Teste e medição de materiais. Álgebra e princípios de análise: 10º ano / Comp. UM. Rurukin. - M.: VAKO, 2011. - 112 p. - (Materiais de teste e medição).
O manual apresenta materiais de teste e medição (KIM) em álgebra e análise básica para a 10ª série: testes no formato de tarefas do Exame Estadual Unificado, bem como trabalhos independentes e de teste sobre todos os tópicos estudados. As respostas são fornecidas para todas as tarefas. O material proposto permite testar conhecimentos por meio de diversas formas de controle.
A publicação é dirigida a professores, alunos e seus pais.
Contente
Do compilador........................................ 3
Requisitos para o nível de preparação dos alunos ............... 4
Concluindo tarefas e avaliando-as.................................. 4
Teste 1. Função. Domínio de definição e intervalo de valores de uma função......6
Teste 2. Propriedades básicas da função.......................... 8
Teste 3. Gráficos de funções............................................. ....... .............10
Teste 4. Generalização do tópico “Funções numéricas e suas propriedades”.................................... 12
Teste 5. Significados das expressões trigonométricas................16
Teste 6. Identidade trigonométrica básica. Fórmulas de redução...................18
Teste 7. Funções y = sinx e y = cosx........................................ ...20
Teste 8. Funções y = tgx e y = ctgx........................................ ............. .....22
Teste 9. Generalização do tópico “Funções trigonométricas” ... 24
Teste 10. Arco cosseno e arco seno. Resolvendo as equações cosx = a e senx = a...........28
Teste 11. Arcotangente e arcotangente. Resolvendo as equações tgx = a e ctgx = a...........30

Teste 12. As equações e inequações mais simples....................32
Teste 13. Generalização do tópico “Equações trigonométricas”.................................34
Teste 14. Funções de soma e diferença de argumentos.....................38
Teste 15. Fórmulas de argumento duplo.......................................... .....40
Teste 16. Convertendo somas de funções trigonométricas em produtos.................................42
Teste 17. Convertendo expressões trigonométricas... 44
Teste 18. Equações trigonométricas, sistemas de equações, inequações......46
Teste 19. Generalização do tópico “Transformação de expressões trigonométricas”................................48
Teste 20. Limite de consistência. Soma de uma progressão geométrica infinita........52
Teste 21. Limite de função. Definição de derivada.... 54
Teste 22. Cálculo de derivadas.......................................... .......56
Teste 23. Equação de uma tangente ao gráfico de uma função......58
Teste 24. Aplicação da derivada ao estudo de funções para monotonicidade e extremos....60
Teste 25. Usando a derivada para encontrar os maiores e menores valores de quantidades....62
Teste 26. Generalização do tópico “Derivada”.................................64
Teste 27. Final de acordo com o programa do 10º ano.........................68

Lições 1-2. Definição de uma função numérica e métodos para especificá-la

Alvo: discutir a definição de uma função e como defini-la.

I. Comunicar o tema e o propósito das aulas

II. Revisão do material do 9º ano

Vários aspectos deste tópico já foram abordados nas séries 7-9. Agora precisamos expandir e resumir as informações sobre as funções. Lembramos que o tema é um dos mais importantes para todo o curso de matemática. Serão cursadas diversas funções até a formatura e posteriormente em instituições de ensino superior. Este tópico está intimamente relacionado à resolução de equações, inequações, problemas de palavras, progressões, etc.

Definição 1. Sejam dados dois conjuntos de números reais D e E e a lei é indicada f segundo o qual cada número x∈D corresponde ao número singular você ∈ E (ver imagem). Então eles dizem que a função y = f(x ) ou y(x) com domínio de definição (O.O.) D e a área de mudança (O.I.) E. Neste caso, o valor x é chamado de variável independente (ou argumento da função), o valor y é chamado de variável dependente (ou valor da função).

Domínio de Função f denota D(f ). O conjunto formado por todos os números f(x ) (faixa de função f), denota E(f).

Exemplo 1

Considere a funçãoPara encontrar y para cada valor de x, você deve realizar as seguintes operações: subtrair o número 2 (x - 2) do valor de x, extrair a raiz quadrada desta expressãoe finalmente adicione o número 3O conjunto dessas operações (ou a lei segundo a qual o valor y é procurado para cada valor de x) é chamado de função y(x). Por exemplo, para x = 6 encontramosAssim, para calcular a função y em um determinado ponto x, é necessário substituir esse valor x na função dada y(x).

Obviamente, para uma dada função, para qualquer número admissível x, apenas um valor de y pode ser encontrado (ou seja, para cada valor de x corresponde um valor de y).

Consideremos agora o domínio de definição e o intervalo de variação desta função. É possível extrair a raiz quadrada da expressão (x - 2) somente se este valor for não negativo, ou seja, x - 2 ≥ 0 ou x ≥ 2. EncontreVisto que por definição de raiz aritméticaentão adicionamos o número 3 a todas as partes desta desigualdade, obtemos:ou 3 ≤ y< +∞. Находим

Funções racionais são frequentemente usadas em matemática. Neste caso, funções da forma f(x ) = p(x) (onde p(x) é um polinômio) são chamadas de funções racionais inteiras. Funções do formulário(onde p(x) e q(x ) - polinômios) são chamadas de funções racionais fracionárias. Obviamente uma fraçãoé definido se o denominador q(x ) não desaparece. Portanto, o domínio de definição da função racional fracionária- o conjunto de todos os números reais dos quais as raízes do polinômio são excluídas q(x).

Exemplo 2

Função racionaldefinido para x - 2 ≠ 0, ou seja, x ≠ 2. Portanto, o domínio de definição desta função é o conjunto de todos os números reais diferentes de 2, ou seja, a união dos intervalos (-∞; 2) e (2; ∞).

Lembre-se de que a união dos conjuntos A e B é um conjunto que consiste em todos os elementos incluídos em pelo menos um dos conjuntos A ou B. A união dos conjuntos A e B é denotada pelo símbolo A você B. Assim, a união de segmentos e (3; 9) é um intervalo (intervalos sem interseção) são denotados por .

Voltando ao exemplo, podemos escrever:Visto que para todos os valores aceitáveis ​​​​de x a fraçãonão desaparece, então a função f(x ) assume todos os valores, exceto 3. Portanto

Exemplo 3

Vamos encontrar o domínio de definição da função racional fracionária

Os denominadores das frações desaparecem em x = 2, x = 1 e x = -3. Portanto, o domínio de definição desta função

Exemplo 4

Vício não é mais uma função. Na verdade, se quisermos calcular o valor de y, por exemplo, para x = 1, então usando a fórmula superior encontramos: y = 2 1 - 3 = -1, e usando a fórmula inferior obtemos: y = 12 + 1 = 2. Assim, um valor x(x = 1) correspondem a dois valores de y (y = -1 e y = 2). Portanto, esta dependência (por definição) não é uma função.

Exemplo 5

Gráficos de duas dependências são mostrados você(x ). Vamos determinar qual deles é uma função.

Na Fig. e o gráfico da função é dado, pois em qualquer ponto x0 apenas um valor y0 corresponde. Na Fig. b é um gráfico de algum tipo de dependência (mas não uma função), uma vez que tais pontos existem (por exemplo, x0 ), que correspondem a mais de um valor y (por exemplo, y1 e y2).

Consideremos agora as principais formas de especificar funções.

1) Analítico (usando fórmula ou fórmulas).

Exemplo 6

Vejamos as funções:

Apesar da sua forma inusitada, esta relação também define uma função. Para qualquer valor de x é fácil encontrar o valor de y. Por exemplo, para x = -0,37 (já que x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, então usamos a expressão inferior) temos:A partir do método de encontrar y fica claro que qualquer valor x corresponde a apenas um valor y.

c) 3x + y = 2y - x2. Vamos expressar o valor y desta relação: 3x + x2 = 2y - y ou x2 + 3x = y. Assim, esta relação também define a função y = x2 + 3x.

2) Tabular

Exemplo 7

Vamos escrever uma tabela de quadrados y para os números x.

Os dados da tabela também definem uma função - para cada valor (dado na tabela) de x, um único valor de y pode ser encontrado. Por exemplo, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25, etc.

3) Gráfico

Em um sistema de coordenadas retangulares, para representar a dependência funcional y(x), é conveniente usar um desenho especial - um gráfico da função.

Definição 2. Gráfico de uma função você(x ) é o conjunto de todos os pontos do sistema de coordenadas, cujas abcissas são iguais aos valores da variável independente x, e as ordenadas são iguais aos valores correspondentes da variável dependente y.

Em virtude desta definição, todos os pares de pontos (x0, y0) que satisfazem a dependência funcional y(x) estão localizados no gráfico da função. Quaisquer outros pares de pontos que não satisfaçam a dependência você(x ), as funções não estão no gráfico.

Exemplo 8

Dada uma função O ponto com coordenadas pertence ao gráfico desta função: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. Encontre o valor da função y emComo y(-2) = -6, então o ponto A (-2; -6) pertence ao gráfico desta função.

2. Determine o valor da função y em Desde que você (-3) = -11, então o ponto B (-3; -10) não pertence ao gráfico desta função.

De acordo com este gráfico da função y = f(x ) é fácil encontrar o domínio de definição D(f ) e alcance E(f ) funções. Para fazer isso, os pontos do gráfico são projetados nos eixos coordenados. Então as abcissas desses pontos formam o domínio de definição D(f ), ordenadas - intervalo de valores E(f).

Vamos comparar diferentes maneiras de definir uma função. O método analítico deve ser considerado o mais completo. Ele permite que você crie uma tabela de valores de função para alguns valores de argumentos, construa um gráfico da função e conduza as pesquisas necessárias da função. Ao mesmo tempo, o método tabular permite encontrar de forma rápida e fácil o valor da função para alguns valores de argumentos. O gráfico de uma função mostra claramente seu comportamento. Portanto, não se deve opor diferentes métodos de especificação de uma função; cada um deles tem suas próprias vantagens e desvantagens; Na prática, todas as três formas de especificar uma função são usadas.

Exemplo 9

Dada a função y = 2x2 - 3x +1.

Vamos encontrar: a) y (2); b)y(-3x); c) y(x + 1).

Para encontrar o valor de uma função para um determinado valor do argumento, é necessário substituir esse valor do argumento na forma analítica da função. Portanto, obtemos:

Exemplo 10

Sabe-se que y(3 - x) = 2x2 - 4. Vamos encontrar: a) y(x); b) y(-2).

a) Vamos denota-lo pela letra z = 3, então x = 3 - z . Vamos substituir este valor x na forma analítica desta função y(3 - x) = 2x2 - 4 e obter: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, ou y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, ou y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, ou y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Uma vez que não importa qual letra o argumento da função é denotado - z, x, t ou qualquer outro, obtemos imediatamente: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Agora é fácil encontrar y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Exemplo 11

Sabe-se que Vamos encontrar x(y).

Vamos denotar pela letra z = x - 2, então x = z + 2 e anote a condição do problema: ou Para escreveremos a mesma condição para o argumento (- z): Por conveniência, introduzimos novas variáveis a = y (z) e b = y (- z ). Para tais variáveis ​​obtemos um sistema de equações lineares

Estamos interessados ​​no desconhecido a.

Para encontrá-lo, usamos o método de adição algébrica. Portanto, vamos multiplicar a primeira equação pelo número (-2), a segunda equação pelo número 3. Obtemos:

Vamos adicionar estas equações:onde Como o argumento da função pode ser denotado por qualquer letra, temos:

Concluindo, notamos que ao final do 9º ano foram estudadas as seguintes propriedades e gráficos:

a) função linear y = kx + eu (o gráfico é uma linha reta);

b) função quadrática y = ax2 + b x + c (gráfico - parábola);

c) função linear fracionária(gráfico - hipérbole), em funções específicas

d) função de potência y = xa (em particular, a função

e) funções y = |x|.

Para um estudo mais aprofundado do material, recomendamos repetir as propriedades e gráficos dessas funções. As lições a seguir cobrirão os métodos básicos de conversão de gráficos.

1. Defina uma função numérica.

2. Explique como definir uma função.

3. O que é chamado de união dos conjuntos A e B?

4. Quais funções são chamadas de inteiros racionais?

5. Quais funções são chamadas de racionais fracionárias? Qual é o domínio de definição de tais funções?

6. O que é chamado de gráfico de uma função f(x)?

7. Forneça as propriedades e gráficos das funções principais.

4. Tarefa de aula

§ 1º, nº 1 (a, d); 2 (c, d); 3(a,b); 4 (c, d); 5(a,b); 6(c); 7(a,b); 8 (c, d); 10 ( a ); 13 (c, d); 16(a,b); 18.

V. Lição de casa

§ 1º, nº 1 (b, c); 2(a,b); 3 (c, d); 4(a,b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8(a,b); 10(b); 13(a,b); 16 (c, d); 19.

VI. Tarefas criativas

1. Encontre a função y = f(x), se:

Respostas:

2. Encontre a função y = f(x) se:

Respostas:

VII. Resumindo as lições

Eles têm muitas propriedades:

1. A função é chamada monótono em um determinado intervalo A, se aumenta ou diminui neste intervalo

2. A função é chamada aumentando em um certo intervalo A, se para quaisquer números em seu conjunto A a seguinte condição for satisfeita:.

O gráfico de uma função crescente tem uma característica especial: ao mover-se ao longo do eixo x da esquerda para a direita ao longo do intervalo A as ordenadas dos pontos do gráfico aumentam (Fig. 4).

3. A função é chamada diminuindo em algum intervalo A, se para qualquer número houver muitos deles A a condição é atendida:.

O gráfico de uma função decrescente tem uma característica especial: ao mover-se ao longo do eixo x da esquerda para a direita ao longo do intervalo A as ordenadas dos pontos do gráfico diminuem (Fig. 4).

4. A função é chamada até em algum conjunto X, se a condição for atendida: .

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (Fig. 2).

5. A função é chamada chance em algum conjunto X, se a condição for atendida: .

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (Fig. 2).

6. Se a função y =f(x)
f(x) f(x), então eles dizem que a função y =f(x) aceita menor valor no=f(x) no X= x(Fig. 2, a função assume o menor valor no ponto com coordenadas (0;0)).

7. Se a função y =f(x) está definido no conjunto X e existe tal que para qualquer desigualdade f(x) f(x), então eles dizem que a função y =f(x) aceita valor mais alto no=f(x) no X= x(Fig. 4, a função não possui os valores maiores e menores) .

Se para esta função y =f(x) todas as propriedades listadas foram estudadas, então eles dizem que estudar funções.

n1.doc

Faculdade Pedagógica OGOI SPO Ryazan

ABSTRATO

Tópico: “Funções numéricas e suas propriedades. Relações proporcionais diretas e inversas"

Titova Elena Vladimirovna

Especialidade: 050709 “Ensino no ensino básico com formação complementar na área da educação pré-escolar”

Curso: 1 Grupo: 2

Departamento: escola

Chefe: Pristuplyuk Olga Nikolaevna
Riazan

Introdução………………………………………………………………………………3
Parte teórica

1. 
   Funções numéricas

1.2 Métodos de especificação de funções…………………………………………….6
1.3 Propriedades da função……………………………………………………7
2. Relações proporcionais diretas e inversas

2.1 O conceito de proporcionalidade direta………………..9
2.2 Propriedades de dependência proporcional direta………………………………………….10
2.3 O conceito de proporcionalidade inversa e suas propriedades………………………………………………………………-
Parte prática

3.1 A propedêutica funcional no curso inicial de matemática....11

3.2 Resolvendo problemas envolvendo quantidades proporcionalmente dependentes......18
Conclusão…………………………………………………………......21

Lista de referências………………………………..22

Introdução

Na matemática, a ideia de função surgiu junto com o conceito de quantidade. Estava intimamente relacionado a conceitos geométricos e mecânicos. O termo função (do latim – execução) foi introduzido pela primeira vez por Leibniz em 1694. Por função ele entendia abscissas, ordenadas e outros segmentos associados a um ponto que descreve uma determinada linha.
Na primeira metade do século XVIII. houve uma transição de uma representação visual do conceito de função para uma definição analítica. O matemático suíço Johann Bernoulli, e depois o acadêmico Leonhard Euler, acreditavam que a função

Esse expressão analítica, composto por uma variável e uma constante.

Em outras palavras, a função é expressa por vários tipos de fórmulas: y=ax+b, y= =axІ+bx+c, etc.
Hoje sabemos que uma função pode ser expressa não apenas em linguagem matemática, mas também graficamente. O descobridor deste método foi Descartes. Esta descoberta desempenhou um papel importante no desenvolvimento da matemática: ocorreu a transição dos pontos para os números, das retas para as equações, da geometria para a álgebra. Assim, tornou-se possível encontrar técnicas comuns para resolução de problemas.
Por outro lado, graças ao método de coordenadas, foi possível representar dependências geometricamente diferentes.
Assim, os gráficos fornecem uma representação visual da natureza da relação entre as quantidades e são frequentemente utilizados em vários campos da ciência e tecnologia;

As principais tendências no desenvolvimento da educação escolar moderna expressam-se nas ideias de humanização, humanitarização, abordagem baseada em atividades e orientada para a personalidade para organizar o processo educativo.

Na base do ensino da matemática nas escolas secundárias, o princípio da prioridade da função de desenvolvimento do ensino vem à tona.

Consequentemente, o estudo do conceito de função numérica no ensino fundamental é um componente bastante significativo na formação dos conceitos matemáticos dos escolares. Para um professor do ensino fundamental, é necessário focar no estudo desse conceito, pois existe uma relação direta entre a função e muitas áreas da atividade humana, que mais tarde ajudarão as crianças a ingressar no mundo das ciências.

Além do mais , Os alunos, via de regra, apreendem formalmente a definição do conceito de função e não possuem uma compreensão holística da dependência funcional, ou seja, não conseguem aplicar seus conhecimentos na resolução de problemas matemáticos e práticos; associar uma função exclusivamente a uma expressão analítica em que a variável no expresso através de uma variável X; não consegue interpretar representações de função em diferentes modelos; acham difícil construir gráficos de funções com base em suas propriedades, etc.

As razões para estas dificuldades estão relacionadas não só e não tanto com a metodologia de estudo da matéria funcional num curso de álgebra, mas com o despreparo do pensamento dos alunos para perceber e assimilar o conceito de “função”.
Isso significa que antes de ser introduzido o conceito de “função” é necessário realizar um trabalho de formação de habilidades de pensamento funcional, para que “no momento em que a ideia geral de dependência funcional deva entrar na consciência dos alunos, esta consciência estará suficientemente preparada para a percepção substantiva e eficaz, e não apenas formal, de um novo conceito e ideias e habilidades associadas” (A.Ya. Khinchin)

1. Funções numéricas

1.1 Desenvolvimento do conceito de dependência funcional em matemática

Analisemos o progresso do desenvolvimento das ideias pedagógicas no domínio do ensino da componente mais importante da matemática - a dependência funcional.

A linha funcional do curso de matemática escolar é um dos principais cursos de álgebra, álgebra e primórdios da análise. A principal característica do material didático desta linha é que com sua ajuda é possível estabelecer diversas conexões no ensino da matemática.

Ao longo de vários séculos, o conceito de função mudou e melhorou. A necessidade de estudar a dependência funcional num curso escolar de matemática tem sido foco da imprensa pedagógica desde a segunda metade do século XIX. Metodologistas conhecidos como M.V. Ostrogradsky, V.N. Shklarevich, S.I. Shokhor-Trotsky, V.E. Serdobinsky, V.P.
O desenvolvimento da ideia de dependência funcional ocorreu em várias etapas:

Primeira etapa- a fase de introdução do conceito de função (principalmente através de uma expressão analítica) no curso de matemática escolar.

Segunda fase A introdução do conceito de função em um curso de álgebra do ensino médio é caracterizada principalmente por uma transição para uma representação gráfica da dependência funcional e uma ampliação do leque de funções estudadas.

Terceira etapa O desenvolvimento da escola russa começou na década de 20. século XX. Uma análise da literatura metodológica do período soviético mostrou que a introdução do conceito de função no curso de matemática escolar foi acompanhada de discussões acaloradas e permitiu identificar quatro problemas principais em torno dos quais existiam diferenças de opinião entre os metodologistas, a saber:

1) o propósito e o significado do estudo do conceito de função pelos alunos;

2) abordagens para definir uma função;

3) a questão da propedêutica funcional;

4) o lugar e o volume do material funcional no curso de matemática escolar.

Quarta etapa devido à transferência da economia da RSFSR para uma base planejada

Em 1934, a escola recebeu o primeiro livro estável de A.P. Kiselev, “Álgebra”, revisado sob a direção de A.P. Barsukov em duas partes.

Sua segunda parte incluía as seções “Funções e seus gráficos”, “Função quadrática”. Além disso, na seção “Generalização do conceito de grau” foram consideradas a função exponencial e seu gráfico, e na seção “Logaritmos” foram consideradas a função logarítmica e seu gráfico.

Foi nele que a função foi definida através do conceito de grandeza variável: “Aquela grandeza variável, cujos valores numéricos mudam dependendo dos valores numéricos de outra, é chamada de variável dependente, ou função de outra quantidade variável.” No entanto, não reflete a ideia de correspondência e não há menção a uma expressão analítica, o que nos permite concluir que esta definição apresenta uma falha significativa.
I. Ya. Khinchin prestou muita atenção a esse problema em suas obras.

O cientista considerou a formação de uma ideia de função como uma manifestação do formalismo no ensino. Ele acreditava que no ensino médio o conceito de função deveria ser ensinado com base no conceito de correspondência.

Este período é caracterizado por tempo insuficiente para estudar funções, sistemas de exercícios mal concebidos, falta de compreensão dos alunos sobre a verdadeira essência do conceito de função e um baixo nível de competências funcionais e gráficas dos formandos.

Assim, surgiu novamente a necessidade de reformar o ensino da matemática nas escolas secundárias. A reestruturação de toda a matemática escolar com base em uma abordagem da teoria dos conjuntos marcou o quinto estágio no desenvolvimento da ideia de dependência funcional. A ideia da abordagem da teoria dos conjuntos foi empreendida por um grupo de cientistas franceses unidos sob o pseudônimo de Nicolas Bourbaki. Um encontro internacional foi realizado em Roymont (França, 1959), no qual foi proclamada a derrubada de todos os cursos convencionais. O foco estava nas estruturas e unificações de toda a matemática escolar com base na teoria dos conjuntos.

Um papel importante no desenvolvimento das ideias reformistas foi desempenhado pelos artigos de V.L. Goncharov, nos quais o autor destacou a importância da propedêutica funcional precoce e de longo prazo, e propôs a utilização de exercícios que consistem na realização de uma série de exercícios pré-especificados. substituições numéricas na mesma expressão de letra dada.

A estabilização de programas e livros didáticos criou o terreno para mudanças positivas na qualidade do conhecimento funcional dos alunos. No final dos anos sessenta e início dos anos setenta, juntamente com críticas negativas, começaram a aparecer na imprensa aquelas que notavam uma certa melhoria no conhecimento dos formandos sobre funções e gráficos. No entanto, o nível global de desenvolvimento matemático dos alunos permaneceu geralmente insuficiente. Os cursos escolares de matemática continuaram a dedicar uma quantidade excessiva de tempo à preparação formal e não prestaram atenção suficiente ao desenvolvimento da capacidade dos alunos para aprenderem de forma independente.

1. 
   1.2 Métodos para especificar funções

Então, função numéricaé uma correspondência entre um conjunto numérico R de números reais, em que cada número do conjunto X corresponde a um único número do conjunto R.

Assim, X representa o domínio de definição da função (DOF).

A função em si é denotada por letras minúsculas do alfabeto latino (f, d, e, k).

Se uma função f é dada em um conjunto X, então o número real y correspondente ao número x do conjunto X é denotado como f(x) (y=f(x)).

A variável x é chamada argumento. O conjunto de números da forma f(x) para todo x é chamado faixa de funçãof.

Na maioria das vezes, as funções são especificadas por vários tipos de fórmulas: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, onde x é um número real, y é o número singular correspondente.

No entanto, com uma fórmula você pode definir um monte de funções, cuja diferença é determinada apenas pelo domínio de definição:

Y= 2x-3, onde x pertence ao conjunto dos números reais e y=2x-3,

X - pertencente ao conjunto dos números naturais.

Muitas vezes, ao especificar uma função usando uma fórmula, o OOF não é especificado (o OOF é o domínio de definição da expressão f(x)).

Também é bastante conveniente representar visualmente funções numéricas, ou seja, usando um plano de coordenadas.
1.3 Propriedades da função.

Como muitas outras, as funções numéricas possuem as seguintes propriedades:

Crescente, decrescente, monotonicidade, domínio de definição e domínio de valor de uma função, limitação e ilimitação, par e ímpar, periodicidade.

Domínio e gama de funções.

Na matemática elementar, as funções são estudadas apenas no conjunto de números reais R. Isso significa que o argumento de uma função só pode assumir os valores reais para os quais a função é definida, ou seja, também aceita apenas valores reais. O conjunto X de todos os valores reais admissíveis do argumento x para o qual a função y = f(x) é definida é chamado de domínio da função. O conjunto Y de todos os valores reais de y que uma função assume é chamado de contradomínio da função. Agora podemos dar uma definição mais precisa de uma função: a regra (lei) de correspondência entre os conjuntos X e Y, segundo a qual para cada elemento do conjunto X pode ser encontrado um e apenas um elemento do conjunto Y, é chamada de função.

Uma função é considerada definida se: o domínio de definição da função X for especificado; o intervalo de valores da função Y é especificado; a regra (lei) da correspondência é conhecida e tal que para cada valor do argumento apenas um valor da função pode ser encontrado. Este requisito de inequívoca função é obrigatório.
Funções limitadas e ilimitadas. Uma função é chamada limitada se existe um número positivo M tal que | f(x) | M para todos os valores de x. Se tal número não existir, a função é ilimitada.

Funções pares e ímpares. Se para qualquer x do domínio de definição da função o seguinte for válido: f (- x) = f (x), então a função é chamada par; se ocorrer: f (- x) = - f (x), então a função é chamada ímpar. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Y (Fig. 5), e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (Fig. 6).

Função periódica. Uma função f (x) é periódica se houver um número T diferente de zero tal que para qualquer x do domínio de definição da função o seguinte é válido: f (x + T) = f (x). Este menor número é chamado de período da função. Todas as funções trigonométricas são periódicas.

Mas a propriedade mais importante para a função de aprendizagem nas séries primárias é monótono.

Função monotônica. Se para quaisquer dois valores do argumento x1 e x2 a condição x2 > x1 implica f (x2) > f (x1), então a função | f(x) | chamado crescente; se para qualquer x1 e x2 a condição x2 > x1 implica f (x2)
2. Relações proporcionais diretas e inversas.
2.1 O conceito de proporcionalidade direta.

No ensino fundamental, a função se manifesta na forma de relações proporcionais diretas e inversas.

Proporcionalidade direta- isto é, antes de tudo, função, que pode ser especificado usando a fórmula y=kx, onde k é um número real diferente de zero. O nome da função y = kx está associado às variáveis ​​x e y contidas nesta fórmula. Se atitude duas quantidades são iguais a algum número diferente de zero, então elas são chamadas diretamente proporcional.

K é o coeficiente de proporcionalidade.

Em geral, a função y=kx é um modelo matemático de muitas situações reais consideradas no curso inicial de matemática.

Por exemplo, digamos que há 2 kg de farinha em um pacote, e x tais pacotes foram comprados, então toda a massa de farinha comprada é y. Isso pode ser escrito como uma fórmula como esta: y=2x, onde 2=k.
2.2 Propriedades da proporcionalidade direta.

A proporcionalidade direta tem uma série de propriedades:

• 
  O domínio de definição da função y=kx é o conjunto dos números reais R;
• 
  Um gráfico de proporcionalidade direta é uma linha reta que passa pela origem;
• 
  Para k>0, a função y=kx aumenta em todo o domínio de definição (para k
• 
  Se a função f é proporcionalidade direta, então (x1,y1),(x2,y2) são pares de variáveis ​​correspondentes x e y, onde x não é igual a zero, o que significa x1/x2=y1/y2.

xvárias vezes o valor positivo correspondente y aumenta (diminui) na mesma proporção.

2.3 O conceito de proporcionalidade inversa.
Proporcionalidade inversa- Esse função, que pode ser dado usando a fórmula y=k/x, onde k é um número real diferente de zero. O nome da função y = k/x está associado às variáveis ​​​​x e y, cujo produto é igual a algum número real que não é igual a zero.

Propriedades de proporcionalidade inversa:

• 
  O domínio de definição e intervalo de valores da função y=k/x é o conjunto dos números reais R;
• 
  Gráfico de proporcionalidade direta – hipérbole;
• 
  Quando k 0, respectivamente, diminui em todo o domínio de definição, ramifica-se para baixo)
• 
  Se a função f é proporcionalidade inversa, então (x1,y1),(x2,y2) são pares de variáveis ​​correspondentes x e y, onde x não é igual a zero, o que significa x1/x2=y2/y1.

Se os valores das variáveisxEsimserão números reais positivos, então

com variável crescente (decrescente)xvárias vezes o valor correspondente de y diminui (aumenta) na mesma proporção.

Parte prática
3.1 Propedêutica funcional no curso inicial de matemática

O conceito de dependência funcional é um dos principais nas ciências matemáticas, portanto, a formação desse conceito entre os alunos é uma tarefa importante nas atividades propositais do professor para desenvolver o pensamento matemático e a atividade criativa das crianças. O desenvolvimento do pensamento funcional pressupõe, antes de tudo, o desenvolvimento da capacidade de descobrir novas conexões e dominar técnicas e habilidades educacionais gerais.

No curso inicial de matemática, um papel significativo deve ser atribuído à propedêutica funcional, que prevê preparar os alunos para cursos sistemáticos de álgebra e geometria, e também incutir neles a natureza dialética do pensamento, uma compreensão das relações causais entre o fenômenos da realidade circundante. Nesse sentido, traçaremos as principais direções do trabalho propedêutico na fase inicial do ensino da disciplina segundo o programa de L.G. Petersson:

O conceito de conjuntos, a correspondência de elementos de dois conjuntos e funções. Dependência dos resultados das operações aritméticas das mudanças nos componentes.

Métodos tabulares, verbais, analíticos e gráficos para especificar uma função.

Dependência linear.

Sistema de coordenadas, primeira e segunda coordenadas, par ordenado.

Resolvendo os problemas combinatórios mais simples: compilar e contar o número de permutações possíveis, subconjuntos de elementos de um conjunto finito..

Uso de enumeração sistemática de valores naturais de uma e duas variáveis ​​​​na resolução de problemas de plotagem.

Preenchimento de tabelas com cálculos aritméticos, dados das condições dos problemas aplicados. Selecionando dados de uma tabela por condição.

Relação entre quantidades proporcionais; estudo aplicado de seus gráficos.

O conteúdo do curso inicial de matemática permite aos alunos compreender uma das ideias mais importantes da matemática - ideia de conformidade.Ao realizar tarefas de busca de significados de expressões e preenchimento de tabelas, os alunos estabelecem que cada par de números corresponde a no máximo um número obtido como resultado. Porém, para entender isso, o conteúdo das tabelas deve ser analisado.

Invente todos os exemplos possíveis para adicionar dois números de um único dígito cuja resposta seja 12.

Ao realizar esta tarefa, os alunos estabelecem uma relação entre dois conjuntos de valores de termos. A correspondência estabelecida é uma função, pois cada valor do primeiro termo corresponde a um único valor do segundo termo com soma constante.

Existem 10 maçãs em um vaso. Quantas maçãs sobrarão se você pegar 2 maçãs? 3 maçãs? 5 maçãs? Escreva a solução na tabela. De que depende o resultado? Em quantas unidades isso muda? Por que?

Este problema na verdade apresenta a função no = 10 - X, onde a variável X assume os valores 2, 3, 5. Ao completar esta tarefa, os alunos devem concluir: quanto maior o subtraendo, menor a diferença.

A ideia de correspondência funcional também está presente em exercícios como:

Conecte com uma seta as expressões matemáticas e os valores numéricos correspondentes:

15 + 6 27 35

Introdução símbolos de letras permite apresentar aos alunos os conceitos mais importantes da matemática moderna - variável, equação, desigualdade, o que contribui para o desenvolvimento do pensamento funcional, uma vez que a ideia de dependência funcional está intimamente relacionada com eles. Ao trabalhar com uma variável, os alunos percebem que as letras incluídas em uma expressão podem assumir diferentes valores numéricos, e a própria expressão da letra é uma notação generalizada de expressões numéricas.

A experiência dos alunos se comunicando com exercícios em estabelecimento de padrões em sequências numéricas e sua continuação:

1, 2, 3, 4… (no = X + 1)

1, 3, 5, 7… (no= 2 · X + 1)

Conceito quantidades, junto com o conceito de número, é o conceito principal do curso inicial de matemática. O material desta seção é uma fonte rica para a implementação da propedêutica funcional indireta. Em primeiro lugar, esta é a dependência (inversamente proporcional) entre a unidade de quantidade selecionada (medida) e seu valor numérico (medida) - quanto maior a medida, menor será o número obtido como resultado da medição da quantidade com esta medida. Portanto, é importante que, ao trabalhar com cada grandeza, os alunos ganhem experiência na medição de grandezas com diferentes padrões, a fim de escolher conscientemente, primeiro uma que seja conveniente e depois uma única medida.

Em segundo lugar, ao estudar as quantidades que caracterizam os processos de movimento, trabalho, compra e venda, formam-se ideias sobre a relação entre velocidade, tempo e distância, preço, quantidade e custo no processo de resolução de problemas verbais dos seguintes tipos - redução para unidade (encontrar a quarta proporcional), encontrar a incógnita por duas diferenças, divisão proporcional.

É especialmente difícil para os alunos compreenderem a relação entre estas quantidades, uma vez que o conceito de “dependência proporcional” não é objecto de estudo e assimilação especial. No programa L.G. Peterson resolve metodicamente esse problema usando as seguintes técnicas:

- Resolução de problemas com dados faltantes (condição “aberta”):

A casa da escola de Vasya fica a 540 m, e a de Pasha fica a 480 m. Quem chegará lá mais rápido?

Sasha comprou cadernos por 30 rublos e lápis por 45 rublos. Em quais itens ele gastou mais dinheiro? Quais itens ele comprou mais?

Ao analisar os textos desses problemas, os alunos descobrem que faltam dados e que as respostas às questões dependem de preço e rapidez.

- Fixação das condições das tarefas não apenas em tabela (conforme proposto no método clássico), mas também em forma de diagrama. Isso permite “visualizar” as dependências consideradas no problema. Portanto, se objetos em movimento percorrem a mesma distância de 12 km em tempos diferentes (2 horas, 3 horas, 4 horas, 6 horas), então, usando o diagrama, a relação inversa é claramente interpretada - quanto mais partes (tempo), menor cada parte (velocidade).

- Altere um dos dados da tarefa e compare os resultados da resolução de problemas.

Foram levados 48 kg de maçãs para a cantina da escola. Quantas caixas eles poderiam trazer se todas as caixas contivessem a mesma quantidade de maçãs?

Os alunos completam as condições do problema e fixam a relação entre as quantidades utilizando vários meios de estruturação do conhecimento teórico - em tabela, diagrama e verbalmente.

Aqui é útil prestar atenção à razão múltipla das quantidades em consideração - quantas vezes mais é uma das quantidades, quantas vezes mais (menos) é a outra, sendo a terceira constante.

Na escola primária, os alunos são implicitamente apresentados a métodos tabulares, analíticos, verbais e gráficos de especificação de funções.

Por exemplo, a relação entre velocidade, tempo e distância pode ser expressa:

A) verbalmente: “para saber a distância é preciso multiplicar a velocidade pelo tempo”;

B) analiticamente: é=v t;

B) tabular: v =5 km/h

d) graficamente (usando um raio ou ângulo coordenado).

Maneira gráfica de especificar a dependência entre v, t, é permite-nos formar uma ideia de velocidade como uma mudança na localização de um objeto em movimento por unidade de tempo (juntamente com a geralmente aceita - como uma distância percorrida por unidade de tempo) E uma comparação dos gráficos do movimento de dois corpos (movendo-se independentemente um do outro) esclarece a ideia de velocidade como uma quantidade que caracteriza a velocidade do movimento.

Expressões Numéricas Compostas(com e sem parênteses), calcular seus valores de acordo com as regras da ordem das ações permite ao aluno perceber que o resultado depende da ordem em que as ações são executadas.

Organize os colchetes para que as equações estejam corretas.

20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26

No decorrer de L.G. Peterson, os alunos são implicitamente apresentados a dependência linear, como um caso especial de uma função. Esta função pode ser especificada por uma fórmula da forma no= kh + b, Onde X- variável independente, k E b- números. Seu domínio é o conjunto de todos os números reais.

Depois de percorrer 350 quilômetros, o trem começou a viajar por t horas a uma velocidade de 60 km/h. Quantos quilômetros o trem percorreu no total?(350 + 60 t)

Ao completar tarefas com números nomeados, os alunos percebem a dependência valores numéricos de grandezas a partir do uso de diferentes unidades de medida.

O mesmo segmento foi medido primeiro em centímetros e depois em decímetros. No primeiro caso, o número que obtivemos foi 135 a mais que no segundo. Qual é o comprimento do segmento em centímetros? (Dependência= 10 · X)

No processo de estudo do curso inicial de matemática, os alunos formam o conceito de uma série natural de números, um segmento de uma série natural, aprendem as propriedades de uma série natural de números - infinito, ordem, etc., formam a ideia da possibilidade de um aumento ilimitado de um número natural ou de uma diminuição da sua participação.

No curso de matemática da 3ª à 4ª série, é dada atenção significativa ao ensino dos alunos a usar fórmulas, sua conclusão independente. Aqui é importante ensinar os alunos a apresentar as mesmas informações de diferentes formas - gráfica e analiticamente, dando aos alunos o direito de escolher a forma de acordo com seus estilos cognitivos.

Os alunos estão particularmente interessados ​​em tarefas relacionadas com a análise de tabelas de valores de variáveis, “descobrindo” dependências entre elas e anotando-as como fórmulas.

Ao analisar os números apresentados na tabela, os alunos percebem facilmente que os números da primeira linha aumentam em um, os números da segunda linha aumentam em quatro. A tarefa do professor é prestar atenção na relação entre os valores das variáveis A E b. Para fortalecer a orientação aplicada da educação matemática, esta situação deveria ser “revitalizada” e transferida para o status de parcela.

Para desenvolver a capacidade dos alunos de derivar fórmulas, é necessário ensiná-los a escrever várias afirmações em linguagem matemática (na forma de igualdades):

Uma caneta é três vezes mais cara que um lápis ( R = Para + 3);

Número A Quando dividido por 5, o resto é 2 ( A= 5 · b + 2);

O comprimento do retângulo é 12 cm maior que a largura ( A = b + 12).

Um pré-requisito é discutir possíveis opções para os valores dessas grandezas e preencher as tabelas correspondentes.

Um lugar especial no curso de L.G. Peterson assume tarefas relacionadas a pesquisa matemática:

Represente o número 16 como produto de dois fatores de maneiras diferentes. Para cada método, encontre a soma dos fatores. Em qual caso foi obtido o valor menor? Faça o mesmo com os números 36 e 48. Qual é o seu palpite?

Ao realizar tarefas semelhantes (estudar a relação entre o número de ângulos de um polígono e o valor total das medidas de graus dos ângulos, entre o valor do perímetro de figuras de diferentes formas com a mesma área, etc.), os alunos melhoram seus habilidades para trabalhar com tabela, pois é conveniente registrar a solução em uma tabela. Além disso, o método tabular de fixação da solução é usado na resolução de problemas matemáticos não padronizados usando o método de busca ordenada ou seleção racional.

Há 13 crianças na turma. Os meninos têm tantos dentes quanto as meninas têm dedos das mãos e dos pés. Quantos meninos e quantas meninas há na classe? (Cada menino tem exatamente 32 dentes).

Ensino de matemática de acordo com o programa L.G. Peterson garante que os alunos compreendam a relação entre os resultados e os componentes das operações aritméticas e uma ideia de “velocidade” de mudança no resultado de operações aritméticas dependendo de mudanças nos componentes:

Exercícios de composição numérica;

Métodos particulares de cálculo (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);

Estimativa de soma, diferença, produto, quociente.

Ao realizar tarefas como essas, é importante apresentar as informações de forma multissensorial.

Como a soma mudará se um termo for aumentado em 10 e o segundo diminuído em 5?

Como mudará a área de um retângulo (ou o produto de dois números) se um dos lados (um dos números) for aumentado em 3?

Uma parcela significativa dos alunos completa essas tarefas substituindo valores numéricos específicos. Metodologicamente competente nesta situação seria interpretar a condição gráfica e analiticamente.

(A+3) · b = A· b+ 3 ·b

O conceito de função no ensino médio está associado sistema de coordenadas. No curso de L.G. Peterson contém material para trabalho propedêutico nesta direção:

Segmento numérico, raio numérico, raio coordenado;

Mesa pitagórica, coordenadas no plano (ângulo coordenado);

Horários de trânsito;

Gráficos de pizza, barras e linhas que representam visualmente as relações entre quantidades discretas.

Assim, o estudo das operações aritméticas, aumentando e diminuindo um número em várias unidades ou várias vezes, a relação entre componentes e resultados das operações aritméticas, resolvendo problemas sobre como encontrar a quarta proporcional, sobre a relação entre velocidade, tempo e distância; preço, quantidade e valor; a massa de um item individual, sua quantidade e massa total; produtividade, tempo e trabalho; etc., por um lado, constituem a base para a formação do conceito de função e, por outro lado, são estudados com base em conceitos funcionais. Deve-se notar que a modelagem gráfica é de grande importância propedêutica: interpretação gráfica das condições do problema, desenho, desenho, etc. As informações apresentadas em forma gráfica são mais fáceis de perceber, amplas e bastante condicionais, projetadas para transmitir informações apenas sobre as características essenciais de um objeto e para desenvolver as habilidades gráficas dos alunos.

Além disso, o resultado da propedêutica da dependência funcional deve ser a alta atividade mental dos escolares mais jovens, o desenvolvimento de habilidades intelectuais, disciplinares gerais e matemáticas específicas. Tudo isso cria uma base sólida não apenas para a resolução de problemas metodológicos da matemática primária - a formação de habilidades computacionais, a capacidade de resolver problemas com palavras, etc., mas também para a implementação das possibilidades de desenvolvimento de conteúdos matemáticos e, não menos importante, para o estudo bem sucedido de funções na escola secundária.

3.2 Resolvendo problemas envolvendo quantidades proporcionalmente dependentes

Resolver um problema significa usar uma sequência de ações logicamente correta

e operações com números, quantidades, explícita ou implicitamente disponíveis no problema,

relacionamentos para cumprir o requisito da tarefa (responder à sua pergunta).

Os principais em matemática são: aritmética E

algébrico maneiras de resolver problemas. No aritmética caminho

a resposta à questão do problema é encontrada como resultado da realização de aritmética

ações em números.

Diferentes métodos aritméticos para resolver o mesmo problema são diferentes

relações entre dados, dados e incógnitas, dados e o que é procurado,

subjacente à escolha das operações aritméticas, ou à sequência

usando esses relacionamentos ao escolher ações.

Resolver um problema verbal usando aritmética é uma atividade complexa.

decisivo. No entanto, existem várias etapas:

1. Percepção e análise do conteúdo da tarefa.

2. Pesquisar e traçar um plano de resolução do problema.

3. Execução do plano de solução. Formulação da conclusão sobre o cumprimento do requisito

tarefas (respondendo à pergunta da tarefa).

4. Verificar a solução e eliminar erros, se houver.

Problemas de divisão proporcional são apresentados de diferentes maneiras: você pode oferecer

para resolver um problema pronto, ou você pode primeiro compô-lo transformando o problema

para encontrar a quarta proporcional. Em ambos os casos, o sucesso da solução

problemas de divisão proporcional serão determinados por uma sólida capacidade de resolver

problemas de encontrar a quarta proporcional, portanto, como

a preparação deve incluir a resolução de problemas do tipo apropriado para encontrar

quarta proporcional. É por isso que o segundo é preferível

as opções mencionadas para introduzir problemas de divisão proporcional.

Passando para a resolução de problemas prontos do livro didático, bem como problemas compilados

professor, incluindo vários grupos de quantidades, primeiro você precisa estabelecer quais

quantidades discutidas no problema e, em seguida, escreva o problema brevemente na tabela,

tendo previamente dividido a questão do problema em duas questões, se contiver a palavra

todo. Via de regra, os alunos completam a solução de forma independente, analisam

realizado apenas com alunos individuais. Em vez de uma breve nota, você pode fazer

desenho. Por exemplo, se o problema envolver pedaços de tecido, rolos de arame e

etc., então eles podem ser representados por segmentos escrevendo o número numérico correspondente

os valores dessas quantidades. Observe que você não deve realizar uma corrida curta todas as vezes.

gravar ou desenhar, se o aluno, após ler o problema, souber resolvê-lo, então

deixe-o decidir, e aqueles que têm dificuldade em usar uma breve nota ou desenho

Para resolver a tarefa. Gradualmente, as tarefas deverão tornar-se mais complexas, introduzindo

dados adicionais (por exemplo: “O primeiro pedaço continha 16 m de matéria, e o segundo

2 vezes menos.”) ou fazendo uma pergunta (por exemplo: “Quantos metros

Havia mais matéria na primeira peça do que na segunda?).

Ao se familiarizar com a solução para o problema da divisão desproporcional, você pode ir

outra maneira: primeiro resolva problemas prontos e depois execute

transformando o problema de encontrar a quarta proporcional em um problema de

divisão proporcional e, após resolvê-los, compare os problemas em si e

suas decisões.

Os exercícios ajudam a generalizar a capacidade de resolver problemas do tipo considerado.

natureza criativa. Vamos citar alguns deles.

Antes de resolvê-lo, é útil perguntar quais das questões do problema serão respondidas

um número maior e porquê, e depois de decidir verificar se corresponde a este tipo

os números resultantes, que serão uma das formas de verificar a solução. Você pode ainda mais

descubra se a resposta poderia ter produzido os mesmos números e em que condições.

Exercícios úteis para os alunos comporem problemas e depois resolvê-los,

e exercícios de transformação de tarefas. Esta é, antes de tudo, uma compilação

problemas semelhantes ao resolvido. Então, depois de resolver o problema das quantidades: preço,

quantidade e custo - oferta para compor e resolver um problema semelhante com

as mesmas grandezas ou com outras, como velocidade, tempo e distância.

Esta é a compilação de problemas para sua solução, escritos separadamente

ações, e na forma de expressão, é a compilação e solução de problemas de acordo com sua

notação esquemática curta

1 maneira:

X = 15*30/8 = 56 rublos 25 copeques

Método 2: a quantidade de tecido aumentou 15/8 vezes, o que significa que eles vão pagar 15/8 vezes mais dinheiro

X =30*15/8 = 56 rublos 25 copeques

2. Um certo senhor chamou um carpinteiro e ordenou-lhe que construísse um pátio. Ele lhe deu 20 trabalhadores e perguntou quantos dias eles iriam construir seu quintal. O carpinteiro respondeu: em 30 dias. Mas o mestre precisa construí-lo em 5 dias, e para isso perguntou ao carpinteiro: quantas pessoas você precisa ter para construir um pátio com elas em 5 dias; e o carpinteiro, perplexo, pergunta a você, aritmético: quantas pessoas ele precisa contratar para construir um quintal em 5 dias?

Uma condição curta inacabada está escrita no quadro:

Opção I: proporção

Opção II: sem proporções

EU.

II. X = 20*6 = 120 trabalhadores

3. Eles levaram 560 soldados com comida por 7 meses, mas receberam ordem de servir por 10 meses, e queriam tirar as pessoas de si para que houvesse comida suficiente por 10 meses. A questão é: quantas pessoas devem ser reduzidas?

Uma tarefa antiga.

Resolva este problema sem proporção:

(O número de meses aumenta por um fator, o que significa que o número de soldados diminui por um fator.

560 – 392 = 168 (soldados devem ser reduzidos)

Antigamente, para resolver muitos tipos de problemas, existiam regras especiais para resolvê-los. Os familiares problemas de proporcionalidade direta e inversa, nos quais precisamos encontrar o quarto entre três valores de duas quantidades, foram chamados de problemas de “regra tripla”.

Se, para três quantidades, fossem dados cinco valores e fosse necessário encontrar o sexto, então a regra era chamada de “quíntuplo”. Da mesma forma, para quatro quantidades havia uma “regra setenária”. Os problemas que envolvem a aplicação dessas regras também foram chamados de problemas de “regra tripla complexa”.

4. Três galinhas botaram 3 ovos em 3 dias. Quantos ovos 12 galinhas botarão em 12 dias?

Quantas vezes o número de galinhas aumentou? (4 vezes)

Como mudou o número de ovos se o número de dias não mudou? (aumentou 4 vezes)

Quantas vezes o número de dias aumentou? (4 vezes)

Como o número de ovos mudou? (aumentou 4 vezes)

X = 3*4*4 =48(ovos)

5 . Se um escriba pode escrever 15 folhas em 8 dias, quantos escribas serão necessários para escrever 405 folhas em 9 dias?

(o número de escribas aumenta com o aumento das folhas às vezes e diminui

De aumentar os dias de trabalho (escribas)).

Vamos considerar um problema mais complexo com quatro quantidades.

6. Para iluminar 18 salas, foram utilizadas 120 toneladas de querosene em 48 dias, com 4 lâmpadas acesas em cada sala. Quantos dias durarão 125 libras de querosene se 20 salas estiverem iluminadas e 3 lâmpadas acesas em cada sala?

O número de dias de uso de querosene aumenta com o aumento da quantidade de querosene em
vezes e de reduzir as lâmpadas por um fator.

O número de dias de uso de querosene diminui à medida que aumenta o número de quartos. 20 vezes.

X = 48 * * : = 60 (dias)

O valor final é X = 60. Isso significa que 125 libras de querosene duram 60 dias.

Conclusão

O sistema metodológico de estudo da dependência funcional no ensino fundamental, desenvolvido no contexto da educação modular, representa uma integridade constituída pela inter-relação dos principais componentes (alvo, conteúdo, organizacional, tecnológico, diagnóstico) e princípios (modularidade, perspectiva consciente, abertura, foco da aprendizagem no desenvolvimento da personalidade do aluno, versatilidade de consultoria metodológica).

A abordagem modular é um meio de melhorar o processo de estudo da dependência funcional nos alunos do ensino básico, que permite: aos alunos dominar um sistema de conhecimentos funcionais e métodos de ação, competências práticas (operacionais); o professor - desenvolver o seu pensamento matemático baseado em material funcional, cultivar a independência na aprendizagem.

O suporte metodológico para o processo de estudo das funções no ensino fundamental é construído com base em programas modulares, que servem de base para a identificação de padrões fundamentais obrigatórios para a compreensão do tema, a assimilação completa e bem-sucedida do conteúdo do material didático e a aquisição por estudantes de sólidos conhecimentos, habilidades e habilidades.

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