Pārbaudes un mērīšanas materiāli. Algebra un analīzes sākums: 10. klase / Sast. A.N. Rurukins. - M.: VAKO, 2011. - 112 lpp. - (Pārbaudes un mērīšanas materiāli).
Rokasgrāmatā ir sniegti ieskaites un mērījumu materiāli (KIM) par algebru un pamata analīzi 10. klasei: kontroldarbi vienotā valsts eksāmena uzdevumu formātā, kā arī patstāvīgie un pārbaudes darbi par visām apgūtajām tēmām. Atbildes tiek sniegtas uz visiem uzdevumiem. Piedāvātais materiāls ļauj pārbaudīt zināšanas, izmantojot dažādus kontroles veidus.
Izdevums ir paredzēts skolotājiem, skolēniem un viņu vecākiem.
Saturs
No kompilatora........................................ 3
Prasības skolēnu sagatavotības līmenim ............... 4
Uzdevumu izpilde un to novērtēšana................................................ 4
Tests 1. Funkcija. Funkcijas definīcijas joma un vērtību diapazons.................. 6
Tests 2. Funkcijas pamatīpašības................................... 8
3. tests. Funkciju grafiki................................................ ..............................10
Ieskaite 4. Tēmas “Ciparu funkcijas un to īpašības” vispārinājums.................................. 12
Tests 5. Trigonometrisko izteiksmju nozīmes................16
Tests 6. Pamata trigonometriskā identitāte. Samazināšanas formulas..................18
7. tests. Funkcijas y = sinx un y = cosx................................................ ...20
8. tests. Funkcijas y = tgx un y = ctgx................................................. .............. .....22
Ieskaite 9. Tēmas “Trigonometriskās funkcijas” vispārinājums ... 24
Tests 10. Arkosīns un arcsīns. Atrisinot vienādojumus cosx = a un sinx = a.........28
Tests 11. Arktangents un arkotangents. Atrisinot vienādojumus tgx = a un ctgx = a.........30

Ieskaite 12. Vienkāršākie vienādojumi un nevienādības................................................32
Ieskaite 13. Tēmas “Trigonometriskie vienādojumi” vispārināšana.................................34
Ieskaite 14. Argumentu summas un starpības funkcijas...................................38
15. tests. Dubultās argumentācijas formulas................................................ .....40
Tests 16. Trigonometrisko funkciju summu pārvēršana reizumos.................................42
17. ieskaite. Trigonometrisko izteiksmju konvertēšana... 44
Ieskaite 18. Trigonometriskie vienādojumi, vienādojumu sistēmas, nevienādības......46
Ieskaite 19. Tēmas “Trigonometrisko izteiksmju transformācija” vispārinājums................................48
Pārbaudījums 20. Konsistences robeža. Bezgalīgas ģeometriskās progresijas summa........52
Tests 21. Funkcijas ierobežojums. Atvasinājuma definīcija.... 54
22. tests. Atvasinājumu aprēķināšana................................................ .......56
Pārbaudījums 23. Funkcijas grafika pieskares vienādojums......58
Tests 24. Atvasinājuma pielietojums monotoniskuma un ekstrēmu funkciju pētīšanai....60
25. tests. Izmantojot atvasinājumu, lai atrastu lielumu lielākās un mazākās vērtības....62
Ieskaite 26. Tēmas “Atvasinājums” vispārinājums............................................ ........64
Ieskaite 27. Fināls pēc 10. klases programmas.................................68

Nodarbība 1-2. Skaitliskās funkcijas definīcija un metodes tās precizēšanai

Mērķis: apspriediet funkcijas definīciju un to, kā to definēt.

I. Nodarbību tēmas un mērķa komunikācija

II. 9. klases materiāla apskats

7.-9.klasē jau ir apskatīti dažādi šīs tēmas aspekti. Tagad mums ir jāpaplašina un jāapkopo informācija par funkcijām. Atgādināsim, ka tēma ir viena no svarīgākajām visam matemātikas kursam. Tiks apgūtas dažādas funkcijas līdz absolvēšanai un tālāk augstskolās. Šī tēma ir cieši saistīta ar vienādojumu risināšanu, nevienādībām, teksta uzdevumiem, progresiju utt.

Definīcija 1. Dotas divas reālu skaitļu kopas D un E un likums ir norādīts f saskaņā ar kuru katrs skaitlis x∈ D atbilst vienskaitļa skaitlim y ∈ E (skat. attēlu). Tad viņi saka, ka funkcija y = f(x ) vai y(x) ar definīcijas domēnu (O.O.) D un izmaiņu apgabals (O.I.) E. Šajā gadījumā vērtību x sauc par neatkarīgo mainīgo (vai funkcijas argumentu), vērtību y sauc par atkarīgo mainīgo (vai funkcijas vērtību).

Funkciju domēns f apzīmē D(f ). Komplekts, kas sastāv no visiem cipariem f(x ) (funkciju diapazons f), apzīmē E(f).

1. piemērs

Apsveriet funkcijuLai atrastu y katrai x vērtībai, jums jāveic šādas darbības: no x vērtības atņemiet skaitli 2 (x - 2), iegūstiet šīs izteiksmes kvadrātsakni.un visbeidzot pievienojiet skaitli 3Šo darbību kopu (vai likumu, saskaņā ar kuru katrai x vērtībai tiek meklēta vērtība y) sauc par funkciju y(x). Piemēram, ja x = 6, mēs atrodamTādējādi, lai aprēķinātu funkciju y dotajā punktā x, šī vērtība x ir jāaizvieto ar doto funkciju y(x).

Acīmredzot noteiktai funkcijai jebkuram pieļaujamam skaitlim x var atrast tikai vienu y vērtību (tas ir, katrai x vērtībai atbilst viena y vērtība).

Tagad apskatīsim definīcijas jomu un šīs funkcijas variāciju diapazonu. Izteiksmes kvadrātsakni (x - 2) iespējams iegūt tikai tad, ja šī vērtība nav negatīva, t.i., x - 2 ≥ 0 vai x ≥ 2. AtrastTā kā pēc aritmētiskās saknes definīcijastad visām šīs nevienlīdzības daļām pievienojam skaitli 3, iegūstam:vai 3 ≤ gadi< +∞. Находим

Matemātikā bieži tiek izmantotas racionālas funkcijas. Šajā gadījumā formas funkcijas f(x ) = p(x) (kur p(x) ir polinoms) sauc par veselām racionālām funkcijām. Formas funkcijas(kur p(x) un q(x ) — polinomi) sauc par daļskaitļa-racionālām funkcijām. Acīmredzot daļair definēts, ja saucējs q(x ) nepazūd. Tāpēc daļējās racionālās funkcijas definīcijas joma- visu reālo skaitļu kopa, no kuras ir izslēgtas polinoma saknes q(x).

2. piemērs

Racionāla funkcijadefinēts x - 2 ≠ 0, t.i. x ≠ 2. Tāpēc šīs funkcijas definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa, kas nav vienāda ar 2, t.i., intervālu (-∞; 2) un (2; ∞) savienība.

Atgādināt, ka kopu A un B savienība ir kopa, kas sastāv no visiem elementiem, kas iekļauti vismaz vienā no kopām A vai B. Kopu A un B savienība tiek apzīmēta ar simbolu A U B. Tādējādi segmentu savienība un (3; 9) ir intervāls (intervāli, kas nekrustojas), tiek apzīmēti ar .

Atgriežoties pie piemēra, mēs varam rakstīt:Tā kā visām pieņemamajām x vērtībām ir daļanepazūd, tad funkcija f(x ) ņem visas vērtības, izņemot 3. Tāpēc

3. piemērs

Ļaujiet mums atrast daļējas racionālās funkcijas definīcijas jomu

Daļskaitļu saucēji izzūd pie x = 2, x = 1 un x = -3. Tāpēc šīs funkcijas definīcijas joma

4. piemērs

Atkarība vairs nav funkcija. Patiešām, ja mēs vēlamies aprēķināt y vērtību, piemēram, ja x = 1, tad, izmantojot augšējo formulu, mēs atrodam: y = 2 1 - 3 = -1, un, izmantojot apakšējo formulu, mēs iegūstam: y = 12 + 1 = 2. Tādējādi viena vērtība x(x = 1) atbilst divām y vērtībām (y = -1 un y = 2). Tāpēc šī atkarība (pēc definīcijas) nav funkcija.

5. piemērs

Tiek parādīti divu atkarību grafiki y(x ). Noskaidrosim, kura no tām ir funkcija.

Attēlā un ir dots funkcijas grafiks, jo jebkurā punktā x 0 atbilst tikai viena vērtība y0. Attēlā b ir kāda veida atkarības grafiks (bet ne funkcija), jo šādi punkti pastāv (piemēram, x 0 ), kas atbilst vairāk nekā vienai vērtībai y (piemēram, y1 un y2).

Tagad apskatīsim galvenos funkciju noteikšanas veidus.

1) Analītisks (izmantojot formulu vai formulas).

6. piemērs

Apskatīsim funkcijas:

Neskatoties uz neparasto formu, šīs attiecības nosaka arī funkciju. Jebkurai x vērtībai ir viegli atrast y vērtību. Piemēram, ja x = -0,37 (kopš x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, tad mēs izmantojam zemāko izteiksmi), mums ir:No y atrašanas metodes ir skaidrs, ka jebkura vērtība x atbilst tikai vienai y vērtībai.

c) 3x + y = 2y - x2. Izteiksim vērtību y no šīs attiecības: 3x + x2 = 2y - y vai x2 + 3x = y. Tādējādi šī sakarība definē arī funkciju y = x2 + 3x.

2) Tabula

7. piemērs

Izrakstīsim kvadrātu y tabulu skaitļiem x.

Tabulas dati definē arī funkciju - katrai x vērtībai (norādīta tabulā) var atrast vienu vērtību y. Piemēram, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25 utt.

3) Grafika

Taisnstūra koordinātu sistēmā, lai attēlotu funkcionālo atkarību y(x), ir ērti izmantot īpašu zīmējumu - funkcijas grafiku.

Definīcija 2. Funkcijas grafiks y(x ) ir visu koordinātu sistēmas punktu kopa, kuru abscises ir vienādas ar neatkarīgā mainīgā x vērtībām, bet ordinātas ir vienādas ar atkarīgā mainīgā y atbilstošajām vērtībām.

Saskaņā ar šo definīciju visi punktu pāri (x0, y0), kas apmierina funkcionālo atkarību y(x), atrodas funkcijas grafikā. Jebkuri citi punktu pāri, kas neapmierina atkarību y(x ), funkcijas neatrodas grafikā.

8. piemērs

Dota funkcija Vai punkts ar koordinātām pieder šīs funkcijas grafikam: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. Atrodiet funkcijas y vērtību atTā kā y(-2) = -6, tad punkts A (-2; -6) pieder šīs funkcijas grafikam.

2. Nosakiet funkcijas y vērtību at Kopš y (-3) = -11, tad punkts B (-3; -10) nepieder šīs funkcijas grafikam.

Saskaņā ar šo funkcijas y = grafiku f(x ) ir viegli atrast definīcijas domēnu D(f ) un diapazonu E(f ) funkcijas. Lai to izdarītu, grafika punkti tiek projicēti uz koordinātu asīm. Tad šo punktu abscises veido definīcijas jomu D(f ), ordinātas - vērtību diapazons E(f).

Salīdzināsim dažādus funkcijas definēšanas veidus. Analītiskā metode ir jāuzskata par vispilnīgāko. Tas ļauj izveidot funkciju vērtību tabulu dažām argumentu vērtībām, izveidot funkcijas grafiku un veikt nepieciešamos funkcijas izpēti. Tajā pašā laikā tabulas metode ļauj ātri un viegli atrast funkcijas vērtību dažām argumentu vērtībām. Funkcijas grafiks skaidri parāda tās uzvedību. Tāpēc nevajadzētu iebilst pret dažādām funkcijas noteikšanas metodēm, katrai no tām ir savas priekšrocības un trūkumi. Praksē tiek izmantoti visi trīs funkcijas norādīšanas veidi.

9. piemērs

Dota funkcija y = 2x2 - 3x +1.

Atradīsim: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).

Lai noteiktu funkcijas vērtību noteiktai argumenta vērtībai, šī argumenta vērtība ir jāaizstāj ar funkcijas analītisko formu. Tāpēc mēs iegūstam:

10. piemērs

Ir zināms, ka y(3 - x) = 2x2 - 4. Atradīsim: a) y(x); b) y(-2).

a) Apzīmēsim to ar burtu z = 3, tad x = 3 - z . Aizstāsim šo vērtību x šīs funkcijas analītiskajā formā y(3 - x) = 2x2 - 4 un iegūsim: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z) 2 - 4 vai y (z) = 2 (3 - z) 2 - 4, vai y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4 vai y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Tā kā nav nozīmes, ar kādu burtu funkcijas arguments tiek apzīmēts - z, x, t vai jebkuru citu, mēs uzreiz iegūstam: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Tagad ir viegli atrast y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

11. piemērs

Ir zināms, ka Atradīsim x(y).

Apzīmēsim ar burtu z = x - 2, tad x = z + 2 un pierakstiet problēmas stāvokli: vai Uz mēs rakstīsim tādu pašu nosacījumu argumentam (- z ): Ērtības labad mēs ieviešam jaunus mainīgos a = y (z) un b = y (- z ). Šādiem mainīgajiem mēs iegūstam lineāru vienādojumu sistēmu

Mūs interesē nezināmais a.

Lai to atrastu, mēs izmantojam algebriskās saskaitīšanas metodi. Tāpēc reiziināsim pirmo vienādojumu ar skaitli (-2), otro vienādojumu ar skaitli 3. Iegūstam:

Pievienosim šos vienādojumus:kur Tā kā funkcijas argumentu var apzīmēt ar jebkuru burtu, mums ir:

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka līdz 9. klases beigām tika pētītas šādas īpašības un diagrammas:

a) lineārā funkcija y = kx + m (grafiks ir taisna līnija);

b) kvadrātfunkcija y = ax2 + b x + c (grafiks - parabola);

c) daļēja lineāra funkcija(grafiks - hiperbola), jo īpaši funkcijas

d) jaudas funkcija y = xa (jo īpaši funkcija

e) funkcijas y = |x|.

Tālākai materiāla izpētei iesakām atkārtot šo funkciju īpašības un grafikus. Turpmākajās nodarbībās tiks apskatītas grafiku konvertēšanas pamatmetodes.

1. Definējiet skaitlisku funkciju.

2. Paskaidrojiet, kā definēt funkciju.

3. Ko sauc par kopu A un savienību B?

4. Kādas funkcijas sauc par racionāliem veseliem skaitļiem?

5. Kādas funkcijas sauc par daļējām racionālajām? Kāda ir šādu funkciju definīcijas joma?

6. Ko sauc par funkcijas grafiku f(x)?

7. Norādiet galveno funkciju īpašības un grafikus.

IV. Nodarbības uzdevums

§ 1, Nr.1 ​​(a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( a ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.

V. Mājas darbs

§ 1, Nr.1 ​​(b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Radošie uzdevumi

1. Atrodiet funkciju y = f(x), ja:

Atbildes:

2. Atrodiet funkciju y = f(x), ja:

Atbildes:

VII. Nodarbību apkopošana

Viņiem ir daudz īpašību:

1. Funkcija tiek izsaukta vienmuļš noteiktā intervālā A, ja tas šajā intervālā palielinās vai samazinās

2. Funkcija tiek izsaukta pieaug noteiktā intervālā A, ja kādam no to kopas A skaitļiem ir izpildīts šāds nosacījums:.

Palielinošās funkcijas grafikam ir īpaša iezīme: pārvietojoties pa x asi no kreisās uz labo pa intervālu A grafika punktu ordinātas palielinās (4. att.).

3. Funkcija tiek izsaukta samazinās ar kādu intervālu A, ja kādiem skaitļiem to ir daudz A nosacījums ir izpildīts:.

Samazinošas funkcijas grafikam ir īpaša iezīme: pārvietojoties pa x asi no kreisās uz labo pa intervālu A grafika punktu ordinātas samazinās (4. att.).

4. Funkcija tiek izsaukta pat kādā komplektā X, ja nosacījums ir izpildīts: .

Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret ordinātu asi (2. att.).

5. Funkcija tiek izsaukta nepāra kādā komplektā X, ja nosacījums ir izpildīts: .

Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret izcelsmi (2. att.).

6. Ja funkcija y = f(x)
f(x) f(x), tad viņi saka, ka funkcija y = f(x) pieņem mazākā vērtība plkst=f(x) plkst X= x(2. att., funkcija iegūst mazāko vērtību punktā ar koordinātām (0;0)).

7. Ja funkcija y = f(x) ir definēts uz kopas X un pastāv tāda, ka jebkurai nevienādībai f(x) f(x), tad viņi saka, ka funkcija y = f(x) pieņem augstākā vērtība plkst=f(x) plkst X= x(4. att., funkcijai nav lielākās un mazākās vērtības) .

Ja šai funkcijai y = f(x) visas uzskaitītās īpašības ir izpētītas, tad viņi tā saka pētījums funkcijas.

n1.doc

OGOI SPO Rjazaņas pedagoģiskā koledža

KOPSAVILKUMS

Tēma: “Ciparu funkcijas un to īpašības. Tiešas un apgriezti proporcionālas attiecības"

Titova Jeļena Vladimirovna

Specialitāte: 050709 “Mācības sākumskolā ar papildapmācību pirmsskolas izglītības jomā”

Kurss: 1 Grupa: 2

Nodaļa: skola

Vadītāja: Pristupļuka Olga Nikolajevna
Rjazaņa

Ievads…………………………………………………………………………………3
Teorētiskā daļa

1. 
   Skaitliskās funkcijas

1.2. Funkciju noteikšanas metodes……………………………………………….6
1.3. Funkciju īpašības………………………………………………………7
2. Tiešās un apgrieztās proporcionālās attiecības

2.1 Tiešās proporcionalitātes jēdziens…………………..9
2.2. Tiešas proporcionālās atkarības īpašības……………………………………………….10
2.3. Apgrieztās proporcionalitātes jēdziens un tā īpašības…………………………………………………………………
Praktiskā daļa

3.1 Funkcionālā propedeitika matemātikas sākumkursā....11

3.2 Proporcionāli atkarīgu lielumu problēmu risināšana……18
Secinājums…………………………………………………………………21

Literatūras saraksts………………………………..22

Ievads

Matemātikā funkcijas ideja parādījās kopā ar kvantitātes jēdzienu. Tas bija cieši saistīts ar ģeometriskiem un mehāniskiem jēdzieniem. Terminu funkcija (no latīņu valodas — izpilde) pirmo reizi ieviesa Leibnics 1694. gadā. Pēc funkcijas viņš saprata abscises, ordinātas un citus segmentus, kas saistīti ar punktu, kas apraksta noteiktu līniju.
18. gadsimta pirmajā pusē. notika pāreja no funkcijas jēdziena vizuāla attēlojuma uz analītisko definīciju. Šveices matemātiķis Johans Bernulli un pēc tam akadēmiķis Leonhards Eilers uzskatīja, ka funkcija

Šis analītiskā izteiksme, sastāv no mainīgā un konstantes.

Citiem vārdiem sakot, funkciju izsaka ar dažāda veida formulām: y=ax+b, y= =axІ+bx+c utt.
Šodien mēs zinām, ka funkciju var izteikt ne tikai matemātiskā valodā, bet arī grafiski. Šīs metodes atklājējs bija Dekarts. Šim atklājumam bija milzīga nozīme matemātikas tālākajā attīstībā: notika pāreja no punktiem uz skaitļiem, no taisnēm uz vienādojumiem, no ģeometrijas uz algebru. Tādējādi kļuva iespējams atrast kopīgus problēmu risināšanas paņēmienus.
Savukārt, pateicoties koordinātu metodei, radās iespēja attēlot ģeometriski dažādas atkarības.
Tādējādi grafiki sniedz vizuālu lielumu attiecību raksturu, tos bieži izmanto dažādās zinātnes un tehnikas jomās.

Galvenās tendences mūsdienu skolu izglītības attīstībā izpaužas humanizācijas, humanitarizācijas, uz darbību un personību orientētā pieejā izglītības procesa organizēšanā.

Matemātikas mācīšanas pamatos vidusskolās priekšplānā izvirzās mācīšanas attīstošās funkcijas prioritātes princips.

Līdz ar to skaitliskās funkcijas jēdziena izpēte pamatskolā ir diezgan nozīmīga sastāvdaļa skolēnu matemātisko jēdzienu veidošanā. Sākumskolas skolotājam ir jākoncentrējas uz šī jēdziena izpēti, jo pastāv tieša saikne starp funkciju un daudzām cilvēka darbības jomām, kas vēlāk palīdzēs bērniem iekļūt zinātnes pasaulē.

Turklāt , Studenti, kā likums, formāli uztver funkcijas jēdziena definīciju un viņiem nav holistiskas izpratnes par funkcionālo atkarību, t.i. nevar pielietot savas zināšanas matemātisko un praktisko problēmu risināšanā; saistīt funkciju tikai ar analītisko izteiksmi, kurā mainīgais plkst izteikts ar mainīgo X; nevar interpretēt funkciju attēlojumus dažādos modeļos; ir grūti izveidot funkciju grafikus, pamatojoties uz to īpašībām utt.

Šo grūtību cēloņi ir saistīti ne tikai un ne tik daudz ar funkcionālā materiāla apguves metodiku algebras kursā, bet gan ar studentu domāšanas negatavību uztvert un asimilēt jēdzienu “funkcija”.
Tas nozīmē, ka pirms jēdziena “funkcija” ieviešanas ir jāveic darbs pie funkcionālās domāšanas prasmju veidošanas, lai “brīdī, kad studentu apziņā jāienāk vispārējai funkcionālās atkarības idejai, šī apziņa būs pietiekami sagatavota saturīgai un efektīvai, nevis tikai formālai jaunas koncepcijas un ar to saistīto ideju un prasmju uztverei” (A.Ya. Khinchin)

1. Skaitliskās funkcijas

1.1. Funkcionālās atkarības jēdziena attīstība matemātikā

Analizēsim pedagoģisko ideju attīstības gaitu matemātikas svarīgākās sastāvdaļas - funkcionālās atkarības - mācīšanas jomā.

Skolas matemātikas kursa funkcionālā līnija ir viens no vadošajiem kursiem algebrā, algebrā un analīzes pirmsākumos. Šīs līnijas mācību materiāla galvenā iezīme ir tāda, ka ar tā palīdzību jūs varat izveidot dažādas saiknes matemātikas mācīšanā.

Vairāku gadsimtu laikā funkcijas jēdziens ir mainījies un pilnveidojies. Funkcionālās atkarības izpētes nepieciešamība skolas matemātikas kursā ir bijusi pedagoģiskās preses uzmanības centrā kopš 19. gadsimta otrās puses. Šim jautājumam lielu uzmanību pievērsa tādi pazīstami metodologi kā M.V.Šklarevičs, S.I.Serdobinskis, V.P.
Funkcionālās atkarības idejas attīstība noritēja vairākos posmos:

Pirmais posms- funkcijas jēdziena ieviešanas posms (galvenokārt ar analītisko izteiksmi) skolas matemātikas kursā.

Otrā fāze Funkcijas jēdziena ieviešanu vidusskolas algebras kursā galvenokārt raksturo pāreja uz funkcionālās atkarības grafisku attēlojumu un pētīto funkciju klāsta paplašināšana.

Trešais posms Krievu skolas attīstība sākās 20. gados. divdesmitais gadsimts. Padomju perioda metodiskās literatūras analīze parādīja, ka funkcijas jēdziena ieviešanu skolas matemātikas kursā pavadīja karstas diskusijas, un tas ļāva identificēt četras galvenās problēmas, par kurām metodiķu vidū bija viedokļu atšķirības, proti:

1) studentu funkcijas jēdziena izpētes mērķis un nozīme;

2) pieejas funkcijas definēšanai;

3) funkcionālās propedeitikas jautājums;

4) funkcionālā materiāla vieta un apjoms skolas matemātikas kursā.

Ceturtais posms sakarā ar RSFSR ekonomikas pāreju uz plānveida pamatu

1934. gadā skola saņēma pirmo stabilo A. P. Kiseļeva mācību grāmatu “Algebra”, kas A. P. Barsukova redakcijā tika pārstrādāta divās daļās.

Tās otrajā daļā bija sadaļas “Funkcijas un to grafiki”, “Kvadrātfunkcija”. Papildus sadaļā “Grādu jēdziena vispārināšana” tika aplūkota eksponenciālā funkcija un tās grafiks, bet sadaļā “Logaritmi” – logaritmiskā funkcija un tās grafiks.

Tieši tajā funkcija tika definēta, izmantojot mainīga lieluma jēdzienu: "Mainīgo lielumu, kura skaitliskās vērtības mainās atkarībā no cita skaitliskām vērtībām, sauc par atkarīgo mainīgo vai funkciju cits mainīgs daudzums. Tomēr tā neatspoguļo korespondences ideju un nav pieminēta analītiska izteiksme, kas ļauj secināt, ka šai definīcijai ir būtisks trūkums.
Šai problēmai savos darbos pievērsa lielu uzmanību I. Ja.

Zinātnieks uzskatīja, ka funkcijas idejas veidošanās ir formālisma izpausme mācībā. Viņš uzskatīja, ka vidusskolā funkcijas jēdziens jāmāca, pamatojoties uz korespondences jēdzienu.

Šo periodu raksturo nepietiekams laiks funkciju apguvei, nepārdomātas vingrojumu sistēmas, studentu neizpratne par funkcijas jēdziena patieso būtību un zems skolas absolventu funkcionālo un grafisko prasmju līmenis.

Tādējādi atkal radusies nepieciešamība reformēt matemātikas mācīšanu vidusskolās. Visas skolas matemātikas pārstrukturēšana, pamatojoties uz kopu teorētisko pieeju, iezīmēja funkcionālās atkarības idejas attīstības piekto posmu. Kopas teorētiskās pieejas ideju uzņēmās franču zinātnieku grupa, kas apvienojās ar pseidonīmu Nikolass Burbaki. Roimontā (Francija, 1959) notika starptautiska sanāksme, kurā tika pasludināts par visu konvencionālo kursu gāšanu. Uzmanības centrā bija visas skolas matemātikas struktūras un apvienojumi, kas balstīti uz kopu teoriju.

Svarīga loma reformu ideju izstrādē bija V. L. Gončarova rakstiem, kuros autors norādīja uz agrīnas un ilgtermiņa funkcionālās propedeitikas nozīmi, kā arī ierosināja izmantot vingrinājumus, kas sastāv no vairāku iepriekš noteiktu uzdevumu veikšanas. ciparu aizstāšana vienā un tajā pašā burtu izteiksmē.

Programmu un mācību grāmatu stabilizēšanās radīja augsni pozitīvām izmaiņām skolēnu funkcionālo zināšanu kvalitātē. Sešdesmito gadu beigās un septiņdesmito gadu sākumā līdz ar negatīvām atsauksmēm presē sāka parādīties tādi, kas atzīmēja zināmu uzlabošanos skolas absolventu zināšanās par funkcijām un grafikiem. Tomēr kopējais skolēnu matemātiskās attīstības līmenis kopumā palika nepietiekams. Skolas matemātikas kursos joprojām pārmērīgi daudz laika tika veltīts oficiālajai sagatavošanai un netika pievērsta pietiekama uzmanība skolēnu spēju attīstīšanai patstāvīgi mācīties.

1. 
   1.2. Funkciju noteikšanas metodes

Tātad, ciparu funkcija ir atbilstība starp reālu skaitļu skaitlisko kopu R, kurā katrs skaitlis no kopas X atbilst vienam skaitlim no kopas R.

Attiecīgi X apzīmē funkcijas definīcijas domēnu (DOF).

Pati funkcija tiek apzīmēta ar latīņu alfabēta mazajiem burtiem (f, d, e, k).

Ja kopai X ir dota funkcija f, tad reālais skaitlis y, kas atbilst skaitlim x no kopas X, tiek apzīmēts kā f(x) (y=f(x)).

Mainīgais x tiek izsaukts arguments. Tiek izsaukta f(x) formas skaitļu kopa visiem x funkciju diapazonsf.

Visbiežāk funkcijas tiek norādītas ar dažāda veida formulām: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, kur x ir reāls skaitlis, y ir atbilstošais vienskaitlis.

Tomēr ar vienu formulu jūs varat iestatīt ķekars funkcijas, kuru atšķirību nosaka tikai definīcijas joma:

Y= 2x-3, kur x pieder reālo skaitļu kopai un y=2x-3,

X - piederība naturālo skaitļu kopai.

Bieži vien, norādot funkciju, izmantojot formulu, OOF nav norādīts (OOF ir izteiksmes f(x) definīcijas domēns).

Diezgan ērti ir arī vizuāli attēlot skaitliskās funkcijas, t.i. izmantojot koordinātu plakni.
1.3. Funkciju īpašības.

Tāpat kā daudzām citām, ciparu funkcijām ir šādas īpašības:

Palielināšana, samazināšanās, monotonitāte, funkcijas definīcijas un vērtības apgabals, ierobežotība un neierobežotība, pāra un nepāra, periodiskums.

Domēns un funkciju klāsts.

Elementārajā matemātikā funkcijas tiek pētītas tikai uz reālo skaitļu kopas R. Tas nozīmē, ka funkcijas arguments var ņemt tikai tās reālās vērtības, kurām funkcija ir definēta, t.i. tā arī pieņem tikai īstas vērtības. Argumenta x visu pieļaujamo reālo vērtību kopu X, kurai ir definēta funkcija y = f(x), sauc par funkcijas domēnu. Visu y reālo vērtību kopu Y, ko izmanto funkcija, sauc par funkcijas diapazonu. Tagad mēs varam sniegt precīzāku funkcijas definīciju: kopu X un Y atbilstības noteikums (likums), saskaņā ar kuru katram elementam no kopas X var atrast vienu un tikai vienu elementu no kopas Y, ir. sauc par funkciju.

Funkciju uzskata par definētu, ja: ir norādīts funkcijas X definīcijas apgabals; ir norādīts funkcijas Y vērtību diapazons; atbilstības likums (likums) ir zināms un tāds, ka katrai argumenta vērtībai var atrast tikai vienu funkcijas vērtību. Šī funkcijas unikalitātes prasība ir obligāta.
Ierobežotas un neierobežotas funkcijas. Funkciju sauc par ierobežotu, ja ir tāds pozitīvs skaitlis M, ka | f(x) | M visām x vērtībām. Ja šāda numura nav, tad funkcija ir neierobežota.

Pāra un nepāra funkcijas. Ja uz jebkuru x no funkcijas definīcijas apgabala ir spēkā: f (- x) = f (x), tad funkciju sauc par pāra; ja notiek: f (- x) = - f (x), tad funkciju sauc par nepāra. Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret Y asi (5. att.), bet nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi (6. att.).

Periodiska funkcija. Funkcija f (x) ir periodiska, ja ir skaitlis T, kas atšķiras no nulles, un jebkuram x no funkcijas definīcijas domēna ir spēkā sekojošais: f (x + T) = f (x). Šo mazāko skaitli sauc par funkcijas periodu. Visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas.

Bet vissvarīgākā īpašība mācīšanās funkcijai sākumskolas klasēs ir monotons.

Monotoniska funkcija. Ja jebkurām divām argumenta x1 un x2 vērtībām nosacījums x2 > x1 nozīmē f (x2) > f (x1), tad funkcija | f(x) | sauc par pieaugošu; ja jebkuram x1 un x2 nosacījums x2 > x1 nozīmē f (x2)
2. Tiešās un apgrieztās proporcionālās attiecības.
2.1 Tiešās proporcionalitātes jēdziens.

Pamatskolā funkcija izpaužas tiešu un apgriezti proporcionālu attiecību veidā.

Tiešā proporcionalitāte- tas ir, pirmkārt, funkcija, ko var dot, izmantojot formulu y=kx, kur k ir reāls skaitlis, kas nav nulle. Funkcijas nosaukums y = kx ir saistīts ar mainīgajiem x un y, kas ietverti šajā formulā. Ja attieksme divi lielumi ir vienādi ar kādu skaitli, kas atšķiras no nulles, tad tos sauc tieši proporcionāls.

K ir proporcionalitātes koeficients.

Kopumā funkcija y=kx ir matemātisks modelis daudzām reālām situācijām, kas aplūkotas sākotnējā matemātikas kursā.

Piemēram, pieņemsim, ka vienā iepakojumā ir 2 kg miltu, un tika iegādāti x šādi iepakojumi, tad visa iegādātā miltu masa ir y. To var uzrakstīt kā formulu šādi: y=2x, kur 2=k.
2.2 Tiešās proporcionalitātes īpašības.

Tiešai proporcionalitātei ir vairākas īpašības:

• 
  Funkcijas y=kx definīcijas apgabals ir reālo skaitļu kopa R;
• 
  Tiešās proporcionalitātes grafiks ir taisna līnija, kas iet caur sākuma punktu;
• 
  Ja k>0, funkcija y=kx palielinās visā definīcijas domēnā (k
• 
  Ja funkcija f ir tiešā proporcionalitāte, tad (x1,y1),(x2,y2) ir atbilstošo mainīgo x un y pāri, kur x nav vienāds ar nulli, kas nozīmē x1/x2=y1/y2.

xvairākas reizes atbilstošā pozitīvā vērtība y palielinās (samazinās) par tādu pašu summu.

2.3. Apgrieztās proporcionalitātes jēdziens.
Apgrieztā proporcionalitāte-Šo funkcija, ko var dot, izmantojot formulu y=k/x, kur k ir reāls skaitlis, kas nav nulle. Funkcijas nosaukums y = k/x ir saistīts ar mainīgajiem x un y, kuru reizinājums ir vienāds ar kādu reālu skaitli, kas nav vienāds ar nulli.

Apgrieztās proporcionalitātes īpašības:

• 
  Funkcijas y=k/x definīcijas domēns un vērtību diapazons ir reālo skaitļu kopa R;
• 
  Tiešās proporcionalitātes grafiks – hiperbola;
• 
  Kad k 0 attiecīgi samazinās visā definīcijas jomā, atzaro - uz leju)
• 
  Ja funkcija f ir apgrieztā proporcionalitāte, tad (x1,y1),(x2,y2) ir atbilstošo mainīgo x un y pāri, kur x nav vienāds ar nulli, kas nozīmē x1/x2=y2/y1.

Ja mainīgo lielumu vērtībasxUnytad būs pozitīvi reālie skaitļi

ar pieaugošu (samazinošu) mainīgoxvairākas reizes atbilstošā y vērtība samazinās (palielinās) par tādu pašu summu.

Praktiskā daļa
3.1. Funkcionālā propedeitika matemātikas sākotnējā kursā

Funkcionālās atkarības jēdziens ir viens no vadošajiem matemātikas zinātnē, tāpēc šī jēdziena veidošana skolēnu vidū ir svarīgs uzdevums skolotāja mērķtiecīgā darbībā, lai attīstītu bērnu matemātisko domāšanu un radošo darbību. Funkcionālās domāšanas attīstība paredz, pirmkārt, spēju atklāt jaunas sakarības un apgūt vispārizglītojošos paņēmienus un prasmes.

Sākotnējā matemātikas kursā nozīmīga loma ir jāvelta funkcionālajai propedeitikai, kas paredz sagatavot studentus sistemātisku algebras un ģeometrijas kursu apguvei, kā arī ieaudzināt viņos domāšanas dialektiskumu, izpratni par cēloņsakarībām starp apkārtējās realitātes parādības. Šajā sakarā mēs iezīmēsim galvenos propedeitiskā darba virzienus priekšmeta mācīšanas sākotnējā posmā saskaņā ar L.G. Pētersons:

Kopu jēdziens, divu kopu elementu atbilstība un funkcijas. Aritmētisko darbību rezultātu atkarība no komponentu izmaiņām.

Tabulas, verbālās, analītiskās, grafiskās funkcijas noteikšanas metodes.

Lineārā atkarība.

Koordinātu sistēma, pirmā un otrā koordināte, sakārtots pāris.

Vienkāršāko kombinatorisko uzdevumu risināšana: sastādīt un saskaitīt iespējamo permutāciju skaitu, ierobežotas kopas elementu apakškopas.

Izmantojot sistemātisku viena un divu mainīgo dabisko vērtību uzskaitīšanu, risinot zemes gabala problēmas.

Tabulu aizpildīšana ar aritmētiskiem aprēķiniem, datiem no pielietoto uzdevumu nosacījumiem. Datu atlase no tabulas pēc nosacījuma.

Proporcionālo daudzumu attiecības; to grafiku lietišķā izpēte.

Sākotnējā matemātikas kursa saturs ļauj studentiem veidot izpratni par vienu no svarīgākajām matemātikas idejām - atbilstības ideja.Veidojot uzdevumus izteicienu nozīmju meklēšanai un aizpildot tabulas, studenti konstatē, ka katrs skaitļu pāris atbilst ne vairāk kā vienam rezultātā iegūtam skaitlim. Tomēr, lai to saprastu, ir jāanalizē tabulu saturs.

Izveidojiet visus iespējamos piemērus, kā pievienot divus viencipara skaitļus ar atbildi 12.

Veicot šo uzdevumu, skolēni izveido attiecības starp divām terminu vērtību kopām. Noteiktā atbilstība ir funkcija, jo katra pirmā vārda vērtība atbilst vienai otrā vārda vērtībai ar nemainīgu summu.

Vāzē ir 10 āboli. Cik ābolu paliks, ja paņemsiet 2 ābolus? 3 āboli? 5 āboli? Ierakstiet risinājumu tabulā. No kā ir atkarīgs rezultāts? Par cik vienībām tas mainās? Kāpēc?

Šī problēma faktiski parāda funkciju plkst = 10 - X, kur mainīgais Xņem vērtības 2, 3, 5. Šī uzdevuma izpildes rezultātā studentiem jāsecina: jo lielāka apakšdaļa, jo mazāka atšķirība.

Funkcionālās sarakstes ideja ir arī tādos vingrinājumos kā:

Savienojiet ar bultiņu matemātiskās izteiksmes un atbilstošās skaitliskās vērtības:

15 + 6 27 35

Ievads burtu simboliļauj iepazīstināt studentus ar svarīgākajiem mūsdienu matemātikas jēdzieniem - mainīgais, vienādojums, nevienlīdzība, kas veicina funkcionālās domāšanas attīstību, jo ideja par funkcionālo atkarību ir cieši saistīta ar tiem. Strādājot ar mainīgo, skolēni saprot, ka izteiksmē iekļautie burti var iegūt dažādas skaitliskās vērtības, un pati burtu izteiksme ir vispārināts skaitlisko izteiksmju apzīmējums.

Studentu pieredze saziņā ar vingrinājumiem uz skaitļu secību modeļu noteikšana un to turpinājums:

1, 2, 3, 4… (plkst = X + 1)

1, 3, 5, 7… (plkst= 2 · X + 1)

Koncepcija daudzumus, kopā ar skaitļa jēdzienu, ir sākotnējā matemātikas kursa galvenais jēdziens. Šīs sadaļas materiāls ir bagātīgs avots netiešās funkcionālās propedeitikas īstenošanai. Pirmkārt, tā ir atkarība (apgriezti proporcionāla) starp izvēlēto daudzuma vienību (mēru) un tās skaitlisko vērtību (mēru) - jo lielāks mērs, jo mazāks skaitlis, kas iegūts daudzuma mērīšanas rezultātā ar šo mēru. Tāpēc ir svarīgi, lai studenti, strādājot ar katru lielumu, iegūtu pieredzi lielumu mērīšanā ar dažādiem etaloniem, lai apzināti izvēlētos vispirms ērtu, bet pēc tam vienu mērījumu.

Otrkārt, pētot pārvietošanās, darba, pirkšanas un pārdošanas procesus raksturojošos daudzumus, veidojas priekšstati par ātruma, laika un attāluma, cenas, daudzuma un pašizmaksas attiecībām sekojošu veidu tekstproblēmu risināšanas procesā - samazinājums uz vienotība (ceturtā atrašana proporcionāla) , nezināmā atrašana pēc divām atšķirībām, proporcionālais dalījums.

Studentiem ir īpaši grūti saprast saistību starp šiem lielumiem, jo ​​jēdziens “proporcionālā atkarība” nav īpašas izpētes un asimilācijas priekšmets. Programmā L.G. Pētersons metodiski atrisina šo problēmu, izmantojot šādas metodes:

- Problēmu risināšana ar trūkstošiem datiem (“atvērts” nosacījums):

Vasjas mājas skola ir 540 m, bet Pasha ir 480 m. Kurš dzīvo tuvāk? Kurš tur nokļūs ātrāk?

Saša nopirka piezīmju grāmatiņas par 30 rubļiem un zīmuļus par 45 rubļiem. Kurām lietām viņš iztērēja visvairāk naudas? Kādas preces viņš nopirka vairāk?

Analizējot šo problēmu tekstus, skolēni atklāj, ka viņiem trūkst datu un atbildes uz jautājumiem ir atkarīgas no cenas un ātruma.

- Uzdevumu nosacījumu fiksēšana ne tikai tabulā (kā piedāvāts klasiskajā metodē), bet arī diagrammas veidā. Tas ļauj “vizualizēt” problēmā aplūkotās atkarības. Tātad, ja kustīgi objekti dažādos laikos (2 stundas, 3 stundas, 4 stundas, 6 stundas) veic vienu un to pašu attālumu 12 km, tad, izmantojot diagrammu, tiek skaidri interpretēta apgrieztā sakarība - jo vairāk daļu (laika), jo mazāka katra. daļa (ātrums).

- Mainiet vienu no uzdevuma datiem un salīdziniet uzdevumu risināšanas rezultātus.

Uz skolas ēdnīcu tika atvesti 48 kg ābolu. Cik kastes viņi varētu atvest, ja visās kastēs būtu vienāds daudzums ābolu?

Studenti aizpilda uzdevuma nosacījumus un fiksē lielumu attiecības, izmantojot dažādus teorētisko zināšanu strukturēšanas līdzekļus - tabulā, diagrammā un mutiski.

Šeit ir lietderīgi pievērst uzmanību aplūkojamo daudzumu daudzkārtējai attiecībai - cik reižu lielāks ir viens no daudzumiem, tikpat reižu lielāks (mazāks) ir otrs, trešajam ir nemainīgs.

Pamatskolā skolēni tiek netieši iepazīstināti ar tabulu, analītisku, verbālu, grafisku funkciju noteikšanas metodes.

Piemēram, attiecības starp ātrumu, laiku un attālumu var izteikt:

A) mutiski: “lai atrastu attālumu, ātrums jāreizina ar laiku”;

B) analītiski: s= v t;

B) tabula: v =5 km/h

d) grafiski (izmantojot koordinātu staru vai leņķi).

Grafisks veids, kā norādīt atkarību starp v, t, sļauj veidot priekšstatu par ātrumu kā kustīga objekta atrašanās vietas maiņu laika vienībā (kopā ar vispārpieņemto - kā nobraukto attālumu laika vienībā) un kustības grafiku salīdzinājumu no diviem ķermeņiem (kas pārvietojas neatkarīgi viens no otra) precizē priekšstatu par ātrumu kā lielumu, kas raksturo kustības ātrumu.

Saliktās skaitliskās izteiksmes(ar un bez iekavām), to vērtību aprēķināšana saskaņā ar darbību secības noteikumiem ļauj studentiem saprast, ka rezultāts ir atkarīgs no darbību veikšanas secības.

Sakārtojiet iekavas, lai izveidotu pareizus vienādības.

20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26

Veicot L.G. Pētersons, studenti tiek netieši iepazīstināti lineārā atkarība, kā funkcijas īpašs gadījums. Šo funkciju var norādīt ar formas formulu plkst= kh + b, Kur X- neatkarīgais mainīgais, k Un b- cipari. Tās domēns ir visu reālo skaitļu kopa.

Nobraucis 350 kilometrus, vilciens sāka braukt t stundas ar ātrumu 60 km/h. Cik kilometrus vilciens kopumā nobrauca?(350 + 60 · t)

Pildot uzdevumus ar nosauktajiem skaitļiem, skolēni apzinās atkarību lielumu skaitliskās vērtības, izmantojot dažādas mērvienības.

Tas pats segments tika mērīts vispirms centimetros, pēc tam decimetros. Pirmajā gadījumā saņēmām par 135 vairāk nekā otrajā. Kāds ir segmenta garums centimetros? (Atkarība= 10 · X)

Sākotnējā matemātikas kursa apguves procesā studenti veido jēdzienu par naturālu skaitļu virkni, naturālas rindas segmentu, asimilē naturālas skaitļu sērijas īpašības - bezgalību, sakārtotību utt. ideja par iespēju neierobežoti palielināt dabisko skaitu vai samazināt tā daļu.

Matemātikas kursā 3.-4.klasei liela uzmanība tiek pievērsta skolēnu mācīšanai lietot formulas, to neatkarīgais secinājums. Šeit ir svarīgi iemācīt studentiem vienu un to pašu informāciju pasniegt dažādās formās - grafiski un analītiski, dodot studentiem tiesības izvēlēties formu atbilstoši saviem kognitīvajiem stiliem.

Studentus īpaši interesē uzdevumi, kas saistīti ar mainīgo vērtību tabulu analīzi, atkarību “atklāšanu” starp tām un pierakstīšanu kā formulas.

Analizējot tabulā uzrādītos skaitļus, skolēni viegli pamana, ka skaitļi pirmajā rindā palielinās par vienu, bet otrajā rindā skaitļi palielinās par četriem. Skolotāja uzdevums ir pievērst uzmanību sakarībai starp mainīgo lielumu vērtībām A Un b. Lai nostiprinātu matemātiskās izglītības lietišķo ievirzi, šī situācija ir “jāatdzīvina” un jāpārceļ sižeta statusā.

Lai attīstītu studentu spēju atvasināt formulas, jums jāiemāca viņiem rakstīt dažādus apgalvojumus matemātiskā valodā (vienādību veidā):

Pildspalva ir trīs reizes dārgāka nekā zīmulis ( R = Uz + 3);

Numurs A Dalot ar 5, atlikums ir 2 ( A= 5 · b + 2);

Taisnstūra garums ir par 12 cm lielāks nekā platums ( A = b + 12).

Priekšnoteikums ir apspriest iespējamos šo daudzumu vērtību variantus un aizpildīt atbilstošās tabulas.

Īpaša vieta gaitā L.G. Pētersons uzņemas uzdevumus, kas saistīti ar matemātiskie pētījumi:

Atveidojiet skaitli 16 kā divu faktoru reizinājumu dažādos veidos. Katrai metodei atrodiet faktoru summu. Kurā gadījumā tika iegūta mazākā summa? Dariet to pašu ar skaitļiem 36 un 48. Kāds ir jūsu minējums?

Pildot līdzīgus uzdevumus (pētīt sakarību starp daudzstūra leņķu skaitu un leņķu pakāpes mēru kopējo vērtību, starp dažādu formu figūru ar vienādu laukumu perimetra vērtību u.c.), skolēni pilnveido savas spējas. prasmes darbā ar tabulu, jo ir ērti ierakstīt risinājumu tabulā. Turklāt risinājuma fiksēšanas tabulas metode tiek izmantota, risinot nestandarta matemātikas uzdevumus, izmantojot sakārtotas meklēšanas vai racionālas atlases metodi.

Klasē mācās 13 bērni. Zēniem ir tik daudz zobu, cik meitenēm ir roku un kāju pirkstu. Cik zēnu un cik meiteņu ir klasē? (Katram zēnam ir tieši 32 zobi).

Matemātikas mācīšana pēc programmas L.G. Pētersons nodrošina, ka studenti saprot aritmētisko darbību rezultātu un komponentu saistību un priekšstatu par aritmētisko darbību rezultāta izmaiņu “ātrums” atkarībā no komponentu izmaiņām:

Vingrinājumi par skaitļu kompozīciju;

Īpašas aprēķinu metodes (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);

Summas, starpības, reizinājuma, koeficienta novērtējums.

Veicot šādus uzdevumus, ir svarīgi sniegt informāciju multisensorā veidā.

Kā summa mainīsies, ja vienu vārdu palielina par 10, bet otru samazina par 5?

Kā mainīsies taisnstūra laukums (vai divu skaitļu reizinājums), ja vienu no malām (vienu no skaitļiem) palielinās par 3?

Ievērojama daļa studentu veic šādus uzdevumus, aizstājot noteiktas skaitliskās vērtības. Metodiski kompetents šajā situācijā būtu interpretēt nosacījumu grafiski un analītiski.

(A+ 3) · b = A· b+ 3 ·b

Funkcijas jēdziens vidusskolā ir saistīts ar koordinātu sistēma. Veicot L.G. Pētersons satur materiālu propedeitiskam darbam šajā virzienā:

Skaitliskais segments, skaitliskais stars, koordinātu stars;

Pitagora tabula, koordinātas plaknē (koordinātu leņķis);

Satiksmes grafiki;

Sektoru, joslu un līniju diagrammas, kas vizuāli attēlo attiecības starp diskrētiem daudzumiem.

Tātad, aritmētisko darbību izpēte, skaitļa palielināšana un samazināšana par vairākām vienībām vai vairākas reizes, attiecības starp komponentiem un aritmētisko darbību rezultātiem, uzdevumu risināšana par ceturtās proporcionālās atrašanu, par ātruma, laika un attāluma attiecību; cena, daudzums un vērtība; atsevišķas preces masa, to daudzums un kopējā masa; produktivitāte, laiks un darbs; utt., no vienas puses, veido pamatu funkcijas jēdziena veidošanai, un, no otras puses, tie tiek pētīti, pamatojoties uz funkcionāliem jēdzieniem. Jāatzīmē, ka grafiskajai modelēšanai ir diezgan liela propedeitiskā nozīme: problēmas apstākļu grafiskā interpretācija, zīmēšana, zīmēšana utt. Grafiskā veidā sniegtā informācija ir vieglāk uztverama, ietilpīga un diezgan nosacīta, paredzēta, lai sniegtu informāciju tikai par objekta būtiskām iezīmēm un attīstītu studentu grafiskās prasmes.

Turklāt funkcionālās atkarības propedeitikas rezultātam jābūt jaunāko skolēnu augstajai garīgajai aktivitātei, intelektuālo, vispārīgo priekšmetu un specifisko matemātisko prasmju attīstībai. Tas viss rada stabilu pamatu ne tikai primārās matemātikas metodisko problēmu risināšanai – skaitļošanas prasmju veidošanai, teksta uzdevumu risināšanas prasmei u.c., bet arī matemātiskā satura attīstības iespēju īstenošanai un, kas ne mazāk svarīgi, par sekmīgu funkciju apguvi vidusskolā.

3.2 Proporcionāli atkarīgu lielumu problēmu risināšana

Problēmas risināšana nozīmē izmantot loģiski pareizu darbību secību

un operācijas ar skaitļiem, daudzumiem, kas tieši vai netieši pieejami problēmā,

attiecības, lai izpildītu uzdevuma prasību (atbildiet uz tā jautājumu).

Galvenās no tām matemātikā ir: aritmētika Un

algebriskā veidi, kā atrisināt problēmas. Plkst aritmētika veidā

atbilde uz uzdevuma jautājumu tiek atrasta aritmētikas veikšanas rezultātā

darbības ar skaitļiem.

Dažādas aritmētiskās metodes vienas un tās pašas problēmas risināšanai ir atšķirīgas

attiecības starp datiem, datiem un nezināmajiem, datiem un meklēto,

kas ir pamatā aritmētisko darbību izvēlei vai secībai

izmantojot šīs attiecības, izvēloties darbības.

Vārdu uzdevuma risināšana, izmantojot aritmētiku, ir sarežģīta darbība.

izšķirošs. Tomēr tajā ir vairāki posmi:

1. Uzdevuma satura uztvere un analīze.

2. Meklēt un sastādīt plānu problēmas risināšanai.

3. Risinājuma plāna izpilde. Secinājuma formulēšana par prasības izpildi

uzdevumi (atbildēšana uz uzdevuma jautājumu).

4. Risinājuma pārbaude un kļūdu novēršana, ja tādas ir.

Proporcionālās dalīšanas problēmas tiek ieviesti dažādos veidos: jūs varat piedāvāt

lai atrisinātu gatavu problēmu, vai arī vispirms varat to sastādīt, pārveidojot problēmu

lai atrastu ceturto proporcionālo. Abos gadījumos risinājuma veiksme

proporcionālās dalīšanas problēmas noteiks stabila risināšanas spēja

ceturtās proporcionālās atrašanas problēmas, tāpēc kā

sagatavošanā jāietver atbilstoša veida problēmu risināšana

ceturtais proporcionāls. Tāpēc priekšroka dodama otrajam

minētie proporcionālā dalījuma problēmu ieviešanas varianti.

Pārejot uz gatavu uzdevumu risināšanu no mācību grāmatas, kā arī sastādītajām problēmām

skolotājs, ieskaitot dažādas daudzumu grupas, vispirms ir jānosaka, kuras

uzdevumā apspriestos daudzumus, pēc tam īsi ierakstiet problēmu tabulā,

iepriekš sadalot problēmas jautājumu divos jautājumos, ja tas satur vārdu

katrs. Parasti studenti patstāvīgi pabeidz risinājumu, analizē

notiek tikai ar atsevišķiem studentiem. Īsas piezīmes vietā varat izdarīt

zīmējums. Piemēram, ja problēma ir saistīta ar auduma gabaliem, stiepļu ruļļiem un

utt., tad tos var attēlot ar segmentiem, ierakstot atbilstošo skaitlisko skaitli

šo daudzumu vērtības. Ņemiet vērā, ka jums nevajadzētu katru reizi veikt īsu skrējienu.

ierakstīšana vai zīmēšana, ja skolēns pēc problēmas izlasīšanas zina, kā to atrisināt, tad

ļaujiet viņam izlemt, un tie, kuriem ir grūti izmantot īsu piezīmi vai zīmējumu

Lai atrisinātu uzdevumu. Pakāpeniski uzdevumiem vajadzētu kļūt sarežģītākiem, ieviešot

papildu dati (piemēram: “Pirmajā gabalā bija 16 m vielas, bet otrajā

2 reizes mazāk.”) vai uzdodot jautājumu (piemēram: “Cik metru

Vai pirmajā daļā bija vairāk matērijas nekā otrajā?).

Iepazīstoties ar nesamērīgās sadalīšanas problēmas risinājumu, varat doties

cits veids: vispirms atrisiniet gatavās problēmas un vēlāk izpildiet

ceturtā proporcionālā atrašanas problēmu pārveidojot par problēmu

proporcionālais dalījums un pēc to atrisināšanas salīdzināt gan pašas problēmas, gan

savus lēmumus.

Vingrinājumi palīdz vispārināt spēju risināt attiecīgā veida problēmas.

radošs raksturs. Nosauksim dažus no tiem.

Pirms tās risināšanas ir lietderīgi pajautāt, uz kuru no problēmas jautājumiem tiks atbildēts

lielāku skaitu un kāpēc, un pēc tam, kad ir pieņemts lēmums pārbaudīt, vai tas atbilst šim tipam

iegūtos skaitļus, kas būs viens no risinājuma pārbaudes veidiem. Jūs varat tālāk

noskaidrojiet, vai atbilde varēja radīt tādus pašus skaitļus un ar kādiem nosacījumiem.

Noderīgi vingrinājumi skolēniem, lai sastādītu problēmas un pēc tam tās atrisinātu,

un uzdevumu pārveidošanas vingrinājumi. Tas, pirmkārt, ir apkopojums

problēmas, kas līdzīgas atrisinātajai. Tātad, pēc daudzuma problēmas atrisināšanas: cena,

daudzums un izmaksas - piedāvājums sastādīt un atrisināt līdzīgu problēmu ar

vienādos daudzumos vai ar citiem, piemēram, ātrumu, laiku un attālumu.

Šis ir problēmu apkopojums to risināšanai, kas pierakstīts kā atsevišķi

darbības, un izteiksmes veidā ir problēmu apkopošana un risināšana atbilstoši tām

īss shematisks apzīmējums

1 veids:

X = 15*30 / 8 = 56 rubļi 25 kapeikas

2. metode: auduma daudzums ir palielinājies 15/8 reizes, kas nozīmē, ka viņi maksās 15/8 reizes vairāk naudas

X =30*15/8 = 56 rubļi 25 kapeikas

2. Kāds kungs pasauca galdnieku un lika viņam uzbūvēt pagalmu. Viņš iedeva viņam 20 strādniekus un jautāja, cik dienas viņi būvēs viņa pagalmu. Galdnieks atbildēja: 30 dienās. Bet meistaram to vajag uzcelt 5 dienās, un par to viņš jautāja galdniekam: cik cilvēku vajag, lai ar viņiem 5 dienās varētu uzbūvēt pagalmu; un galdnieks neizpratnē jautā tev, aritmētiķi: cik cilvēku viņam vajag nolīgt, lai 5 dienās uzbūvētu pagalmu?

Uz tāfeles ir uzrakstīts nepabeigts īss nosacījums:

I variants: proporcija

II variants: bez proporcijām

es

II. X = 20*6 = 120 strādnieki

3. Viņi paņēma 560 karavīrus ar pārtiku 7 mēnešus, bet viņiem lika dienēt 10 mēnešus, un viņi gribēja noņemt cilvēkus no sevis, lai pārtikas pietiktu 10 mēnešiem. Jautājums ir, cik cilvēku vajadzētu samazināt?

Sens uzdevums.

Atrisiniet šo problēmu bez proporcijām:

(Mēnešu skaits palielinās par koeficientu, kas nozīmē, ka karavīru skaits samazinās par koeficientu.

560 - 392 = 168 (karavīru skaits ir jāsamazina)

Senatnē, lai atrisinātu daudzu veidu problēmas, bija īpaši noteikumi to risināšanai. Pazīstamās tiešās un apgrieztās proporcionalitātes problēmas, kurās mums jāatrod ceturtā no trim divu lielumu vērtībām, tika sauktas par “trīskāršā noteikuma” problēmām.

Ja trim daudzumiem tika dotas piecas vērtības un bija jāatrod sestā, tad noteikumu sauca par "pieckāršu". Tāpat četriem daudzumiem bija “septiņgadu noteikums”. Problēmas, kas saistītas ar šo noteikumu piemērošanu, sauca arī par "sarežģītām trīskāršā noteikuma problēmām".

4. Trīs cāļi 3 dienās izdēja 3 olas. Cik olu 12 vistas izdēs 12 dienās?

Cik reizes ir pieaudzis cāļu skaits? (4 reizes)

Kā mainījās olu skaits, ja dienu skaits nemainījās? (palielināts 4 reizes)

Cik reizes ir palielinājies dienu skaits? (4 reizes)

Kā mainījās olu skaits? (palielināts 4 reizes)

X = 3 * 4 * 4 = 48 (olas)

5 . Ja rakstvedis var uzrakstīt 15 lapas 8 dienās, cik daudz rakstītāju būs nepieciešams, lai 9 dienās uzrakstītu 405 lapas?

(rakstu mācītāju skaits palielinās, palielinoties loksnēm, un samazinās

No darba dienu skaita palielināšanās (rakstu mācītāji)).

Apskatīsim sarežģītāku problēmu ar četriem daudzumiem.

6. 18 telpu apgaismošanai 48 dienās izlietotas 120 tonnas petrolejas, katrā telpā dega 4 lampas. Cik dienām pietiks 125 mārciņas petrolejas, ja 20 istabas ir apgaismotas un katrā istabā ir iedegtas 3 lampas?

Petrolejas lietošanas dienu skaits palielinās, palielinoties petrolejas daudzumam
reizes un samazinot lampu skaitu par koeficientu.

Palielinoties telpu skaitam, petrolejas lietošanas dienu skaits samazinās. 20 reizes.

X = 48 * * : = 60 (dienas)

Galīgā vērtība ir X = 60. Tas nozīmē, ka 125 mārciņas petrolejas ilgst 60 dienas.

Secinājums

Metodiskā sistēma funkcionālās atkarības izpētei pamatskolā, kas izstrādāta modulārās izglītības kontekstā, atspoguļo integritāti, ko veido galveno komponentu (mērķis, saturs, organizatoriskā, tehnoloģiskā, diagnostikas) un principu (modularitāte, apzināta perspektīva, atvērtība, mācīšanās fokuss uz studenta personības attīstību, metodiskās konsultēšanas daudzpusība).

Moduļu pieeja ir līdzeklis funkcionālās atkarības izpētes procesa pilnveidošanai sākumskolas skolēniem, kas ļauj: skolēniem apgūt funkcionālo zināšanu sistēmu un darbības metodes, praktiskās (darbības) iemaņas; skolotājs - attīstīt savu matemātisko domāšanu, pamatojoties uz funkcionālo materiālu, izkopt patstāvību mācībās.

Metodiskais atbalsts funkciju apguves procesam sākumskolā ir veidots, pamatojoties uz modulārām programmām, kas ir par pamatu fundamentālo modeļu noteikšanai, kas ir obligāti tēmas izpratnei, sekmīgai un pilnīgai mācību materiāla satura asimilācijai un apguvei. skolēni ar stabilām zināšanām, prasmēm un iemaņām.

Bibliogrāfija.

1. 
   Demidova T. E., Tonkikh A. P., Teksta uzdevumu risināšanas teorija un prakse: mācību grāmata. palīdzība studentiem augstāks ped. mācību grāmata iestādes. – M.: Izdevniecības centrs “Akadēmija”, 2002. -288 lpp.
2. 
   Frīdmens L. M. Matemātika: mācību grāmata pedagoģisko universitāšu un koledžu skolotājiem un studentiem. – M.: Skolas prese, 2002.- 208 lpp.
3. 
   Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Matemātikas sākotnējā kursa pamati: mācību grāmata. rokasgrāmata pedagoģijas studentiem. uch - sch on special. “Mācības vispārējās izglītības pamatklasēs. Šk." - M.: Izglītība, 1998.g. – 320. gadi.
4. 
   Stoilova L.P. Matemātika: mācību grāmata skolēniem. augstāks Ped. mācību grāmata iestādes. – M.: Izdevniecības centrs “Akakdemiya”, 1999. – 424 lpp.
5. 
   Pekhletsky I. D. Matemātika: mācību grāmata. – 2. izdevums stereotipisks – M.: Izdevniecības centrs “Akadēmija”; Meistarība, 2002. – 304 lpp.
6. 
   Krjučkova V.V. Darbs ar proporcionāliem daudzumiem attīstības režīmā: rokasgrāmata skolotājiem. nodarbības: 2. daļa / Rjazaņas reģionālais izglītības attīstības institūts. Rjazaņa, 1996. gads. – 75. gadi.
7. 
   Paduns T. A. Nestandarta uzdevumi elementārās matemātikas kursā: metodiskie. Ieteicams Lai palīdzētu sākumskolas skolotājiem / Ryaz. Novads Izglītības attīstības institūts. – Rjazaņa, 2003. – 85 lpp.
8. 
   Glezers G.I. Matemātikas vēsture skolā: IX – X klase. Rokasgrāmata skolotājiem. – M.: Izglītība, 1983. – 351 lpp., ill.
9. 
   Dorofejevs G.V. Humanitāro zinātņu kurss ir izglītības priekšmeta “Matemātika” pamats vidusskolā // Matemātika skolā. – 1997. - 4.nr. - 59.-66. lpp. 59.
10. 
    Aktuālās problēmas matemātikas mācībā sākumskolā. / Red. M.I. Moro, A.M. Pūšīgs. - M.: Pedagoģija, 1977. - 262 lpp.
11. 
    Bantova M.A., Beltjukova G.V. Matemātikas mācīšanas metodes sākumskolā. - M.: Pedagoģija, 1984. - 301 lpp.
12. 
    Davidovs V.V. Matemātika, 3. klase: Mācību grāmata 4-gadīgai pamatskolai. - M.: Izdevniecības centrs "Akadēmija", 1998. - 212 lpp.
13. 
    Moro M.I. un citi: Mācību grāmata trīsgadīgās pamatskolas 3. klasei un četrgadīgās pamatskolas 4. klasei. / Red. Kaljagina Yu.M. - M.: Izglītība, 1997. - 240 lpp.
14. 
    Pētersons L.G. Matemātika, 3. klase. 1., 2. daļa. Mācību grāmata 4-gadīgai pamatskolai. - M.: "Balass", 2001.