No Ao avaliar a probabilidade de ocorrência de qualquer evento aleatório, é muito importante ter um bom entendimento se a probabilidade () de ocorrência do evento que nos interessa depende de como outros eventos se desenvolvem.

No caso do esquema clássico, quando todos os resultados são igualmente prováveis, já podemos estimar os valores de probabilidade do evento individual que nos interessa de forma independente. Podemos fazer isso mesmo que o evento seja uma coleção complexa de vários resultados elementares. E se vários eventos aleatórios ocorrerem simultaneamente ou sequencialmente? Como isso afeta a probabilidade do evento que estamos interessados ​​em acontecer?

Se eu lançar um dado várias vezes e quiser que saia um seis, e continuar tendo azar, isso significa que devo aumentar minha aposta porque, de acordo com a teoria da probabilidade, estou prestes a ter sorte? Infelizmente, a teoria da probabilidade não afirma nada parecido com isto. Sem dados, sem cartas, sem moedas não consigo me lembrar o que eles nos mostraram da última vez. Não importa para eles se é a primeira ou a décima vez que estou testando minha sorte hoje. Cada vez que repito o lançamento, sei apenas uma coisa: e desta vez a probabilidade de obter seis é novamente um sexto. É claro que isso não significa que o número de que preciso nunca aparecerá. Isso significa apenas que minha perda após o primeiro lançamento e após qualquer outro lançamento são eventos independentes.

Os eventos A e B são chamados independente, se a implementação de um deles não afetar de forma alguma a probabilidade de outro evento. Por exemplo, as probabilidades de acertar um alvo com a primeira de duas armas não dependem de o alvo ter sido atingido pela outra arma, portanto os eventos “a primeira arma atingiu o alvo” e “a segunda arma atingiu o alvo” são independente.

Se dois eventos A e B são independentes e a probabilidade de cada um deles é conhecida, então a probabilidade de ocorrência simultânea do evento A e do evento B (denotado AB) pode ser calculada usando o seguinte teorema.

Teorema da multiplicação de probabilidade para eventos independentes

Exemplo.As probabilidades de acertar o alvo ao disparar o primeiro e o segundo canhão são respectivamente iguais: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Encontre a probabilidade de um acerto com uma salva de ambas as armas simultaneamente.

Solução: como já vimos, os eventos A (acertado pelo primeiro tiro) e B (acertado pelo segundo tiro) são independentes, ou seja, P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

O que acontece com as nossas estimativas se os eventos iniciais não forem independentes? Vamos mudar um pouco o exemplo anterior.

Exemplo.Dois atiradores atiram em alvos em uma competição e, se um deles atirar com precisão, o adversário começa a ficar nervoso e seus resultados pioram. Como transformar essa situação cotidiana em um problema matemático e traçar formas de resolvê-lo? É intuitivamente claro que é necessário separar de alguma forma as duas opções de desenvolvimento dos acontecimentos, para criar essencialmente dois cenários, duas tarefas diferentes. No primeiro caso, se o adversário errar, o cenário será favorável ao atleta nervoso e seu acerto será maior. No segundo caso, se o adversário aproveitou bem a oportunidade, a probabilidade de acertar o alvo do segundo atleta diminui.

Para separar cenários possíveis (muitas vezes chamados de hipóteses) para o desenvolvimento de eventos, usaremos frequentemente um diagrama de “árvore de probabilidades”. Este diagrama tem significado semelhante à árvore de decisão com a qual você provavelmente já lidou. Cada ramo representa um cenário distinto para o desenvolvimento dos acontecimentos, só que agora tem um significado próprio do chamado condicional probabilidades (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Este esquema é muito conveniente para analisar eventos aleatórios sequenciais.

Resta esclarecer mais uma questão importante: de onde vêm os valores iniciais das probabilidades? situações reais ? Afinal, a teoria da probabilidade não funciona apenas com moedas e dados? Normalmente estas estimativas são retiradas de estatísticas e, quando a informação estatística não está disponível, conduzimos a nossa própria investigação. E muitas vezes temos que começar não com a coleta de dados, mas com a questão de quais informações realmente precisamos.

Exemplo.Digamos que precisamos estimar em uma cidade com população de cem mil habitantes o volume de mercado de um novo produto que não é item essencial, por exemplo, um bálsamo para o cuidado de cabelos coloridos. Vamos considerar o diagrama da “árvore de probabilidade”. Neste caso, precisamos estimar aproximadamente o valor da probabilidade em cada “ramo”. Portanto, nossas estimativas de capacidade de mercado:

1) de todos os residentes da cidade, 50% são mulheres,

2) de todas as mulheres, apenas 30% pintam o cabelo com frequência,

3) delas, apenas 10% usam bálsamos para cabelos coloridos,

4) deles, apenas 10% conseguem reunir coragem para experimentar um novo produto,

5) 70% deles costumam comprar tudo não de nós, mas de nossos concorrentes.

Solução: De acordo com a lei da multiplicação de probabilidades, determinamos a probabilidade do evento que nos interessa A = (um morador da cidade compra este novo bálsamo de nós) = 0,00045.

Multiplicamos esse valor de probabilidade pelo número de moradores da cidade. Como resultado, temos apenas 45 potenciais clientes e, considerando que uma garrafa deste produto dura vários meses, o comércio não é muito animado.

E ainda assim há algum benefício em nossas avaliações.

Em primeiro lugar, podemos comparar previsões de diferentes ideias de negócios: elas terão “garfos” diferentes nos diagramas e, claro, os valores de probabilidade também serão diferentes.

Em segundo lugar, como já dissemos, uma variável aleatória não é chamada de aleatória porque não depende de nada. Somente ela exato o significado não é conhecido antecipadamente. Sabemos que o número médio de compradores pode ser aumentado (por exemplo, anunciando um novo produto). Portanto, faz sentido concentrar os nossos esforços naquelas “bifurcações” onde a distribuição de probabilidade não nos convém particularmente, naqueles factores que somos capazes de influenciar.

Vejamos outro exemplo quantitativo de pesquisa do comportamento do consumidor.

Exemplo. Em média, 10 mil pessoas visitam o mercado de alimentos por dia. A probabilidade de um visitante do mercado entrar no pavilhão de laticínios é 1/2. Sabe-se que este pavilhão vende em média 500 kg de produtos diversos por dia.

Podemos dizer que a compra média no pavilhão pesa apenas 100 g?

Discussão. Claro que não. É claro que nem todo mundo que entrou no pavilhão acabou comprando alguma coisa ali.

Conforme mostrado no diagrama, para responder à pergunta sobre o peso médio de uma compra, devemos encontrar uma resposta para a pergunta: qual a probabilidade de uma pessoa que entra no pavilhão comprar algo ali. Se não tivermos esses dados à nossa disposição, mas precisarmos deles, teremos que obtê-los nós mesmos, observando durante algum tempo os visitantes do pavilhão. Digamos que as nossas observações mostraram que apenas um quinto dos visitantes do pavilhão compra alguma coisa.

Depois de obtermos essas estimativas, a tarefa se torna simples. De cada 10 mil pessoas que vierem ao mercado, 5 mil irão ao pavilhão de laticínios, serão apenas 1 mil compras. O peso médio da compra é de 500 gramas. É interessante notar que para construir um quadro completo do que está acontecendo, a lógica da “ramificação” condicional deve ser definida em cada etapa do nosso raciocínio tão claramente como se estivéssemos trabalhando com uma situação “específica”, e não com probabilidades.

Tarefas de autoteste

1. Seja um circuito elétrico composto por n elementos conectados em série, cada um dos quais operando independentemente dos outros.

A probabilidade p de falha de cada elemento é conhecida. Determine a probabilidade de operação adequada de toda a seção do circuito (evento A).

2. O aluno conhece 20 das 25 questões do exame. Encontre a probabilidade de o aluno conhecer as três questões que lhe foram dadas pelo examinador.

3. A produção consiste em quatro etapas sucessivas, em cada uma das quais operam equipamentos, para as quais as probabilidades de falha no mês seguinte são iguais a p 1, p 2, p 3 e p 4, respectivamente. Encontre a probabilidade de que não haja paradas de produção devido a falhas de equipamentos em um mês.

Quer saber as probabilidades matemáticas de sua aposta ser bem-sucedida? Então há duas boas notícias para você. Primeiro: para calcular a capacidade de cross-country, você não precisa realizar cálculos complexos e gastar muito tempo. Basta usar fórmulas simples, que levarão alguns minutos para serem trabalhadas. Segundo: depois de ler este artigo, você pode calcular facilmente a probabilidade de qualquer uma de suas transações ser aprovada.

Para determinar corretamente a capacidade de cross-country, você precisa seguir três etapas:

• Calcular a percentagem de probabilidade do resultado de um evento de acordo com a casa de apostas;
• Calcule você mesmo a probabilidade usando dados estatísticos;
• Descubra o valor da aposta, tendo em conta ambas as probabilidades.

Vejamos cada uma das etapas detalhadamente, usando não apenas fórmulas, mas também exemplos.

Passagem rápida

Cálculo da probabilidade incluída nas probabilidades das casas de apostas

O primeiro passo é descobrir com que probabilidade a própria casa de apostas estima as chances de um determinado resultado. É claro que as casas de apostas não definem probabilidades assim. Para fazer isso usamos a seguinte fórmula:

PB=(1/K)*100%,

onde P B é a probabilidade do resultado de acordo com a casa de apostas;

K – probabilidades da casa de apostas para o resultado.

Digamos que as probabilidades de vitória do Arsenal de Londres no jogo contra o Bayern de Munique sejam 4. Isto significa que a probabilidade da sua vitória é avaliada pela casa de apostas como (1/4)*100%=25%. Ou Djokovic joga contra Youzhny. O multiplicador para a vitória de Novak é 1,2, suas chances são (1/1,2)*100%=83%.

É assim que a própria casa de apostas avalia as chances de sucesso de cada jogador e equipe. Concluída a primeira etapa, passamos para a segunda.

Cálculo da probabilidade de um evento pelo jogador

O segundo ponto do nosso plano é a nossa própria avaliação da probabilidade do evento. Como não podemos levar matematicamente em consideração parâmetros como motivação e tom de jogo, usaremos um modelo simplificado e usaremos apenas estatísticas de encontros anteriores. Para calcular a probabilidade estatística de um resultado, usamos a fórmula:

PE=(UM/M)*100%,

OndePE– probabilidade de um evento de acordo com o jogador;

UM – o número de partidas bem-sucedidas em que tal evento ocorreu;

M – número total de partidas.

Para deixar mais claro, vamos dar exemplos. Andy Murray e Rafael Nadal disputaram 14 partidas entre si. Em 6 deles o total foi inferior a 21 em jogos, em 8 o total foi superior. Você precisa descobrir a probabilidade de a próxima partida ser disputada com um total maior: (8/14)*100=57%. O Valência disputou 74 partidas contra o Atlético em Mestalla, nas quais conquistou 29 vitórias. Probabilidade de vitória do Valência: (29/74)*100%=39%.

E tudo isso só aprendemos graças às estatísticas dos jogos anteriores! Naturalmente, não será possível calcular tal probabilidade para uma nova equipa ou jogador, pelo que esta estratégia de apostas só é adequada para jogos em que os adversários se encontrem mais do que uma vez. Agora sabemos como determinar as probabilidades de resultados da casa de apostas e as nossas próprias, e temos todo o conhecimento para passar para a última etapa.

Determinando o valor de uma aposta

O valor (valor) de uma aposta e a passabilidade têm uma ligação direta: quanto maior o valor, maior a chance de aprovação. O valor é calculado da seguinte forma:

V =PE*K-100%,

onde V é valor;

P I – probabilidade de resultado segundo o apostador;

K – probabilidades da casa de apostas para o resultado.

Digamos que queremos apostar na vitória do Milan no jogo contra a Roma e calculamos que a probabilidade de os “rubro-negros” vencerem é de 45%. A casa de apostas oferece-nos probabilidades de 2,5 para este resultado. Tal aposta seria valiosa? Realizamos cálculos: V=45%*2,5-100%=12,5%. Ótimo, temos uma aposta valiosa e com boas chances de passe.

Vejamos outro caso. Maria Sharapova joga contra Petra Kvitova. Queremos fazer um acordo para a vitória da Maria, cuja probabilidade, segundo os nossos cálculos, é de 60%. As casas de apostas oferecem um multiplicador de 1,5 para este resultado. Determinamos o valor: V=60%*1,5-100=-10%. Como você pode ver, esta aposta não tem valor e deve ser evitada.

probabilidade- um número entre 0 e 1 que reflete as chances de ocorrência de um evento aleatório, onde 0 é a completa ausência de probabilidade de ocorrência do evento e 1 significa que o evento em questão ocorrerá definitivamente.

A probabilidade do evento E é um número de 1.
A soma das probabilidades de eventos mutuamente exclusivos é igual a 1.

probabilidade empírica- probabilidade, que é calculada como a frequência relativa de um evento no passado, extraída da análise de dados históricos.

A probabilidade de eventos muito raros não pode ser calculada empiricamente.

probabilidade subjetiva- probabilidade baseada numa avaliação subjetiva pessoal de um evento, independentemente dos dados históricos. Os investidores que tomam decisões de compra e venda de ações muitas vezes agem com base em considerações de probabilidade subjetiva.

probabilidade anterior -

A chance é de 1 em... (probabilidade) de que um evento ocorra através do conceito de probabilidade. A chance de um evento ocorrer é expressa através da probabilidade da seguinte forma: P/(1-P).

Por exemplo, se a probabilidade de um evento é 0,5, então a chance do evento é 1 em 2 porque 0,5/(1-0,5).

A chance de um evento não ocorrer é calculada usando a fórmula (1-P)/P

Probabilidade inconsistente- por exemplo, o preço das ações da empresa A leva em consideração o possível evento E em 85%, e o preço das ações da empresa B leva em consideração apenas 50%. Isso é chamado de probabilidade inconsistente. De acordo com o Teorema das Apostas Holandês, a probabilidade inconsistente cria oportunidades de lucro.

Probabilidade incondicionalé a resposta à pergunta “Qual é a probabilidade de o evento ocorrer?”

Probabilidade Condicional- esta é a resposta à pergunta: “Qual é a probabilidade do evento A se o evento B ocorrer.” A probabilidade condicional é denotada como P(A|B).

Probabilidade conjunta- a probabilidade de que os eventos A e B ocorram simultaneamente. Denotado como P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Regra para somar probabilidades:

A probabilidade de que o evento A ou o evento B aconteça é

P (A ou B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, então

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Eventos independentes- os eventos A e B são independentes se

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Ou seja, é uma sequência de resultados onde o valor da probabilidade é constante de um evento para o outro.
O lançamento de uma moeda é um exemplo de tal evento - o resultado de cada lançamento subsequente não depende do resultado do anterior.

Eventos Dependentes- são eventos em que a probabilidade de ocorrência de um depende da probabilidade de ocorrência de outro.

A regra para multiplicar as probabilidades de eventos independentes:
Se os eventos A e B são independentes, então

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Regra de probabilidade total:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S e S" são eventos mutuamente exclusivos

valor esperado uma variável aleatória é a média dos resultados possíveis de uma variável aleatória. Para o evento X, a expectativa é denotada como E(X).

Digamos que temos 5 valores de eventos mutuamente exclusivos com uma certa probabilidade (por exemplo, o lucro de uma empresa era tal e tal valor com tal probabilidade). O valor esperado é a soma de todos os resultados multiplicada pela sua probabilidade:

A dispersão de uma variável aleatória é a expectativa dos desvios quadrados de uma variável aleatória de sua expectativa:

s 2 = E( 2 ) (6)

O valor esperado condicional é o valor esperado de uma variável aleatória X, desde que o evento S já tenha ocorrido.

• Probabilidade é o grau (medida relativa, avaliação quantitativa) da possibilidade de ocorrência de algum evento. Quando as razões para a ocorrência real de algum evento possível superam as razões opostas, então esse evento é chamado de provável, caso contrário - improvável ou improvável. A preponderância de razões positivas sobre as negativas, e vice-versa, pode ser em graus variados, pelo que a probabilidade (e improbabilidade) pode ser maior ou menor. Portanto, a probabilidade é frequentemente avaliada a um nível qualitativo, especialmente nos casos em que uma avaliação quantitativa mais ou menos precisa é impossível ou extremamente difícil. Várias gradações de “níveis” de probabilidade são possíveis.

  O estudo da probabilidade do ponto de vista matemático constitui uma disciplina especial - a teoria da probabilidade. Na teoria das probabilidades e na estatística matemática, o conceito de probabilidade é formalizado como uma característica numérica de um evento - uma medida de probabilidade (ou seu valor) - uma medida em um conjunto de eventos (subconjuntos de um conjunto de eventos elementares), assumindo valores ​de

  (\estilo de exibição 0)

  (\estilo de exibição 1)

  Significado

  (\estilo de exibição 1)

  Corresponde a um evento confiável. Um evento impossível tem probabilidade 0 (o inverso geralmente nem sempre é verdadeiro). Se a probabilidade de um evento ocorrer for

  (\estilo de exibição p)

  Então a probabilidade de sua não ocorrência é igual a

  (\estilo de exibição 1-p)

  Em particular, a probabilidade

  (\estilo de exibição 1/2)

  Significa igual probabilidade de ocorrência e não ocorrência de um evento.

  A definição clássica de probabilidade é baseada no conceito de probabilidade igual de resultados. A probabilidade é a razão entre o número de resultados favoráveis ​​para um determinado evento e o número total de resultados igualmente possíveis. Por exemplo, a probabilidade de obter cara ou coroa no lançamento aleatório de uma moeda é 1/2 se for assumido que apenas essas duas possibilidades ocorrem e que são igualmente possíveis. Esta “definição” clássica de probabilidade pode ser generalizada para o caso de um número infinito de valores possíveis - por exemplo, se algum evento pode ocorrer com igual probabilidade em qualquer ponto (o número de pontos é infinito) de alguma região limitada de espaço (plano), então a probabilidade de que isso ocorra em alguma parte desta região viável é igual à razão entre o volume (área) desta parte e o volume (área) da região de todos os pontos possíveis.

  A “definição” empírica de probabilidade está relacionada à frequência de um evento, baseada no fato de que com um número suficientemente grande de tentativas, a frequência deve tender ao grau objetivo de possibilidade desse evento. Na apresentação moderna da teoria da probabilidade, a probabilidade é definida axiomaticamente, como um caso especial da teoria abstrata da medida dos conjuntos. Porém, o elo de ligação entre a medida abstrata e a probabilidade, que expressa o grau de possibilidade de ocorrência de um evento, é justamente a frequência de sua observação.

  A descrição probabilística de certos fenômenos tornou-se difundida na ciência moderna, em particular na econometria, na física estatística de sistemas macroscópicos (termodinâmicos), onde mesmo no caso de uma descrição determinística clássica do movimento das partículas, uma descrição determinística de todo o sistema de partículas não parece praticamente possível ou apropriado. Na física quântica, os processos descritos são de natureza probabilística.

Anotações importantes!
1. Se você vir gobbledygook em vez de fórmulas, limpe seu cache. Como fazer isso no seu navegador está escrito aqui:
2. Antes de começar a ler o artigo, preste atenção em nosso navegador para conhecer os recursos mais úteis para

O que é probabilidade?

A primeira vez que encontrei esse termo, não teria entendido o que era. Portanto, tentarei explicar com clareza.

Probabilidade é a chance de que o evento que desejamos aconteça.

Por exemplo, você decidiu ir à casa de um amigo, lembra-se da entrada e até do andar em que ele mora. Mas esqueci o número e a localização do apartamento. E agora você está na escada e na sua frente há portas para você escolher.

Qual é a chance (probabilidade) de que, se você tocar a primeira campainha, seu amigo atenda a porta para você? Só existem apartamentos e um amigo mora apenas atrás de um deles. Com igual chance podemos escolher qualquer porta.

Mas qual é essa chance?

A porta, a porta certa. Probabilidade de adivinhar ao tocar a primeira porta: . Ou seja, uma em cada três vezes você adivinhará com precisão.

Queremos saber, depois de ligar uma vez, com que frequência adivinharemos a porta? Vejamos todas as opções:

1. Você chamou 1º porta
2. Você chamou 2º porta
3. Você chamou 3º porta

Agora vamos ver todas as opções onde um amigo poderia estar:

A. Atrás 1º a porta
b. Atrás 2º a porta
V. Atrás 3º a porta

Vamos comparar todas as opções em forma de tabela. Uma marca de seleção indica opções quando sua escolha coincide com a localização de um amigo, uma cruz - quando não coincide.

Como você vê tudo Talvez opções a localização do seu amigo e sua escolha de qual porta tocar.

A resultados favoráveis ​​de todos . Ou seja, você adivinhará uma vez tocando a campainha uma vez, ou seja, .

Esta é a probabilidade - a relação entre um resultado favorável (quando a sua escolha coincide com a localização do seu amigo) e o número de eventos possíveis.

A definição é a fórmula. A probabilidade é geralmente denotada por p, portanto:

Não é muito conveniente escrever tal fórmula, então tomaremos para - o número de resultados favoráveis, e para - o número total de resultados.

A probabilidade pode ser escrita como uma porcentagem, para isso você precisa multiplicar o resultado resultante por:

A palavra “resultados” provavelmente chamou sua atenção. Como os matemáticos chamam várias ações (no nosso caso, tal ação é uma campainha) de experimentos, o resultado de tais experimentos é geralmente chamado de resultado.

Bem, existem resultados favoráveis ​​e desfavoráveis.

Voltemos ao nosso exemplo. Digamos que tocamos uma das portas, mas um estranho abriu para nós. Não acertamos. Qual é a probabilidade de que, se tocarmos em uma das portas restantes, nosso amigo a abra para nós?

Se você pensou isso, então isso é um erro. Vamos descobrir.

Ainda temos duas portas. Portanto, temos etapas possíveis:

1) Ligue 1º porta
2) Ligue 2º porta

O amigo, apesar de tudo isso, com certeza está por trás de um deles (afinal, ele não estava por trás daquele para quem ligamos):

a) Amigo para 1º a porta
b) Amigo para 2º a porta

Vamos desenhar a tabela novamente:

Como você pode ver, existem apenas opções favoráveis. Ou seja, a probabilidade é igual.

Por que não?

A situação que consideramos é exemplo de eventos dependentes. O primeiro evento é a primeira campainha, o segundo evento é a segunda campainha.

E são chamados de dependentes porque influenciam as ações seguintes. Afinal, se após o primeiro toque a campainha fosse atendida por um amigo, qual seria a probabilidade de ele estar atrás de um dos outros dois? Certo, .

Mas se existem eventos dependentes, então também deve haver independente? Isso mesmo, eles acontecem.

Um exemplo clássico é o lançamento de uma moeda.

1. Jogue uma moeda uma vez. Qual é a probabilidade de obter cara, por exemplo? É isso mesmo - porque existem todas as opções (cara ou coroa, negligenciaremos a probabilidade de a moeda cair na borda), mas isso só nos convém.
2. Mas surgiu cara. Ok, vamos jogar de novo. Qual é a probabilidade de obter cara agora? Nada mudou, está tudo igual. Quantas opções? Dois. Com quantos estamos felizes? Um.

E deixe dar cara pelo menos mil vezes seguidas. A probabilidade de obter cara de uma só vez será a mesma. Sempre há opções e favoráveis.

É fácil distinguir eventos dependentes de eventos independentes:

1. Se o experimento for realizado uma vez (eles jogam uma moeda uma vez, tocam a campainha uma vez, etc.), então os eventos são sempre independentes.
2. Se um experimento for realizado várias vezes (uma moeda é lançada uma vez, a campainha toca várias vezes), então o primeiro evento é sempre independente. E então, se o número de resultados favoráveis ​​ou o número de todos os resultados mudar, então os eventos são dependentes e, se não, são independentes.

Vamos praticar um pouco a determinação da probabilidade.

Exemplo 1.

A moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de sair cara duas vezes seguidas?

Solução:

Vamos considerar todas as opções possíveis:

1. Águia-águia
2. Cara-coroa
3. Coroa-Cabeça
4. Caudas-caudas

Como você pode ver, existem apenas opções. Destes, estamos apenas satisfeitos. Ou seja, a probabilidade:

Se a condição simplesmente pedir que você encontre a probabilidade, a resposta deverá ser dada na forma de uma fração decimal. Se fosse especificado que a resposta deveria ser dada em porcentagem, então multiplicaríamos por.

Responder:

Exemplo 2.

Em uma caixa de chocolates, todos os chocolates são embalados na mesma embalagem. Porém, dos doces - com nozes, com conhaque, com cerejas, com caramelo e com nougat.

Qual é a probabilidade de pegar um doce e obter um doce com nozes? Dê sua resposta como uma porcentagem.

Solução:

Quantos resultados possíveis existem? .

Ou seja, se você levar um doce, será um dos que estão disponíveis na caixa.

Quantos resultados favoráveis?

Porque a caixa contém apenas chocolates com nozes.

Responder:

Exemplo 3.

Em uma caixa de balões. dos quais são brancos e pretos.

1. Qual é a probabilidade de tirar uma bola branca?
2. Adicionamos mais bolas pretas à caixa. Qual é agora a probabilidade de tirar uma bola branca?

Solução:

a) Só existem bolas na caixa. Deles são brancos.

A probabilidade é:

b) Agora há mais bolas na caixa. E ainda restam tantos brancos -.

Responder:

Probabilidade total

Digamos que haja bolas vermelhas e verdes em uma caixa. Qual é a probabilidade de tirar uma bola vermelha? Bola verde? Bola vermelha ou verde?

Probabilidade de tirar uma bola vermelha

Bola verde:

Bola vermelha ou verde:

Como você pode ver, a soma de todos os eventos possíveis é igual a (). Compreender este ponto o ajudará a resolver muitos problemas.

Exemplo 4.

Existem marcadores na caixa: verde, vermelho, azul, amarelo, preto.

Qual é a probabilidade de NÃO desenhar um marcador vermelho?

Solução:

Vamos contar o número resultados favoráveis.

NÃO é um marcador vermelho, isso significa verde, azul, amarelo ou preto.

Regra para multiplicar as probabilidades de eventos independentes

Você já sabe o que são eventos independentes.

E se você precisar encontrar a probabilidade de dois (ou mais) eventos independentes ocorrerem consecutivos?

Digamos que queremos saber qual é a probabilidade de que, se jogarmos uma moeda uma vez, veremos cara duas vezes?

Já consideramos - .

E se jogarmos uma moeda uma vez? Qual é a probabilidade de ver uma águia duas vezes seguidas?

Total de opções possíveis:

1. Águia-águia-águia
2. Cara-cara-coroa
3. Cara-coroa-cara
4. Cara-coroa-coroa
5. Coroa-cara-cara
6. Coroa-cara-coroa
7. Coroa-cauda-cabeça
8. Cauda-cauda-cauda

Não sei você, mas cometi vários erros ao compilar esta lista. Uau! E a única opção (a primeira) nos convém.

Para 5 lances, você mesmo pode fazer uma lista de resultados possíveis. Mas os matemáticos não são tão trabalhadores quanto você.

Portanto, eles primeiro notaram e depois provaram que a probabilidade de uma certa sequência de eventos independentes diminui a cada vez pela probabilidade de um evento.

Em outras palavras,

Vejamos o exemplo da mesma moeda malfadada.

Probabilidade de obter cara em um desafio? . Agora jogamos a moeda uma vez.

Qual é a probabilidade de obter cara consecutiva?

Esta regra não funciona apenas se formos solicitados a determinar a probabilidade de o mesmo evento acontecer várias vezes seguidas.

Se quiséssemos encontrar a sequência TAILS-HEADS-TAILS para lançamentos consecutivos, faríamos o mesmo.

A probabilidade de obter coroa é , cara - .

Probabilidade de obter a sequência TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Você mesmo pode verificar fazendo uma mesa.

A regra para somar as probabilidades de eventos incompatíveis.

Então para! Nova definição.

Vamos descobrir. Vamos pegar nossa moeda gasta e jogá-la uma vez.
Opções possíveis:

1. Águia-águia-águia
2. Cara-cara-coroa
3. Cara-coroa-cara
4. Cara-coroa-coroa
5. Coroa-cara-cara
6. Coroa-cara-coroa
7. Coroa-cauda-cabeça
8. Cauda-cauda-cauda

Portanto, eventos incompatíveis são uma determinada sequência de eventos. - estes são eventos incompatíveis.

Se quisermos determinar qual é a probabilidade de dois (ou mais) eventos incompatíveis, então somamos as probabilidades desses eventos.

Você precisa entender que cara ou coroa são dois eventos independentes.

Se quisermos determinar a probabilidade de ocorrência de uma sequência (ou qualquer outra), usamos a regra da multiplicação de probabilidades.
Qual é a probabilidade de obter cara no primeiro lançamento e coroa no segundo e terceiro lançamentos?

Mas se quisermos saber qual é a probabilidade de obter uma de várias sequências, por exemplo, quando sai cara exatamente uma vez, ou seja, opções e, então, devemos somar as probabilidades dessas sequências.

Opções totais nos agradam.

Podemos obter a mesma coisa somando as probabilidades de ocorrência de cada sequência:

Assim, adicionamos probabilidades quando queremos determinar a probabilidade de certas sequências de eventos inconsistentes.

Existe uma ótima regra para ajudá-lo a evitar ficar confuso quando multiplicar e quando adicionar:

Voltemos ao exemplo em que lançamos uma moeda uma vez e queríamos saber a probabilidade de vermos cara uma vez.
O que vai acontecer?

Deve cair:
(cara E coroa E coroa) OU (coroa E cara E coroa) OU (coroa E coroa E cara).
É assim que acontece:

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 5.

Há lápis na caixa. vermelho, verde, laranja e amarelo e preto. Qual é a probabilidade de desenhar lápis vermelho ou verde?

Solução:

Exemplo 6.

Se um dado for lançado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter um total de 8?

Solução.

Como podemos ganhar pontos?

(e) ou (e) ou (e) ou (e) ou (e).

A probabilidade de obter uma (qualquer) face é .

Calculamos a probabilidade:

Treinamento.

Acho que agora você entende quando precisa calcular probabilidades, quando adicioná-las e quando multiplicá-las. Não é? Vamos praticar um pouco.

Tarefas:

Vamos pegar um baralho contendo cartas incluindo espadas, copas, 13 paus e 13 ouros. Do ás de cada naipe.

1. Qual é a probabilidade de tirarmos paus seguidos (colocamos a primeira carta retirada de volta no baralho e embaralhamos)?
2. Qual é a probabilidade de tirar uma carta preta (espadas ou paus)?
3. Qual é a probabilidade de tirar uma figura (valete, rainha, rei ou ás)?
4. Qual é a probabilidade de tirar duas figuras seguidas (retiramos a primeira carta retirada do baralho)?
5. Qual é a probabilidade, pegando duas cartas, de obter uma combinação - (valete, rainha ou rei) e um ás? A sequência em que as cartas são sorteadas não importa.

Respostas:

Se você conseguiu resolver todos os problemas sozinho, você está ótimo! Agora você resolverá problemas de teoria da probabilidade no Exame de Estado Unificado como loucos!

TEORIA DA PROBABILIDADE. NÍVEL MÉDIO

Vejamos um exemplo. Digamos que joguemos um dado. Que tipo de osso é esse, você sabe? Isso é o que eles chamam de cubo com números nas faces. Quantas faces, tantos números: de até quantos? Antes.

Então jogamos os dados e queremos que saia ou. E nós entendemos.

Na teoria da probabilidade eles dizem o que aconteceu evento auspicioso(não confundir com próspero).

Se acontecesse, o evento também seria favorável. No total, apenas dois eventos favoráveis ​​podem acontecer.

Quantos são desfavoráveis? Como há um total de eventos possíveis, significa que os desfavoráveis ​​são eventos (isto é, se ou cair).

Definição:

Probabilidade é a razão entre o número de eventos favoráveis ​​e o número de todos os eventos possíveis. Ou seja, a probabilidade mostra qual proporção de todos os eventos possíveis é favorável.

Eles denotam probabilidade com uma letra latina (aparentemente da palavra inglesa probabilidade - probabilidade).

É costume medir a probabilidade como uma porcentagem (ver tópico). Para fazer isso, o valor da probabilidade deve ser multiplicado por. No exemplo dos dados, probabilidade.

E em porcentagem: .

Exemplos (decida por si mesmo):

1. Qual é a probabilidade de obter cara ao lançar uma moeda? Qual é a probabilidade de cair cara?
2. Qual é a probabilidade de obter um número par ao lançar um dado? Qual deles é estranho?
3. Em uma caixa de lápis simples azuis e vermelhos. Desenhamos um lápis aleatoriamente. Qual é a probabilidade de obter um simples?

Soluções:

1. Quantas opções existem? Cara e coroa - apenas dois. Quantos deles são favoráveis? Apenas um é uma águia. Então a probabilidade

   É o mesmo com cauda: .

2. Total de opções: (quantos lados o cubo tem, tantas opções diferentes). Favoráveis: (todos números pares :).
   Probabilidade. Claro, é o mesmo com números ímpares.
3. Total: . Favorável: . Probabilidade: .

Probabilidade total

Todos os lápis da caixa são verdes. Qual é a probabilidade de desenhar um lápis vermelho? Não há chances: probabilidade (afinal, eventos favoráveis ​​-).

Tal evento é chamado de impossível.

Qual é a probabilidade de desenhar um lápis verde? Há exatamente o mesmo número de eventos favoráveis ​​que o total de eventos (todos os eventos são favoráveis). Portanto, a probabilidade é igual a ou.

Tal evento é chamado de confiável.

Se uma caixa contém lápis verdes e vermelhos, qual é a probabilidade de desenhar verde ou vermelho? Ainda denovo. Observemos o seguinte: a probabilidade de retirar o verde é igual e o vermelho é igual.

Em suma, essas probabilidades são exatamente iguais. Aquilo é, a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é igual a ou.

Exemplo:

Em uma caixa de lápis, entre eles estão azuis, vermelhos, verdes, lisos, amarelos e os demais são laranja. Qual é a probabilidade de não sair verde?

Solução:

Lembramos que todas as probabilidades se somam. E a probabilidade de ficar verde é igual. Isso significa que a probabilidade de não tirar o verde é igual.

Lembre-se deste truque: A probabilidade de um evento não ocorrer é igual a menos a probabilidade de o evento ocorrer.

Eventos independentes e a regra da multiplicação

Você joga uma moeda uma vez e quer que ela dê cara nas duas vezes. Qual é a probabilidade disso?

Vamos examinar todas as opções possíveis e determinar quantas existem:

Cara-cara, coroa-cara, cara-coroa, coroa-coroa. O que mais?

Opções totais. Destes, apenas um nos convém: Eagle-Eagle. No total, a probabilidade é igual.

Multar. Agora vamos jogar uma moeda uma vez. Faça você mesmo as contas. Ocorrido? (responder).

Você deve ter notado que, com a adição de cada lançamento subsequente, a probabilidade diminui pela metade. A regra geral é chamada regra de multiplicação:

As probabilidades de eventos independentes mudam.

O que são eventos independentes? Tudo é lógico: são aqueles que não dependem uns dos outros. Por exemplo, quando lançamos uma moeda várias vezes, cada vez que é feito um novo lançamento, cujo resultado não depende de todos os lançamentos anteriores. Podemos facilmente lançar duas moedas diferentes ao mesmo tempo.

Mais exemplos:

1. Os dados são lançados duas vezes. Qual é a probabilidade de conseguir as duas vezes?
2. A moeda é lançada uma vez. Qual é a probabilidade de dar cara na primeira vez e depois dar coroa duas vezes?
3. O jogador lança dois dados. Qual é a probabilidade de que a soma dos números neles seja igual?

Respostas:

1. Os eventos são independentes, o que significa que a regra da multiplicação funciona: .
2. A probabilidade de caras é igual. A probabilidade de coroa é a mesma. Multiplicar:
3. 12 só pode ser obtido se dois -ki forem lançados: .

Eventos incompatíveis e a regra de adição

Eventos que se complementam até o ponto de probabilidade total são chamados de incompatíveis. Como o nome sugere, eles não podem acontecer simultaneamente. Por exemplo, se jogarmos uma moeda, ela pode dar cara ou coroa.

Exemplo.

Em uma caixa de lápis, entre eles estão azuis, vermelhos, verdes, lisos, amarelos e os demais são laranja. Qual é a probabilidade de sair verde ou vermelho?

Solução.

A probabilidade de desenhar um lápis verde é igual. Vermelho - .

Eventos favoráveis ​​ao todo: verde + vermelho. Isso significa que a probabilidade de tirar verde ou vermelho é igual.

A mesma probabilidade pode ser representada desta forma: .

Esta é a regra de adição: as probabilidades de eventos incompatíveis se somam.

Problemas de tipo misto

Exemplo.

A moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de os resultados dos lançamentos serem diferentes?

Solução.

Isso significa que se o primeiro resultado for cara, o segundo deverá ser coroa e vice-versa. Acontece que existem dois pares de eventos independentes e esses pares são incompatíveis entre si. Como não ficar confuso sobre onde multiplicar e onde somar.

Existe uma regra simples para tais situações. Tente descrever o que vai acontecer usando as conjunções “AND” ou “OR”. Por exemplo, neste caso:

Deve aparecer (cara e coroa) ou (coroa e cara).

Onde houver conjunção “e” haverá multiplicação, e onde houver “ou” haverá adição:

Tente você mesmo:

1. Qual é a probabilidade de que, se uma moeda for lançada duas vezes, ela caia do mesmo lado nas duas vezes?
2. Os dados são lançados duas vezes. Qual é a probabilidade de obter um total de pontos?

Soluções:

Outro exemplo:

Jogue uma moeda uma vez. Qual é a probabilidade de aparecer cara pelo menos uma vez?

Solução:

TEORIA DA PROBABILIDADE. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

A probabilidade é a razão entre o número de eventos favoráveis ​​e o número de todos os eventos possíveis.

Eventos independentes

Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro.

Probabilidade total

A probabilidade de todos os eventos possíveis é igual a ().

A probabilidade de um evento não ocorrer é igual a menos a probabilidade de o evento ocorrer.

Regra para multiplicar as probabilidades de eventos independentes

A probabilidade de uma certa sequência de eventos independentes é igual ao produto das probabilidades de cada evento

Eventos incompatíveis

Eventos incompatíveis são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente como resultado de um experimento. Vários eventos incompatíveis formam um grupo completo de eventos.

As probabilidades de eventos incompatíveis se somam.

Tendo descrito o que deve acontecer, utilizando as conjunções “AND” ou “OR”, em vez de “AND” colocamos um sinal de multiplicação, e em vez de “OR” colocamos um sinal de adição.

Bem, o assunto acabou. Se você está lendo estas linhas, significa que você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas conseguem dominar algo sozinhas. E se você ler até o fim, você está nesses 5%!

Agora o mais importante.

Você entendeu a teoria sobre este tópico. E, repito, isso... isso é simplesmente fantástico! Você já é melhor do que a grande maioria de seus colegas.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Por passar com sucesso no Exame Estadual Unificado, por entrar na faculdade com orçamento limitado e, O MAIS IMPORTANTE, para o resto da vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isto são estatísticas.

Mas isto não é o principal.

O principal é que eles fiquem MAIS FELIZES (existem estudos desse tipo). Talvez porque muito mais oportunidades se abram diante deles e a vida se torne mais brilhante? Não sei...

Mas pense por si mesmo...

O que é necessário para ser melhor do que os outros no Exame de Estado Unificado e, em última análise, ser... mais feliz?

GANHE SUA MÃO RESOLVENDO PROBLEMAS NESTE TÓPICO.

Não será solicitada teoria durante o exame.

Você vai precisar resolver problemas contra o tempo.

E, se você não os resolveu (MUITO!), com certeza cometerá um erro estúpido em algum lugar ou simplesmente não terá tempo.

É como nos esportes: você precisa repetir muitas vezes para vencer com certeza.

Encontre a coleção onde quiser, necessariamente com soluções, análise detalhada e decida, decida, decida!

Você pode usar nossas tarefas (opcionais) e nós, claro, as recomendamos.

Para melhorar o uso de nossas tarefas, você precisa ajudar a prolongar a vida útil do livro YouClever que está lendo atualmente.

Como? Existem duas opções:

1. Desbloqueie todas as tarefas ocultas neste artigo –
2. Desbloqueie o acesso a todas as tarefas ocultas em todos os 99 artigos do livro - Compre um livro didático - 499 RUR

Sim, temos 99 desses artigos em nosso livro e o acesso a todas as tarefas e todos os textos ocultos nelas podem ser abertos imediatamente.

O acesso a todas as tarefas ocultas é fornecido durante TODA a vida do site.

Para concluir...

Se você não gosta de nossas tarefas, encontre outras. Só não pare na teoria.

“Entendido” e “Posso resolver” são habilidades completamente diferentes. Você precisa de ambos.

Encontre problemas e resolva-os!