini tanpa proporsi:

(Jumlah bulan bertambah satu faktor, yang berarti jumlah tentara berkurang satu faktor.

560 – 392 = 168 (tentara harus dikurangi)

Pada zaman dahulu, untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah, terdapat aturan khusus untuk menyelesaikannya. Masalah umum tentang proporsionalitas langsung dan terbalik, di mana kita perlu mencari nilai keempat dari tiga nilai dua besaran, disebut masalah “aturan rangkap tiga”.

Jika untuk tiga besaran diberikan lima nilai, dan perlu dicari nilai keenam, maka aturan tersebut disebut “lima kali lipat”. Demikian pula, untuk empat kuantitas ada “aturan septenary”. Masalah yang melibatkan penerapan aturan-aturan ini juga disebut masalah “aturan rangkap tiga yang kompleks”.

4. Tiga ekor ayam bertelur 3 butir dalam 3 hari. Berapa banyak telur yang dihasilkan 12 ekor ayam dalam 12 hari?

Berapa kali jumlah ayam bertambah? (4 kali)

Bagaimana jumlah telur berubah jika jumlah hari tidak berubah? (meningkat 4 kali lipat)

Berapa kali jumlah hari bertambah? (4 kali)

Bagaimana jumlah telurnya berubah? (meningkat 4 kali lipat)

X = 3*4*4 =48(telur)

5 . Jika seorang juru tulis dapat menulis 15 lembar kertas dalam waktu 8 hari, berapa banyak juru tulis yang diperlukan untuk menulis 405 lembar kertas dalam waktu 9 hari?

(Jumlah juru tulis bertambah seiring bertambahnya lembaran dan berkurang

Dari bertambahnya hari kerja (juru tulis)).

Mari kita pertimbangkan masalah yang lebih kompleks dengan empat besaran.

6. Untuk menerangi 18 ruangan, digunakan 120 ton minyak tanah dalam waktu 48 hari, dengan 4 lampu menyala di setiap ruangan. Berapa hari 125 pon minyak tanah akan bertahan jika 20 ruangan diterangi dan 3 lampu menyala di setiap ruangan?

Jumlah hari penggunaan minyak tanah bertambah seiring dengan bertambahnya jumlah minyak tanah yang masuk
kali dan dari pengurangan lampu sebanyak satu faktor.

Jumlah hari penggunaan minyak tanah berkurang seiring bertambahnya jumlah ruangan 20 waktu.

X = 48 * * : = 60 (hari)

Nilai akhirnya adalah X = 60. Artinya 125 pon minyak tanah cukup untuk 60 hari.

Kesimpulan

Sistem metodologi untuk mempelajari ketergantungan fungsional di sekolah dasar, yang dikembangkan dalam konteks pendidikan modular, mewakili suatu integritas yang terdiri dari keterkaitan komponen utama (target, konten, organisasi, teknologi, diagnostik) dan prinsip (modularitas, perspektif sadar, keterbukaan, fokus pembelajaran pada pengembangan kepribadian siswa , keserbagunaan konsultasi metodologis).

Pendekatan modular merupakan sarana untuk meningkatkan proses pembelajaran ketergantungan fungsional pada siswa sekolah dasar, yang memungkinkan: siswa menguasai sistem pengetahuan fungsional dan metode tindakan, keterampilan praktis (operasional); guru - mengembangkan pemikiran matematisnya berdasarkan materi fungsional, menumbuhkan kemandirian dalam belajar.

Dukungan metodologis terhadap proses pembelajaran fungsi di sekolah dasar dibangun atas dasar program modular, yang menjadi dasar untuk mengidentifikasi pola-pola mendasar yang wajib untuk memahami topik, asimilasi konten materi pendidikan yang berhasil dan lengkap, dan perolehannya. oleh siswa yang memiliki pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan yang kuat.

Bibliografi.

1. 
   Demidova T.E., Tonkikh A.P., Teori dan praktek pemecahan masalah teks: Buku Teks. bantuan untuk siswa lebih tinggi ped. buku pelajaran perusahaan. – M.: Pusat Penerbitan “Akademi”, 2002. -288 hal.
2. 
   Fridman L. M. Mathematics: Buku teks untuk guru dan mahasiswa universitas dan perguruan tinggi pedagogi. – M.: Pers sekolah, 2002.- 208 hal.
3. 
   Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Dasar-dasar kursus awal matematika: Buku Teks. manual untuk siswa pedagogis. uh - sch khusus. “Mengajar di kelas dasar pendidikan umum. Sst." - M.: Pendidikan, 1998. – 320 detik.
4. 
   Stoilova L.P. Matematika: Buku teks untuk siswa. lebih tinggi Ped. buku pelajaran perusahaan. – M.: Pusat Penerbitan “Akakdemiya”, 1999. – 424 hal.
5. 
   Pekhletsky I. D. Matematika: Buku Teks. – stereotip edisi ke-2 – M.: Pusat Penerbitan “Akademi”; Penguasaan, 2002. – 304 hal.
6. 
   Kryuchkova V.V. Mengerjakan masalah dengan besaran proporsional dalam mode pengembangan: Panduan untuk guru permulaan. kelas: Bagian 2 / Institut Pengembangan Pendidikan Regional Ryazan. Ryazan, 1996. – 75 detik.
7. 
   Padun T. A. Tugas non-standar dalam mata kuliah matematika dasar: Metodologis. Direkomendasikan Untuk membantu guru sekolah dasar / Ryaz. Wilayah Institut Pengembangan Pendidikan. – Ryazan, 2003 – 85 hal.
8. 
   Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah: kelas IX – X. Panduan untuk guru. – M.: Pendidikan, 1983. – 351 hal., sakit.
9. 
   Dorofeev G.V. Kursus berorientasi humaniora adalah dasar dari mata pelajaran pendidikan “Matematika” di sekolah menengah // Matematika di sekolah. – 1997. - Nomor 4. - Hal.59-66, hal. 59.
10. 
    Masalah terkini dalam pengajaran matematika di sekolah dasar. / Ed. M.I. Moreau, SAYA. Bengkak. - M.: Pedagogi, 1977. - 262 hal.
11. 
    Bantova M.A., Beltyukova G.V. Metode pengajaran matematika di sekolah dasar. - M.: Pedagogi, 1984. - 301 hal.
12. 
    Davydov V.V. Matematika kelas 3: Buku Ajar SD 4 Tahun. - M.: Pusat Penerbitan "Akademi", 1998. - 212 hal.
13. 
    Moro M.I. dan lain-lain.Matematika: Buku Ajar untuk kelas 3 SD tiga tahun dan kelas 4 SD empat tahun. / Ed. Kalyagina Yu.M. - M.: Pendidikan, 1997. - 240 hal.
14. 
    Peterson L.G. Matematika, kelas 3. Bagian 1, 2. Buku Ajar Sekolah Dasar 4 Tahun. - M.: “Balas”, 2001.