Derivado. Se a derivada de uma função for positiva para qualquer ponto do intervalo, então a função aumenta; se for negativa, diminui.

Para encontrar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, você precisa encontrar seu domínio de definição, derivada, resolver desigualdades da forma F’(x) > 0 e F’(x)

Solução.

3. Resolva as desigualdades y’ > 0 e y’ 0;
(4 - x)/x³

Solução.
1. Vamos encontrar o domínio de definição da função. Obviamente, a expressão no denominador deve ser sempre diferente de zero. Portanto, 0 é excluído do domínio de definição: a função é definida para x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Calcule a derivada da função:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Resolva as desigualdades y’ > 0 e y’ 0;
(4 - x)/x³

4. O lado esquerdo da desigualdade tem um real x = 4 e gira para x = 0. Portanto, o valor x = 4 está incluído tanto no intervalo quanto no intervalo decrescente, e o ponto 0 não está incluído.
Portanto, a função necessária aumenta no intervalo x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Fontes:

como encontrar intervalos decrescentes em uma função

Uma função representa uma dependência estrita de um número em outro, ou o valor de uma função (y) em um argumento (x). Cada processo (não apenas em matemática) pode ser descrito por sua própria função, que terá traços característicos: intervalos de diminuição e aumento, pontos de mínimos e máximos, e assim por diante.

Você vai precisar

- papel;
- caneta.

Instruções

Exemplo 2.
Encontre os intervalos decrescentes f(x)=sinx +x.
A derivada desta função será igual a: f’(x)=cosx+1.
Resolvendo a desigualdade cosx+1

Intervalo monotonia uma função pode ser chamada de intervalo no qual a função apenas aumenta ou apenas diminui. Uma série de ações específicas ajudarão a encontrar tais intervalos para a função, o que é frequentemente necessário em problemas algébricos deste tipo.

Instruções

O primeiro passo para resolver o problema de determinação dos intervalos em que uma função aumenta ou diminui monotonicamente é calcular essa função. Para fazer isso, descubra todos os valores dos argumentos (valores ao longo do eixo x) para os quais você pode encontrar o valor da função. Marque os pontos onde são observadas descontinuidades. Encontre a derivada da função. Depois de determinar a expressão que representa a derivada, iguale-a a zero. Depois disso, você deverá encontrar as raízes do arquivo . Não sobre a área permitida.

Os pontos nos quais a função ou sua derivada é igual a zero representam os limites dos intervalos monotonia. Esses intervalos, bem como os pontos que os separam, devem ser inseridos sequencialmente na tabela. Encontre o sinal da derivada da função nos intervalos resultantes. Para fazer isso, substitua qualquer argumento do intervalo na expressão correspondente à derivada. Se o resultado for positivo, a função neste intervalo aumenta; caso contrário, diminui. Os resultados são inseridos na tabela.

Na linha que denota a derivada da função f’(x), estão escritos os valores correspondentes dos argumentos: “+” - se a derivada for positiva, “-” - negativa ou “0” - igual a zero. Na próxima linha, observe a monotonia da própria expressão original. Uma seta para cima corresponde a um aumento e uma seta para baixo corresponde a uma diminuição. Verifique as funções. Estes são os pontos em que a derivada é zero. Um extremo pode ser um ponto máximo ou um ponto mínimo. Se a seção anterior da função aumentou e a atual diminuiu, este é o ponto máximo. No caso em que a função era decrescente antes de um determinado ponto e agora está aumentando, este é o ponto mínimo. Insira os valores da função nos pontos extremos da tabela.

Fontes:

qual é a definição de monotonia

O comportamento de uma função que possui uma dependência complexa de um argumento é estudado usando a derivada. Pela natureza da mudança na derivada, você pode encontrar pontos críticos e áreas de crescimento ou diminuição da função.

1. Encontre o domínio da função

2. Encontre a derivada da função

3. Iguale a derivada a zero e encontre os pontos críticos da função

4. Marque os pontos críticos na área de definição

5. Calcule o sinal da derivada em cada um dos intervalos resultantes

6. Descubra o comportamento da função em cada intervalo.

Exemplo: Encontre os intervalos da função crescente e decrescentef(x) = e o número de zeros desta função no intervalo.

Solução:

1.D( f) =R

2. f"(x) =

D( f")=D( f) =R

3. Encontre os pontos críticos da função resolvendo a equação f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

pontos críticos de uma função x= 0 e x = 10.

4. Vamos determinar o sinal da derivada.

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

nos intervalos (-∞; 0) e (10; +∞) a derivada da função é positiva e nos pontos x= 0 e x = 10 função f(x) é contínua, portanto, esta função aumenta nos intervalos: (-∞; 0]; .

Vamos determinar o sinal dos valores da função nas extremidades do segmento.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Como a função diminui no segmento e o sinal dos valores da função muda, então há um zero da função neste segmento.

Resposta: a função f(x) aumenta nos intervalos: (-∞; 0]; ;

no intervalo a função tem uma função zero.

2. Pontos extremos da função: pontos máximos e pontos mínimos. Condições necessárias e suficientes para a existência de um extremo de uma função. Regra para estudar uma função para extremo .

Definição 1:Os pontos nos quais a derivada é igual a zero são chamados críticos ou estacionários.

Definição 2. Um ponto é chamado de ponto mínimo (máximo) de uma função se o valor da função neste ponto for menor (maior que) os valores mais próximos da função.

Deve-se ter em mente que o máximo e o mínimo neste caso são locais.

Na Fig. 1. São mostrados máximos e mínimos locais.

O máximo e o mínimo de uma função são unidos por um nome comum: extremo da função.

Teorema 1.(um sinal necessário da existência de um extremo de uma função). Se uma função diferenciável num ponto tem um máximo ou um mínimo neste ponto, então a sua derivada em desaparece, .

Teorema 2.(um sinal suficiente da existência de um extremo da função). Se uma função contínua tem uma derivada em todos os pontos de algum intervalo contendo um ponto crítico (com a possível exceção deste próprio ponto), e se a derivada, quando o argumento passa da esquerda para a direita através do ponto crítico, muda de sinal de mais para menos, então a função neste ponto tem um máximo, e quando o sinal muda de menos para mais, ela tem um mínimo.

Informações muito importantes sobre o comportamento de uma função são fornecidas pelos intervalos crescentes e decrescentes. Encontrá-los faz parte do processo de examinar a função e traçar o gráfico. Além disso, os pontos extremos em que há uma mudança de aumento para diminuição ou de diminuição para aumento recebem atenção especial ao encontrar os maiores e menores valores da função em um determinado intervalo.

Neste artigo daremos as definições necessárias, formularemos um critério suficiente para o aumento e diminuição de uma função num intervalo e condições suficientes para a existência de um extremo, e aplicaremos toda esta teoria à resolução de exemplos e problemas.

Navegação na página.

Função crescente e decrescente em um intervalo.

Definição de uma função crescente.

A função y=f(x) aumenta no intervalo X se for qualquer e a desigualdade se mantém. Em outras palavras, um valor de argumento maior corresponde a um valor de função maior.

Definição de uma função decrescente.

A função y=f(x) diminui no intervalo X se for qualquer e a desigualdade se mantém . Em outras palavras, um valor maior do argumento corresponde a um valor menor da função.

NOTA: se a função for definida e contínua nas extremidades do intervalo crescente ou decrescente (a;b), ou seja, em x=a e x=b, então esses pontos estão incluídos no intervalo crescente ou decrescente. Isso não contradiz as definições de uma função crescente e decrescente no intervalo X.

Por exemplo, pelas propriedades das funções elementares básicas sabemos que y=sinx é definido e contínuo para todos os valores reais do argumento. Portanto, a partir do aumento da função seno no intervalo, podemos afirmar que ela aumenta no intervalo.

Pontos extremos, extremos de uma função.

O ponto é chamado ponto máximo função y=f(x) se a desigualdade for verdadeira para todo x em sua vizinhança. O valor da função no ponto máximo é chamado máximo da função e denotar.

O ponto é chamado ponto mínimo função y=f(x) se a desigualdade for verdadeira para todo x em sua vizinhança. O valor da função no ponto mínimo é chamado função mínima e denotar.

A vizinhança de um ponto é entendida como o intervalo , onde é um número positivo suficientemente pequeno.

Os pontos mínimo e máximo são chamados pontos extremos, e os valores da função correspondentes aos pontos extremos são chamados extremos da função.

Não confunda os extremos de uma função com os maiores e menores valores da função.

Na primeira figura, o maior valor da função no segmento é alcançado no ponto máximo e é igual ao máximo da função, e na segunda figura, o maior valor da função é alcançado no ponto x=b , que não é o ponto máximo.

Condições suficientes para funções crescentes e decrescentes.

Com base em condições suficientes (sinais) para o aumento e diminuição de uma função, são encontrados intervalos de aumento e diminuição da função.

Aqui estão as formulações dos sinais de funções crescentes e decrescentes em um intervalo:

se a derivada da função y=f(x) for positiva para qualquer x do intervalo X, então a função aumenta em X;
se a derivada da função y=f(x) for negativa para qualquer x do intervalo X, então a função diminui em X.

Assim, para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, é necessário:

Vamos considerar um exemplo de como encontrar os intervalos de funções crescentes e decrescentes para explicar o algoritmo.

Exemplo.

Encontre os intervalos da função crescente e decrescente.

Solução.

O primeiro passo é encontrar o domínio de definição da função. No nosso exemplo, a expressão no denominador não deve ir a zero, portanto, .

Vamos prosseguir para encontrar a derivada da função:

Para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função com base em um critério suficiente, resolvemos desigualdades no domínio de definição. Vamos usar uma generalização do método intervalar. A única raiz real do numerador é x = 2, e o denominador vai para zero em x=0. Esses pontos dividem o domínio de definição em intervalos nos quais a derivada da função mantém seu sinal. Vamos marcar esses pontos na reta numérica. Denotamos convencionalmente por mais e menos os intervalos em que a derivada é positiva ou negativa. As setas abaixo mostram esquematicamente o aumento ou diminuição da função no intervalo correspondente.

Por isso, E .

No ponto A função x=2 é definida e contínua, portanto deve ser adicionada aos intervalos crescentes e decrescentes. No ponto x=0 a função não está definida, portanto não incluímos este ponto nos intervalos requeridos.

Apresentamos um gráfico da função para comparar os resultados obtidos com ela.

Responder:

A função aumenta à medida que , diminui no intervalo (0;2] .

Condições suficientes para o extremo de uma função.

Para encontrar os máximos e mínimos de uma função, você pode usar qualquer um dos três sinais de extremo, é claro, se a função satisfizer suas condições. O mais comum e conveniente é o primeiro deles.

A primeira condição suficiente para um extremo.

Seja a função y=f(x) diferenciável na vizinhança do ponto e contínua no próprio ponto.

Em outras palavras:

Algoritmo para encontrar pontos extremos baseado no primeiro sinal de extremo de uma função.

Encontramos o domínio de definição da função.
Encontramos a derivada da função no domínio de definição.
Determinamos os zeros do numerador, os zeros do denominador da derivada e os pontos do domínio de definição em que a derivada não existe (todos os pontos listados são chamados pontos de possível extremo, passando por esses pontos, a derivada pode simplesmente mudar de sinal).
Esses pontos dividem o domínio de definição da função em intervalos nos quais a derivada mantém seu sinal. Determinamos os sinais da derivada em cada um dos intervalos (por exemplo, calculando o valor da derivada de uma função em qualquer ponto de um intervalo específico).
Selecionamos pontos nos quais a função é contínua e, passando pelos quais, a derivada muda de sinal - esses são os pontos extremos.

Existem muitas palavras, vamos dar uma olhada em alguns exemplos de como encontrar pontos extremos e extremos de uma função usando a primeira condição suficiente para o extremo de uma função.

Exemplo.

Encontre os extremos da função.

Solução.

O domínio de uma função é todo o conjunto dos números reais, exceto x=2.

Encontrando a derivada:

Os zeros do numerador são os pontos x=-1 e x=5, o denominador vai para zero em x=2. Marque esses pontos no eixo numérico

Determinamos os sinais da derivada em cada intervalo; para isso calculamos o valor da derivada em qualquer um dos pontos de cada intervalo, por exemplo, nos pontos x=-2, x=0, x=3 e x=6.

Portanto, no intervalo a derivada é positiva (na figura colocamos um sinal de mais neste intervalo). Da mesma maneira

Portanto, colocamos menos acima do segundo intervalo, menos acima do terceiro e mais acima do quarto.

Resta selecionar os pontos nos quais a função é contínua e sua derivada muda de sinal. Esses são os pontos extremos.

No ponto x=-1 a função é contínua e a derivada muda de sinal de mais para menos, portanto, de acordo com o primeiro sinal do extremo, x=-1 é o ponto máximo, o máximo da função corresponde a ele .

No ponto x=5 a função é contínua e a derivada muda de sinal de menos para mais, portanto, x=-1 é o ponto mínimo, o mínimo da função corresponde a ele .

Ilustração gráfica.

Responder:

ATENÇÃO: o primeiro critério suficiente para um extremo não requer diferenciabilidade da função no próprio ponto.

Exemplo.

Encontre pontos extremos e extremos da função .

Solução.

O domínio de uma função é todo o conjunto dos números reais. A função em si pode ser escrita como:

Vamos encontrar a derivada da função:

No ponto x=0 a derivada não existe, pois os valores dos limites unilaterais não coincidem quando o argumento tende a zero:

Ao mesmo tempo, a função original é contínua no ponto x=0 (veja a seção sobre o estudo da função para continuidade):

Vamos encontrar o valor do argumento no qual a derivada vai para zero:

Vamos marcar todos os pontos obtidos na reta numérica e determinar o sinal da derivada em cada um dos intervalos. Para fazer isso, calculamos os valores da derivada em pontos arbitrários de cada intervalo, por exemplo, em x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Aquilo é,

Assim, de acordo com o primeiro sinal de um extremo, os pontos mínimos são , os pontos máximos são .

Calculamos os mínimos correspondentes da função

Calculamos os máximos correspondentes da função

Ilustração gráfica.

Responder:

O segundo sinal de um extremo de uma função.

Como você pode ver, este sinal de extremo de uma função requer a existência de uma derivada de pelo menos segunda ordem no ponto.

Crescente, decrescente e extremos de uma função

Encontrar os intervalos de aumento, diminuição e extremos de uma função é uma tarefa independente e uma parte essencial de outras tarefas, em particular, estudo de função completa. As informações iniciais sobre o aumento, diminuição e extremos da função são fornecidas em capítulo teórico sobre derivada, que eu recomendo fortemente para estudo preliminar (ou repetição)– também pela razão de que o seguinte material é baseado no próprio essencialmente derivado, sendo uma continuação harmoniosa deste artigo. Embora, se o tempo for curto, também será possível uma prática puramente formal dos exemplos da lição de hoje.

E hoje há um espírito de rara unanimidade no ar, e posso sentir diretamente que todos os presentes estão ardendo de desejo aprenda a explorar uma função usando sua derivada. Portanto, uma terminologia razoável, boa e eterna aparece imediatamente nas telas do seu monitor.

Para que? Um dos motivos é o mais prático: para que fique claro o que geralmente é exigido de você em uma tarefa específica!

Monotonicidade da função. Pontos extremos e extremos de uma função

Vamos considerar alguma função. Simplificando, assumimos que ela contínuo em toda a reta numérica:

Por precaução, vamos nos livrar imediatamente de possíveis ilusões, principalmente para os leitores que recentemente conheceram intervalos de sinal constante da função. Agora nós NÃO INTERESSADO, como o gráfico da função está localizado em relação ao eixo (acima, abaixo, onde o eixo se cruza). Para ser convincente, apague mentalmente os eixos e deixe um gráfico. Porque é aí que reside o interesse.

Função aumenta em um intervalo se para quaisquer dois pontos deste intervalo conectados pela relação, a desigualdade é verdadeira. Ou seja, um valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função, e seu gráfico vai “de baixo para cima”. A função de demonstração cresce ao longo do intervalo.

Da mesma forma, a função diminui em um intervalo se para quaisquer dois pontos de um determinado intervalo tal que, a desigualdade é verdadeira. Ou seja, um valor maior do argumento corresponde a um valor menor da função, e seu gráfico vai “de cima para baixo”. Nossa função diminui em intervalos .

Se uma função aumenta ou diminui em um intervalo, ela é chamada estritamente monótono neste intervalo. O que é monotonia? Leve literalmente – monotonia.

Você também pode definir não decrescente função (condição relaxada na primeira definição) e não crescente função (condição suavizada na 2ª definição). Uma função não decrescente ou não crescente em um intervalo é chamada de função monotônica em um determinado intervalo (monotonicidade estrita é um caso especial de monotonicidade “simplesmente”).

A teoria também considera outras abordagens para determinar o aumento/diminuição de uma função, inclusive em meios intervalos, segmentos, mas para não derramar óleo-óleo-óleo na sua cabeça, concordaremos em operar com intervalos abertos com definições categóricas - isso é mais claro e é suficiente para resolver muitos problemas práticos.

Por isso, em meus artigos a expressão “monotonicidade de uma função” quase sempre estará oculta intervalos monotonia estrita(função estritamente crescente ou estritamente decrescente).

Vizinhança de um ponto. Palavras após as quais os alunos fogem para onde podem e se escondem horrorizados nos cantos. ...Embora depois da postagem Limites de Cauchy Eles provavelmente não estão mais se escondendo, apenas estremecendo levemente =) Não se preocupe, agora não haverá provas dos teoremas da análise matemática - eu precisava do ambiente para formular as definições de forma mais estrita pontos extremos. Vamos lembrar:

Bairro de um ponto um intervalo que contém um determinado ponto é chamado e, por conveniência, o intervalo é frequentemente considerado simétrico. Por exemplo, um ponto e sua vizinhança padrão:

Na verdade, as definições:

O ponto é chamado ponto máximo estrito, Se existe seu bairro, para todos valores dos quais, exceto o próprio ponto, a desigualdade . Em nosso exemplo específico, isso é um ponto.

O ponto é chamado ponto mínimo estrito, Se existe seu bairro, para todos valores dos quais, exceto o próprio ponto, a desigualdade . No desenho há o ponto “a”.

Observação : o requisito de simetria de vizinhança não é de todo necessário. Além disso, é importante o próprio fato da existência vizinhança (seja minúscula ou microscópica) que satisfaça as condições especificadas

Os pontos são chamados pontos estritamente extremos ou simplesmente pontos extremos funções. Ou seja, é um termo generalizado para pontos máximos e pontos mínimos.

Como entendemos a palavra “extremo”? Sim, tão diretamente quanto a monotonia. Pontos extremos de montanhas-russas.

Como no caso da monotonicidade, existem postulados vagos e são ainda mais comuns na teoria (que, é claro, se enquadram nos casos estritos considerados!):

O ponto é chamado ponto máximo, Se existe seu entorno é tal que para todos
O ponto é chamado ponto mínimo, Se existe seu entorno é tal que para todos valores desta vizinhança, a desigualdade se mantém.

Observe que de acordo com as duas últimas definições, qualquer ponto de uma função constante (ou uma “seção plana” de uma função) é considerado um ponto máximo e um ponto mínimo! A função, aliás, é não crescente e não decrescente, ou seja, monotônica. Contudo, deixaremos estas considerações para os teóricos, pois na prática quase sempre contemplamos os tradicionais “morros” e “cavidades” (ver desenho) com um único “rei do morro” ou “princesa do pântano”. Como variedade, ocorre dica, direcionado para cima ou para baixo, por exemplo, o mínimo da função no ponto.

Ah, e falando em realeza:
– o significado é chamado máximo funções;
– o significado é chamado mínimo funções.

Nome comum - extremos funções.

Por favor, tenha cuidado com suas palavras!

Pontos extremos– estes são valores “X”.
Extremos– significados de “jogo”.

! Observação : às vezes, os termos listados referem-se aos pontos “XY” que estão diretamente no GRÁFICO DA PRÓPRIA função.

Quantos extremos uma função pode ter?

Nenhum, 1, 2, 3, ... etc. ao infinito. Por exemplo, o seno tem infinitos mínimos e máximos.

IMPORTANTE! O termo "máximo de função" não idênticos o termo “valor máximo de uma função”. É fácil perceber que o valor é máximo apenas em um bairro local, e no canto superior esquerdo estão “camaradas mais legais”. Da mesma forma, “mínimo de uma função” não é o mesmo que “valor mínimo de uma função”, e no desenho vemos que o valor é mínimo apenas em uma determinada área. A este respeito, os pontos extremos também são chamados pontos extremos locais, e os extremos - extremos locais. Eles andam e vagam por perto e global irmãos. Então, qualquer parábola tem no seu vértice mínimo global ou máximo global. Além disso, não farei distinção entre tipos de extremos, e a explicação é expressa mais para fins educacionais gerais - os adjetivos adicionais “local”/“global” não devem pegá-lo de surpresa.

Vamos resumir nossa breve excursão pela teoria com um teste: o que significa a tarefa “encontrar os intervalos de monotonicidade e os pontos extremos da função”?

O texto incentiva você a encontrar:

– intervalos de função crescente/decrescente (não decrescente, não crescente aparece com muito menos frequência);

– pontos máximos e/ou mínimos (se existirem). Bem, para evitar falhas, é melhor encontrar os próprios mínimos/máximos ;-)

Como determinar tudo isso? Usando a função derivada!

Como encontrar intervalos de aumento, diminuição,
pontos extremos e extremos da função?

Muitas regras, na verdade, já são conhecidas e compreendidas desde lição sobre o significado de uma derivada.

Derivada tangente traz a boa notícia de que a função está aumentando em todo domínio de definição.

Com cotangente e sua derivada a situação é exatamente oposta.

O arco seno aumenta ao longo do intervalo - a derivada aqui é positiva: .
Quando a função é definida, mas não diferenciável. No entanto, no ponto crítico há uma derivada destra e uma tangente destra, e na outra aresta estão suas contrapartes canhotas.

Penso que não será muito difícil para si realizar um raciocínio semelhante para o arco cosseno e a sua derivada.

Todos os casos acima, muitos dos quais são derivadas tabulares, lembro a você, siga diretamente de definições derivadas.

Por que explorar uma função usando sua derivada?

Para entender melhor como é o gráfico desta função: onde vai “de baixo para cima”, onde “de cima para baixo”, onde atinge mínimos e máximos (se é que atinge). Nem todas as funções são tão simples - na maioria dos casos não temos ideia alguma sobre o gráfico de uma função específica.

É hora de passar para exemplos mais significativos e considerar algoritmo para encontrar intervalos de monotonicidade e extremos de uma função:

Exemplo 1

Encontre intervalos de aumento/diminuição e extremos da função

Solução:

1) O primeiro passo é encontrar domínio de uma função e também anote os pontos de interrupção (se existirem). Neste caso, a função é contínua em toda a reta numérica e esta ação é até certo ponto formal. Mas em vários casos, paixões sérias surgem aqui, então vamos tratar o parágrafo sem desdém.

2) O segundo ponto do algoritmo se deve a

uma condição necessária para um extremo:

Se houver um extremo em um ponto, então o valor não existe.

Ficou confuso com o final? Extremo da função “módulo x” .

A condição é necessária, mas insuficiente, e o inverso nem sempre é verdadeiro. Portanto, ainda não decorre da igualdade que a função atinja um máximo ou um mínimo no ponto . Um exemplo clássico já foi destacado acima - esta é uma parábola cúbica e seu ponto crítico.

Mas seja como for, a condição necessária para um extremo dita a necessidade de encontrar pontos suspeitos. Para fazer isso, encontre a derivada e resolva a equação:

No início do primeiro artigo sobre gráficos de funções Eu lhe disse como construir rapidamente uma parábola usando um exemplo : “...pegamos a primeira derivada e igualamos a zero: ...Então, a solução da nossa equação: - é neste ponto que se localiza o vértice da parábola...”. Agora, acho que todos entendem porque o vértice da parábola está localizado exatamente neste ponto =) Em geral, deveríamos começar com um exemplo semelhante aqui, mas é muito simples (mesmo para um bule de chá). Além disso, há um análogo no final da lição sobre derivada de uma função. Portanto, vamos aumentar o grau:

Exemplo 2

Encontre intervalos de monotonicidade e extremos da função

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Uma solução completa e uma amostra final aproximada do problema no final da lição.

Chegou o tão esperado momento de encontro com funções racionais fracionárias:

Exemplo 3

Explore uma função usando a primeira derivada

Preste atenção em como uma mesma tarefa pode ser reformulada de forma variável.

Solução:

1) A função sofre infinitas descontinuidades em pontos.

2) Detectamos pontos críticos. Vamos encontrar a primeira derivada e igualá-la a zero:

Vamos resolver a equação. Uma fração é zero quando seu numerador é zero:

Assim, obtemos três pontos críticos:

3) Plotamos TODOS os pontos detectados na reta numérica e método de intervalo definimos os sinais da DERIVATIVA:

Deixe-me lembrá-lo de que você precisa pegar algum ponto do intervalo e calcular o valor da derivada nele e determine seu sinal. É mais lucrativo nem contar, mas “estimar” verbalmente. Vamos pegar, por exemplo, um ponto pertencente ao intervalo e realizar a substituição: .

Dois “mais” e um “menos” dão um “menos”, portanto, o que significa que a derivada é negativa em todo o intervalo.

A ação, como você entende, precisa ser realizada em cada um dos seis intervalos. A propósito, observe que o fator numerador e o denominador são estritamente positivos para qualquer ponto em qualquer intervalo, o que simplifica bastante a tarefa.

Então, a derivada nos disse que a PRÓPRIA FUNÇÃO aumenta em e diminui em . É conveniente conectar intervalos do mesmo tipo com o ícone de junção.

No ponto em que a função atinge seu máximo:
No ponto em que a função atinge o mínimo:

Pense por que você não precisa recalcular o segundo valor ;-)

Ao passar por um ponto, a derivada não muda de sinal, então a função NÃO TEM EXTREMO ali - ela diminuiu e permaneceu decrescente.

! Vamos repetir um ponto importante: os pontos não são considerados críticos - eles contêm uma função não determinado. Assim, aqui Em princípio não pode haver extremos(mesmo que a derivada mude de sinal).

Responder: a função aumenta em e diminui em No ponto em que o máximo da função é atingido: , e no ponto – o mínimo: .

Conhecimento de intervalos e extremos de monotonicidade, juntamente com assíntotas já dá uma ideia muito boa da aparência do gráfico da função. Uma pessoa com treinamento médio é capaz de determinar verbalmente que o gráfico de uma função tem duas assíntotas verticais e uma assíntota oblíqua. Aqui está nosso herói:

Tente mais uma vez correlacionar os resultados do estudo com o gráfico desta função.
Não há extremo no ponto crítico, mas há inflexão do gráfico(o que, via de regra, acontece em casos semelhantes).

Exemplo 4

Encontre os extremos da função

Exemplo 5

Encontre intervalos de monotonicidade, máximos e mínimos da função

…é quase como uma espécie de feriado “X em um cubo” hoje....
Entããão, quem na galeria se ofereceu para beber por isso? =)

Cada tarefa tem suas próprias nuances substantivas e sutilezas técnicas, que são comentadas no final da lição.

Deixe um sistema de coordenadas retangular ser especificado em um determinado plano. O gráfico de alguma função, (domínio X de definição) é o conjunto de pontos deste plano com coordenadas, onde.

Para construir um gráfico, você precisa representar em um plano um conjunto de pontos cujas coordenadas (x;y) estão relacionadas pela relação.

Na maioria das vezes, o gráfico de uma função é algum tipo de curva.

A maneira mais simples de traçar um gráfico é plotá-lo por pontos.

É compilada uma tabela na qual o valor do argumento está em uma célula e o valor da função desse argumento está na célula oposta. Em seguida, os pontos resultantes são marcados no plano e uma curva é traçada através deles.

Um exemplo de construção de um gráfico de função usando pontos:

Vamos construir uma mesa.

Agora vamos construir um gráfico.

Mas desta forma nem sempre é possível construir um gráfico suficientemente preciso - para obter precisão, você precisa tirar muitos pontos. Portanto, vários métodos de estudo da função são utilizados.

O esquema completo de pesquisa da função é conhecido em instituições de ensino superior. Um dos pontos de estudar uma função é encontrar os intervalos de aumento (diminuição) da função.

Uma função é chamada crescente (decrescente) em um determinado intervalo se, para qualquer x 2 e x 1 desse intervalo, tal que x 2 >x 1.

Por exemplo, uma função cujo gráfico é mostrado na figura a seguir, nos intervalos aumenta e diminui no intervalo (-5;3). Ou seja, nos intervalos O cronograma está subindo. E no intervalo (-5;3) “descendo”.