เมื่อวิเคราะห์อนุกรมความแปรผัน การกระจัดจากจุดศูนย์กลางและความชันของการกระจายจะมีลักษณะเฉพาะด้วยตัวบ่งชี้พิเศษ ตามกฎแล้ว การแจกแจงเชิงประจักษ์จะถูกเลื่อนจากจุดศูนย์กลางของการแจกแจงไปทางขวาหรือซ้าย และจะไม่สมมาตร การแจกแจงแบบปกติมีความสมมาตรอย่างเคร่งครัดเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเกิดจากความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน

ความเบ้ของการกระจาย เกิดขึ้นเนื่องจากปัจจัยบางประการกระทำการอย่างเข้มแข็งในทิศทางหนึ่งมากกว่าอีกทิศทางหนึ่งหรือกระบวนการพัฒนาของปรากฏการณ์นั้นมีสาเหตุบางประการครอบงำอยู่ นอกจากนี้ธรรมชาติของปรากฏการณ์บางอย่างก็มีการกระจายแบบไม่สมมาตร

การวัดความไม่สมมาตรที่ง่ายที่สุดคือความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต รูปแบบ และค่ามัธยฐาน:

เพื่อกำหนดทิศทางและขนาดของการเปลี่ยนแปลง (ความไม่สมมาตร) ของการแจกแจง จะมีการคำนวณ ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมดุล ซึ่งเป็นช่วงเวลาปกติของลำดับที่สาม:

As= 3 / 3 โดยที่  3 คือโมเมนต์ศูนย์กลางลำดับที่สาม  3 – ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยกกำลังสาม 3 = (ม. 3 – 3ม. 1 ม. 2 + 2 ม. 1 3)k 3 .

สำหรับความไม่สมมาตรด้านซ้าย ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมดุล (เช่น<0), при правосторонней (As>0) .

ถ้าการกระจายส่วนบนสุดเลื่อนไปทางซ้ายและด้านขวาของกิ่งก้านยาวกว่าด้านซ้าย แสดงว่าความไม่สมมาตรดังกล่าวเป็น ด้านขวา มิฉะนั้น ถนัดซ้าย .

ความสัมพันธ์ระหว่างโหมด ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตในชุดสมมาตรและไม่สมมาตรทำให้เราสามารถใช้ตัวบ่งชี้ที่ง่ายกว่าในการวัดความไม่สมมาตร ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมดุล เพียร์สัน :

เค = ( –โม)/ ถ้า K a >0 แสดงว่าความไม่สมมาตรอยู่ทางด้านขวา ถ้า K a<0, то асимметрия левосторонняя, при К a =0 ряд считается симметричным.

ความไม่สมมาตรสามารถกำหนดได้แม่นยำมากขึ้นโดยใช้โมเมนต์ศูนย์กลางลำดับที่สาม:

โดยที่ 3 = (ม. 3 – 3ม. 1 ม. 2 + 2ม. 1 3)k 3 .

ถ้า > 0 ดังนั้นความไม่สมมาตรจึงถือว่ามีนัยสำคัญหาก < 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

เพื่อระบุลักษณะระดับความเบี่ยงเบนของการแจกแจงแบบสมมาตรจากการแจกแจงแบบปกติตามแนวพิกัดตัวบ่งชี้ถึงจุดสูงสุดความชันของการกระจายเรียกว่า ส่วนเกิน :

Ex = ( 4 / 4) – 3 โดยที่:  4 – โมเมนต์กลางลำดับที่สี่

สำหรับการแจกแจงแบบปกติ Ex = 0 เช่น  4 / 4 = 3  4 = (ม. 4 – 4ม. 3 ม. 1 + 6ม. 2 ม. 2 1 – 3 ม. 4 1)* k 4 .

เส้นโค้งยอดสูงมีความโด่งเป็นบวก ในขณะที่เส้นโค้งยอดต่ำมีความโด่งเป็นลบ (รูปที่ ง.2)

ตัวบ่งชี้ความโด่งและความเบ้เป็นสิ่งจำเป็นในการวิเคราะห์ทางสถิติเพื่อกำหนดความหลากหลายของประชากร ความไม่สมดุลของการกระจายตัว และความใกล้เคียงของการกระจายเชิงประจักษ์กับกฎปกติ ด้วยการเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญของตัวบ่งชี้ความไม่สมมาตรและความโด่งจากศูนย์ ทำให้ประชากรไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นเนื้อเดียวกันได้และการกระจายตัวใกล้เคียงกับปกติ การเปรียบเทียบเส้นโค้งที่เกิดขึ้นจริงกับเส้นโค้งทางทฤษฎีทำให้สามารถยืนยันผลลัพธ์ทางสถิติที่ได้รับทางคณิตศาสตร์ กำหนดประเภทและธรรมชาติของการกระจายตัวของปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจและสังคม และคาดการณ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่

4.7. เหตุผลของความใกล้เคียงของการแจกแจงเชิงประจักษ์ (จริง) กับการแจกแจงแบบปกติทางทฤษฎี การแจกแจงแบบปกติ (กฎเกาส์-ลาปลาซ) และคุณลักษณะของมัน "กฎสามซิกมา" เกณฑ์ความดีเหมาะสม (โดยใช้ตัวอย่างของเกณฑ์ Pearson หรือ Kolgomogorov)

คุณสามารถสังเกตเห็นการเชื่อมต่อบางอย่างในการเปลี่ยนแปลงความถี่และค่าของคุณสมบัติที่แตกต่างกัน เมื่อค่าของคุณลักษณะเพิ่มขึ้น ความถี่จะเพิ่มขึ้นก่อน จากนั้นจึงลดลงเมื่อถึงค่าสูงสุดที่กำหนด การเปลี่ยนแปลงความถี่ปกติในซีรีย์รูปแบบต่างๆ ดังกล่าวเรียกว่า รูปแบบการกระจาย.

ในการระบุรูปแบบการแจกแจง จำเป็นที่อนุกรมรูปแบบจะต้องมีหน่วยจำนวนมากเพียงพอ และอนุกรมนั้นเป็นตัวแทนของประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ

รูปหลายเหลี่ยมการกระจายที่สร้างขึ้นจากข้อมูลจริงคือ เส้นโค้งการกระจายเชิงประจักษ์ (จริง)ซึ่งสะท้อนไม่เพียงแต่วัตถุประสงค์ (ทั่วไป) เท่านั้น แต่ยังสะท้อนถึงเงื่อนไขการกระจายแบบอัตนัย (สุ่ม) ที่ไม่ใช่ลักษณะของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่

ในทางปฏิบัติพบกฎการกระจายโดยการเปรียบเทียบการแจกแจงเชิงประจักษ์กับกฎทางทฤษฎีข้อใดข้อหนึ่งและประเมินระดับความแตกต่างหรือความสอดคล้องระหว่างกัน เส้นโค้งการกระจายทางทฤษฎีสะท้อนให้เห็นในรูปแบบที่บริสุทธิ์โดยไม่คำนึงถึงอิทธิพลของปัจจัยสุ่มรูปแบบทั่วไปของการแจกแจงความถี่ (ความหนาแน่นของการแจกแจง) ขึ้นอยู่กับค่าของลักษณะที่แตกต่างกัน

การแจกแจงทางทฤษฎีประเภทต่างๆ เป็นเรื่องปกติในสถิติ เช่น แบบปกติ ทวินาม ปัวซง ฯลฯ การแจกแจงทางทฤษฎีแต่ละแบบมีลักษณะเฉพาะและขอบเขตของตัวเอง

กฎหมายการกระจายแบบปกติ ลักษณะของการกระจายของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันซึ่งเกิดขึ้นระหว่างปฏิสัมพันธ์ของปัจจัยสุ่มหลายตัว กฎการกระจายตัวแบบปกติรองรับวิธีการทางสถิติในการประมาณค่าพารามิเตอร์การกระจาย ความเป็นตัวแทนของการสังเกตตัวอย่าง และการวัดความสัมพันธ์ของปรากฏการณ์มวล ในการตรวจสอบว่าการแจกแจงตามจริงนั้นสอดคล้องกับการแจกแจงแบบปกติได้ดีเพียงใด จำเป็นต้องเปรียบเทียบความถี่ของการแจกแจงตามจริงกับลักษณะความถี่ทางทฤษฎีของกฎหมายการแจกแจงแบบปกติ ความถี่เหล่านี้เป็นฟังก์ชันของการเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังนั้น จากข้อมูลของอนุกรมการแจกแจงเชิงประจักษ์ จะมีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน t จากนั้นจึงกำหนดความถี่ทางทฤษฎีที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้ทำให้การกระจายตัวเชิงประจักษ์แบนลง

การกระจายแบบปกติหรือกฎเกาส์-ลาปลาซอธิบายไว้ในสมการ
โดยที่ y t คือพิกัดของเส้นโค้งการแจกแจงแบบปกติ หรือความถี่ (ความน่าจะเป็น) ของค่า x ของการแจกแจงแบบปกติ – ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ของแต่ละค่า x ถ้าค่า (x – ) วัด (ด่วน) ในรูปของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  เช่น ในการเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ปกติ) t = (x – )/ จากนั้นสูตรจะอยู่ในรูปแบบ:
- การกระจายตัวตามปกติของปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจและสังคมในรูปแบบบริสุทธิ์นั้นหาได้ยาก อย่างไรก็ตาม หากรักษาความเป็นเนื้อเดียวกันของประชากรไว้ การกระจายตามจริงก็มักจะใกล้เคียงกับปกติ รูปแบบของการกระจายตัวของปริมาณที่ศึกษาถูกเปิดเผยโดยการตรวจสอบความสอดคล้องของการแจกแจงเชิงประจักษ์กับกฎการแจกแจงแบบปกติทางทฤษฎี เมื่อต้องการทำเช่นนี้ การกระจายตามจริงจะสอดคล้องกับเส้นโค้งปกติและคำนวณ เกณฑ์ความยินยอม .

การแจกแจงแบบปกตินั้นมีลักษณะเป็นพารามิเตอร์สำคัญสองตัวที่กำหนดจุดศูนย์กลางของการจัดกลุ่มของแต่ละค่าและรูปร่างของเส้นโค้ง: ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  เส้นโค้งการกระจายแบบปกติจะแตกต่างกันไปตามตำแหน่งของจุดศูนย์กลางการกระจายบนแกน x และตัวเลือกกระจายรอบๆ จุดศูนย์กลางนี้  (รูปที่ 4.1 และ 4.2) คุณลักษณะของเส้นโค้งการกระจายแบบปกติคือความสมมาตรสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการแจกแจง - ที่ทั้งสองด้านของตรงกลางจะมีการสร้างกิ่งก้านที่ลดลงสองอันสม่ำเสมอกันโดยเข้าใกล้แกนแอบซิสซา ดังนั้น ในการแจกแจงแบบปกติ ค่าเฉลี่ย รูปแบบ และค่ามัธยฐานจะเท่ากัน: = โม = ฉัน

  x

เส้นโค้งการกระจายแบบปกติมีจุดเปลี่ยนเว้าสองจุด (การเปลี่ยนจากนูนไปเป็นเว้า) ที่ t = 1 กล่าวคือ เมื่อออปชันเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย (x – ) เท่ากับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน  ภายใน  โดยมีการแจกแจงแบบปกติคือ 68.3% ภายใน 2 – 95.4% ภายใน 3 – 99.7% ของจำนวนการสังเกตหรือความถี่ของอนุกรมการแจกแจง ในทางปฏิบัติแทบจะไม่มีการเบี่ยงเบนเกิน 3 ดังนั้น ความสัมพันธ์ที่ให้มาจึงเรียกว่า “ กฎสามซิกมา ».

ในการคำนวณความถี่ทางทฤษฎีจะใช้สูตร:

.

ขนาด
เป็นฟังก์ชันของ t หรือความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติซึ่งกำหนดจากตารางพิเศษ ข้อความที่ตัดตอนมาจากตาราง 4.2.

ค่าความหนาแน่นของการแจกแจงปกติ ตารางที่ 4.2

กราฟในรูป 4.3 แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความใกล้ชิดของการแจกแจงเชิงประจักษ์ (2) และแบบปกติ (1)

ข้าว. 4.3. การกระจายสาขาบริการไปรษณีย์ตามหมายเลข

คนงาน: 1 – ปกติ; 2 – เชิงประจักษ์

เพื่อยืนยันความใกล้เคียงของการแจกแจงเชิงประจักษ์ตามกฎของการแจกแจงแบบปกติ ให้คำนวณ เกณฑ์ความยินยอม .

เกณฑ์ Kolmogorov -เกณฑ์ความดีเหมาะสมที่ช่วยให้สามารถประเมินระดับความใกล้เคียงของการกระจายตัวเชิงประจักษ์สู่ภาวะปกติ A. N. Kolmogorov เสนอให้ใช้ความแตกต่างสูงสุดระหว่างความถี่สะสมหรือความถี่ของซีรีย์เหล่านี้เพื่อกำหนดความสอดคล้องระหว่างการแจกแจงแบบปกติเชิงประจักษ์และเชิงทฤษฎี เพื่อทดสอบสมมติฐานที่ว่าการแจกแจงเชิงประจักษ์นั้นสอดคล้องกับกฎการแจกแจงแบบปกติ เกณฑ์ความดีพอดี = D/ จะถูกคำนวณ
โดยที่ D คือความแตกต่างสูงสุดระหว่างความถี่เชิงประจักษ์ (สะสม) และความถี่เชิงทฤษฎี n คือจำนวนหน่วยในประชากร เมื่อใช้ตารางพิเศษ P() ถูกกำหนด - ความน่าจะเป็นที่จะบรรลุ ali ซึ่งหมายความว่าถ้า ลักษณะการแปรผันจะถูกกระจายตามกฎปกติ จากนั้นด้วยเหตุผลสุ่ม ความคลาดเคลื่อนสูงสุดระหว่างความถี่สะสมเชิงประจักษ์และเชิงทฤษฎีจะไม่น้อยไปกว่าความถี่ที่สังเกตได้จริง จากค่าของ P() จะมีการสรุปข้อสรุปบางประการ: หากความน่าจะเป็น P() มีมากเพียงพอ สมมติฐานที่ว่าการแจกแจงตามจริงนั้นสอดคล้องกับกฎปกติก็ถือได้ว่าได้รับการยืนยันแล้ว ถ้าความน่าจะเป็น P() น้อย สมมติฐานว่างก็จะถูกปฏิเสธ และความคลาดเคลื่อนระหว่างการแจกแจงตามจริงและการแจกแจงทางทฤษฎีถือว่ามีนัยสำคัญ

ค่าความน่าจะเป็นสำหรับเกณฑ์ความดีเหมาะสม  ตารางที่ 4.3

เกณฑ์ของเพียร์สัน 2 (“ไคสแควร์”) - เกณฑ์ความดีเหมาะสมที่ช่วยให้สามารถประเมินระดับความใกล้เคียงของการกระจายเชิงประจักษ์สู่ภาวะปกติ:
โดยที่ f i, f" i คือความถี่ของการแจกแจงเชิงประจักษ์และเชิงทฤษฎีในช่วงเวลาหนึ่ง ยิ่งความแตกต่างระหว่างความถี่ที่สังเกตได้กับความถี่ทางทฤษฎีมากเท่าใด เกณฑ์ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น  2. เพื่อแยกแยะความสำคัญของความแตกต่างในความถี่ของ การแจกแจงเชิงประจักษ์และเชิงทฤษฎีตามเกณฑ์ 2 จากความแตกต่างเนื่องจากตัวอย่างโอกาสค่าที่คำนวณได้ของเกณฑ์ 2 คำนวณจะถูกเปรียบเทียบกับตาราง 2 แบบตารางที่มีจำนวนองศาอิสระที่เหมาะสมและระดับนัยสำคัญที่กำหนด ระดับถูกเลือกเพื่อให้ P( 2 calc > 2 แท็บ) =  ชม.–ล, ที่ไหน ชม.– จำนวนกลุ่ม ล– จำนวนเงื่อนไขที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อคำนวณความถี่ทางทฤษฎี เพื่อคำนวณความถี่ทางทฤษฎีของเส้นโค้งการแจกแจงแบบปกติโดยใช้สูตร
คุณต้องรู้พารามิเตอร์สามตัว , , f ดังนั้น จำนวนดีกรีอิสระคือ h–3 ถ้า  2 calc > 2 แท็บ เช่น  2 ตกอยู่ในบริเวณวิกฤต ดังนั้นความแตกต่างระหว่างความถี่เชิงประจักษ์และความถี่เชิงทฤษฎีจึงมีนัยสำคัญ และไม่สามารถอธิบายได้ด้วยความผันผวนแบบสุ่มในข้อมูลตัวอย่าง ในกรณีนี้ สมมติฐานว่างจะถูกปฏิเสธ ถ้า  2 การคำนวณ  2 ตาราง เช่น เกณฑ์ที่คำนวณได้จะต้องไม่เกินค่าความแตกต่างสูงสุดที่เป็นไปได้ของความถี่ที่อาจเกิดขึ้นเนื่องจากโอกาส จากนั้นในกรณีนี้จะยอมรับสมมติฐานเกี่ยวกับการโต้ตอบของการแจกแจง เกณฑ์ของ Pearson มีผลกับจำนวนการสังเกตที่มีนัยสำคัญ (n50) และความถี่ของช่วงทั้งหมดจะต้องมีจำนวนอย่างน้อยห้าหน่วย (ด้วยจำนวนที่น้อยกว่า ช่วงจะรวมกัน) และจำนวนช่วง (กลุ่ม) ต้อง มีขนาดใหญ่ (h>5) เนื่องจากการประมาณค่า  2 ขึ้นอยู่กับจำนวนระดับความเป็นอิสระ

เกณฑ์ Romanovsky -เกณฑ์ความดีเหมาะสมที่ช่วยให้สามารถประเมินระดับความใกล้ชิดของการกระจายตัวเชิงประจักษ์สู่ภาวะปกติ Romanovsky เสนอให้ประเมินความใกล้ชิดของการกระจายเชิงประจักษ์กับเส้นโค้งการกระจายแบบปกติโดยสัมพันธ์กับ:

โดยที่ h คือจำนวนกลุ่ม

หากอัตราส่วนมากกว่า 3 ความคลาดเคลื่อนระหว่างความถี่ของการแจกแจงเชิงประจักษ์และการแจกแจงแบบปกติจะไม่ถือเป็นการสุ่ม และสมมติฐานของกฎการแจกแจงแบบปกติควรถูกปฏิเสธ หากอัตราส่วนน้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 เราก็สามารถยอมรับสมมติฐานที่ว่าการกระจายข้อมูลเป็นเรื่องปกติ

2.6 ความเบ้และความโด่ง

ในสถิติทางคณิตศาสตร์ เพื่อกำหนดรูปแบบเรขาคณิตของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม จะใช้คุณลักษณะตัวเลขสองประการที่เกี่ยวข้องกับโมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับที่สามและสี่

คำจำกัดความ 2.22 ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของตัวอย่างx 1 , x 2 , …, x nคือตัวเลขที่เท่ากับอัตราส่วนของโมเมนต์ตัวอย่างกลางอันดับสามต่อกำลังสามของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส:

เนื่องจาก จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรจะแสดงผ่านโมเมนต์ศูนย์กลางตามสูตรต่อไปนี้:

จากที่นี่เราจะได้สูตรที่แสดงค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรผ่านช่วงเวลาเริ่มต้น:

ซึ่งอำนวยความสะดวกในการคำนวณเชิงปฏิบัติ

มีการแนะนำคุณลักษณะทางทฤษฎีที่สอดคล้องกันโดยใช้ประเด็นทางทฤษฎี

คำจำกัดความ 2.23 สัมประสิทธิ์อสมมาตรของตัวแปรสุ่มเอ็กซ์หมายเลขที่เรียกเท่ากับอัตราส่วนโมเมนต์กลางอันดับที่สามถึงกำลังสามของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

ถ้าตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ μ ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรทางทฤษฎีจะเท่ากับ 0 แต่ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นไม่สมมาตร ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรจะแตกต่างจากศูนย์ ค่าบวกของสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรบ่งชี้ว่าค่าส่วนใหญ่ของตัวแปรสุ่มจะอยู่ทางด้านขวาของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ นั่นคือสาขาด้านขวาของเส้นโค้งความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะยาวกว่าด้านซ้าย ค่าลบสำหรับสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรบ่งชี้ว่าส่วนที่ยาวกว่าของเส้นโค้งจะอยู่ทางด้านซ้าย ข้อความนี้แสดงไว้ตามรูปต่อไปนี้

รูปที่ 2.1 – ความไม่สมมาตรเชิงบวกและเชิงลบ

การแจกแจง

ตัวอย่าง 2.29ลองหาค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของกลุ่มตัวอย่างโดยอาศัยข้อมูลจากการศึกษาสถานการณ์ตึงเครียดจากตัวอย่างที่ 2.28

เราได้รับโดยใช้ค่าที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้ของช่วงเวลาตัวอย่างส่วนกลาง

.

ปัดเศษขึ้น = 0.07 ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ของสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรที่พบ แสดงให้เห็นความเบ้ของการแจกแจงที่สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย ค่าบวกบ่งชี้ว่ากิ่งที่ยาวกว่าของเส้นโค้งความหนาแน่นของความน่าจะเป็นอยู่ทางด้านขวา

ค่าคงที่ต่อไปนี้แสดงลักษณะการกระจายของค่าตัวแปรสุ่มรอบโหมด X ของค่ากิริยาช่วย

คำนิยาม 2.24 Kurtosis ของกลุ่มตัวอย่างx 1 , x 2 , …, x nหมายเลขที่เรียก , เท่ากัน

,

ที่ไหน– ช่วงเวลาสำคัญที่เลือกสรรของลำดับที่สี่

ส 4 – มาตรฐานระดับที่สี่การเบี่ยงเบนส.

แนวคิดทางทฤษฎีของความโด่งเป็นการเปรียบเทียบแบบอะนาล็อกของการสุ่มตัวอย่าง

คำจำกัดความ 2.25 ความโด่งของตัวแปรสุ่มเอ็กซ์หมายเลขที่เรียก อีเท่ากัน

,

ที่ไหน– โมเมนต์ศูนย์กลางลำดับที่สี่ทางทฤษฎี

–ระดับที่สี่ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน.

ค่าเคอร์โทซิส จแสดงลักษณะความชันสัมพัทธ์ของส่วนบนสุดของเส้นโค้งความหนาแน่นการกระจายรอบจุดสูงสุด หากความโด่งเป็นจำนวนบวก เส้นโค้งการกระจายที่สอดคล้องกันจะมีจุดสูงสุดที่คมชัดกว่า การกระจายตัวที่มีความโด่งเป็นลบจะมีส่วนบนที่เรียบและแบนกว่า รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงกรณีที่เป็นไปได้

รูปที่ 2.2 – การแจกแจงด้วยค่าความโด่งที่เป็นบวก ศูนย์ และลบ

ความเบ้คำนวณโดยฟังก์ชัน SKES อาร์กิวเมนต์คือช่วงของเซลล์ที่มีข้อมูล เช่น =SKES(A1:A100) หากข้อมูลอยู่ในช่วงของเซลล์ตั้งแต่ A1 ถึง A100

Kurtosis คำนวณโดยฟังก์ชัน KURTESS อาร์กิวเมนต์เป็นข้อมูลตัวเลข ซึ่งโดยปกติจะระบุเป็นช่วงของเซลล์ เช่น =KURTESS(A1:A100)

§2.3 เครื่องมือวิเคราะห์ สถิติเชิงพรรณนา

ใน เอ็กเซลสามารถคำนวณคุณลักษณะจุดทั้งหมดของตัวอย่างได้ในคราวเดียวโดยใช้เครื่องมือวิเคราะห์ สถิติเชิงพรรณนาซึ่งมีอยู่ใน แพ็คเกจการวิเคราะห์.

สถิติเชิงพรรณนาสร้างตารางคุณลักษณะทางสถิติพื้นฐานสำหรับชุดข้อมูล ตารางนี้จะมีลักษณะดังต่อไปนี้: ค่าเฉลี่ย, ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน, การกระจายตัว, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, โหมด, ค่ามัธยฐาน, ช่วงของการแปรผันของช่วงเวลา, ค่าสูงสุดและต่ำสุด, ความไม่สมมาตร, ความโด่ง, ปริมาณประชากร, ผลรวมขององค์ประกอบประชากรทั้งหมด, ช่วงความเชื่อมั่น (ระดับความน่าเชื่อถือ ). เครื่องมือ สถิติเชิงพรรณนาช่วยให้การวิเคราะห์ทางสถิติง่ายขึ้นอย่างมาก โดยไม่จำเป็นต้องเรียกใช้แต่ละฟังก์ชันเพื่อคำนวณคุณลักษณะทางสถิติแยกกัน

เพื่อที่จะโทร สถิติเชิงพรรณนาดังต่อไปนี้:

1) ในเมนู บริการเลือกทีม การวิเคราะห์ข้อมูล;

2) ในรายการ เครื่องมือวิเคราะห์กล่องโต้ตอบ การวิเคราะห์ข้อมูลเลือกเครื่องดนตรี สถิติเชิงพรรณนาและกด ตกลง.

ในหน้าต่าง สถิติเชิงพรรณนาจำเป็น:

· เป็นกลุ่ม ป้อนข้อมูลในสนาม ช่วงเวลาอินพุตระบุช่วงของเซลล์ที่มีข้อมูล

· ถ้าแถวแรกในช่วงอินพุตมีส่วนหัวของคอลัมน์ ดังนั้น ช่องป้ายกำกับในบรรทัดแรกควรตรวจสอบ;

· เป็นกลุ่ม ตัวเลือกเอาท์พุตเปิดใช้งานสวิตช์ (ทำเครื่องหมายในช่อง) สถิติสรุปหากคุณต้องการรายการคุณสมบัติทั้งหมด

· เปิดใช้งานสวิตช์ ระดับความน่าเชื่อถือและระบุความน่าเชื่อถือเป็น % หากคุณต้องการคำนวณช่วงความเชื่อมั่น (ความน่าเชื่อถือเริ่มต้นคือ 95%) คลิก ตกลง.

เป็นผลให้ตารางจะปรากฏขึ้นพร้อมกับค่าที่คำนวณได้ของลักษณะทางสถิติข้างต้น ทันทีโดยไม่ต้องยกเลิกการเลือกตารางนี้ ให้รันคำสั่ง รูปแบบ® คอลัมน์® การเลือกความกว้างอัตโนมัติ.

มุมมองกล่องโต้ตอบ สถิติเชิงพรรณนา:

งานภาคปฏิบัติ

2.1. การคำนวณสถิติจุดพื้นฐานโดยใช้ฟังก์ชันมาตรฐาน เอ็กเซล

โวลต์มิเตอร์ตัวเดียวกันวัดแรงดันไฟฟ้าบนส่วนของวงจร 25 ครั้ง จากการทดลองได้ค่าแรงดันไฟฟ้าเป็นโวลต์ดังนี้:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

ค้นหาค่าเฉลี่ย ตัวอย่าง และความแปรปรวนที่แก้ไข ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ช่วงของการแปรผัน รูปแบบ ค่ามัธยฐาน ทดสอบความเบี่ยงเบนจากการแจกแจงแบบปกติโดยคำนวณความเบ้และความโด่ง

เมื่อต้องการทำงานนี้ให้เสร็จสิ้น ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้

1. พิมพ์ผลลัพธ์ของการทดสอบในคอลัมน์ A

2. ในเซลล์ B1 ให้พิมพ์ “Average” ใน B2 – “Sample variance” ใน B3 – “Standard deviation” ใน B4 – “Corrected variance” ใน B5 – “Corrected Standard Deviation” ใน B6 – “Maximum” ใน B7 – “ขั้นต่ำ” ใน B8 – “ช่วงของการเปลี่ยนแปลง” ใน B9 – “โหมด” ใน B10 – “ค่ามัธยฐาน” ใน B11 – “ความไม่สมมาตร” ใน B12 – “เคอร์โทซิส”

3. ปรับความกว้างของคอลัมน์นี้โดยใช้ การเลือกอัตโนมัติความกว้าง.

4. เลือกเซลล์ C1 และคลิกที่ปุ่มที่มีเครื่องหมาย “=” ในแถบสูตร โดยการใช้ ตัวช่วยสร้างฟังก์ชั่นในหมวดหมู่ เชิงสถิติค้นหาฟังก์ชัน AVERAGE จากนั้นไฮไลต์ช่วงของเซลล์ข้อมูลแล้วคลิก ตกลง.

5. เลือกเซลล์ C2 และคลิกที่เครื่องหมาย = ในแถบสูตร โดยการใช้ ตัวช่วยสร้างฟังก์ชั่นในหมวดหมู่ เชิงสถิติค้นหาฟังก์ชัน VAR จากนั้นไฮไลต์ช่วงของเซลล์ข้อมูลแล้วคลิก ตกลง.

6. ทำตามขั้นตอนเดียวกันนี้ด้วยตนเองเพื่อคำนวณคุณลักษณะที่เหลือ

7. ในการคำนวณช่วงของการแปรผันในเซลล์ C8 ให้ป้อนสูตร: =C6-C7

8. เพิ่มหนึ่งบรรทัดที่ด้านหน้าตารางของคุณ โดยพิมพ์ส่วนหัวของคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง: “ชื่อของลักษณะเฉพาะ” และ “ค่าตัวเลข”

ความเบ้และความโด่งของการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม

090309-matmetody.txt

ลักษณะของความไม่สมมาตร

การวัดความไม่สมมาตรหลักคือค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร นั่นคือระดับที่กราฟการกระจายความถี่เบี่ยงเบนไปจากรูปแบบสมมาตรที่สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย ถูกกำหนดโดยตัวอักษร A พร้อมดัชนี s และคำนวณตามสูตร (รูปที่ 8) ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรจะแตกต่างกันไปตั้งแต่ลบอนันต์ไปจนถึงบวกอนันต์ ความไม่สมมาตรเป็นด้านซ้าย (บวก) เมื่อค่าสัมประสิทธิ์มากกว่าศูนย์ - As>0 และด้านขวา (ลบ) - As<0. При левосторонней ассиметрии чаще встречаются значения ниже среднего арифметического. При правой, соответственно чаще всего встречаются значения, превосходящие среднее арифметическое. Для симметричных распределений коэффициент ассиметрии равен нулю, а мода, медиана и среднее арифметическое значение совпадают между собой.

ลักษณะของความโด่ง

ระบุลักษณะสัมประสิทธิ์ความโด่ง (หรือจุดสูงสุด) - คำนวณโดยใช้สูตร

การกระจายจุดสูงสุดมีลักษณะเฉพาะคือความโด่งเป็นบวก การกระจายจุดสูงสุดแบบแบนมีลักษณะเฉพาะคือความโด่งเป็นลบ และการกระจายยอดเขาตรงกลางไม่มีความโด่ง

ประการแรก ประการที่สอง

ถ้าคุณ-(ปกติจะเป็นช่วง)

วิธีกราฟิก(ถาม- ถาม แปลง, ร-อาร์แปลง).

ที่ไหน น-ขนาดตัวอย่าง

คุณสมบัติของการแจกแจงแบบปกติของตัวแปรสุ่ม

090309-matmetody.txt

การกระจายแบบปกติ

การแจกแจงแบบปกตินั้นมีลักษณะเฉพาะคือค่าลักษณะสุดขั้วนั้นค่อนข้างหายากและค่าที่ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั้นค่อนข้างธรรมดา เส้นโค้งการกระจายตัวแบบปกติจะมีรูปทรงระฆัง นี่คือการแจกแจงแบบ Unimodal ค่าของค่ามัธยฐานโหมดและค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งตรงกันค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้และโด่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ศูนย์ถึงสอง (ยอมรับได้) แต่ในอุดมคติแล้วจะเท่ากับศูนย์

ตั้งแต่ช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 วิธีการวัดและการคำนวณทางจิตวิทยาได้รับการพัฒนาตามหลักการดังต่อไปนี้ ถ้าอินดี้ความแปรปรวนทางสายตาของคุณสมบัติบางอย่างเป็นผลมาจากการกระทำของหลายสาเหตุ จากนั้นการกระจายความถี่สำหรับอาการต่างๆ ทั้งหมดคุณสมบัตินี้ในประชากรทั่วไปสอดคล้องกับเส้นโค้งปกติการแจกแจงนี่คือกฎการกระจายตัวแบบปกติ

กฎการกระจายตัวแบบปกติมีผลกระทบที่สำคัญหลายประการ ซึ่งเราจะกล่าวถึงมากกว่าหนึ่งครั้ง ตอนนี้เราสังเกตว่าหากเมื่อศึกษาคุณสมบัติบางอย่าง เราวัดมันกับกลุ่มตัวอย่างและได้รับการกระจายที่แตกต่างจากคุณสมบัติปกติ นั่นหมายความว่ากลุ่มตัวอย่างไม่ได้เป็นตัวแทนของประชากรทั่วไป หรือการวัดไม่ได้ จัดทำขึ้นในช่วงเวลาเท่าๆ กัน

ถึง
คุณสมบัติทางจิตวิทยา (หรือทางชีววิทยาในวงกว้าง) แต่ละอย่างสอดคล้องกับการกระจายตัวของคุณสมบัติดังกล่าวในประชากรทั่วไป ส่วนใหญ่มักเป็นเรื่องปกติและมีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์: ค่าเฉลี่ย (ม)และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (o) มีเพียงสองค่านี้เท่านั้นที่แยกความแตกต่างจากชุดเส้นโค้งปกติที่มีรูปร่างเดียวกันไม่สิ้นสุดโดยกำหนดโดยสมการ (5.1) ค่าเฉลี่ยจะระบุตำแหน่งของเส้นโค้งบนแกนตัวเลขและทำหน้าที่เป็นค่าเริ่มต้นบางส่วน ค่าการวัดมาตรฐานค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะกำหนดความกว้างของเส้นโค้งนี้ ขึ้นอยู่กับหน่วยการวัดและทำหน้าที่เป็น ขนาดการวัด(รูปที่ 5.3)

รูปที่ 5.3. กลุ่มของเส้นโค้งปกติ การแจกแจงครั้งที่ 1 แตกต่างจากอันดับที่ 2 โดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ 1< σ 2), 2-е от 3-го средним арифметическим (M 2 < M 3)

การแจกแจงแบบปกติที่หลากหลายทั้งหมดสามารถลดลงเหลือเพียงเส้นโค้งเดียวได้ หากเราใช้การแปลง ^- (ตามสูตร 4.8) กับการวัดคุณสมบัติที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากนั้นแต่ละคุณสมบัติจะมีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 ในรูป 5.4 กราฟของการแจกแจงแบบปกติจะถูกพล็อต ม= 0 และ ก = 1 นี่คือมันการแจกแจงแบบปกติของหน่วย WHO-ฝูงถูกใช้เป็นมาตรฐาน-มาตรฐาน- ลองพิจารณาดูครับ คุณสมบัติที่สำคัญ.

หน่วยวัดของการแจกแจงแบบปกติของหน่วยคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เส้นโค้งเข้าใกล้แกน Z ที่ขอบโดยไม่มีเส้นกำกับ - ห้ามสัมผัสกัน

เส้นโค้งมีความสมมาตรประมาณ M=0 ความไม่สมมาตรและความโด่งเป็นศูนย์

เส้นโค้งมีลักษณะโค้งงอ: จุดเปลี่ยนเว้าอยู่ที่ระยะห่าง 1 σ จาก M พอดี

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแกน Z คือ 1

คุณสมบัติสุดท้ายอธิบายชื่อ เดี่ยวการกระจายตัวแบบปกติและมีความสำคัญอย่างยิ่ง ขอขอบคุณทรัพย์สินนี้ พื้นที่ใต้เส้นโค้งถูกตีความว่าเป็นความน่าจะเป็นหรือสัมพัทธ์ความถี่.แท้จริงแล้ว พื้นที่ทั้งหมดใต้เส้นโค้งสอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่คุณลักษณะนั้นจะนำค่าใดๆ จากช่วงความแปรปรวนทั้งหมด (ตั้งแต่ -oo ถึง +oo) พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติหน่วยทางซ้ายหรือขวาของจุดศูนย์คือ 0.5 สิ่งนี้สอดคล้องกับความจริงที่ว่าครึ่งหนึ่งของประชากรทั่วไปมีค่าลักษณะเฉพาะมากกว่า 0 และครึ่งหนึ่ง - น้อยกว่า 0 ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดขึ้นในประชากรทั่วไปของค่าลักษณะเฉพาะอยู่ในช่วงตั้งแต่ ซี\ ถึง ซี เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งที่อยู่ระหว่างจุดที่สอดคล้องกัน โปรดทราบอีกครั้งว่าการแจกแจงแบบปกติใดๆ สามารถลดลงเหลือการแจกแจงแบบปกติหนึ่งหน่วยได้ z- การเปลี่ยนแปลง

ดังนั้น คุณสมบัติทั่วไปที่สำคัญที่สุดของเส้นโค้งการแจกแจงแบบปกติที่แตกต่างกันคือสัดส่วนของพื้นที่ใต้เส้นโค้งที่เท่ากันระหว่างค่าแอตทริบิวต์สองค่าที่เหมือนกัน ซึ่งแสดงเป็นหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

มีประโยชน์ที่ต้องจำไว้ว่าสำหรับการแจกแจงแบบปกติใด ๆ มีความสอดคล้องระหว่างช่วงของค่าและพื้นที่ใต้เส้นโค้งดังต่อไปนี้:

การแจกแจงแบบปกติแบบเดี่ยวจะสร้างความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกับจำนวนผู้ป่วยในประชากรสำหรับการแจกแจงแบบปกติใดๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อทราบคุณสมบัติของการแจกแจงแบบปกติหนึ่งหน่วย เราก็สามารถตอบคำถามต่อไปนี้ได้ สัดส่วนของประชากรทั่วไปมีการแสดงออกทางทรัพย์สินตั้งแต่ - \โอสูงถึง +1o? หรือความน่าจะเป็นที่ตัวแทนที่ได้รับการสุ่มเลือกจากประชากรทั่วไปจะมีความเข้มข้นของคุณสมบัติที่มากกว่าค่าเฉลี่ยเป็นเท่าใด? ในกรณีแรก คำตอบจะเป็น 68.26% ของประชากรทั้งหมด เนื่องจากตั้งแต่ - 1 ถึง +1 คือ 0.6826 ของพื้นที่ของการแจกแจงแบบปกติหนึ่งหน่วย ในกรณีที่สอง คำตอบคือ: (100-99.72)/2 = 0.14%

มีตารางพิเศษที่ให้คุณกำหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งทางด้านขวาของค่าบวกใดๆ z (ภาคผนวก 1) คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของค่าแอตทริบิวต์จากช่วงใดก็ได้ สิ่งนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการตีความข้อมูลการทดสอบ

แม้จะมีสมมติฐานเบื้องต้นว่าคุณสมบัติในประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ แต่ข้อมูลจริงที่ได้รับจากตัวอย่างก็ไม่ค่อยมีการกระจายตามปกติ นอกจากนี้ ยังมีการพัฒนาวิธีการหลายวิธีที่ทำให้สามารถวิเคราะห์ข้อมูลโดยไม่ต้องสันนิษฐานเกี่ยวกับลักษณะของการกระจาย ทั้งในกลุ่มตัวอย่างและในประชากร สถานการณ์เหล่านี้บางครั้งนำไปสู่ความเชื่อผิด ๆ ว่าการแจกแจงแบบปกตินั้นเป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ที่ว่างเปล่าซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับจิตวิทยา อย่างไรก็ตาม ดังที่เราจะได้เห็นในภายหลัง การใช้การแจกแจงแบบปกติมีสิ่งสำคัญอย่างน้อยสามประการ:

การพัฒนาเครื่องชั่งทดสอบ

ตรวจสอบความปกติของการกระจายตัวอย่างเพื่อประกอบการตัดสินใจ
การตัดสินใจเกี่ยวกับขนาดแอตทริบิวต์ที่วัดได้ - เมตริกหรือแบบทั่วไป
ส่วนตัว

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาความเสี่ยง
ตัดสินใจผิด

การกระจายตัวแบบปกติมาตรฐาน การกำหนดมาตรฐานของการแจกแจง

(สำหรับคำถามข้อ 12 ทั้งหมด + เกี่ยวกับมาตรฐาน ดูด้านล่าง)

091208-matmetody.txt

การทำให้เป็นมาตรฐาน วิธีการวินิจฉัยทางจิต (เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในคำถามข้อ 17)

ประชากรและกลุ่มตัวอย่าง

091208-matmetody.txt

ประชากรทั่วไป

เทคนิคการวินิจฉัยทางจิตเวชใด ๆ มีวัตถุประสงค์เพื่อตรวจบุคคลกลุ่มใหญ่บางประเภท ชุดนี้เรียกว่าประชากร

ในการกำหนดระดับการแสดงออกของทรัพย์สินเฉพาะเจาะจงในบุคคลใดบุคคลหนึ่ง คุณจำเป็นต้องรู้ว่าคุณภาพนี้กระจายไปทั่วประชากรทั้งหมดอย่างไร แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะสำรวจประชากรทั่วไป ดังนั้นพวกเขาจึงหันไปดึงตัวอย่างจากประชากรทั่วไป ซึ่งก็คือ ส่วนหนึ่งของประชากรทั่วไป ความเป็นตัวแทนนี้ (มิฉะนั้นจะเรียกว่า "การเป็นตัวแทน") ที่เป็นข้อกำหนดหลักสำหรับตัวอย่าง เป็นไปไม่ได้ที่จะรับประกันว่าข้อกำหนดนี้ตรงกันทุกประการ คุณสามารถเข้าใกล้อุดมคติได้โดยใช้วิธีการบางอย่างเท่านั้น สิ่งหลักคือ 1) การสุ่มและ 2) การสร้างแบบจำลอง

1) การสุ่มตัวอย่างถือว่าอาสาสมัครจะถูกรวมไว้ในนั้นโดยการสุ่ม มีการใช้มาตรการเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีรูปแบบใดเกิดขึ้น

2) เมื่อทำการสร้างแบบจำลอง อันดับแรกจะเลือกคุณสมบัติที่อาจส่งผลต่อผลการทดสอบ โดยปกติแล้วสิ่งเหล่านี้จะเป็นลักษณะทางประชากรศาสตร์ โดยมีการจำแนกการไล่ระดับที่แตกต่างกัน เช่น ช่วงอายุ ระดับการศึกษา ฯลฯ จากข้อมูลเหล่านี้ แบบจำลองเมทริกซ์ของประชากรทั่วไปจะถูกสร้างขึ้นจากข้อมูลเหล่านี้

โดยทั่วไป วิธีการจะกำหนดมาตรฐานให้กับกลุ่มตัวอย่างจำนวน 200 ถึง 800 คน

การกำหนดมาตรฐานของวิธีการทางจิตวินิจฉัยเป็นขั้นตอนในการรับมาตราส่วนที่ช่วยให้คุณสามารถเปรียบเทียบผลการทดสอบแต่ละรายการกับผลลัพธ์ของกลุ่มใหญ่

การวิจัยมักจะเริ่มต้นด้วยสมมติฐานบางประการที่ต้องมีการตรวจสอบยืนยันโดยใช้ข้อเท็จจริง สมมติฐานนี้ - สมมติฐาน - ได้รับการกำหนดขึ้นโดยสัมพันธ์กับการเชื่อมโยงของปรากฏการณ์หรือคุณสมบัติในชุดวัตถุบางชุด

เพื่อทดสอบสมมติฐานดังกล่าวกับข้อเท็จจริง จำเป็นต้องวัดคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของผู้ถือ แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะวัดความวิตกกังวลของผู้หญิงและผู้ชายทุกคน เช่นเดียวกับที่เป็นไปไม่ได้ที่จะวัดความก้าวร้าวในวัยรุ่นทุกคน ดังนั้นในการทำวิจัยจึงจำกัดอยู่เพียงกลุ่มตัวแทนจำนวนค่อนข้างน้อยจากประชากรที่เกี่ยวข้องเท่านั้น

ประชากร- นี่คือชุดของวัตถุทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดสมมติฐานการวิจัย

ในตัวอย่างแรก ประชากรทั่วไปดังกล่าวคือผู้ชายและผู้หญิงทุกคน ประการที่สอง - วัยรุ่นทุกคนที่ดูรายการโทรทัศน์ที่มีฉากความรุนแรง ประชากรทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับผู้วิจัยที่จะสรุปผลการศึกษาอาจมีขนาดไม่มากนัก

ดังนั้น ประชากรทั่วไปถึงแม้จะไม่ใช่จำนวนไม่จำกัด แต่ตามกฎแล้ว เป็นกลุ่มวิชาที่มีศักยภาพที่ไม่สามารถเข้าถึงได้สำหรับการวิจัยอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่าง- นี่คือกลุ่มของวัตถุที่จำกัดจำนวน (ในด้านจิตวิทยา - วิชา ผู้ตอบแบบสอบถาม) คัดเลือกเป็นพิเศษจากประชากรทั่วไปเพื่อศึกษาคุณสมบัติของมัน ดังนั้นการศึกษาคุณสมบัติของประชากรทั่วไปโดยใช้ตัวอย่างจึงเรียกว่า การศึกษาตัวอย่างการศึกษาทางจิตวิทยาเกือบทั้งหมดเป็นการศึกษาแบบเลือกสรร และข้อสรุปของการศึกษาเหล่านี้ใช้ได้กับประชากรทั่วไป

ดังนั้น หลังจากที่ตั้งสมมติฐานและระบุประชากรที่เกี่ยวข้องแล้ว ผู้วิจัยก็ประสบปัญหาในการจัดการตัวอย่าง กลุ่มตัวอย่างควรเป็นเช่นนั้นเพื่อให้ข้อสรุปทั่วไปของการศึกษาตัวอย่างมีความสมเหตุสมผล - ลักษณะทั่วไปและการขยายไปสู่ประชากรทั่วไป เกณฑ์หลักในการแต่งตั้งความถูกต้องของผลการวิจัย- นี่คือตัวแทนของกลุ่มตัวอย่างและความน่าเชื่อถือทางสถิติของผลลัพธ์ (เชิงประจักษ์)

ความเป็นตัวแทนของกลุ่มตัวอย่าง- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเป็นตัวแทนคือความสามารถของกลุ่มตัวอย่างในการเป็นตัวแทนของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ค่อนข้างครบถ้วนจากมุมมองของความแปรปรวนในประชากรทั่วไป

แน่นอนว่า มีเพียงประชากรทั่วไปเท่านั้นที่สามารถให้ภาพที่สมบูรณ์ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาได้ ในทุกช่วงและความแตกต่างของความแปรปรวน ดังนั้นความเป็นตัวแทนจึงถูกจำกัดอยู่ในขอบเขตที่ตัวอย่างถูกจำกัดเสมอ และเป็นตัวแทนของกลุ่มตัวอย่างที่เป็นเกณฑ์หลักในการกำหนดขอบเขตของลักษณะทั่วไปของผลการวิจัย อย่างไรก็ตามมีเทคนิคที่ทำให้ได้ตัวอย่างที่เป็นตัวแทนเพียงพอต่อผู้วิจัย (คำถาม #15 เป็นคำถามต่อเนื่องของคำถามนี้)

วิธีการสุ่มตัวอย่างเบื้องต้น

กับ. 13 (20) (คำถาม #14 เป็นคำนำของคำถามนี้)

เทคนิคแรกและหลักคือ สุ่มง่าย ๆ (สุ่ม)การเลือกโดยเกี่ยวข้องกับการประกันเงื่อนไขที่ว่าประชากรแต่ละคนมีโอกาสเท่าๆ กันที่จะรวมไว้ในกลุ่มตัวอย่าง การเลือกแบบสุ่มช่วยให้แน่ใจว่าตัวแทนที่หลากหลายของประชากรทั่วไปสามารถรวมอยู่ในกลุ่มตัวอย่างได้ ในกรณีนี้ มีการใช้มาตรการพิเศษเพื่อป้องกันการเกิดรูปแบบใด ๆ ในระหว่างการเลือก และสิ่งนี้ช่วยให้เราหวังว่าท้ายที่สุดแล้ว ในกลุ่มตัวอย่าง คุณสมบัติที่กำลังศึกษาจะถูกนำเสนอในความหลากหลายที่เป็นไปได้สูงสุด หากไม่ใช่ทั้งหมด

วิธีที่สองในการรับรองความเป็นตัวแทนคือ การเลือกแบบสุ่มแบบแบ่งชั้นหรือการคัดเลือกตามคุณสมบัติของประชากร โดยเกี่ยวข้องกับการพิจารณาเบื้องต้นเกี่ยวกับคุณสมบัติเหล่านั้นที่อาจส่งผลต่อความแปรปรวนของทรัพย์สินที่กำลังศึกษา (ซึ่งอาจเป็นเพศ ระดับรายได้ หรือการศึกษา เป็นต้น) จากนั้นจึงกำหนดอัตราส่วนเปอร์เซ็นต์ของจำนวนกลุ่ม (ชั้น) ที่แตกต่างกันในคุณสมบัติเหล่านี้ในประชากรทั่วไป และรับประกันอัตราส่วนเปอร์เซ็นต์ที่เท่ากันของกลุ่มที่เกี่ยวข้องในกลุ่มตัวอย่าง จากนั้น อาสาสมัครจะถูกเลือกลงในแต่ละกลุ่มย่อยของกลุ่มตัวอย่างตามหลักการสุ่มเลือกอย่างง่าย

ความน่าเชื่อถือทางสถิติหรือนัยสำคัญทางสถิติ ผลลัพธ์ของการศึกษาจะถูกกำหนดโดยใช้วิธีการอนุมานทางสถิติ เราจะพิจารณาวิธีการเหล่านี้โดยละเอียดในส่วนที่สองของหนังสือเล่มนี้ ตอนนี้เราเพิ่งทราบว่าพวกเขามีข้อกำหนดบางประการสำหรับจำนวนหรือ ขนาดตัวอย่าง

ขออภัย ไม่มีหลักเกณฑ์ที่เข้มงวดในการกำหนดขนาดตัวอย่างที่ต้องการล่วงหน้า นอกจากนี้ผู้วิจัยมักจะได้รับคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับจำนวนที่จำเป็นและเพียงพอช้าเกินไป - หลังจากวิเคราะห์ข้อมูลของกลุ่มตัวอย่างที่สำรวจแล้วเท่านั้น อย่างไรก็ตาม คำแนะนำทั่วไปส่วนใหญ่สามารถกำหนดได้:

□ ต้องใช้ขนาดตัวอย่างที่ใหญ่ที่สุดในการพัฒนาเทคนิคการวินิจฉัย - ตั้งแต่ 200 ถึง 1,000-2,500 คน

หากจำเป็นต้องเปรียบเทียบ 2 ตัวอย่าง จำนวนทั้งหมดควรเป็น
อย่างน้อย 50 คน จำนวนตัวอย่างที่เปรียบเทียบควร
จะประมาณเดียวกัน

P หากกำลังศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างคุณสมบัติใดๆ ขนาดของกลุ่มตัวอย่างควรมีอย่างน้อย 30-35 คน

□ ยิ่งมากขึ้น ความแปรปรวนทรัพย์สินที่กำลังศึกษาอยู่ก็ควรจะมากขึ้น
ขนาดตัวอย่าง ดังนั้นความแปรปรวนสามารถลดลงได้โดยการเพิ่ม
ความสม่ำเสมอของกลุ่มตัวอย่าง เช่น ตามเพศ อายุ เป็นต้น ขณะเดียวกัน
โดยปกติแล้ว ความเป็นไปได้ในการสรุปข้อสรุปโดยทั่วไปจะลดลง

ตัวอย่างที่ขึ้นต่อกันและเป็นอิสระสถานการณ์การวิจัยทั่วไปคือเมื่อมีการศึกษาคุณสมบัติที่เป็นที่สนใจของนักวิจัยในตัวอย่างตั้งแต่สองตัวอย่างขึ้นไปเพื่อวัตถุประสงค์ในการเปรียบเทียบเพิ่มเติม ตัวอย่างเหล่านี้อาจมีสัดส่วนที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับขั้นตอนขององค์กร เป็นอิสระตัวอย่างที่ถูกต้องมีคุณลักษณะเฉพาะคือความน่าจะเป็นของการเลือกวิชาใดๆ ในกลุ่มตัวอย่างหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกวิชาใดๆ ในกลุ่มตัวอย่างอื่น ขัดต่อ, ตัวอย่างขึ้นอยู่กับมีลักษณะเฉพาะคือแต่ละเรื่องจากตัวอย่างหนึ่งจะถูกจับคู่ตามเกณฑ์ที่กำหนดโดยหัวข้อจากตัวอย่างอื่น

โดยทั่วไป กลุ่มตัวอย่างที่ต้องพึ่งพาเกี่ยวข้องกับการเลือกกลุ่มตัวอย่างในการเปรียบเทียบ และกลุ่มตัวอย่างอิสระบ่งบอกถึงการเลือกกลุ่มตัวอย่างอย่างอิสระ

ควรสังเกตว่ากรณีของตัวอย่างที่ "ขึ้นอยู่กับบางส่วน" (หรือ "อิสระบางส่วน") นั้นไม่สามารถยอมรับได้: นี่เป็นการละเมิดการเป็นตัวแทนอย่างไม่อาจคาดเดาได้

โดยสรุป เราสังเกตว่าสามารถแยกแยะกระบวนทัศน์ของการวิจัยทางจิตวิทยาได้สองแบบ ที่เรียกว่า ร-วิธีการเกี่ยวข้องกับการศึกษาความแปรปรวนของคุณสมบัติบางอย่าง (จิตวิทยา) ภายใต้อิทธิพลของอิทธิพล ปัจจัย หรือคุณสมบัติอื่น ๆ ตัวอย่างมีหลายแบบ จำนวนวิชา . อีกแนวทางหนึ่ง ถาม-ระเบียบวิธีเกี่ยวข้องกับการศึกษาความแปรปรวนของวัตถุ (ส่วนบุคคล) ภายใต้อิทธิพลของสิ่งเร้าต่างๆ (เงื่อนไข สถานการณ์ ฯลฯ) สอดคล้องกับสถานการณ์เมื่อ ตัวอย่างคือ มีแรงจูงใจมากมาย .

การตรวจสอบตัวอย่างเพื่อหาค่าที่ผิดปกติ

ในการทดสอบภาวะปกติ มีการใช้ขั้นตอนต่างๆ เพื่อพิจารณาว่าการกระจายตัวตัวอย่างของตัวแปรที่วัดได้แตกต่างจากปกติหรือไม่ ความจำเป็นในการเปรียบเทียบเกิดขึ้นเมื่อเราสงสัยว่าแอตทริบิวต์นั้นแสดงในระดับใด - ลำดับหรือเมตริก และความสงสัยดังกล่าวเกิดขึ้นบ่อยมากเนื่องจากตามกฎแล้วเราไม่ทราบล่วงหน้าว่าจะสามารถวัดทรัพย์สินที่กำลังศึกษาได้ในระดับใด (ไม่รวมกรณีของการวัดที่มีการเสนอชื่ออย่างชัดเจน)

ความสำคัญของการกำหนดว่าลักษณะใดที่วัดได้นั้นไม่สามารถประเมินค่าสูงเกินไปได้ ด้วยเหตุผลอย่างน้อยสองประการ มันขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ประการแรกความสมบูรณ์ของการคำนึงถึงข้อมูลเชิงประจักษ์เบื้องต้น (โดยเฉพาะเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างบุคคล) ประการที่สองความพร้อมใช้งานของวิธีการวิเคราะห์ข้อมูลมากมาย หากผู้วิจัยตัดสินใจที่จะวัดในระดับลำดับ การจัดอันดับตามมาที่หลีกเลี่ยงไม่ได้จะนำไปสู่การสูญเสียข้อมูลดั้งเดิมบางส่วนเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างวิชา กลุ่มที่ศึกษา ความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะ ฯลฯ นอกจากนี้ ข้อมูลเมตริกยังช่วยให้สามารถใช้ วิธีการวิเคราะห์ที่หลากหลายยิ่งขึ้น ส่งผลให้ข้อสรุปการวิจัยมีความลึกและมีความหมายมากขึ้น

ข้อโต้แย้งที่น่าสนใจที่สุดที่สนับสนุนความจริงที่ว่าคุณลักษณะนั้นถูกวัดในระดับหน่วยเมตริกก็คือความสอดคล้องของการกระจายตัวของตัวอย่างกับค่าปกติ นี่เป็นผลมาจากกฎการกระจายตัวแบบปกติ ถ้าคุณ-การแจกแจงแบบโบโรชไม่แตกต่างจากการแจกแจงแบบปกติซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติที่วัดได้สะท้อนให้เห็นในระดับเมตริก(ปกติจะเป็นช่วง)

มีหลายวิธีในการทดสอบความเป็นปกติ ซึ่งเราจะอธิบายสั้นๆ เพียงไม่กี่วิธี โดยสมมติว่าผู้อ่านจะทำการทดสอบเหล่านี้โดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์

วิธีกราฟิก(ถาม- ถาม แปลง, ร-อาร์แปลง). พวกเขาสร้างกราฟควอนไทล์หรือกราฟความถี่สะสม แปลงปริมาณ (ถาม- ถาม แปลง) ถูกสร้างขึ้นดังนี้ ขั้นแรกให้กำหนดค่าเชิงประจักษ์ของคุณลักษณะที่กำลังศึกษาซึ่งสอดคล้องกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 5, 10, ... , 95 จากนั้นคะแนน Z (ตามทฤษฎี) จะถูกกำหนดจากตารางการแจกแจงแบบปกติสำหรับแต่ละเปอร์เซ็นไทล์เหล่านี้ ชุดตัวเลขผลลัพธ์ทั้งสองชุดระบุพิกัดของจุดบนกราฟ: ค่าเชิงประจักษ์ของแอตทริบิวต์จะถูกพล็อตบนแกน abscissa และค่าทางทฤษฎีที่เกี่ยวข้องจะถูกพล็อตบนแกนกำหนด สำหรับการแจกแจงแบบปกติทุกจุดจะเป็นกดบนหรือใกล้เส้นเดียวกัน- ยิ่งระยะห่างจากจุดถึงเส้นตรงมากเท่าใด การกระจายจะสอดคล้องกับเส้นปกติน้อยลงเท่านั้น กราฟความถี่สะสม (PPแปลง) ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน ค่าของความถี่สัมพัทธ์สะสมจะถูกพล็อตบนแกน abscissa ในช่วงเวลาเท่ากันเช่น 0.05 0.1; - 0.95. ถัดไป จะกำหนดค่าเชิงประจักษ์ของคุณลักษณะที่กำลังศึกษาซึ่งสอดคล้องกับแต่ละค่าของความถี่สะสมซึ่งจะถูกแปลงเป็นคะแนน z โดยตารางการแจกแจงแบบปกติจะกำหนดการสะสมทางทฤษฎีความถี่ที่วัดได้ (พื้นที่ใต้เส้นโค้ง)สำหรับแต่ละค่า r ที่คำนวณได้ ซึ่งแสดงไว้บนพิกัด หากมีการกระจายสินค้าเป็นไปตามปกติ จุดที่ได้รับบนกราฟจะเท่ากันโดยตรง.

เกณฑ์สำหรับความเบ้และความโด่งเกณฑ์เหล่านี้จะกำหนดระดับความเบี่ยงเบนที่อนุญาตของค่าเชิงประจักษ์ของความเบ้และความโด่งจากค่าศูนย์ที่สอดคล้องกับการแจกแจงแบบปกติ ระดับความเบี่ยงเบนที่ยอมรับได้คือระดับที่ช่วยให้เราพิจารณาว่าสถิติเหล่านี้ไม่ได้แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากพารามิเตอร์ปกติ จำนวนค่าเบี่ยงเบนที่อนุญาตจะถูกกำหนดโดยสิ่งที่เรียกว่าข้อผิดพลาดมาตรฐานของความไม่สมมาตรและความโด่ง สำหรับสูตรอสมมาตร (4.10) ข้อผิดพลาดมาตรฐานถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน น-ขนาดตัวอย่าง

ค่าตัวอย่างของความเบ้และความโด่งจะแตกต่างอย่างมากจากศูนย์หากไม่เกินข้อผิดพลาดมาตรฐาน นี่ถือได้ว่าเป็นสัญญาณว่าการกระจายตัวอย่างเป็นไปตามกฎหมายปกติ ควรสังเกตว่าโปรแกรมคอมพิวเตอร์คำนวณตัวบ่งชี้ความไม่สมมาตรความโด่งและข้อผิดพลาดมาตรฐานที่เกี่ยวข้องโดยใช้สูตรอื่นที่ซับซ้อนกว่า

การทดสอบภาวะปกติทางสถิติของโคลโมโกรอฟ-สมีร์นอฟถือว่าเหมาะสมที่สุดสำหรับการกำหนดระดับความสอดคล้องของการแจกแจงเชิงประจักษ์กับระดับปกติ ช่วยให้คุณสามารถประมาณความน่าจะเป็นที่ตัวอย่างที่กำหนดเป็นของประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ หากความน่าจะเป็นนี้ ร< 0.05 ดังนั้น การกระจายตัวเชิงประจักษ์นี้แตกต่างอย่างมากจากปกติ และถ้า ร> 0.05 จากนั้นจึงสรุปว่าการแจกแจงเชิงประจักษ์นี้สอดคล้องกับค่าปกติโดยประมาณ

สาเหตุของการเบี่ยงเบนจากภาวะปกติสาเหตุทั่วไปของการเบี่ยงเบนรูปร่างของการกระจายตัวอย่างของคุณลักษณะจากรูปแบบปกติส่วนใหญ่มักเป็นคุณลักษณะของขั้นตอนการวัด: สเกลที่ใช้อาจมีความไวต่อคุณสมบัติที่วัดได้ไม่สม่ำเสมอในส่วนต่างๆ ของช่วงของความแปรปรวน .

ตัวอย่างสมมติว่าความรุนแรงของความสามารถบางอย่างถูกกำหนดโดยจำนวนงานที่เสร็จสิ้นภายในเวลาที่กำหนด หากงานนั้นเรียบง่ายหรือใช้เวลานานเกินไป ขั้นตอนการวัดนี้จะมีความไวเพียงพอสำหรับส่วนหนึ่งของวิชาที่งานเหล่านี้ค่อนข้างยากเท่านั้น และสัดส่วนของวิชาที่มากเกินไปจะแก้ปัญหาทั้งหมดหรือเกือบทั้งหมดได้ เป็นผลให้เราได้รับการแจกแจงที่มีความไม่สมมาตรทางด้านขวาเด่นชัด แน่นอนว่า มีความเป็นไปได้ที่จะปรับปรุงคุณภาพของการวัดในภายหลังผ่านการทำให้เป็นมาตรฐานเชิงประจักษ์ โดยการเพิ่มงานที่ซับซ้อนมากขึ้น หรือลดเวลาที่ต้องใช้ในการทำงานชุดที่กำหนดให้เสร็จสิ้น หากเราทำให้ขั้นตอนการวัดซับซ้อนเกินไป สถานการณ์ตรงกันข้ามก็จะเกิดขึ้นเมื่อผู้ทดลองส่วนใหญ่จะแก้งานจำนวนเล็กน้อยได้ และการกระจายเชิงประจักษ์จะมีความไม่สมดุลทางด้านซ้าย

ดังนั้น การเบี่ยงเบนไปจากรูปแบบปกติ เช่น ความไม่สมมาตรด้านขวาหรือด้านซ้าย หรือความโด่งที่ใหญ่เกินไป (มากกว่า 0) สัมพันธ์กับความไวที่ค่อนข้างต่ำของขั้นตอนการวัดในพื้นที่โหมด (ด้านบนของกราฟการกระจายความถี่ ).

ผลที่ตามมาของการเบี่ยงเบนจาก ความปกติควรสังเกตว่างานเพื่อให้ได้การกระจายเชิงประจักษ์ที่สอดคล้องกับกฎปกติอย่างเคร่งครัดนั้นมักไม่ค่อยพบในการปฏิบัติงานวิจัย โดยทั่วไป กรณีดังกล่าวจะจำกัดอยู่เพียงการพัฒนาขั้นตอนการวัดหรือสเกลการทดสอบใหม่ เมื่อใช้การปรับมาตรฐานเชิงประจักษ์หรือไม่เชิงเส้นเพื่อ "แก้ไข" การกระจายเชิงประจักษ์ ในส่วนใหญ่กรณีของความสอดคล้องหรือไม่สอดคล้องกับความปกติเป็นลักษณะของคุณสมบัติของลักษณะที่วัดได้ซึ่งผู้วิจัยจะต้องคำนึงถึงเมื่อใดการเลือกขั้นตอนทางสถิติเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูล

โดยทั่วไป หากการแจกแจงเชิงประจักษ์เบี่ยงเบนไปจากค่าปกติอย่างมีนัยสำคัญ เราควรละทิ้งสมมติฐานที่ว่าคุณลักษณะนั้นถูกวัดเป็นหน่วยเมตริก แต่คำถามยังคงเปิดอยู่: อะไรคือการวัดความสำคัญของการเบี่ยงเบนนี้? นอกจากนี้ วิธีการวิเคราะห์ข้อมูลที่แตกต่างกันยังมีความไวต่อการเบี่ยงเบนจากภาวะปกติที่แตกต่างกัน โดยปกติแล้ว เมื่อพิจารณาถึงโอกาสของปัญหานี้ หลักการของอาร์ ฟิชเชอร์ ซึ่งเป็นหนึ่งใน "บิดาผู้ก่อตั้ง" ของสถิติสมัยใหม่ก็ถูกอ้างถึง: “การเบี่ยงเบนไปจากปกติประเภทนี้เว้นแต่จะสังเกตเห็นได้ชัดเจนเกินไปก็สามารถตรวจพบได้เฉพาะกลุ่มใหญ่เท่านั้นตัวอย่างใหม่ โดยตัวมันเองพวกเขาสร้างความแตกต่างเพียงเล็กน้อยในคริติคอลทางสถิติria และปัญหาอื่น ๆ ”ตัวอย่างเช่น ด้วยตัวอย่างขนาดเล็ก แต่ทั่วไปสำหรับการวิจัยทางจิตวิทยา (มากถึง 50 คน) เกณฑ์ของ Kolmogorov-Smirnov นั้นไม่ละเอียดอ่อนเพียงพอที่จะพิจารณาถึงความเบี่ยงเบน "ด้วยตา" ที่เห็นได้ชัดเจนจากภาวะปกติ ในเวลาเดียวกัน ขั้นตอนบางอย่างในการวิเคราะห์ข้อมูลหน่วยเมตริกทำให้เกิดการเบี่ยงเบนไปจากการแจกแจงแบบปกติได้อย่างสมบูรณ์ (บางส่วนมีขอบเขตมากกว่า อื่นๆ มีขอบเขตน้อยกว่า) ในอนาคตเมื่อนำเสนอเนื้อหาเราจะกำหนดระดับความแข็งแกร่งของข้อกำหนดตามปกติหากจำเป็น

กฎพื้นฐานสำหรับการสร้างมาตรฐานเทคนิคการวินิจฉัยทางจิต

091208-matmetody.txt

การทำให้เป็นมาตรฐาน วิธีการวินิจฉัยทางจิตเป็นขั้นตอนในการได้รับมาตราส่วนที่ทำให้คุณสามารถเปรียบเทียบผลการทดสอบแต่ละรายการกับผลลัพธ์ของกลุ่มใหญ่ได้

เครื่องชั่งทดสอบได้รับการพัฒนาเพื่อประเมินผลการทดสอบแต่ละรายการโดยเปรียบเทียบกับบรรทัดฐานการทดสอบที่ได้รับจากตัวอย่างมาตรฐาน การสุ่มตัวอย่างมาตรฐานจัดทำขึ้นเป็นพิเศษสำหรับการพัฒนามาตราส่วนการทดสอบ - จะต้องเป็นตัวแทนของประชากรทั่วไปที่วางแผนจะใช้การทดสอบนี้ ต่อมาเมื่อทำการทดสอบจะถือว่าทั้งผู้ถูกทดสอบและตัวอย่างที่ได้มาตรฐานเป็นประชากรทั่วไปกลุ่มเดียวกัน

หลักการเริ่มต้นเมื่อพัฒนามาตราส่วนการทดสอบคือสมมติฐานว่าทรัพย์สินที่วัดนั้นมีการกระจายในประชากรทั่วไปตามกฎหมายปกติ ดังนั้น การวัดคุณสมบัตินี้ในระดับการทดสอบบนตัวอย่างมาตรฐานควรรับประกันการกระจายตัวแบบปกติด้วย หากเป็นกรณีนี้ สเกลการทดสอบจะเป็นหน่วยเมตริก ซึ่งถ้าให้เจาะจงกว่านี้ก็คือ ระยะห่างเท่ากัน หากไม่เป็นเช่นนั้น ทรัพย์สินก็อาจสะท้อนให้เห็นในระดับลำดับได้ดีที่สุด โดยปกติแล้ว สเกลการทดสอบมาตรฐานส่วนใหญ่จะเป็นแบบเมตริก ซึ่งช่วยให้คุณตีความผลการทดสอบได้ละเอียดมากขึ้น โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของการแจกแจงแบบปกติ และใช้วิธีการวิเคราะห์ทางสถิติอย่างถูกต้อง ดังนั้นปัญหาหลักของมาตรฐานการทดสอบการทดสอบคือการพัฒนามาตราส่วนซึ่งมีการกระจายการลดตัวบ่งชี้การทดสอบในตัวอย่างมาตรฐานจะสอดคล้องกันการกระจายตัวตามปกติ

คะแนนสอบเบื้องต้นคือจำนวนคำตอบของคำถามทดสอบบางข้อ เวลาหรือจำนวนปัญหาที่ได้รับการแก้ปัญหา ฯลฯ หรือเรียกอีกอย่างว่าคะแนนหลักหรือคะแนน "ดิบ" ผลลัพธ์ของการกำหนดมาตรฐานคือบรรทัดฐานการทดสอบ - ตารางสำหรับการแปลงเกรด "ดิบ" เป็นระดับการทดสอบมาตรฐาน

มีสเกลการทดสอบมาตรฐานหลายแบบ โดยมีวัตถุประสงค์หลักคือเพื่อนำเสนอผลการทดสอบแต่ละรายการในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการตีความ สเกลเหล่านี้บางส่วนแสดงไว้ในรูปที่ 1 5.5. สิ่งที่เหมือนกันคือการปฏิบัติตามการแจกแจงแบบปกติ และมีความแตกต่างกันในตัวบ่งชี้สองตัวเท่านั้น ได้แก่ ค่าเฉลี่ยและมาตราส่วน (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน - o) ซึ่งกำหนดรายละเอียดของมาตราส่วน

ลำดับทั่วไปของการกำหนดมาตรฐาน(การพัฒนามาตรฐานการทดสอบ - ตารางการแปลงคะแนน “ดิบ” เป็นคะแนนสอบมาตรฐาน) มีดังนี้

กำหนดจำนวนประชากรทั่วไปที่กำลังพัฒนา
วิธีการและตัวอย่างที่เป็นตัวแทนของมาตรฐานเกิดขึ้น

ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการใช้เวอร์ชันหลักของการทดสอบการกระจาย
การกำหนดประมาณการ "ดิบ"

ตรวจสอบความสอดคล้องของการแจกแจงผลลัพธ์กับค่าปกติ
คอน;

หากการกระจายการประมาณการ "ดิบ" สอดคล้องกับปกติ โปร
ถูกคุกคาม การกำหนดมาตรฐานเชิงเส้น

หากการกระจายการประมาณการ "ดิบ" ไม่สอดคล้องกับปกติ
มีสองทางเลือก:

ก่อนที่จะสร้างมาตรฐานเชิงเส้น บรรทัดฐานเชิงประจักษ์จะถูกสร้างขึ้น -
ลิเซชัน;

ดำเนินการฟื้นฟูแบบไม่เชิงเส้น

การกระจายการประมาณการ "ดิบ" จะได้รับการตรวจสอบเพื่อให้เป็นไปตามกฎหมายปกติโดยใช้เกณฑ์พิเศษ ซึ่งเราจะพิจารณาในบทนี้ต่อไป

การทำให้เป็นมาตรฐานเชิงเส้นอยู่ในความจริงที่ว่าขอบเขตของช่วงเวลาของการประมาณการ "ดิบ" ถูกกำหนดไว้ซึ่งสอดคล้องกับตัวบ่งชี้การทดสอบมาตรฐาน ขอบเขตเหล่านี้คำนวณโดยการเพิ่มคะแนน "ดิบ" โดยเฉลี่ย (หรือลบออก) ส่วนแบ่งของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่สอดคล้องกับระดับการทดสอบ

บรรทัดฐานการทดสอบ - ตารางสำหรับการแปลงจุด "ดิบ" ให้เป็นผนัง

เมื่อใช้ตารางมาตรฐานการทดสอบนี้ ผลลัพธ์แต่ละรายการ (“คะแนนดิบ”) จะถูกแปลงเป็นมาตราส่วนผนัง ซึ่งช่วยให้สามารถตีความความรุนแรงของคุณสมบัติที่กำลังวัดได้

การทำให้เป็นมาตรฐานเชิงประจักษ์ใช้เมื่อการกระจายคะแนน "ดิบ" แตกต่างจากปกติ ประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงเนื้อหาของงานทดสอบ ตัวอย่างเช่น หากคะแนน "ดิบ" คือจำนวนปัญหาที่ผู้สอบแก้ไขได้ในเวลาที่กำหนด และได้รับการแจกแจงแบบไม่สมมาตรด้านขวา นั่นหมายความว่าผู้สอบมีสัดส่วนที่มากเกินไปจะแก้ปัญหาได้มากกว่า กว่าครึ่งหนึ่งของงาน ในกรณีนี้ จำเป็นต้องเพิ่มงานที่ยากขึ้นหรือลดเวลาในการแก้ไข

การทำให้เป็นมาตรฐานแบบไม่เชิงเส้นใช้หากการทำให้เป็นมาตรฐานเชิงประจักษ์เป็นไปไม่ได้หรือไม่พึงประสงค์ เช่น จากมุมมองของเวลาและทรัพยากร ในกรณีนี้การแปลงค่าประมาณ "ดิบ" ให้เป็นค่ามาตรฐานจะดำเนินการโดยการค้นหาขอบเขตเปอร์เซ็นไทล์ของกลุ่มในการแจกแจงดั้งเดิมซึ่งสอดคล้องกับขอบเขตเปอร์เซ็นไทล์ของกลุ่มในการแจกแจงแบบปกติของมาตราส่วนมาตรฐาน แต่ละช่วงเวลาของมาตราส่วนมาตรฐานจะสัมพันธ์กับช่วงเวลาของมาตราส่วนการให้คะแนน "ดิบ" ที่มีเปอร์เซ็นต์เท่ากันของตัวอย่างการกำหนดมาตรฐาน ค่าหุ้นถูกกำหนดโดยพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของหน่วยซึ่งอยู่ระหว่างค่าประมาณค่า r ที่สอดคล้องกับช่วงที่กำหนดของมาตราส่วนมาตรฐาน

ตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาว่าคะแนน "ดิบ" ใดควรสอดคล้องกับขีดจำกัดล่างของกำแพง 10 คุณต้องค้นหาก่อนว่าขีดจำกัดนี้สอดคล้องกับค่า r เท่าใด (z = 2). จากนั้น เมื่อใช้ตารางการกระจายตัวแบบปกติ (ภาคผนวก 1) จำเป็นต้องพิจารณาว่าสัดส่วนของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจะอยู่ทางขวาของค่านี้ (0.023) หลังจากนั้นจะพิจารณาว่าค่าใดจะตัด 2.3% ของค่าสูงสุดของคะแนน "ดิบ" ของตัวอย่างมาตรฐาน ค่าที่พบจะสอดคล้องกับขอบเขตของกำแพงที่ 9 และ 10

พื้นฐานที่ระบุไว้ของการวินิจฉัยทางจิตช่วยให้เราสามารถกำหนดข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์ที่ดีสำหรับการทดสอบได้ ขั้นตอนการทดสอบจะต้องปฏิบัติตามถือ:

คำอธิบายของตัวอย่างมาตรฐาน

ลักษณะการกระจายคะแนน “ดิบ” บ่งชี้ค่าเฉลี่ยและ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ชื่อ คุณลักษณะของมาตราส่วนมาตรฐาน

บรรทัดฐานการทดสอบ - ตารางสำหรับการแปลงคะแนน "ดิบ" เป็นคะแนนมาตราส่วน

ระดับคะแนน Z -

091208-matmetody.txt

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (หรือมาตรฐาน) มักจะแสดงด้วยตัวอักษร Z (รูปที่ 1 ในสมุดบันทึก) จะได้คะแนน Z

สถานที่พิเศษในการแจกแจงแบบปกตินั้นถูกครอบครองโดยสิ่งที่เรียกว่าการแจกแจงแบบปกติแบบมาตรฐานหรือแบบหน่วย การแจกแจงนี้ได้มาโดยมีเงื่อนไขว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นศูนย์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1 การแจกแจงแบบปกตินั้นสะดวกเพราะว่าการแจกแจงใดๆ สามารถลดลงได้โดยการทำให้เป็นมาตรฐาน

การดำเนินการมาตรฐานมีดังนี้: ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะถูกลบออกจากค่าพารามิเตอร์แต่ละตัว การดำเนินการนี้เรียกว่าการจัดศูนย์กลาง และผลต่างที่ได้จะถูกหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน การดำเนินการนี้เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐาน

กับ. 47 (54) (ดูรูปที่มีสเกลตรงนั้น)

การตรวจสอบ2.htm

ดังนั้น ถ้าเราลบคะแนนของวิชาใดวิชาหนึ่งออกจากค่าเฉลี่ยและหารผลต่างด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราก็สามารถแสดงคะแนนแต่ละรายการเป็นเศษส่วนของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ ส่วนแบ่งการวินิจฉัยที่ได้รับในลักษณะนี้เรียกว่าคะแนน Z Z – คะแนนเป็นพื้นฐานของระดับมาตรฐานใดๆ คุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุดของคะแนน z คือ พวกมันแสดงลักษณะเฉพาะของตำแหน่งสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ของวัตถุจากผลลัพธ์ทั้งหมดของกลุ่ม โดยไม่คำนึงถึงค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน นอกจากนี้ คะแนน z จะไม่มีหน่วย ด้วยคุณสมบัติของคะแนน z ทั้งสองนี้ จึงสามารถใช้เพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับในหลากหลายวิธีและในแง่มุมต่างๆ ของตัวอย่างพฤติกรรม

สเกลสแตนนีน
สเกลติดผนัง
T-สเกล
ระดับไอคิว

มาตราส่วนที่ได้มาจากมาตราส่วนคะแนน Z

การตรวจสอบ2.htm (ยังเป็นจุดเริ่มต้นที่ดีเกี่ยวกับการกำหนดมาตรฐานและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

ข้อเสียของคะแนน z คือคุณต้องจัดการกับค่าเศษส่วนและค่าลบ- จึงมักถูกแปลงเป็นตาชั่งมาตรฐานซึ่งสะดวกต่อการใช้งานมากกว่า ตามเนื้อผ้าและบ่อยกว่าคนอื่นๆ ในการวินิจฉัย มีการใช้มาตราส่วนต่อไปนี้:

สเกลสแตนนีน
สเกลติดผนัง
T-สเกล
ระดับไอคิว

กับ. 47 (54) (ดูรูปที่มีสเกลตรงนั้น)

0028.htm 7. การกำหนดมาตรฐานแบบสอบถามทางจิตวิทยา

การทำให้ตัวบ่งชี้การทดสอบเป็นมาตรฐาน

เพื่อให้แบบสอบถามทางจิตวิทยานำไปใช้ได้จริง ได้แก่ ในการทำนายพฤติกรรมของเขาในสถานการณ์ใหม่โดยพิจารณาจากความสมบูรณ์ของวิชาที่เลือกแบบสุ่ม (โดยใช้เกณฑ์ความถูกต้องของแบบสอบถามนี้) จำเป็นต้องทำให้ตัวบ่งชี้เป็นมาตรฐานในกลุ่มตัวอย่างเชิงบรรทัดฐาน การใช้มาตรฐานทางสถิติเท่านั้นที่ทำให้สามารถตัดสินการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของความรุนแรงของคุณภาพทางจิตวิทยาเฉพาะในเรื่องใดเรื่องหนึ่งได้ แม้ว่าบรรทัดฐานจะมีความสำคัญสำหรับจิตวิทยาประยุกต์ แต่ก็เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับการวิจัยทางจิตวิทยาที่จะใช้มาตรการดิบโดยตรง

ควรเปรียบเทียบประสิทธิภาพของวิชาใดวิชาหนึ่งกับประสิทธิภาพของกลุ่มเชิงบรรทัดฐานที่เหมาะสม สิ่งนี้สำเร็จได้ด้วยการเปลี่ยนแปลงบางอย่างที่เผยให้เห็นสถานะของบุคคลนั้นสัมพันธ์กับกลุ่มที่กำหนด

การแปลงเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นของค่ามาตราส่วนดิบ ตัวบ่งชี้มาตรฐานสามารถรับได้จากการแปลงตัวบ่งชี้หลักทั้งเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น การแปลงเชิงเส้นได้มาจากการลบค่าคงที่ออกจากตัวบ่งชี้หลักแล้วหารเพิ่มเติมด้วยค่าคงที่อื่น ดังนั้นลักษณะความสัมพันธ์ทั้งหมดของตัวบ่งชี้หลักจึงนำไปใช้กับตัวบ่งชี้เชิงเส้นด้วย ที่ใช้กันมากที่สุดคือคะแนน z (สูตร 3)

แต่เนื่องจากความจริงที่ว่าบ่อยครั้งที่การกระจายคะแนนสุดท้ายในระดับใดระดับหนึ่งนั้นไม่ปกติ เปอร์เซ็นไทล์จึงไม่สามารถมาจากตัวบ่งชี้มาตรฐานเหล่านี้ได้ เช่น ประมาณว่ามีกี่เปอร์เซ็นต์ของอาสาสมัครที่ได้รับตัวบ่งชี้เดียวกันกับวิชาที่กำหนด

หากการทำให้เป็นมาตรฐานเปอร์เซ็นไทล์ด้วยการแปลงเป็นผนัง และการทำให้เป็นมาตรฐานเชิงเส้นด้วยการแปลงเป็นผนัง ให้ค่าผนังเท่ากัน การกระจายจะถือว่าเป็นเรื่องปกติภายในสิบมาตรฐาน

เพื่อให้บรรลุถึงการเปรียบเทียบผลลัพธ์ของการแจกแจงของรูปร่างที่แตกต่างกัน จึงสามารถใช้การแปลงแบบไม่เชิงเส้นได้

คะแนนมาตรฐานที่ทำให้เป็นมาตรฐานที่ได้รับโดยใช้การแปลงแบบไม่เชิงเส้นคือคะแนนมาตรฐานที่สอดคล้องกับการแจกแจงที่ได้รับการแปลงจนกลายเป็นปกติ ในการคำนวณตารางพิเศษจะถูกสร้างขึ้นเพื่อแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนนมาตรฐาน โดยให้เปอร์เซ็นต์ของกรณีที่มีการเบี่ยงเบนระดับต่างๆ (ในหน่วย σ จากค่าเฉลี่ย) ดังนั้น ค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกับการบรรลุผล 50% ของกลุ่มสามารถเท่ากับ 0 ค่าเฉลี่ยลบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถเท่ากับ -1 ได้ ค่าใหม่นี้จะถูกสังเกตในประมาณ 16% ของกลุ่มตัวอย่าง และค่า +1 - ประมาณ 84%

งาน "งานกลุ่มบำบัดคำพูด"; 2. “การปฏิบัติตาม... มาตรฐานสุขอนามัยในโรงอาหารของโรงเรียน”; 3. "โอ้ งานการบริหารงานโรงเรียนวอยโวเดชิพพิเศษ (ราชทัณฑ์)...

เมื่อวิเคราะห์การกระจายตัวของประชากร สิ่งที่น่าสนใจอย่างยิ่งคือการประเมินความเบี่ยงเบนของการแจกแจงที่กำหนดจากสมมาตรหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือความเบ้ ระดับความเบ้ (ความไม่สมมาตร) เป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของการกระจายตัวของประชากร มีสถิติจำนวนหนึ่งที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณความไม่สมมาตร ทั้งหมดมีคุณสมบัติตรงตามข้อกำหนดอย่างน้อยสองข้อสำหรับตัวบ่งชี้ความเบ้: จะต้องไม่มีมิติและเท่ากับศูนย์หากการกระจายเป็นแบบสมมาตร

ในรูป 2 a, b แสดงเส้นโค้งของการแจกแจงประชากรแบบไม่สมมาตร 2 แบบ โดยอันหนึ่งเอียงไปทางซ้าย และอีกอันอยู่ทางขวา ตำแหน่งสัมพัทธ์ของโหมด ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ยจะแสดงในเชิงคุณภาพ จะเห็นได้ว่าตัวบ่งชี้ความเบ้ที่เป็นไปได้ตัวใดตัวหนึ่งสามารถสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงระยะทางที่ค่าเฉลี่ยและโหมดอยู่ห่างจากกัน แต่เมื่อคำนึงถึงความซับซ้อนในการกำหนดโหมดจากข้อมูลเชิงประจักษ์และในทางกลับกันความสัมพันธ์ที่รู้จักกันดี (3) ระหว่างโหมด ค่ามัธยฐาน และค่าเฉลี่ย จึงเสนอสูตรต่อไปนี้สำหรับการคำนวณดัชนีความไม่สมมาตร:

จากสูตรนี้ พบว่าการกระจายที่เบ้ไปทางซ้ายมีความเบ้เป็นบวก และการแจกแจงที่เบ้ไปทางขวามีความเบ้เป็นลบ โดยปกติแล้ว สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตร ซึ่งค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานตรงกัน ความไม่สมมาตรจะเป็นศูนย์

ให้เราคำนวณตัวบ่งชี้ความไม่สมมาตรสำหรับข้อมูลที่ระบุในตาราง 1 และ 2 สำหรับการกระจายระยะเวลาของวงจรการเต้นของหัวใจเรามี:

ดังนั้นการกระจายตัวนี้จะเบ้ซ้ายเล็กน้อย ค่าที่ได้รับสำหรับความไม่สมมาตรนั้นเป็นค่าโดยประมาณและไม่แน่นอนเนื่องจากค่าและการคำนวณด้วยวิธีที่เรียบง่ายถูกนำมาใช้ในการคำนวณ

สำหรับการกระจายตัวของหมู่ซัลไฮดริลในซีรั่มในเลือด เรามี:

ดังนั้นการกระจายตัวนี้จึงมีความเบ้เชิงลบเช่น เบ้ไปทางขวา

ตามทฤษฎี แสดงให้เห็นว่าค่าที่กำหนดโดยสูตร 13 อยู่ภายใน 3 แต่ในทางปฏิบัติ ค่านี้แทบจะไม่ถึงค่าจำกัด และสำหรับการแจกแจงจุดยอดเดี่ยวที่ไม่สมมาตรปานกลาง ค่าสัมบูรณ์มักจะน้อยกว่า 1

ตัวบ่งชี้ความไม่สมมาตรสามารถนำมาใช้ไม่เพียงแต่สำหรับคำอธิบายอย่างเป็นทางการของการกระจายตัวของประชากรเท่านั้น แต่ยังใช้สำหรับการตีความข้อมูลที่ได้รับอย่างมีความหมายอีกด้วย

ในความเป็นจริง หากคุณลักษณะที่เราสังเกตนั้นเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของสาเหตุจำนวนมากซึ่งเป็นอิสระจากกัน ซึ่งแต่ละสาเหตุมีส่วนช่วยค่อนข้างน้อยต่อคุณค่าของคุณลักษณะนี้ ดังนั้น ตามหลักการทางทฤษฎีบางประการที่กล่าวถึงใน ในส่วนของทฤษฎีความน่าจะเป็น เรามีสิทธิ์ที่จะคาดหวังว่าการกระจายตัวของประชากรที่ได้รับจากการทดลองจะมีความสมมาตร อย่างไรก็ตาม หากได้รับค่าความไม่สมดุลที่มีนัยสำคัญสำหรับข้อมูลการทดลอง (ค่าตัวเลขของ As modulo อยู่ภายในสองสามสิบ) ก็สามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุข้างต้น

ในกรณีนี้ มันสมเหตุสมผลที่จะสมมติว่ามีปัจจัยหนึ่งหรือสองปัจจัย ซึ่งมีส่วนสนับสนุนการก่อตัวของค่าที่สังเกตได้ในการทดลองนั้นมากกว่าปัจจัยอื่น ๆ อย่างมีนัยสำคัญ หรือเพื่อยืนยันการมีอยู่ของกลไกพิเศษนั่นคือ แตกต่างจากกลไกของอิทธิพลอิสระจากหลายสาเหตุต่อคุณค่าของลักษณะที่สังเกตได้

ตัวอย่างเช่น หากการเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่เราสนใจ ซึ่งสอดคล้องกับการกระทำของปัจจัยหนึ่ง เป็นสัดส่วนกับค่านี้เองและความรุนแรงของการกระทำของสาเหตุ ดังนั้นการกระจายผลลัพธ์จะเอียงไปทางค่านั้นเสมอ ซ้ายนั่นคือ มีความเบ้ในเชิงบวก ตัวอย่างเช่น นักชีววิทยาพบกลไกดังกล่าวเมื่อประมาณปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเจริญเติบโตของพืชและสัตว์

วิธีการประเมินความเบ้อีกวิธีหนึ่งจะขึ้นอยู่กับวิธีของโมเมนต์ซึ่งจะกล่าวถึงในบทที่ 44 ตามวิธีนี้ ความเบ้จะคำนวณโดยใช้ผลรวมของการเบี่ยงเบนของค่าทั้งหมดของชุดข้อมูลที่สัมพันธ์กับ ค่าเฉลี่ยยกกำลังสามคือ:

กำลังที่สามช่วยให้แน่ใจว่าตัวเศษของนิพจน์นี้เท่ากับศูนย์สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตร เนื่องจากในกรณีนี้ ผลรวมของการเบี่ยงเบนขึ้นและลงจากค่าเฉลี่ยถึงกำลังสามจะเท่ากันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม การหารด้วยความไม่สมดุลจะทำให้เกิดความไม่สมดุล

สูตร (14) สามารถแปลงได้ดังนี้ ในย่อหน้าก่อนหน้านี้มีการแนะนำค่ามาตรฐาน:

ดังนั้น การวัดความเบ้คือค่าเฉลี่ยของข้อมูลมาตรฐานที่กำลังยกกำลังสาม

สำหรับข้อมูลเดียวกันกับที่คำนวณความไม่สมมาตรโดยใช้สูตร (13) เราจะพบตัวบ่งชี้โดยใช้สูตร (15) เรามี:

โดยธรรมชาติแล้ว ตัวบ่งชี้ความไม่สมมาตรที่คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างกัน จะมีขนาดแตกต่างกัน แต่ก็บ่งบอกถึงลักษณะของความเบ้อย่างเท่าเทียมกัน ในแพ็คเกจแอปพลิเคชันสำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติ เมื่อคำนวณความไม่สมมาตร จะใช้สูตร (15) เนื่องจากให้ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้น สำหรับการคำนวณเบื้องต้นโดยใช้เครื่องคิดเลขอย่างง่าย คุณสามารถใช้สูตร (13)

ส่วนเกิน.ดังนั้นเราจึงได้ตรวจสอบตัวบ่งชี้สามในสี่กลุ่มพร้อมความช่วยเหลือในการอธิบายการกระจายตัวของประชากร สุดท้ายคือกลุ่มของตัวบ่งชี้จุดสูงสุดหรือความโด่ง (จากภาษากรีก - หลังค่อม) ในการคำนวณหนึ่งในตัวบ่งชี้ที่เป็นไปได้ของความโด่งจะใช้สูตรต่อไปนี้:

การใช้แนวทางเดียวกันกับที่ใช้เมื่อเปลี่ยนสูตรอสมมาตร (14) เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า:

ตามทฤษฎี แสดงให้เห็นว่าค่าของเคอร์โทซิสสำหรับเส้นโค้งการกระจายแบบปกติ (เกาส์เซียน) ซึ่งมีบทบาทอย่างมากในด้านสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากับ 3 จากการพิจารณาหลายประการ ความเฉียบแหลมของ เส้นโค้งนี้ถือเป็นมาตรฐาน ดังนั้นเพื่อเป็นตัวบ่งชี้ความโด่งจึงใช้ค่า:

มาหาค่าสูงสุดของข้อมูลที่ระบุในตารางกัน 1. เรามี:

ดังนั้นเส้นโค้งการกระจายของระยะเวลาของรอบการเต้นของหัวใจจึงแบนราบเมื่อเทียบกับเส้นโค้งปกติ

ในตาราง รูปที่ 3 แสดงการกระจายตัวของจำนวนดอกชายขอบของเบญจมาศพันธุ์หนึ่ง สำหรับการจำหน่ายในครั้งนี้

เคอร์โทซิสสามารถรับค่าที่สูงมากได้ ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างที่ให้ไว้ แต่ขีดจำกัดล่างต้องไม่ต่ำกว่าหนึ่ง ปรากฎว่าหากการกระจายเป็นแบบไบโมดัล ค่าเคอร์โทซิสจะเข้าใกล้ขีดจำกัดล่าง ดังนั้นจึงมีแนวโน้มที่จะเป็น -2 ดังนั้น หากจากการคำนวณปรากฎว่าค่าน้อยกว่า -1-1.4 เราจึงมั่นใจได้ว่าการกระจายตัวของประชากรที่เรามีอยู่นั้นมีอย่างน้อยสองรูปแบบ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องคำนึงถึงเมื่อข้อมูลการทดลองซึ่งข้ามขั้นตอนก่อนการประมวลผลได้รับการวิเคราะห์โดยใช้คอมพิวเตอร์ดิจิทัล และผู้วิจัยไม่มีการแสดงกราฟิกโดยตรงของการกระจายตัวของประชากรต่อหน้าต่อตาของผู้วิจัย

เส้นโค้งการกระจายแบบสองจุดสูงสุดของข้อมูลการทดลองสามารถเกิดขึ้นได้จากหลายสาเหตุ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแจกแจงดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้โดยการรวมข้อมูลที่แตกต่างกันสองชุดเข้าไว้ในชุดเดียว เพื่อแสดงให้เห็นสิ่งนี้ เราได้รวมข้อมูลเกี่ยวกับความกว้างของเปลือกหอยของหอยฟอสซิลสองประเภทเข้าด้วยกันเป็นชุดเดียว (ตารางที่ 4 รูปที่ 3)

รูปนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการมีอยู่ของสองโหมด เนื่องจากมีข้อมูลสองชุดจากประชากรที่แตกต่างกันผสมกัน การคำนวณจะให้ค่าความโด่ง 1.74 ดังนั้น = -1.26 ดังนั้น ค่าที่คำนวณได้ของดัชนีพีคจะบ่งชี้ตามตำแหน่งที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ว่าการแจกแจงมีสองพีค

มีข้อแม้ประการหนึ่งที่นี่ ที่จริงแล้ว ในทุกกรณี เมื่อการกระจายตัวของประชากรมีสองค่าสูงสุด ค่าเคอร์โทซีสจะใกล้เคียงกับความสามัคคี อย่างไรก็ตาม ข้อเท็จจริงข้อนี้ไม่สามารถนำไปสู่ข้อสรุปโดยอัตโนมัติว่าชุดข้อมูลที่วิเคราะห์เป็นส่วนผสมของตัวอย่างที่ต่างกันสองตัวอย่าง ประการแรกส่วนผสมดังกล่าวอาจไม่มีสองยอดขึ้นอยู่กับจำนวนมวลรวมที่เป็นส่วนประกอบและดัชนีความโด่งจะมากกว่าหนึ่งอย่างมีนัยสำคัญ ประการที่สอง ตัวอย่างที่เป็นเนื้อเดียวกันสามารถมีได้สองโหมด ตัวอย่างเช่น หากข้อกำหนดในการเลือกข้อมูลการทดลองถูกละเมิด ดังนั้นในกรณีนี้เช่นเดียวกับในกรณีอื่น ๆ หลังจากการคำนวณสถิติต่าง ๆ อย่างเป็นทางการแล้ว จะต้องดำเนินการวิเคราะห์อย่างมืออาชีพอย่างละเอียด ซึ่งจะช่วยให้ข้อมูลที่ได้รับได้รับการตีความที่มีความหมาย