Výkladový slovník ruského jazyka. S.I.Ozhegov, N.Yu.Shvedova.

identita

A také IDENTITA. -a, srov.

Naprostá podobnost, náhoda. G. pohledy.

(identita). V matematice: rovnost, která platí pro jakékoli číselné hodnoty veličin, které jsou v ní obsaženy. || adj. identický, -aya, -oe a identický, -aya, -oe (k 1 významu). Identické algebraické výrazy. TAKÉ [nezaměňovat s kombinací zájmena „to“ a částice „stejný“].

1. adv. Stejně tak jako kdokoliv jiný. Ty jsi unavený, já jsem...

   svaz. Stejně jako také. Ty odcházíš a bratře? - T.

částice. Vyjadřuje nedůvěřivý nebo negativní, ironický postoj (prostý). *T. Našel jsem šikovného chlapa! Je to básník. - Básníku t. (pro mě)!

Nový výkladový slovník ruského jazyka, T. F. Efremova.

identita

1. Naprostá náhoda s někým nebo něčím. jak ve své podstatě, tak ve vnějších znameních a projevech.

   Přesná shoda čeho něco

St Rovnost, která platí pro všechny číselné hodnoty písmen v ní obsažených (v matematice).

Encyklopedický slovník, 1998

identita

vztah mezi objekty (předměty reality, vnímání, myšlení) považovanými za „jedno a totéž“; „omezující“ případ vztahu rovnosti. V matematice je identita rovnice, která je splněna shodně, tzn. platí pro všechny přípustné hodnoty proměnných v něm obsažených.

Identita

základní koncept logiky, filozofie a matematiky; používá se v jazycích vědeckých teorií k formulaci definujících vztahů, zákonů a teorémů. V matematice je T. ≈ rovnice, která je splněna identicky, to znamená, že platí pro jakékoli přípustné hodnoty proměnných v ní obsažených. Z logického hlediska je T. ≈ predikát reprezentovaný vzorcem x = y (čti: „x je totožné s y“, „x je stejné jako y“), kterému odpovídá logická funkce, pravdivá, když proměnné x a y znamenají různé výskyty „stejného“ objektu a jinak jsou nepravdivé. Z filozofického (epistemologického) hlediska je T. vztah založený na představách nebo úsudcích o tom, co je „stejný“ předmět reality, vnímání a myšlení. Logické a filozofické aspekty teorie se doplňují: první poskytuje formální model pojmu teorie a druhý poskytuje základ pro aplikaci tohoto modelu. První aspekt zahrnuje pojem „stejný“ objekt, ale význam formálního modelu nezávisí na obsahu tohoto pojmu: identifikační postupy a závislost výsledků identifikace na podmínkách nebo metodách identifikace, na abstrakce explicitně nebo implicitně přijaté v tomto případě jsou ignorovány. Ve druhém (filosofickém) aspektu úvahy jsou důvody pro použití logických modelů T. spojeny s tím, jak jsou objekty identifikovány, podle jakých kritérií, a již závisí na úhlu pohledu, na podmínkách a prostředcích identifikace. Rozdíl mezi logickými a filozofickými aspekty teorie se vrací ke známému postoji, že soud o identitě objektů a teorie jako konceptu není totéž (viz Platón, Soch., sv. 2, Moskva, 1970). , str. 36). Je však důležité zdůraznit nezávislost a konzistenci těchto aspektů: pojem T. je vyčerpán významem logické funkce, která mu odpovídá; není odvozena od skutečné identity předmětů, „není z ní extrahována“, ale je abstrakcí, doplňovanou ve „vhodných“ podmínkách zkušenosti nebo teoreticky prostřednictvím předpokladů (hypotéz) o skutečně přípustných identifikacích; zároveň, když je splněna substituce (viz Axiom 4 níže) v odpovídajícím intervalu abstrakce identifikace, „uvnitř“ tohoto intervalu, se aktuální T. objektů přesně shoduje s T. v logickém smyslu. Význam pojmu teorie vedl k potřebě speciálních teorií teorie Nejběžnějším způsobem konstrukce těchto teorií je axiomatická. Jako axiomy můžete zadat například následující (ne nutně všechny):

x = y É y = x,

x = y & y = z É x = z,

A (x) É (x = y É A (y)),

kde A (x) ≈ libovolný predikát obsahující x volně a volně pro y a A (x) a A (y) se liší pouze výskytem (alespoň jedné) z proměnných x a y.

Axiom 1 postuluje vlastnost reflexivity T. V tradiční logice byl považován za jediný logický zákon T., k němuž se axiomy 2 a 3 obvykle přidávaly jako „nelogické postuláty“ (v aritmetice, algebře, geometrii). Axiom 1 lze považovat za epistemologicky oprávněný, protože je jakýmsi logickým vyjádřením individuace, na kterém je zase založena „dánost“ objektů ve zkušenosti, možnost jejich rozpoznání: abychom mohli mluvit o objektu „jako daný“, je nutné jej nějak izolovat, odlišit od jiných předmětů a v budoucnu se s nimi nezaměňovat. V tomto smyslu je T., založený na axiomu 1, zvláštním vztahem „sebe-identity“, který spojuje každý objekt pouze se sebou samým a s žádným jiným objektem.

Axiom 2 postuluje vlastnost symetrie T. Prosazuje nezávislost výsledku identifikace na pořadí ve dvojicích identifikovaných objektů. Tento axiom má také ve zkušenosti dobře známé opodstatnění. Například pořadí závaží a zboží na váze se liší zleva doprava pro kupujícího a prodávajícího proti sobě, ale výsledek - v tomto případě rovnováha - je pro oba stejný.

Axiomy 1 a 2 dohromady slouží jako abstraktní vyjádření teorie jako nerozlišitelnost, teorie, ve které je myšlenka „stejného“ objektu založena na faktech nepozorovatelnosti rozdílů a významně závisí na kritériích rozlišitelnosti, na prostředcích (nástrojích), které odlišují jeden objekt od druhého, v konečném důsledku ≈ z abstrakce nerozlišitelnosti. Protože závislost na „rozlišovacím prahu“ je v praxi zásadně neodstranitelná, myšlenka T, která splňuje axiomy 1 a 2, je jediným přirozeným výsledkem, který lze v experimentu získat.

Axiom 3 postuluje tranzitivitu T. Uvádí, že superpozice T. je také T. a je prvním netriviálním tvrzením o identitě objektů. Tranzitivita T. je buď „idealizace zkušenosti“ za podmínek „klesající přesnosti“, nebo abstrakce, která doplňuje zkušenost a „vytváří“ nový, od nerozlišitelnosti, význam T.: nerozlišitelnost zaručuje pouze T. v intervalu abstrakce nerozlišitelnosti, a to druhé není spojeno s naplněním axiomu 3. Axiomy 1, 2 a 3 dohromady slouží jako abstraktní vyjádření teorie T. jako ekvivalence.

Axiom 4 postuluje, že nezbytnou podmínkou pro transformaci objektů je shoda jejich charakteristik. Z logického hlediska je tento axiom zřejmý: všechny jeho atributy patří ke „stejnému“ objektu. Ale protože myšlenka „stejné“ věci je nevyhnutelně založena na určitých druzích předpokladů nebo abstrakcí, není tento axiom triviální. Nelze to ověřit „obecně“ – podle všech myslitelných znaků, ale pouze v určitých pevných intervalech abstrakcí identifikace či nerozlišitelnosti. Přesně tak se to používá v praxi: objekty se porovnávají a identifikují ne podle všech myslitelných charakteristik, ale pouze podle některých ≈ základních (počátečních) charakteristik teorie, ve které chtějí mít koncept „stejného“ objektu na základě těchto charakteristik a axiomu 4. V těchto případech je schéma axiomů 4 nahrazeno konečným seznamem jeho aloforem ≈ „smysluplných“ axiomů T, které jsou s ním shodné. Například v axiomatické teorii množin Zermelo ≈ Frenkel ≈ axiomy:

4,1 z Î x É (x = y É z Î y),

4,2 x Î z É (x = y É y Î z),

definující za předpokladu, že vesmír obsahuje pouze množiny, interval abstrakce identifikace množin „členstvím v nich“ a „vlastním členstvím“, s obligátním doplněním axiomů 1≈3, definujících T. jako ekvivalenci.

Výše uvedené axiomy 1≈4 patří k tzv. zákonům T. Z nich lze pomocí pravidel logiky odvodit mnoho dalších zákonů, které jsou v předmatematické logice neznámé. Na rozdílu mezi logickým a epistemologickým (filosofickým) aspektem teorie nezáleží, pokud mluvíme o obecných abstraktních formulacích zákonů teorie, věc se však výrazně mění, když jsou tyto zákony použity k popisu reality. Definováním pojmu „jednoho a téhož“ objektu axiomatika teorie nutně ovlivňuje formování vesmíru „uvnitř“ odpovídající axiomatické teorie.

Lit.: Tarski A., Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd, přel. z angličtiny, M., 1948; Novoselov M., Identita, v knize: Filosofická encyklopedie, díl 5, M., 1970; od něj, K některým koncepcím teorie vztahů, v knize: Kybernetika a moderní vědecké poznání, M., 1976; Shreider Yu.A., Rovnost, podobnost, řád, M., 1971; Kleene S.K., Matematická logika, přel. z angličtiny, M., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

M. M. Novoselov.

Wikipedie

identita (matematika)

Identita(v matematice) - rovnost, která platí pro celou množinu hodnot proměnných v ní obsažených, například:

atd. Někdy se rovnost, která neobsahuje žádné proměnné, nazývá také identita; např 25 = 625.

Identická rovnost, když ji chtějí zvláště zdůraznit, je označena symbolem „ ≡ “.

Identita

Identita, identita- nejednoznačné pojmy.

• Identita je rovnost, která platí pro celou sadu hodnot proměnných v ní obsažených.
• Identita je úplná shoda vlastností předmětů.
• Identita ve fyzice je charakteristika objektů, ve kterých nahrazení jednoho z objektů jiným nemění stav systému při zachování daných podmínek.
• Zákon identity je jedním ze zákonů logiky.
• Princip identity je principem kvantové mechaniky, podle kterého nelze v žádném experimentu rozlišit stavy systému částic, získané od sebe přeskupováním identických částic v místech, a takové stavy je nutné považovat za jeden fyzikální stav. .
• “Identita a realita” – kniha E. Meyersona.

Identita (filozofie)

Identita- filozofická kategorie vyjadřující rovnost, totožnost předmětu, jevu se sebou samým nebo rovnost více předmětů. O objektech A a B se říká, že jsou totožné, stejné, právě tehdy, když všechny vlastnosti. To znamená, že identita je neoddělitelně spojena s odlišností a je relativní. Jakákoli identita věcí je dočasná, přechodná, ale jejich vývoj a změna je absolutní. V exaktních vědách se však abstrakce, tedy identita abstrahovaná od vývoje věcí podle Leibnizova zákona používá, protože v procesu poznání je za určitých podmínek možná a nezbytná idealizace a zjednodušování reality. Logický zákon identity je formulován s podobnými omezeními.

Identita by měla být odlišena od podobnosti, podobnosti a jednoty.

Říkáme podobným objektům, které mají jednu nebo více společných vlastností; Čím více společných vlastností objekty mají, tím více se jejich podobnost blíží identitě. Dva objekty jsou považovány za identické, pokud jsou jejich vlastnosti zcela podobné.

Je však třeba mít na paměti, že v objektivním světě nemůže existovat identita, protože dva předměty, bez ohledu na to, jak jsou si podobné kvalitou, se stále liší počtem a prostorem, který zabírají; pouze tam, kde je hmotná příroda povýšena na duchovnost, vzniká možnost identity.

Nezbytnou podmínkou identity je jednota: kde není jednota, nemůže být identita. Hmotný svět, dělitelný do nekonečna, nemá jednotu; jednota přichází se životem, zvláště s duchovním životem. O identitě organismu mluvíme v tom smyslu, že jeho jediný život přetrvává i přes neustálou změnu částic, které tvoří organismus; kde je život, tam je jednota, ale ve skutečném smyslu slova stále není žádná identita, protože život přibývá a ubývá a zůstává neměnný pouze v myšlence.

Totéž lze říci o osobnosti- nejvyšší projev života a vědomí; a v osobnosti identitu pouze předpokládáme, ale ve skutečnosti žádná neexistuje, protože samotný obsah osobnosti se neustále mění. Skutečná identita je možná pouze v myšlení; správně vytvořený pojem má věčnou hodnotu bez ohledu na podmínky času a prostoru, ve kterých je myšlen.

Leibniz se svým principium indiscernibilium prosadil myšlenku, že nemohou existovat dvě věci, které jsou si zcela podobné v kvalitativních a kvantitativních ohledech, protože taková podobnost by nebyla ničím jiným než identitou.

Filozofie identity je ústřední myšlenkou v dílech Friedricha Schellinga.

Příklady použití slova identita v literatuře.

Právě v tom spočívá velká psychologická zásluha starověkého i středověkého nominalismu, že důkladně rozpustil primitivní magický či mystický identita slova s ​​předmětem - příliš pevná i pro typ, jehož základ nespočívá v pevném držení věcí, ale v abstrahování myšlenky a jejím postavení nad věci.

Tento identita subjektivitu a objektivitu a tvoří právě univerzalitu, kterou nyní dosahuje sebeuvědomění, povznášející se nad obě zmíněné stránky neboli zvláštnosti a rozpouštějící je v sobě.

V této fázi se sebevědomé subjekty, které spolu korelují, povznesly, a to odstraněním jejich nestejné specifičnosti individuality k vědomí jejich skutečné univerzality – svobody, která je jim všem vlastní – a tím ke kontemplaci určitého identity je mezi sebou.

O století a půl později Inta, pra-pra-pravnučka ženy, které Sarp vzdal místo ve vesmírné lodi, ohromená svými nevysvětlitelnými identita s Vellou.

Když se ale ukázalo, že dobrý spisovatel Kamanin před svou smrtí četl rukopis KRASNOGOROVA a zároveň toho samého, o jehož kandidatuře diskutoval zuřivý fyzik Šerstněv vteřinu před svou, Šerstněvovou, PODOBNOU smrtí - pak, Víš, už mi vonělo něco, co nebylo jednoduché. Shodou okolností tam byl zápach IDENTITA!

Klossowskiho zásluha spočívá v tom, že ukázal, že tyto tři formy jsou nyní navždy spojeny, nikoli však dialektickou transformací a identita protiklady, ale díky jejich rozptýlení na povrchu věcí.

V těchto dílech Klossowski rozvíjí teorii znaku, významu a nesmyslu a také poskytuje hluboce originální interpretaci Nietzscheho myšlenky věčného opakování, chápané jako excentrická schopnost potvrzovat divergence a disjunkce, přičemž žádný prostor neponechává ani jednomu. identita já taky ne identita mír nebo identita Bůh.

Stejně jako u každého jiného typu identifikace osoby na základě vzhledu je i při fotografickém zkoumání identifikovaným objektem ve všech případech konkrétní jedinec, identita který je nainstalován.

Nyní se ze studenta vynořil učitel a především se jako učitel vypořádal s velkým úkolem prvního období svého magisterského studia, zvítězil v boji o autoritu a dovršil identita osoba a pozice.

Ale v rané klasice to tak je identita myslitel a myslitelné byly vykládány pouze intuitivně a pouze popisně.

Pro Schellinga identita Příroda a duch je přirozený filozofický princip, který předchází empirickému poznání a určuje chápání jeho výsledků.

Na základě toho identity minerální charakteristiky a dospěl k závěru, že tato skotská formace je současná s nejspodnějšími formacemi Wallis, protože množství dostupných paleontologických dat je příliš malé na to, aby takovou pozici podpořilo nebo vyvrátilo.

Nyní to již není původ, který dává místo historicitě, ale samotná struktura historicity odhaluje potřebu počátku, který by byl vnitřní i vnější, jako nějaký hypotetický vrchol kužele, kde jsou všechny rozdíly, všechny rozptyly, všechny diskontinuity jsou stlačeny do jednoho bodu identity, do toho odtělesněného obrazu Stejného, ​​schopného se však rozdělit a proměnit v Jiné.

Je známo, že často existují případy, kdy objekt, který má být identifikován z paměti, nemá dostatečný počet znatelných vlastností, které by umožnily jeho identifikaci. identita.

Je tedy jasné, že v Moskvě by se neměly konat žádné závoje ani povstání proti lidem, kteří chtěli uprchnout před Tatary, v Rostově proti Tatarům, v Kostromě, Nižném, Toržoku proti bojarům, veche svolané všemi zvony. , jeden za druhým identita jména, k záměně s večemi Novgorodskými a jinými starými městy: Smolensk, Kyjev, Polotsk, Rostov, kde se obyvatelé podle kronikáře jako v dumě shromažďovali na veche a, jak se starší rozhodli, předměstí. souhlasil.

PŘEDNÁŠKA č. 3 Prokazování totožnosti

Účel: 1. Zopakujte definice identity a shodně rovnocenných výrazů.

2.Zavést pojem shodné transformace výrazů.

3. Násobení polynomu polynomem.

4. Faktorizace polynomu metodou seskupování.

Nechte každý den a každou hodinu

Přinese nám něco nového,

Ať je naše mysl dobrá,

A srdce bude chytré!

V matematice existuje mnoho pojmů. Jedním z nich je identita.

Identita je rovnost, která platí pro všechny hodnoty proměnných v ní obsažených. Některé identity už známe.

Například všichni zkrácené násobící vzorce jsou identity.

Zkrácené vzorce násobení

1. (A ± b)2 = A 2 ± 2 ab + b 2,

2. (A ± b)3 = A 3 ± 3 A 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. A 2 - b 2 = (A - b)(A + b),

4. A 3 ± b 3 = (A ± b)(A 2 ab + b 2).

Prokázat identitu- to znamená stanovit, že pro jakoukoli platnou hodnotu proměnné se její levá strana rovná pravé straně.

V algebře existuje několik různých způsobů, jak prokázat identitu.

Metody prokazování totožnosti

Proveďte ekvivalentní konverze levá strana identity. Pokud skončíme u pravé strany, pak se totožnost považuje za prokázanou. Proveďte ekvivalentní konverze pravá strana identity. Pokud nakonec získáme levou stranu, pak se identita považuje za prokázanou. Proveďte ekvivalentní konverze levá a pravá strana identity. Pokud dostaneme stejný výsledek, pak se identita považuje za prokázanou. Od pravé strany identity odečteme levou stranu. Na rozdílu provádíme ekvivalentní transformace. A pokud nakonec dostaneme nulu, pak se identita považuje za prokázanou. Pravá strana se odečte od levé strany identity. Na rozdílu provádíme ekvivalentní transformace. A pokud nakonec dostaneme nulu, pak se identita považuje za prokázanou.

Je třeba také pamatovat na to, že identita je platná pouze pro přípustné hodnoty proměnných.

Jak vidíte, způsobů je poměrně hodně. Jakou metodu v daném případě zvolit, závisí na totožnosti, kterou potřebujete prokázat. Když budete prokazovat různé identity, získáte zkušenosti s výběrem způsobu dokazování.

Identita je rovnice, která je splněna identicky, to znamená, že platí pro jakékoli přípustné hodnoty proměnných v ní obsažených. Prokázat identitu znamená zjistit, že pro všechny přípustné hodnoty proměnných jsou její levá a pravá strana stejné.
Způsoby prokázání totožnosti:
1. Proveďte transformace na levé straně a nakonec získejte pravou stranu.
2. Proveďte transformace na pravé straně a nakonec získejte levou stranu.
3. Samostatně transformujte pravou a levou stranu a získejte stejný výraz v prvním i druhém případě.
4. Složte rozdíl mezi levou a pravou stranou a v důsledku jeho transformací získejte nulu.
Podívejme se na několik jednoduchých příkladů

Příklad 1 Prokázat identitu x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Řešení.

Protože pravá strana má malý výraz, zkusme transformovat levou stranu rovnosti.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Uveďme podobné pojmy a vyjmeme ze závorky společný faktor.

x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).

Zjistili jsme, že levá strana se po transformacích stala stejnou jako pravá. Proto je tato rovnost identitou.

Příklad 2 Prokázat totožnost: A² + 7·A + 10 = (A+5)·(A+2).

Řešení:

V tomto příkladu můžete postupovat následujícím způsobem. Otevřeme závorky na pravé straně rovnosti.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Vidíme, že po transformacích se pravá strana rovnosti stala stejnou jako levá strana rovnosti. Proto je tato rovnost identitou.

„Nahrazení jednoho výrazu jiným, jemu shodně rovným, se nazývá identická transformace výrazu“

Zjistěte, která rovnost je identita:

1. - (a – c) = - a – c;

2. 2 · (x + 4) = 2x – 4;

3. (x – 5) · (-3) = - 3x + 15.

4. рху (- р2 x2 y) = - р3 x3 y3.

"K prokázání, že nějaká rovnost je identita, nebo, jak se říká jinak, k prokázání identity, se používají identické transformace výrazů."

Nazývá se rovnost, která platí pro jakékoli hodnoty proměnných identita. Dokázat, že nějaká rovnost je identita, nebo, jak se říká jinak, tak prokázat identitu, použijte identické transformace výrazů.
Prokažme totožnost:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3) (y - 5) + 1 Transformujte levou stranu této rovnosti:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5 (x -3) +1 = (y - 5) (x - 3) + 1 V důsledku toho transformace identity z levé strany polynomu jsme získali jeho pravou stranu a tím dokázali, že tato rovnost je identita.
Pro doklady totožnosti transformovat jeho levou stranu na pravou nebo jeho pravou stranu na levou, nebo ukázat, že levá a pravá strana původní rovnosti se shodně rovnají stejnému výrazu.

Násobení polynomu polynomem

Vynásobme polynom a+b na polynom c + d. Pojďme sestavit součin těchto polynomů:
(a+b)(c+d).
Označme binom a+b dopis X a výsledný součin transformovat podle pravidla násobení monočlenu polynomem:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
Ve výrazu xc + xd. pojďme nahradit X polynom a+b a znovu použijte pravidlo pro násobení monočlenu polynomem:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Tak: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Součin polynomů a+b A c + d reprezentovali jsme to jako polynom ac + bc + ad + bd. Tento polynom je součtem všech monočlenů získaných vynásobením každého členu polynomu a+b pro každý člen polynomu c + d.
Závěr: součin libovolných dvou polynomů může být reprezentován jako polynom.
Pravidlo: Chcete-li vynásobit polynom polynomem, musíte vynásobit každý člen jednoho polynomu každým členem jiného polynomu a sečíst výsledné součiny.
Všimněte si, že při násobení polynomu obsahujícího mčleny na polynom obsahující n podmínky v produktu, před uvedením podobných podmínek by měl být výsledek mnčlenů. To lze použít pro ovládání.

Rozložení polynomu pomocí metody seskupení:

Dříve jsme byli seznámeni s faktorováním polynomu vyjmutím společného faktoru ze závorek. Někdy je možné faktorizovat polynom jinou metodou - seskupení svých členů.
Rozložme polynom
ab - 2b + 3a - 6 Seskupíme to tak, že členy v každé skupině mají společný činitel a vyjmeme tento činitel ze závorek:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Každý člen výsledného výrazu má společný činitel (a - 2). Vyjmeme tento společný faktor ze závorek:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) V důsledku toho jsme původní polynom zohlednili:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Metoda, kterou jsme použili k faktorizaci polynomu, je tzv. seskupovací metoda.
Polynomiální expanze ab - 2b + 3a - 6 faktorizaci lze provést jinak seskupením jejích pojmů:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a (b + 3) -2 (b + 3) = (a - 2) (b + 3)

Opakovat:

1. Způsoby prokazování totožnosti.

2. Co se nazývá identitní transformace výrazu.

3. Násobení polynomu polynomem.

4. Faktorizace polynomu metodou seskupování

Identita v matematice je velmi často používaný pojem. Existují pojmy identických rovností, identických výrazů a identických transformací, pojďme se blíže podívat na to, co každý z těchto pojmů znamená.

Identitní výrazy v matematice

Zvažte tři jednoduché algebraické výrazy:

• $ 5x + 10 $;
• $(x + 2) \cdot 5$
• $\frac(20x + 40)(4)$

Bez ohledu na použité hodnoty $x$ jsou všechny tři výrazy stejné.

Abychom to dokázali, použijeme elementární transformace, které lze řešit v matematice, a zjistíme, že $5x + 10 = 5x + 10 = 5x + 10$, to znamená, že všechny tři výrazy jsou si navzájem rovny. Při zjednodušení je zřejmé, že bez ohledu na zvolené $x$ budou tyto výrazy vždy stejné.

Dostáváme se přímo k definici identických výrazů:

Definice 1

Říká se, že výrazy jsou navzájem totožné, pokud jsou pro jakékoli hodnoty proměnných vždy stejné.

Například můžeme říci, že výraz $5x + 10$ je shodný s výrazy $(x + 2) \cdot 5$ a $\frac(20x + 40)(4)$.

Za pozornost také stojí skutečnost, že výrazy nejsou vždy stejné pro všechny možné hodnoty proměnných, například výrazy $\frac(y^2-4)(y-2)$ a $y +2$ jsou identické pro všechny $y$, kromě $y=2$.

Když je hodnota hry rovna dvěma, první z těchto dvou výrazů ztrácí smysl, protože není možné dělit nulou a jmenovatel při této hodnotě má za následek nulu.

Tyto výrazy lze nazvat identické pro všechny přípustné hodnoty proměnné $y$, to znamená, že tyto výrazy jsou totožné pro všechny $y$, pro které oba výrazy neztrácejí svůj význam. Takové výrazy se na dané množině hodnot nazývají identické.

Pojmy „identita“ a „identická rovnost“

Co je identita v algebře?

Definice 2

Identita v matematice je rovnost, která je vždy splněna nebo jinými slovy platí pro všechny sady hodnot jejích proměnných.

Pokud jsou dva nebo více identických výrazů napsány přímo vedle sebe pomocí znaménka „rovná se“, pak je výsledkem identická rovnost, tedy identita.

Mezi identické rovnosti patří komutativní zákon sčítání $a+b =b + a$ a kombinační zákon násobení $(ab) \cdot c = a \cdot (bc)$, protože jsou pravdivé bez ohledu na hodnotu proměnných $a, b, c$. Vzorce pro zkrácený zápis rozdílu čtverců, druhé mocniny rozdílu a druhé mocniny součtu jsou dalšími příklady identických rovností.

Někdy se identity nazývají nejen výrazy obsahující libovolné proměnné, ale také všechny aritmeticky správné rovnosti typu $2+2=4$.

Ne každou rovnost obsahující proměnné lze nazvat identitou. Například rovnost $y+5 = 7$ je dodržena pouze pro $y= 2$, pro jakoukoli jinou hodnotu $y$ není dodržena, a proto ji nelze nazvat identitou.

Identifikační znak v matematice

Definice 3

Nejčastěji se identity zapisují pomocí znaku „rovná se“ – „$=$“; „identický“ znak – „≡“ se někdy používá ke konkrétnímu zvýraznění identity jakékoli rovnosti v řeči. Typicky se znak identity používá mnohem méně často než znak rovná se.

Proměny identity

Velmi často se pro zjednodušení procesu výpočtu jakýchkoli výrazů, jejich porovnání a pohodlnější dosazení proměnných do rovností používají různé matematické transformace. Tyto transformace se nazývají identické transformace, protože nemění konečné hodnoty výrazů a rovnosti.

Definice 4

Identické transformace jsou transformace a záměny jednoho výrazu jiným jemu shodným, které nemění konečnou hodnotu výrazů a nevedou k porušení identity rovností.

Jakýkoli výraz, pro všechny platné hodnoty proměnných v něm použitých, nabývá jakékoli hodnoty. Z toho můžeme usoudit, že aplikace různých zákonů dodržovaných pro aritmetické operace vede k přeměně původního výrazu na výraz nový, shodný s výrazem původním.

Příklad 1

Které výrazy jsou shodné?

1. $(10 + 3)$ a $13 \cdot (1 +5)$.
2. $(x^2 + y^2)$ a $(x – y)(x+y)$.
3. $8$ a $(2 \cdot 3 + 16 – 14)$.
4. 7 $ + 4 $ a 6 $ + 6 $.

Odpovědět:

Výrazy číslované 2 a 3 jsou shodné, u výrazů číslovaných 2 je vlevo uveden zkrácený vzorec pro rozdíl druhých mocnin, vpravo rozšířený vzorec. V případě třetího výrazu je třeba zjednodušit výraz vpravo:

$(2\cdot 3 + 16 – 14)= 6 + 16 – 14 = 8 $

Obě části jsou shodně stejnými výrazy. Identity se dělí na abecední a číselné.

Projevy identity

Jsou volány dva algebraické výrazy identické(nebo identicky rovné), pokud pro jakékoli číselné hodnoty písmen mají stejnou číselnou hodnotu. Jsou to například výrazy:

X(5 + X) a 5 X + X 2

Oba prezentované výrazy pro jakoukoli hodnotu X budou si navzájem rovny, takže je lze nazvat shodné nebo shodně rovné.

Číselné výrazy, které jsou si navzájem rovny, lze také nazvat shodnými. Například:

20 - 8 a 10 + 2

Identita písmen a čísel

Doslovná identita je rovnost, která platí pro všechny hodnoty písmen v ní obsažených. Jinými slovy, rovnost, ve které jsou obě strany identicky stejné výrazy, například:

(A + b)m = dopoledne + bm
(A + b) 2 = A 2 + 2ab + b 2

Numerická identita je rovnost obsahující pouze čísla vyjádřená číslicemi, ve kterých mají obě strany stejnou číselnou hodnotu. Například:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50

Identické transformace výrazů

Všechny algebraické operace jsou transformací jednoho algebraického výrazu na jiný, shodný s prvním.

Při výpočtu hodnoty výrazu, otevírání závorek, umístění společného činitele mimo závorky a v řadě dalších případů jsou některé výrazy nahrazeny jinými, které jsou jim shodně rovné. Nazývá se nahrazení jednoho výrazu jiným, shodně shodným identická transformace výrazu nebo jednoduše transformace výrazu. Všechny transformace výrazů se provádějí na základě vlastností operací s čísly.

Uvažujme identickou transformaci výrazu na příkladu vyjmutí společného činitele ze závorek:

10X - 7X + 3X = (10 - 7 + 3)X = 6X