Os primeiros são os segmentos adjacentes ao ângulo reto, sendo que a hipotenusa é a parte mais longa da figura e está localizada oposta ao ângulo de 90 graus. Um triângulo pitagórico é aquele cujos lados são iguais aos números naturais; seus comprimentos, neste caso, são chamados de “triplos pitagóricos”.

Triângulo egípcio

Para que a geração atual reconheça a geometria na forma como é ensinada na escola, ela se desenvolveu ao longo de vários séculos. O ponto fundamental é considerado o teorema de Pitágoras. Os lados de um retângulo são conhecidos em todo o mundo) são 3, 4, 5.

Poucas pessoas não estão familiarizadas com a frase “As calças pitagóricas são iguais em todas as direções”. Porém, na realidade, o teorema soa assim: c 2 (quadrado da hipotenusa) = a 2 + b 2 (soma dos quadrados dos catetos).

Entre os matemáticos, um triângulo com lados 3, 4, 5 (cm, m, etc.) é chamado de “egípcio”. O interessante é que o que está inscrito na figura é igual a um. O nome surgiu por volta do século V a.C., quando filósofos gregos viajaram para o Egito.

Ao construir as pirâmides, arquitetos e topógrafos usaram a proporção 3:4:5. Essas estruturas revelaram-se proporcionais, agradáveis à vista e espaçosas, e também raramente desabaram.

Para construir um ângulo reto, os construtores usaram uma corda com 12 nós amarrados. Neste caso, a probabilidade de construção de um triângulo retângulo aumentou para 95%.

Sinais de igualdade de números

Um ângulo agudo em um triângulo retângulo e um lado longo, que são iguais aos mesmos elementos do segundo triângulo, são um sinal indiscutível de igualdade de figuras. Levando em conta a soma dos ângulos, é fácil provar que os segundos ângulos agudos também são iguais. Assim, os triângulos são idênticos de acordo com o segundo critério.
Ao sobrepor duas figuras uma sobre a outra, nós as giramos para que, quando combinadas, formem um triângulo isósceles. De acordo com sua propriedade, os lados, ou melhor, as hipotenusas, são iguais, assim como os ângulos da base, o que significa que essas figuras são iguais.

Com base no primeiro sinal, é muito fácil provar que os triângulos são realmente iguais, o principal é que os dois lados menores (ou seja, as pernas) são iguais entre si.

Os triângulos serão idênticos de acordo com o segundo critério, cuja essência é a igualdade da perna e do ângulo agudo.

Propriedades de um triângulo com ângulo reto

A altura abaixada do ângulo reto divide a figura em duas partes iguais.

Os lados de um triângulo retângulo e sua mediana podem ser facilmente reconhecidos pela regra: a mediana que cai sobre a hipotenusa é igual à metade dela. pode ser encontrado tanto pela fórmula de Heron quanto pela afirmação de que é igual à metade do produto das pernas.

Em um triângulo retângulo, aplicam-se as propriedades dos ângulos de 30°, 45° e 60°.

Com um ângulo de 30°, deve-se lembrar que a perna oposta será igual a 1/2 do lado maior.
Se o ângulo for 45°, então o segundo ângulo agudo também será 45°. Isso sugere que o triângulo é isósceles e seus catetos são iguais.
A propriedade de um ângulo de 60° é que o terceiro ângulo tem uma medida de grau de 30°.

A área pode ser facilmente descoberta usando uma das três fórmulas:

pela altura e pelo lado em que desce;
de acordo com a fórmula de Heron;
nas laterais e o ângulo entre eles.

Os lados de um triângulo retângulo, ou melhor, as pernas, convergem com duas alturas. Para encontrar o terceiro, é necessário considerar o triângulo resultante e então, usando o teorema de Pitágoras, calcular o comprimento necessário. Além desta fórmula, existe também uma relação entre o dobro da área e o comprimento da hipotenusa. A expressão mais comum entre os estudantes é a primeira, pois requer menos cálculos.

Teoremas aplicados ao triângulo retângulo

A geometria do triângulo retângulo envolve o uso de teoremas como:

O círculo inscrito nele (r). Para fazer isso, aumente seis vezes e divida pela raiz quadrada de três: A = r*6/√3.

Conhecendo o raio (R), você também pode calcular o comprimento lados(A) correto triângulo. Esse raio é o dobro do usado na fórmula anterior, então triplique-o e divida também pela raiz quadrada de três: A = R*3/√3.

Por (P) equilátero triângulo calcule seu comprimento lados(A) é ainda mais simples, pois os comprimentos dos lados nesta figura são iguais. Basta dividir o perímetro por três: A = P/3.

Em um triângulo isósceles, calculando o comprimento lados ao longo de um perímetro conhecido é um pouco mais complicado - você também precisa saber o comprimento de pelo menos um dos lados. Se o comprimento for conhecido lados A, situado na base da figura, encontre o comprimento de qualquer lado (B) pela metade da diferença entre o perímetro (P) e o tamanho da base: B = (P-A)/2. E se o lado lateral for conhecido, determine o comprimento da base subtraindo duas vezes o comprimento lateral do perímetro: A = P-2*B.

Conhecer a área (S) ocupada por um triângulo regular num plano também é suficiente para encontrar o seu comprimento lados(A). Pegue a raiz quadrada da razão entre a área e a raiz de três e dobre o resultado: A = 2*√(S/√3).

Em , em qualquer outro, para calcular o comprimento de um dos lados basta saber os comprimentos dos outros dois. Se o lado desejado for (C), para isso, encontre a raiz quadrada dos comprimentos dos lados conhecidos (A e B), ao quadrado: C = √(A²+B²). E se você precisar calcular o comprimento de um dos catetos, então a raiz quadrada deve ser tirada dos comprimentos da hipotenusa e do outro cateto: A = √(C²-B²).

Fontes:

como calcular o lado de um triângulo equilátero

No caso geral, ou seja, quando não há informação sobre se um triângulo é equilátero, isósceles ou reto, temos que usar funções trigonométricas para calcular os comprimentos de seus lados. As regras para sua aplicação são determinadas por teoremas, chamados de teorema dos senos, cossenos e tangentes.

Instruções

Uma maneira de calcular os comprimentos dos lados de um arbitrário triângulo assume os teoremas do seno. Segundo ele, a razão entre os comprimentos dos lados dos ângulos opostos a eles triângulo são iguais. Isto permite-nos derivar uma fórmula para o comprimento de um lado para aqueles casos em que pelo menos um lado e dois ângulos nos vértices da figura são conhecidos a partir das condições do problema. Se nenhum desses dois ângulos (α e β) estiver entre o lado conhecido A e o lado calculado B, multiplique o comprimento do lado conhecido pelo seno do ângulo conhecido β adjacente a ele e divida pelo seno do outro ângulo conhecido a: B = A*sin( β)/sin(α).

Se um (γ) de dois (α e γ) ângulos conhecidos for formado por, o comprimento de um dos quais (A) é dado em e o segundo (B) precisa ser calculado, então aplique o mesmo teorema. A solução pode ser reduzida à fórmula obtida no passo anterior, se recordarmos também o teorema da soma dos ângulos de um triângulo - este valor é sempre 180°. O ângulo β é desconhecido na fórmula, que pode ser calculado usando este teorema subtraindo os valores de dois ângulos conhecidos de 180°. Substitua este valor na equação e você obterá a fórmula B = A*sin(180°-α-γ)/sin(α).

Os comprimentos dos lados (a, b, c) são conhecidos, use o teorema do cosseno. Afirma que o quadrado do comprimento de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois, da qual é o dobro do produto dos comprimentos dos mesmos dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles é subtraído. Você pode usar este teorema para calcular o ângulo em qualquer um dos vértices; é importante saber apenas sua localização em relação aos lados. Por exemplo, para encontrar o ângulo α que fica entre os lados b e c, o teorema deve ser escrito da seguinte forma: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Expresse o cosseno do ângulo desejado a partir da fórmula: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). Para ambos os lados da igualdade, aplique a função inversa do cosseno - arco cosseno. Permite restaurar o ângulo em graus usando o valor do cosseno: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). O lado esquerdo pode ser simplificado e o cálculo do ângulo entre os lados b e c assumirá a forma final: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

Ao encontrar os valores dos ângulos agudos em um triângulo retângulo, não é necessário conhecer os comprimentos de todos os lados; dois deles são suficientes. Se esses dois lados forem pernas (aeb), divida o comprimento daquele oposto ao ângulo desejado (α) pelo comprimento do outro. Desta forma você obterá o valor da tangente do ângulo desejado tg(α) = a/b, e aplicando a função inversa - arco tangente - a ambos os lados da igualdade e simplificando o lado esquerdo, como no passo anterior, derivará o fórmula final: α = arctan(a/b ).

Se os lados conhecidos são o cateto (a) e a hipotenusa (c), para calcular o ângulo (β) formado por esses lados, utiliza-se a função cosseno e sua inversa - arco cosseno. O cosseno é determinado pela razão entre o comprimento da perna e a hipotenusa, e a fórmula em sua forma final pode ser escrita da seguinte forma: β = arccos(a/c). Para calcular a partir do mesmo ângulo agudo inicial (α) oposto à perna conhecida, use a mesma relação, substituindo arco cosseno por arco seno: α = arco seno (a/c).

Fontes:

fórmula do triângulo com 2 lados

Dica 2: Como encontrar os ângulos de um triângulo pelos comprimentos de seus lados

Existem várias opções para encontrar os valores de todos os ângulos de um triângulo se os comprimentos de seus três forem conhecidos festas. Uma maneira é usar duas fórmulas diferentes para calcular a área triângulo. Para simplificar os cálculos, você também pode aplicar o teorema do seno e o teorema da soma dos ângulos triângulo.

Instruções

Use, por exemplo, duas fórmulas para calcular área triângulo, um dos quais envolve apenas três de seus conhecidos festas s (Heron), e no outro - dois festas s e o seno do ângulo entre eles. Usando pares diferentes na segunda fórmula festas, você pode determinar a magnitude de cada um dos ângulos triângulo.

Resolva o problema de forma geral. A fórmula de Heron determina a área triângulo, como a raiz quadrada do produto do semiperímetro (metade de todos festas) na diferença entre o semiperímetro e cada um dos festas. Se substituirmos pela soma festas, então a fórmula pode ser escrita da seguinte forma: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C outro festasárea triângulo pode ser expresso como metade do produto de seus dois festas pelo seno do ângulo entre eles. Por exemplo, para festas aeb com um ângulo γ entre eles, esta fórmula pode ser escrita da seguinte forma: S=a∗b∗sin(γ). Substitua o lado esquerdo da igualdade pela fórmula de Heron: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Derive desta igualdade a fórmula para

Um triângulo retângulo é encontrado na realidade em quase todos os cantos. O conhecimento das propriedades de uma determinada figura, bem como a capacidade de calcular a sua área, ser-lhe-ão, sem dúvida, úteis não só na resolução de problemas de geometria, mas também em situações da vida.

Geometria triangular

Na geometria elementar, um triângulo retângulo é uma figura que consiste em três segmentos conectados que formam três ângulos (dois agudos e um reto). O triângulo retângulo é uma figura original caracterizada por uma série de propriedades importantes que constituem a base da trigonometria. Ao contrário de um triângulo regular, os lados de uma figura retangular têm seus próprios nomes:

A hipotenusa é o lado mais longo de um triângulo, oposto ao ângulo reto.
As pernas são segmentos que formam um ângulo reto. Dependendo do ângulo considerado, a perna pode ser adjacente a ele (formando este ângulo com a hipotenusa) ou oposta (oposta ao ângulo). Não há pernas para triângulos não retângulos.

É a proporção entre os catetos e a hipotenusa que forma a base da trigonometria: senos, tangentes e secantes são definidos como a proporção dos lados de um triângulo retângulo.

Triângulo retângulo na realidade

Este número se generalizou na realidade. Os triângulos são usados em design e tecnologia, portanto o cálculo da área de uma figura deve ser feito por engenheiros, arquitetos e designers. As bases dos tetraedros ou prismas - figuras tridimensionais fáceis de encontrar no dia a dia - têm o formato de um triângulo. Além disso, um quadrado é a representação mais simples de um triângulo retângulo “plano” na realidade. Um esquadro é uma ferramenta de metalurgia, desenho, construção e carpintaria usada para construir ângulos por alunos e engenheiros.

Área de um triângulo

A área de uma figura geométrica é uma estimativa quantitativa de quanto do plano é delimitado pelos lados do triângulo. A área de um triângulo comum pode ser encontrada de cinco maneiras, usando a fórmula de Heron ou usando variáveis como base, lado, ângulo e raio do círculo inscrito ou circunscrito. A fórmula mais simples para área é expressa como:

onde a é o lado do triângulo, h é sua altura.

A fórmula para calcular a área de um triângulo retângulo é ainda mais simples:

onde aeb são pernas.

Trabalhando com nossa calculadora online, você pode calcular a área de um triângulo usando três pares de parâmetros:

duas pernas;
perna e ângulo adjacente;
perna e ângulo oposto.

Em problemas ou situações cotidianas você receberá diferentes combinações de variáveis, portanto esta forma de calculadora permite calcular a área de um triângulo de diversas maneiras. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos da vida real

Azulejo de cerâmica

Digamos que você queira revestir as paredes da cozinha com ladrilhos cerâmicos, que têm o formato de um triângulo retângulo. Para determinar o consumo de ladrilhos, é necessário conhecer a área de um elemento de revestimento e a área total da superfície a ser tratada. Digamos que você precise processar 7 metros quadrados. O comprimento das pernas de um elemento é de 19 cm, então a área do ladrilho será igual a:

Isso significa que a área de um elemento é de 24,5 centímetros quadrados ou 0,01805 metros quadrados. Conhecendo esses parâmetros, você pode calcular que para terminar 7 metros quadrados de parede serão necessários 7/0,01805 = 387 elementos de revestimento.

Tarefa escolar

Digamos que em um problema de geometria escolar você precise encontrar a área de um triângulo retângulo, sabendo apenas que o lado de uma perna tem 5 cm e o ângulo oposto tem 30 graus. Nossa calculadora online vem com uma ilustração que mostra os lados e ângulos de um triângulo retângulo. Se o lado a = 5 cm, então seu ângulo oposto é o ângulo alfa, igual a 30 graus. Insira esses dados no formulário da calculadora e obtenha o resultado:

Assim, a calculadora não apenas calcula a área de um determinado triângulo, mas também determina o comprimento da perna adjacente e da hipotenusa, bem como o valor do segundo ângulo.

Conclusão

Triângulos retângulos são encontrados em nossas vidas literalmente em todos os cantos. Determinar a área de tais figuras será útil não apenas na resolução de trabalhos escolares de geometria, mas também nas atividades cotidianas e profissionais.