หากวัตถุถูกขับเคลื่อนให้หมุนด้วยแรง พลังงานของมันจะเพิ่มขึ้นตามปริมาณงานที่ใช้ไป เช่นเดียวกับการเคลื่อนที่เชิงแปล งานนี้ขึ้นอยู่กับแรงและการกระจัดที่เกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม การกระจัดในขณะนี้เป็นเชิงมุม และนิพจน์สำหรับการทำงานเมื่อเคลื่อนย้ายจุดวัสดุไม่สามารถนำมาใช้ได้ เพราะ ร่างกายแข็งทื่ออย่างยิ่ง ดังนั้นงานที่ใช้แรงแม้จะใช้ที่จุดใดจุดหนึ่งก็เท่ากับงานที่ใช้ในการหมุนร่างกายทั้งหมด

เมื่อหมุนมุม จุดที่ใช้แรงจะผ่านเส้นทาง ในกรณีนี้ งานจะเท่ากับผลคูณของการฉายภาพของแรงที่มีทิศทางของการกระจัดตามขนาดของการกระจัด: ; จากรูปที่ เห็นได้ชัดว่านั่นคือแขนของพลัง และเป็นช่วงเวลาแห่งพลัง

แล้วงานเบื้องต้น: . ถ้าอย่างนั้น.

การทำงานของการหมุนไปเพื่อเพิ่มพลังงานจลน์ของร่างกาย

; การทดแทน เราได้รับ: หรือคำนึงถึงสมการไดนามิก: เป็นที่ชัดเจนว่า นั่นคือ การแสดงออกเดียวกัน

6. ระบบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของ:

จลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่เชิงแปล

รากฐานทางกายภาพของกลศาสตร์.. จลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่เชิงแปล.. การเคลื่อนไหวทางกลเป็นรูปแบบหนึ่งของการดำรงอยู่..

หากคุณต้องการเนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา เราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในหน้าของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:

การเคลื่อนไหวทางกล
ตามที่ทราบกันดีว่าสสารมีอยู่สองรูปแบบ คือ ในรูปของสสารและสนาม ประเภทแรกประกอบด้วยอะตอมและโมเลกุลที่ใช้สร้างร่างกายทั้งหมด ประเภทที่สองประกอบด้วยสนามทุกประเภท: แรงโน้มถ่วง

พื้นที่และเวลา
ร่างกายทั้งหมดดำรงอยู่และเคลื่อนที่ไปในอวกาศและเวลา แนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติทั้งหมด ร่างกายใด ๆ ก็มีมิติเช่น ขอบเขตเชิงพื้นที่ของมัน

ระบบอ้างอิง
ในการกำหนดตำแหน่งของร่างกายอย่างไม่คลุมเครือในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งจำเป็นต้องเลือกระบบอ้างอิง - ระบบพิกัดที่ติดตั้งนาฬิกาและเชื่อมต่ออย่างแน่นหนากับร่างกายที่แข็งแกร่งอย่างยิ่งตาม

สมการจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่
เมื่อ t.M เคลื่อนที่ พิกัดจะเปลี่ยนตามเวลา ดังนั้น เพื่อระบุกฎการเคลื่อนที่จึงจำเป็นต้องระบุประเภทของฟังก์ชัน

การเคลื่อนไหว, การเคลื่อนไหวเบื้องต้น
ให้จุด M เคลื่อนที่จาก A ไป B ตามเส้นทางโค้ง AB ในตอนแรก เวกเตอร์รัศมีของมันเท่ากับ

การเร่งความเร็ว ความเร่งปกติและวงสัมผัส
การเคลื่อนที่ของจุดยังมีลักษณะเฉพาะคือการเร่งความเร็ว ซึ่งเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ถ้าความเร็วของจุดใดเวลาหนึ่งตามอำเภอใจ

การเคลื่อนไหวไปข้างหน้า
การเคลื่อนที่ทางกลที่ง่ายที่สุดของวัตถุแข็งเกร็งคือการเคลื่อนที่แบบทรานสเลชัน ซึ่งเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดใดๆ ของร่างกายจะเคลื่อนไปพร้อมกับลำตัว โดยยังคงขนานกัน | ของมัน

กฎแห่งความเฉื่อย
กลศาสตร์คลาสสิกมีพื้นฐานมาจากกฎสามข้อของนิวตัน ซึ่งกำหนดโดยเขาในบทความเรื่อง “หลักการทางคณิตศาสตร์ของปรัชญาธรรมชาติ” ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1687 กฎเหล่านี้เป็นผลมาจากอัจฉริยะ

กรอบอ้างอิงเฉื่อย
เป็นที่ทราบกันว่าการเคลื่อนที่ทางกลนั้นสัมพันธ์กัน และธรรมชาติของมันขึ้นอยู่กับการเลือกระบบอ้างอิง กฎข้อแรกของนิวตันไม่ถือเป็นจริงในทุกกรอบอ้างอิง เช่น ศพนอนอยู่บนพื้นผิวเรียบ

น้ำหนัก. กฎข้อที่สองของนิวตัน
ภารกิจหลักของพลวัตคือการกำหนดลักษณะของการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้กับพวกมัน เป็นที่ทราบจากประสบการณ์ว่าภายใต้อิทธิพลของกำลัง

กฎพื้นฐานของพลศาสตร์ของจุดวัสดุ
สมการนี้อธิบายการเปลี่ยนแปลงในการเคลื่อนที่ของวัตถุในมิติจำกัดภายใต้อิทธิพลของแรงโดยไม่มีการเสียรูปและหาก

กฎข้อที่สามของนิวตัน
การสังเกตและการทดลองบ่งชี้ว่าการกระทำทางกลของร่างกายหนึ่งต่ออีกวัตถุหนึ่งนั้นเป็นปฏิสัมพันธ์กันเสมอ หากร่างกายที่ 2 กระทำต่อร่างกายที่ 1 ดังนั้นร่างกายที่ 1 จะต้องต่อต้านสิ่งเหล่านั้น

การแปลงแบบกาลิลี
ช่วยให้สามารถกำหนดปริมาณจลน์ศาสตร์ได้ในระหว่างการเปลี่ยนจากระบบอ้างอิงเฉื่อยระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง เอาล่ะ

หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ
ความเร่งของจุดใดๆ ในระบบอ้างอิงทั้งหมดจะเคลื่อนที่โดยสัมพันธ์กันเป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอในลักษณะเดียวกัน:

ปริมาณการอนุรักษ์
วัตถุหรือระบบใดๆ ของร่างกายคือกลุ่มของจุดวัสดุหรืออนุภาค สถานะของระบบดังกล่าว ณ เวลาใดเวลาหนึ่งในทางกลศาสตร์ถูกกำหนดโดยการระบุพิกัดและความเร็วใน

ศูนย์กลางของมวล
ในระบบอนุภาคใดๆ คุณสามารถหาจุดที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางมวลได้

สมการการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล
กฎพื้นฐานของพลศาสตร์สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่แตกต่างกัน โดยทราบแนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางมวลของระบบ:

กองกำลังอนุรักษ์นิยม
หากในแต่ละจุดในอวกาศ มีแรงกระทำต่ออนุภาคที่วางอยู่ที่นั่น อนุภาคดังกล่าวจะอยู่ในสนามแห่งแรง เช่น ในสนามแรงโน้มถ่วง แรงโน้มถ่วง คูลอมบ์ และแรงอื่นๆ สนาม

กองกำลังกลาง
สนามพลังทุกสนามเกิดจากการกระทำของวัตถุหรือระบบของวัตถุเฉพาะ แรงที่กระทำต่ออนุภาคในสนามนี้มีค่าประมาณ

พลังงานศักย์ของอนุภาคในสนามแรง
ความจริงที่ว่าการทำงานของแรงอนุรักษ์ (สำหรับสนามที่อยู่นิ่ง) ขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของอนุภาคในสนามเท่านั้นทำให้เราสามารถแนะนำแนวคิดทางกายภาพที่สำคัญของศักยภาพได้

ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานศักย์และแรงสำหรับสนามอนุรักษ์
ปฏิกิริยาระหว่างอนุภาคกับวัตถุที่อยู่รอบๆ สามารถอธิบายได้สองวิธี: การใช้แนวคิดเรื่องแรง หรือการใช้แนวคิดเรื่องพลังงานศักย์ วิธีแรกนั้นทั่วไปมากกว่าเพราะว่า มันยังใช้กับกองกำลังด้วย

พลังงานจลน์ของอนุภาคในสนามพลัง
ปล่อยให้อนุภาคมวลเคลื่อนที่มีแรง

พลังงานกลทั้งหมดของอนุภาค
เป็นที่ทราบกันว่าการเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์ของอนุภาคเมื่อเคลื่อนที่ในสนามพลังนั้นเท่ากับงานเบื้องต้นของแรงทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาค:

กฎการอนุรักษ์พลังงานกลของอนุภาค
ตามมาจากการแสดงออกที่ว่าในสนามแรงอนุรักษ์ที่อยู่นิ่ง พลังงานกลทั้งหมดของอนุภาคสามารถเปลี่ยนแปลงได้

จลนศาสตร์
คุณสามารถหมุนร่างกายของคุณผ่านมุมที่กำหนดได้

โมเมนตัมของอนุภาค ช่วงเวลาแห่งพลัง
นอกจากพลังงานและโมเมนตัมแล้ว ยังมีปริมาณทางกายภาพอีกปริมาณหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับกฎการอนุรักษ์ - นี่คือโมเมนตัมเชิงมุม โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค

โมเมนต์แรงกระตุ้นและโมเมนต์แรงรอบแกน
ขอให้เราใช้แกนคงที่ตามอำเภอใจในระบบอ้างอิงที่เราสนใจ

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมของระบบ
ขอให้เราพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยอนุภาคสองตัวที่มีปฏิสัมพันธ์กัน ซึ่งถูกกระทำโดยแรงภายนอกและ

ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของระบบอนุภาคแบบปิดจึงคงที่และไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับจุดใดๆ ในระบบอ้างอิงเฉื่อย: โมเมนต์แรงกระตุ้นของแต่ละส่วนของระบบ ม

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง
พิจารณาร่างกายที่มั่นคงที่สามารถทำได้

สมการพลศาสตร์ของการหมุนตัวเกร็ง
สมการสำหรับพลวัตของการหมุนของวัตถุเกร็งสามารถหาได้จากการเขียนสมการของโมเมนต์สำหรับวัตถุเกร็งที่หมุนรอบแกนใดก็ได้

พลังงานจลน์ของวัตถุที่กำลังหมุน
ลองพิจารณาวัตถุที่มีความแข็งอย่างยิ่งซึ่งหมุนรอบแกนคงที่ที่ผ่านมันไป มาแบ่งมันเป็นอนุภาคที่มีปริมาตรและมวลน้อยกัน

แรงเหวี่ยงของความเฉื่อย
ลองพิจารณาดิสก์ที่หมุนพร้อมกับลูกบอลบนสปริงที่วางอยู่บนซี่รูปที่ 5.3 ลูกบอลตั้งอยู่

แรงโบลิทาร์
เมื่อวัตถุเคลื่อนที่สัมพันธ์กับการหมุนของ CO2 แรงอีกแรงหนึ่งก็ปรากฏขึ้น - แรงโบลิทาร์หรือแรงโบลิทาร์

ความผันผวนเล็กน้อย
พิจารณาระบบทางกลที่สามารถกำหนดตำแหน่งได้โดยใช้ปริมาณเดียว เช่น x ในกรณีนี้ ระบบบอกว่ามีอิสระระดับหนึ่ง ค่าของ x สามารถเป็นได้

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก
สมการของกฎข้อที่ 2 ของนิวตันในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทานสำหรับแรงกึ่งยืดหยุ่นของรูปแบบมีรูปแบบ:

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์
นี่คือจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเกลียวที่มีความยาวที่ไม่สามารถยืดออกได้ โดยแกว่งไปมาในระนาบแนวตั้ง

ลูกตุ้มทางกายภาพ
นี่คือวัตถุแข็งที่สั่นสะเทือนรอบแกนคงที่ที่เชื่อมต่อกับร่างกาย แกนตั้งฉากกับรูปและ

การสั่นแบบหน่วง
ในระบบออสซิลเลเตอร์จริงจะมีแรงต้านทานซึ่งการกระทำดังกล่าวส่งผลให้พลังงานศักย์ของระบบลดลงและการแกว่งจะถูกทำให้หมาด ๆ ในกรณีที่ง่ายที่สุด

การสั่นด้วยตนเอง
เมื่อมีการสั่นแบบหน่วง พลังงานของระบบจะค่อยๆ ลดลงและการสั่นจะหยุดลง เพื่อให้ไม่อับชื้นจำเป็นต้องเติมพลังงานของระบบจากภายนอกในบางช่วงเวลา

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ
หากระบบออสซิลเลเตอร์ นอกเหนือจากแรงต้านทานยังอยู่ภายใต้การกระทำของแรงคาบภายนอกที่เปลี่ยนแปลงไปตามกฎฮาร์มอนิก

เสียงก้อง
เส้นโค้งของการพึ่งพาแอมพลิจูดของการแกว่งแบบบังคับนำไปสู่ความจริงที่ว่าในบางระบบที่เฉพาะเจาะจงสำหรับระบบที่กำหนด

การแพร่กระจายคลื่นในตัวกลางยืดหยุ่น
หากแหล่งกำเนิดของการสั่นถูกวางในตำแหน่งใดๆ ในตัวกลางที่ยืดหยุ่น (ของแข็ง ของเหลว ก๊าซ) ดังนั้น เนื่องจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาค การสั่นจะแพร่กระจายในตัวกลางจากอนุภาคต่อชั่วโมง

สมการของระนาบและคลื่นทรงกลม
สมการคลื่นเป็นการแสดงออกถึงการพึ่งพาของการกระจัดของอนุภาคที่สั่นบนพิกัดของมัน

สมการคลื่น
สมการคลื่นเป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่เรียกว่าสมการคลื่น ในการสร้างมันขึ้นมา เราจะหาอนุพันธ์ย่อยส่วนที่สองเทียบกับเวลาและพิกัดจากสมการ

สำหรับคำอธิบายจลนศาสตร์ของกระบวนการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งจำเป็นต้องแนะนำแนวคิดเช่นการกระจัดเชิงมุมΔ φ ความเร่งเชิงมุม ε และความเร็วเชิงมุม ω:

ω = ∆ φ ∆ เสื้อ , (∆ เสื้อ → 0) , ε = ∆ φ ∆ เสื้อ , (∆ เสื้อ → 0) .

มุมจะแสดงเป็นเรเดียน ทิศทางการหมุนที่เป็นบวกจะเป็นทวนเข็มนาฬิกา

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ จุดทุกจุดของวัตถุนี้จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมและความเร่งเท่ากัน

รูปที่ 1. การหมุนของดิสก์รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง O

ถ้าการกระจัดเชิงมุม Δ φ น้อย ดังนั้นขนาดของเวกเตอร์การกระจัดเชิงเส้น ∆ s → องค์ประกอบมวลบางส่วน Δ m ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนได้สามารถแสดงได้โดยความสัมพันธ์:

∆ s = r ∆ ϕ,

ซึ่งใน ร– โมดูลของเวกเตอร์รัศมี r → .

สามารถสร้างการเชื่อมต่อระหว่างโมดูลของความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นผ่านความเท่าเทียมกัน

โมดูลการเร่งความเร็วเชิงเส้นและเชิงมุมยังเชื่อมต่อถึงกัน:

a = a τ = r ε

เวกเตอร์ v → และ a → = a τ → มีทิศทางสัมผัสกับวงกลมรัศมี ร.

เรายังต้องคำนึงถึงการเกิดขึ้นของความเร่งปกติหรือการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลาง ซึ่งมักเกิดขึ้นเมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำจำกัดความ 1

โมดูลความเร่งแสดงโดยสูตร:

n = โวลต์ 2 r = ω 2 r .

หากคุณแบ่งวัตถุที่หมุนออกเป็นส่วนเล็ก ๆ Δ m i ให้แสดงระยะห่างถึงแกนของการหมุนด้วย ร ฉันและโมดูลของความเร็วเชิงเส้นผ่าน v i จากนั้นการเขียนสูตรพลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนได้จะมีรูปแบบ:

E k = ∑ i ν m v i 2 2 = ∑ i ∆ m (r i ω) 2 2 = ω 2 2 ∑ i ∆ m i r i 2 .

คำจำกัดความ 2

ปริมาณทางกายภาพ ∑ i ∆ m i r i 2 เรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อย I ของร่างกายสัมพันธ์กับแกนการหมุน ขึ้นอยู่กับการกระจายมวลของวัตถุที่กำลังหมุนสัมพันธ์กับแกนการหมุน:

ฉัน = ∑ ฉัน ∆ ฉัน r ฉัน 2 .

ในขีดจำกัดเท่ากับ Δ m → 0 ผลรวมนี้จะเข้าไปอยู่ในอินทิกรัล หน่วยวัดโมเมนต์ความเฉื่อยใน CI คือกิโลกรัม - เมตรกำลังสอง (kg m2) ดังนั้น พลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่สามารถแสดงได้ดังนี้:

E k = ฉัน ω 2 2 .

ตรงกันข้ามกับสำนวนที่เราใช้เพื่ออธิบายพลังงานจลน์ของร่างกายที่เคลื่อนไหวแบบแปล m v 2 2 แทนที่จะเป็นมวล มสูตรนี้รวมโมเมนต์ความเฉื่อยด้วย ฉัน. เรายังคำนึงถึงความเร็วเชิงมุม ω แทนความเร็วเชิงเส้น v

หากมวลของร่างกายมีบทบาทหลักสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบแปลดังนั้นในพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนช่วงเวลาของความเฉื่อยก็มีความสำคัญ แต่ถ้ามวลเป็นคุณสมบัติของวัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเร็วของการเคลื่อนที่และปัจจัยอื่นๆ โมเมนต์ความเฉื่อยจะขึ้นอยู่กับแกนรอบๆ ที่วัตถุหมุน สำหรับวัตถุเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยจะถูกกำหนดโดยแกนการหมุนที่แตกต่างกัน

ในปัญหาส่วนใหญ่ สันนิษฐานว่าแกนการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งเคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางมวล

ตำแหน่ง x C , y C ของจุดศูนย์กลางมวลสำหรับกรณีธรรมดาของระบบที่มีอนุภาคสองตัวซึ่งมีมวล m 1 และ m 2 อยู่ในระนาบ เอ็กซ์วายที่จุดที่มีพิกัด x 1, y 1 และ x 2, y 2 ถูกกำหนดโดยนิพจน์:

x C = ม. 1 x 1 + ม. 2 x 2 ม. 1 + ม. 2 , y C = ม. 1 ปี 1 + ม. 2 ปี 2 ม. 1 + ม. 2 .

รูปที่ 2 จุดศูนย์กลางมวล C ของระบบสองอนุภาค

ในรูปแบบเวกเตอร์ ความสัมพันธ์นี้อยู่ในรูปแบบ:

r C → = ม. 1 r 1 → + ม. 2 r 2 → ม. 1 + ม. 2 .

ในทำนองเดียวกัน สำหรับระบบที่มีอนุภาคจำนวนมาก จะมีการกำหนดรัศมีเวกเตอร์ r C → จุดศูนย์กลางมวล

r C → = ∑ ม ฉัน r ฉัน → ∑ ม ฉัน .

หากเรากำลังเผชิญกับวัตถุทึบที่ประกอบด้วยส่วนหนึ่ง ดังนั้นในนิพจน์ที่กำหนด ผลรวมของ r C → จะต้องถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัล

จุดศูนย์กลางมวลในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์ถ่วง ซึ่งหมายความว่าถ้าเรานำวัตถุที่มีรูปร่างซับซ้อนมาแขวนไว้ที่จุดศูนย์กลางมวล วัตถุนี้จะอยู่ในสภาวะสมดุลในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ นี่แสดงถึงวิธีการกำหนดจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่ซับซ้อนในทางปฏิบัติ: จะต้องแขวนตามลำดับจากหลายจุดในขณะเดียวกันก็ทำเครื่องหมายเส้นแนวตั้งตามแนวลูกดิ่งพร้อมกัน

รูปที่ 3 การหาตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวล C ของวัตถุที่มีรูปร่างซับซ้อน A 1, A 2, A 3 จุดช่วงล่าง

ในภาพเราเห็นวัตถุที่ถูกแขวนไว้โดยจุดศูนย์กลางมวล มันอยู่ในสภาวะสมดุลที่ไม่แยแส ในสนามโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ แรงโน้มถ่วงลัพธ์จะถูกนำไปใช้กับจุดศูนย์กลางมวล

เราสามารถแสดงการเคลื่อนไหวใด ๆ ของร่างกายที่แข็งทื่อเป็นผลรวมของการเคลื่อนไหวทั้งสอง อย่างแรกคือการแปลซึ่งผลิตที่ความเร็วจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย ประการที่สองคือการหมุนรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล

ตัวอย่างที่ 1

สมมติว่า. ว่าเรามีล้อที่หมุนบนพื้นผิวแนวนอนได้โดยไม่ลื่นไถล ทุกจุดของล้อเคลื่อนที่ขนานไปกับระนาบเดียวระหว่างการเคลื่อนที่ เราสามารถกำหนดการเคลื่อนไหวดังกล่าวว่าราบเรียบได้

พลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่กำลังหมุนในการเคลื่อนที่ของเครื่องบินจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบแปลนและพลังงานจลน์ของการหมุนที่สัมพันธ์กับแกน ซึ่งถูกลากผ่านจุดศูนย์กลางมวลและตั้งอยู่ในแนวตั้งฉากกับระนาบ ซึ่งทุกจุดของร่างกายเคลื่อนไหว:

E k = ม โวลต์ C 2 2 + I C ω 2 2 ,

ที่ไหน ม– น้ำหนักตัวทั้งหมด, เข้าใจแล้ว– โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล

รูปที่ 4 การกลิ้งของล้อเป็นผลรวมของการเคลื่อนที่ในการแปลด้วยความเร็ว v C → และการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω = v C R สัมพันธ์กับแกน O ที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล

ในกลศาสตร์ จะใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล

ทฤษฎีบท 1

วัตถุใดๆ หรือวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์หลายชิ้นที่ประกอบขึ้นเป็นระบบเดียวจะมีจุดศูนย์กลางมวล จุดศูนย์กลางมวลนี้ภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอก เคลื่อนที่ในอวกาศเป็นจุดวัสดุที่มวลทั้งหมดของระบบมีความเข้มข้น

ในภาพนี้เราพรรณนาถึงการเคลื่อนไหวของวัตถุที่แข็งกระด้างซึ่งอยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วง จุดศูนย์กลางมวลของร่างกายเคลื่อนที่ไปตามวิถีโคจรที่อยู่ใกล้กับพาราโบลา ในขณะที่วิถีโคจรของจุดที่เหลือของร่างกายนั้นซับซ้อนกว่า

การวาดภาพ 5. การเคลื่อนไหวของวัตถุแข็งทื่อภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง

ลองพิจารณากรณีที่วัตถุแข็งเกร็งเคลื่อนที่รอบแกนคงที่บางแกน โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างความเฉื่อยนี้ ฉันสามารถแสดงออกผ่านโมเมนต์ความเฉื่อยได้ เข้าใจแล้วของร่างกายนี้สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายและขนานกับแกนแรก

รูปที่ 6 ต่อการพิสูจน์ทฤษฎีบทในการแปลแกนการหมุนแบบขนาน

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น ลองใช้ร่างกายที่มั่นคงซึ่งมีรูปร่างตามอำเภอใจ ให้เราแสดงจุดศูนย์กลางของมวล C ให้เราเลือกระบบพิกัด X Y ที่มีจุดกำเนิดของพิกัด 0 ลองจัดจุดศูนย์กลางมวลและจุดกำเนิดของพิกัดกัน

แกนหนึ่งผ่านจุดศูนย์กลางมวล C แกนที่สองตัดกับจุด P ที่เลือกโดยพลการซึ่งตั้งอยู่ในระยะไกล งจากจุดกำเนิด ให้เราเลือกองค์ประกอบเล็กๆ ของมวลของวัตถุที่เป็นของแข็งที่กำหนด Δ m i .

ตามคำจำกัดความของโมเมนต์ความเฉื่อย:

I C = ∑ ∆ m i (x i 2 + y i 2) , I P = ∑ m i (x i - a) 2 + y i - b 2

การแสดงออกสำหรับ ไอ พีสามารถเขียนใหม่เป็น:

I P = ∑ ∆ m i (x i 2 + y i 2) + ∑ ∆ m i (a 2 + b 2) - 2 a ∑ ∆ m i x i - 2 b ∑ ∆ m i y i

สองพจน์สุดท้ายของสมการหายไป เนื่องจากที่มาของพิกัดในกรณีของเราเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย

นี่คือวิธีที่เรามาถึงสูตรของทฤษฎีบทของสไตเนอร์ในการแปลแกนการหมุนแบบขนาน

ทฤษฎีบท 2

สำหรับวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่ตามอำเภอใจ โมเมนต์ความเฉื่อยตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุนี้สัมพันธ์กับแกนที่ขนานกับโมเมนต์นั้น โดยผ่านจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ ร่างกาย และผลคูณของมวลของร่างกายด้วยกำลังสองของระยะห่างระหว่างแกน

ฉัน P = ฉัน C + ม d 2

ที่ไหน ม– น้ำหนักตัวทั้งหมด.

รูปที่ 7 แบบจำลองโมเมนต์ความเฉื่อย

รูปด้านล่างแสดงวัตถุแข็งที่เป็นเนื้อเดียวกันและมีรูปร่างต่างๆ และระบุโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุเหล่านี้สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล

รูปที่ 8 โมเมนต์ความเฉื่อย I C ของของแข็งเนื้อเดียวกันบางชนิด

ในกรณีที่เรากำลังเผชิญกับวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่ เราสามารถสรุปกฎข้อที่สองของนิวตันได้ ในรูปด้านล่าง เราพรรณนาถึงวัตถุแข็งที่มีรูปร่างตามใจชอบ หมุนไปรอบแกนบางแกนที่ผ่านจุด O แกนของการหมุนนั้นตั้งฉากกับระนาบของรูป

Δ m i เป็นองค์ประกอบมวลขนาดเล็กตามอำเภอใจ ซึ่งได้รับอิทธิพลจากแรงภายนอกและภายใน ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดคือ F i → มันสามารถแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ: องค์ประกอบวงสัมผัส F i τ → และองค์ประกอบรัศมี F i r → องค์ประกอบแนวรัศมี F i r → สร้างความเร่งสู่ศูนย์กลาง หนึ่ง.

รูปที่ 9 แทนเจนต์ F i τ → และรัศมี F i r → ส่วนประกอบของแรง F i → กระทำต่อองค์ประกอบ Δ m i ของวัตถุแข็งเกร็ง

องค์ประกอบแทนเจนต์ ฉ ฉัน τ →ทำให้เกิดการเร่งความเร็วในวงโคจร a i τ → มวล Δ ม. กฎข้อที่สองของนิวตันซึ่งเขียนในรูปแบบสเกลาร์ให้ไว้

∆ m i a i τ = F i τ sin θ หรือ ∆ m i r i ε = F i sin θ ,

โดยที่ ε = a i τ r i คือความเร่งเชิงมุมของทุกจุดของวัตถุแข็งเกร็ง

หากทั้งสองข้างของสมการข้างต้นคูณด้วย ร ฉันแล้วเราจะได้:

∆ m i r i 2 ε = F i r i sin θ = F i l i = M i

โดยที่ l i คือแขนของแรง F i , → M i คือโมเมนต์แห่งแรง

ตอนนี้เราต้องเขียนความสัมพันธ์ที่คล้ายกันสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดของมวล Δ ฉันหมุนตัวแข็งแล้วรวมส่วนซ้ายและขวา สิ่งนี้ทำให้:

∑ ∆ ม ฉัน r ฉัน 2 ε = ∑ ม ฉัน .

ผลรวมของโมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อจุดต่างๆ ของวัตถุแข็งเกร็งทางด้านขวาประกอบด้วยผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดและผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายในทั้งหมด

∑ M = ∑ M ฉันภายนอก + ∑ M ฉันภายใน

แต่ผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายในทั้งหมดตามกฎข้อที่สามของนิวตันมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นทางด้านขวาจะเหลือเพียงผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดซึ่งเราจะแสดงด้วย ม. นี่คือวิธีที่เราได้สมการพื้นฐานสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

คำจำกัดความที่ 4

ความเร่งเชิงมุม ε และแรงบิด มในสมการนี้เป็นปริมาณเชิงพีชคณิต

โดยปกติแล้ว ทิศทางการหมุนที่เป็นบวกจะเป็นทวนเข็มนาฬิกา

รูปแบบเวกเตอร์ในการเขียนสมการพื้นฐานสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนก็เป็นไปได้เช่นกัน โดยปริมาณ ω → , ε → , M → ถูกกำหนดเป็นเวกเตอร์ที่กำกับไปตามแกนการหมุน

ในส่วนที่เกี่ยวกับการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุ เราได้แนะนำแนวคิดเรื่องโมเมนตัมของร่างกาย p → โดยการเปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่เชิงแปล สำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องโมเมนตัมเชิงมุม

คำจำกัดความที่ 5

โมเมนตัมของวัตถุที่กำลังหมุนคือปริมาณทางกายภาพที่เท่ากับผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย ฉันถึงความเร็วเชิงมุม ω ของการหมุนของมัน

ตัวอักษรละติน L ใช้เพื่อแสดงถึงโมเมนตัมเชิงมุม

เนื่องจาก ε = ∆ ω ∆ เสื้อ ; ∆ t → 0 สมการของการเคลื่อนที่แบบหมุนสามารถแสดงเป็น:

M = ฉัน ε = ฉัน ∆ ω ∆ t หรือ M ∆ t = ฉัน ∆ ω = ∆ L .

เราได้รับ:

ม = ∆ ลิตร ∆ เสื้อ ; (∆ เสื้อ → 0) .

เราได้รับสมการนี้สำหรับกรณีที่ I = c o n s t แต่มันก็จะเป็นจริงเช่นกันเมื่อโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเปลี่ยนแปลงระหว่างการเคลื่อนไหว

ถ้ารวมช่วงเวลา มแรงภายนอกที่กระทำต่อร่างกายมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุม L = I ω ที่สัมพันธ์กับแกนที่กำหนดจะถูกสงวนไว้: ∆ L = 0 ถ้า M = 0

คำนิยาม 6

เพราะฉะนั้น,

L = l ω = c o n t .

นี่คือวิธีที่เรามาถึงกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างเช่น เราให้ภาพที่แสดงถึงการชนกันของการหมุนแบบไม่ยืดหยุ่นของดิสก์ที่ติดตั้งอยู่บนแกนร่วม

รูปที่ 10 การชนกันของการหมุนแบบไม่ยืดหยุ่นของดิสก์ทั้งสอง กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม:ฉัน 1 ω 1 = (ฉัน 1 + ฉัน 2) ω .

เรากำลังเผชิญกับระบบปิด สำหรับระบบปิดใดๆ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมจะใช้ได้ ดำเนินการทั้งในสภาวะการทดลองทางกลศาสตร์และในอวกาศเมื่อดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในวงโคจรรอบดาวฤกษ์

เราสามารถเขียนสมการสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนได้ทั้งสำหรับแกนที่อยู่นิ่งและสำหรับแกนที่เคลื่อนที่สม่ำเสมอหรือด้วยความเร่ง รูปแบบของสมการจะไม่เปลี่ยนแปลงแม้ว่าแกนจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งก็ตาม ในการทำเช่นนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ: แกนจะต้องผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายและทิศทางในอวกาศยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างที่ 4

สมมติว่าเรามีวัตถุ (ลูกบอลหรือทรงกระบอก) ที่กลิ้งลงมาตามระนาบเอียงโดยมีแรงเสียดทานอยู่บ้าง

รูปที่ 11 การกลิ้งของวัตถุสมมาตรบนระนาบเอียง

แกนหมุน โอผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย โมเมนต์แรงโน้มถ่วง mg → และแรงปฏิกิริยา N → สัมพันธ์กับแกน โอมีค่าเท่ากับศูนย์ ช่วงเวลา มสร้างแรงเสียดทานเท่านั้น: M = F t r R .

สมการของการเคลื่อนที่แบบหมุน:

ฉัน C ε = ฉัน C a R = M = F t r R ,

โดยที่ ε คือความเร่งเชิงมุมของวัตถุที่กำลังกลิ้ง ก– ความเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวล เข้าใจแล้ว– โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน โอโดยผ่านจุดศูนย์กลางมวล

กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่เชิงแปลของจุดศูนย์กลางมวลเขียนได้ดังนี้:

m a = mg sin α - F t r

หากไม่รวม F t r ออกจากสมการเหล่านี้ ในที่สุดเราก็จะได้:

α = ม. ก. บาป θ I C R 2 + ม.

จากสำนวนนี้แสดงให้เห็นชัดเจนว่าวัตถุที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยต่ำกว่าจะกลิ้งลงมาตามระนาบเอียงเร็วขึ้น ตัวอย่างเช่น ลูกบอลมี IC = 2 5 m R 2 และทรงกระบอกเนื้อเดียวกันที่เป็นของแข็งมี IC = 1 2 m R 2 ส่งผลให้ลูกบอลหมุนเร็วกว่ากระบอกสูบ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ถ้า MT หมุนเป็นวงกลมจากนั้นแรงก็กระทำต่อจากนั้นเมื่อหมุนผ่านมุมหนึ่งงานเบื้องต้นจะดำเนินการ:

(22)

หากพลังแอคทีฟมีศักยภาพแล้ว

จากนั้น (24)

พลังหมุน

พลังที่เกิดขึ้นทันทีที่เกิดขึ้นระหว่างการหมุนของร่างกาย:

พลังงานจลน์ของวัตถุที่กำลังหมุน

พลังงานจลน์ของจุดวัตถุ พลังงานจลน์ของจุดวัตถุ . เพราะ เราได้รับการแสดงออกของพลังงานจลน์ของการหมุน:

ในการเคลื่อนที่ของระนาบ (กระบอกสูบกลิ้งไปตามระนาบเอียง) ความเร็วรวมจะเท่ากับ:

โดยที่ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของกระบอกสูบคือ

ผลรวมเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบแปลนของจุดศูนย์กลางมวลและพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวล กล่าวคือ:

(28)

บทสรุป:

และตอนนี้ เมื่อพิจารณาเนื้อหาการบรรยายทั้งหมดแล้ว เราจะมาสรุปและเปรียบเทียบปริมาณและสมการของการเคลื่อนที่แบบหมุนและการเคลื่อนที่แบบแปลนของร่างกาย:

ภาคผนวก 1:

ชายคนหนึ่งยืนอยู่ตรงกลางม้านั่ง Zhukovsky และหมุนด้วยความเฉื่อย ความถี่ในการหมุน n 1 =0.5 วินาที -1 . โมเมนต์ความเฉื่อย เจโอญาติของร่างกายมนุษย์

สัมพันธ์กับแกนหมุนคือ 1.6 กก. ม. 2 ในอ้อมแขนที่ยื่นออกไปด้านข้าง บุคคลจะถือตุ้มน้ำหนัก ม=ตัวละ 2 กก. ระยะห่างระหว่างตุ้มน้ำหนัก ล 1 =ล.6 ม. กำหนดความเร็วการหมุน n 2 , ม้านั่งกับบุคคลเมื่อเขาลดมือและเว้นระยะห่าง ล 2 ระหว่างน้ำหนักจะเท่ากับ 0.4 ม. ละเลยโมเมนต์ความเฉื่อยของม้านั่ง

คุณสมบัติของกฎสมมาตรและการอนุรักษ์

การประหยัดพลังงาน.

กฎหมายอนุรักษ์ที่พิจารณาในกลศาสตร์นั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของอวกาศและเวลา

การอนุรักษ์พลังงานสัมพันธ์กับความสม่ำเสมอของเวลา การอนุรักษ์โมเมนตัมสัมพันธ์กับความเป็นเนื้อเดียวกันของอวกาศ และสุดท้าย การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมสัมพันธ์กับไอโซโทรปีของอวกาศ

เราเริ่มต้นด้วยกฎการอนุรักษ์พลังงาน ปล่อยให้ระบบอนุภาคอยู่ในสภาพคงที่ (สิ่งนี้จะเกิดขึ้นหากระบบปิดหรืออยู่ภายใต้อิทธิพลของสนามแรงภายนอกคงที่) การเชื่อมต่อ (ถ้ามี) เหมาะสมและอยู่นิ่ง ในกรณีนี้ เวลาไม่สามารถรวมไว้ในฟังก์ชันลากรองจ์ได้อย่างชัดเจนเนื่องจากความเป็นเนื้อเดียวกัน จริงหรือ ความสม่ำเสมอหมายถึงความเท่าเทียมกันของทุกจุดในเวลา ดังนั้นการแทนที่ช่วงเวลาหนึ่งด้วยอีกช่วงเวลาหนึ่งโดยไม่เปลี่ยนค่าพิกัดและความเร็วของอนุภาคไม่ควรเปลี่ยนคุณสมบัติทางกลของระบบ แน่นอนว่านี่เป็นเรื่องจริงหากการแทนที่ช่วงเวลาหนึ่งด้วยอีกช่วงเวลาหนึ่งไม่ได้เปลี่ยนเงื่อนไขที่ระบบตั้งอยู่ กล่าวคือ ถ้าสนามภายนอกไม่ขึ้นกับเวลา (โดยเฉพาะ สนามนี้อาจขาดหายไป)

ดังนั้นสำหรับระบบปิดที่อยู่ในสนามพลังปิด