Ja ķermenis ar spēku iedarbina rotāciju, tad tā enerģija palielinās par iztērētā darba apjomu. Tāpat kā translācijas kustībā, šis darbs ir atkarīgs no spēka un radītā pārvietojuma. Tomēr nobīde tagad ir leņķiska, un izteiksme darbam, pārvietojot materiālu punktu, nav piemērojama. Jo ķermenis ir absolūti stingrs, tad spēka darbs, lai gan tas tiek pielikts punktā, ir vienāds ar darbu, kas tiek patērēts visa ķermeņa rotēšanai.

Pagriežot leņķi, spēka pielikšanas punkts šķērso ceļu . Šajā gadījumā darbs ir vienāds ar pārvietošanās virziena spēka projekcijas reizinājumu ar pārvietojuma lielumu: ; No att. ir skaidrs, ka tā ir spēka roka un ir spēka moments.

Tad elementārais darbs: . Ja tad.

Rotācijas darbs notiek, lai palielinātu ķermeņa kinētisko enerģiju

; Aizvietojot , iegūstam: vai ņemot vērā dinamikas vienādojumu: , ir skaidrs, ka , t.i. tā pati izteiksme.

6. Neinerciālas atskaites sistēmas

Darba beigas -

Šī tēma pieder sadaļai:

Translācijas kustības kinemātika

Mehānikas fiziskie pamati.. translācijas kustības kinemātika.. mehāniskā kustība ir eksistences forma..

Ja jums ir nepieciešams papildu materiāls par šo tēmu vai jūs neatradāt to, ko meklējāt, mēs iesakām izmantot meklēšanu mūsu darbu datubāzē:

Ko darīsim ar saņemto materiālu:

Ja šis materiāls jums bija noderīgs, varat to saglabāt savā lapā sociālajos tīklos:

Visas tēmas šajā sadaļā:

Mehāniskā kustība
Matērija, kā zināms, pastāv divos veidos: vielas un lauka formā. Pirmais veids ietver atomus un molekulas, no kurām tiek veidoti visi ķermeņi. Otrais veids ietver visu veidu laukus: gravitāciju

Telpa un laiks
Visi ķermeņi pastāv un pārvietojas telpā un laikā. Šie jēdzieni ir visu dabaszinātņu pamatprincipi. Jebkuram ķermenim ir izmēri, t.i. tās telpiskais apjoms

Atsauces sistēma
Lai nepārprotami noteiktu ķermeņa stāvokli patvaļīgā laika momentā, ir jāizvēlas atskaites sistēma - koordinātu sistēma, kas aprīkota ar pulksteni un stingri savienota ar absolūti stingru ķermeni, saskaņā ar

Kustību kinemātiskie vienādojumi
Kad t.M pārvietojas, tā koordinātas mainās ar laiku, tāpēc, lai precizētu kustības likumu, ir jānorāda funkcijas veids

Kustība, elementāra kustība
Ļaujiet punktam M pārvietoties no A uz B pa izliektu ceļu AB. Sākotnējā brīdī tā rādiusa vektors ir vienāds ar

Paātrinājums. Normāls un tangenciāls paātrinājums
Punkta kustību raksturo arī paātrinājums — ātruma izmaiņu ātrums. Ja punkta ātrums uz patvaļīgu laiku

Kustība uz priekšu
Vienkāršākais stingra ķermeņa mehāniskās kustības veids ir translācijas kustība, kurā taisna līnija, kas savieno jebkurus divus ķermeņa punktus, pārvietojas ar ķermeni, paliekot paralēli | tā

Inerces likums
Klasiskā mehānika balstās uz trim Ņūtona likumiem, ko viņš formulēja savā esejā “Dabas filozofijas matemātiskie principi”, kas publicēta 1687. gadā. Šie likumi bija ģēnija rezultāts

Inerciālais atskaites rāmis
Ir zināms, ka mehāniskā kustība ir relatīva un tās būtība ir atkarīga no atskaites sistēmas izvēles. Pirmais Ņūtona likums neattiecas uz visām atskaites sistēmām. Piemēram, ķermeņi, kas atrodas uz gludas virsmas

Svars. Ņūtona otrais likums
Dinamikas galvenais uzdevums ir noteikt ķermeņu kustības raksturlielumus tiem pielikto spēku ietekmē. No pieredzes zināms, ka spēka ietekmē

Materiāla punkta dinamikas pamatlikums
Vienādojums apraksta ierobežotu izmēru ķermeņa kustības izmaiņas spēka ietekmē, ja nav deformācijas un ja tā

Ņūtona trešais likums
Novērojumi un eksperimenti liecina, ka viena ķermeņa mehāniskā iedarbība uz otru vienmēr ir mijiedarbība. Ja ķermenis 2 iedarbojas uz ķermeni 1, tad ķermenis 1 noteikti neitralizē tos

Galilejas transformācijas
Tie ļauj noteikt kinemātiskos lielumus, pārejot no vienas inerciālās atskaites sistēmas uz citu. Ņemsim

Galileja relativitātes princips
Jebkura punkta paātrinājums visās atskaites sistēmās, kas pārvietojas viena pret otru taisni un vienmērīgi tādā pašā veidā:

Saglabāšanas daudzumi
Jebkurš ķermenis vai ķermeņu sistēma ir materiālu punktu vai daļiņu kopums. Šādas sistēmas stāvokli noteiktā laika posmā mehānikā nosaka, norādot koordinātas un ātrumus in

Masas centrs
Jebkurā daļiņu sistēmā var atrast punktu, ko sauc par masas centru

Masas centra kustības vienādojums
Dinamikas pamatlikumu var uzrakstīt citā formā, zinot sistēmas masas centra jēdzienu:

Konservatīvie spēki
Ja katrā telpas punktā kāds spēks iedarbojas uz tur novietotu daļiņu, tad tiek teikts, ka daļiņa atrodas spēku laukā, piemēram, gravitācijas, gravitācijas, Kulona un citu spēku laukā. Lauks

Centrālie spēki
Katru spēka lauku izraisa noteikta ķermeņa vai ķermeņu sistēmas darbība. Spēks, kas iedarbojas uz daļiņu šajā laukā, ir aptuveni

Daļiņas potenciālā enerģija spēka laukā
Fakts, ka konservatīvā spēka darbs (stacionāram laukam) ir atkarīgs tikai no daļiņas sākotnējās un beigu pozīcijas laukā, ļauj mums ieviest svarīgo potenciāla fizisko jēdzienu.

Saikne starp potenciālo enerģiju un spēku konservatīvajam laukam
Daļiņas mijiedarbību ar apkārtējiem ķermeņiem var aprakstīt divējādi: izmantojot spēka jēdzienu vai izmantojot potenciālās enerģijas jēdzienu. Pirmā metode ir vispārīgāka, jo tas attiecas arī uz spēkiem

Daļiņas kinētiskā enerģija spēka laukā
Ļaujiet masas daļiņai kustēties spēkā

Daļiņas kopējā mehāniskā enerģija
Ir zināms, ka daļiņas kinētiskās enerģijas pieaugums, pārvietojoties spēka laukā, ir vienāds ar visu spēku elementāro darbu, kas iedarbojas uz daļiņu:

Daļiņu mehāniskās enerģijas nezūdamības likums
No izteiksmes izriet, ka stacionārā konservatīvo spēku laukā daļiņas kopējā mehāniskā enerģija var mainīties

Kinemātika
Jūs varat pagriezt ķermeni noteiktā leņķī

Daļiņas impulss. Spēka mirklis
Papildus enerģijai un impulsam ir vēl viens fizisks lielums, ar kuru ir saistīts saglabāšanas likums - tas ir leņķiskais impulss. Daļiņas leņķiskais impulss

Impulsa moments un spēka moments ap asi
Ņemsim patvaļīgu fiksētu asi mūs interesējošajā atskaites sistēmā

Sistēmas leņķiskā impulsa saglabāšanas likums
Apskatīsim sistēmu, kas sastāv no divām savstarpēji mijiedarbīgām daļiņām, uz kurām arī iedarbojas ārējie spēki un

Tādējādi slēgtas daļiņu sistēmas leņķiskais impulss paliek nemainīgs un laika gaitā nemainās
Tas attiecas uz jebkuru punktu inerciālajā atskaites sistēmā: . Sistēmas atsevišķu daļu impulsa momenti m

Stingra ķermeņa inerces moments
Apsveriet cietu ķermeni, kas var

Stingras ķermeņa rotācijas dinamikas vienādojums
Cieta ķermeņa rotācijas dinamikas vienādojumu var iegūt, uzrakstot momentu vienādojumu cietam ķermenim, kas rotē ap patvaļīgu asi

Rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija
Apskatīsim absolūti stingru ķermeni, kas rotē ap fiksētu asi, kas iet caur to. Sadalīsim to daļiņās ar mazu tilpumu un masu

Centrbēdzes inerces spēks
Apskatīsim disku, kas griežas kopā ar lodi uz atsperes, kas uzlikta uz spieķa, 5.3. att. Bumba atrodas

Koriolisa spēks
Kad ķermenis pārvietojas attiecībā pret rotējošu CO, papildus parādās cits spēks - Koriolisa spēks vai Koriolisa spēks

Nelielas svārstības
Apsveriet mehānisku sistēmu, kuras pozīciju var noteikt, izmantojot vienu lielumu, piemēram, x. Šajā gadījumā sistēmai ir viena brīvības pakāpe.x vērtība var būt

Harmoniskās vibrācijas
Ņūtona 2. likuma vienādojumam, ja nav berzes spēku formas kvazielastīgajam spēkam, ir šāda forma:

Matemātikas svārsts
Šis ir materiāls punkts, kas piekārts uz nepaplašināma garuma pavediena, kas svārstās vertikālā plaknē

Fiziskais svārsts
Tas ir ciets ķermenis, kas vibrē ap fiksētu asi, kas savienota ar ķermeni. Ass ir perpendikulāra figūrai un

Slāpētas svārstības
Reālā svārstību sistēmā ir pretestības spēki, kuru darbība noved pie sistēmas potenciālās enerģijas samazināšanās, un svārstības tiks slāpētas.Vienkāršākā gadījumā

Pašsvārstības
Ar slāpētām svārstībām sistēmas enerģija pakāpeniski samazinās un svārstības apstājas. Lai tās nebūtu amortizētas, atsevišķos brīžos ir jāpapildina sistēmas enerģija no ārpuses

Piespiedu vibrācijas
Ja oscilācijas sistēma papildus pretestības spēkiem ir pakļauta ārēja periodiska spēka iedarbībai, kas mainās saskaņā ar harmonikas likumu

Rezonanse
Piespiedu svārstību amplitūdas atkarības līkne noved pie tā, ka pie kāda specifiska konkrētai sistēmai

Viļņu izplatīšanās elastīgā vidē
Ja svārstību avots ir novietots jebkurā vietā elastīgā vidē (cietā, šķidrā, gāzveida), tad daļiņu mijiedarbības dēļ svārstības vidē izplatīsies no daļiņas uz stundu.

Plaknes un sfērisko viļņu vienādojums
Viļņa vienādojums izsaka svārstīgo daļiņu nobīdes atkarību no tās koordinātām,

Viļņu vienādojums
Viļņu vienādojums ir diferenciālvienādojuma, ko sauc par viļņu vienādojumu, risinājums. Lai to noteiktu, no vienādojuma atrodam otros daļējos atvasinājumus attiecībā pret laiku un koordinātām

Cietā ķermeņa rotācijas procesa kinemātiskai aprakstam ir jāievieš tādi jēdzieni kā leņķiskā nobīde Δ φ, leņķiskais paātrinājums ε un leņķiskais ātrums ω:

ω = ∆ φ ∆ t , (∆ t → 0) , ε = ∆ φ ∆ t , (∆ t → 0) .

Leņķus izsaka radiānos. Pozitīvais griešanās virziens tiek uzskatīts par pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Kad stingrs ķermenis griežas ap fiksētu asi, visi šī ķermeņa punkti pārvietojas ar vienādiem leņķiskajiem ātrumiem un paātrinājumiem.

1. attēls. Diska griešanās ap asi, kas iet caur tā centru O.

Ja leņķiskā nobīde Δ φ ir maza, tad lineārās nobīdes vektora lielums ∆ s → kāds masas elements Δ m Rotējoša cieta ķermeņa vērtību var izteikt ar attiecību:

∆ s = r ∆ ϕ,

kurā r– rādiusa vektora r → modulis.

Ar vienādības palīdzību var izveidot savienojumu starp leņķiskā un lineārā ātruma moduļiem

Lineārā un leņķiskā paātrinājuma moduļi ir arī savstarpēji saistīti:

a = a τ = r ε .

Vektori v → un a → = a τ → ir vērsti pieskares rādiusa aplim r.

Jāņem vērā arī normāla vai centripetāla paātrinājuma rašanās, kas vienmēr notiek, kad ķermeņi pārvietojas pa apli.

1. definīcija

Paātrinājuma moduli izsaka ar formulu:

a n = v 2 r = ω 2 r .

Ja rotējošo ķermeni sadalāt mazos fragmentos Δ m i , attālumu līdz rotācijas asij apzīmē ar r i, un lineāro ātrumu moduļi caur v i , tad, rakstot rotējoša ķermeņa kinestētiskās enerģijas formulu, būs šāda forma:

E k = ∑ i ν m v i 2 2 = ∑ i ∆ m (r i ω) 2 2 = ω 2 2 ∑ i ∆ m i r i 2 .

2. definīcija

Fizikālo lielumu ∑ i ∆ m i r i 2 sauc par ķermeņa inerces momentu I attiecībā pret griešanās asi. Tas ir atkarīgs no rotējošā ķermeņa masu sadalījuma attiecībā pret rotācijas asi:

I = ∑ i ∆ m i r i 2 .

Robežā kā Δ m → 0 šī summa nonāk integrālī. Inerces momenta mērvienība CI ir kilograms - metrs kvadrātā (k g m2). Tādējādi stingra ķermeņa, kas rotē ap fiksētu asi, kinētisko enerģiju var attēlot šādi:

E k = I ω 2 2 .

Pretstatā izteiksmei, ko izmantojām, lai aprakstītu translācijas kustīga ķermeņa kinestētisko enerģiju m v 2 2, nevis masu m formula ietver inerces momentu es. Lineārā ātruma v vietā ņemam vērā arī leņķisko ātrumu ω.

Ja translācijas kustības dinamikā galvenā loma ir ķermeņa masai, tad rotācijas kustības dinamikā ir nozīme inerces momentam. Bet, ja masa ir attiecīgā stingrā ķermeņa īpašība, kas nav atkarīga no kustības ātruma un citiem faktoriem, tad inerces moments ir atkarīgs no ass, ap kuru griežas ķermenis. Vienam un tam pašam ķermenim inerces momentu noteiks dažādas rotācijas asis.

Lielākajā daļā problēmu tiek pieņemts, ka stingra ķermeņa rotācijas ass iet caur tā masas centru.

Masas centra pozīcija x C , y C vienkāršam gadījumam divu daļiņu sistēmai ar masu m 1 un m 2, kas atrodas plaknē X Y punktos ar koordinātām x 1, y 1 un x 2, y 2 nosaka ar izteiksmēm:

x C = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2, y C = m 1 g 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 .

2. attēls. Divu daļiņu sistēmas masas centrs C.

Vektora formā šīs attiecības izpaužas šādā formā:

r C → = m 1 r 1 → + m 2 r 2 → m 1 + m 2 .

Līdzīgi daudzu daļiņu sistēmai rādiusa vektors r C → masas centrs ir dots ar

r C → = ∑ m i r i → ∑ m i .

Ja mums ir darīšana ar cietu ķermeni, kas sastāv no vienas daļas, tad dotajā izteiksmē summas r C → jāaizstāj ar integrāļiem.

Masas centrs vienmērīgā gravitācijas laukā sakrīt ar smaguma centru. Tas nozīmē, ka, ja mēs paņemam sarežģītas formas ķermeni un piekaram to pie masas centra, tad vienmērīgā gravitācijas laukā šis ķermenis būs līdzsvarā. Tas nozīmē metodi sarežģīta ķermeņa masas centra noteikšanai praksē: tas ir secīgi jāpiekar no vairākiem punktiem, vienlaikus atzīmējot vertikālās līnijas pa svērteni.

3.attēls Sarežģītas formas ķermeņa masas centra C stāvokļa noteikšana. A 1, A 2, A 3 apturēšanas punkti.

Attēlā redzams ķermenis, kuru piekar masas centrs. Tas atrodas vienaldzīgā līdzsvara stāvoklī. Vienmērīgā gravitācijas laukā rezultējošais gravitācijas spēks tiek pielikts masas centram.

Mēs varam attēlot jebkuru cieta ķermeņa kustību kā divu kustību summu. Pirmais ir translācijas, kas tiek ražots ar ķermeņa masas centra ātrumu. Otrais ir rotācija ap asi, kas iet caur masas centru.

1. piemērs

Pieņemsim. Ka mums ir ritenis, kas ripo pa horizontālu virsmu neslīdot. Visi riteņa punkti kustības laikā pārvietojas paralēli vienai plaknei. Mēs varam apzīmēt šādu kustību kā plakanu.

Rotējoša cieta ķermeņa kinestētiskā enerģija plaknes kustībā būs vienāda ar translācijas kustības kinētiskās enerģijas un rotācijas kinētiskās enerģijas summu attiecībā pret asi, kas tiek vilkta caur masas centru un atrodas perpendikulāri plaknēm kurā pārvietojas visi ķermeņa punkti:

E k = m v C 2 2 + I C ω 2 2 ,

Kur m- kopējais ķermeņa svars, Es C– ķermeņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur masas centru.

4. attēls. Riteņa ripošana kā translācijas kustības ar ātrumu v C → un griešanās ar leņķisko ātrumu ω = v C R summa attiecībā pret asi O, kas iet caur masas centru.

Mehānikā tiek izmantota teorēma par masas centra kustību.

1. teorēma

Jebkuram ķermenim vai vairākiem savstarpēji mijiedarbīgiem ķermeņiem, kas veido vienu sistēmu, ir masas centrs. Šis masas centrs ārējo spēku ietekmē pārvietojas telpā kā materiāls punkts, kurā ir koncentrēta visa sistēmas masa.

Attēlā mēs attēlojam stingra ķermeņa kustību, kas ir pakļauta gravitācijai. Ķermeņa masas centrs pārvietojas pa trajektoriju, kas ir tuvu parabolai, savukārt pārējo ķermeņa punktu trajektorija ir sarežģītāka.

Zīmējums 5. Stingra ķermeņa kustība gravitācijas ietekmē.

Apskatīsim gadījumu, kad stingrs ķermenis pārvietojas ap kādu fiksētu asi. Šī inerces ķermeņa inerces moments es var izteikt ar inerces momentu Es Cšī ķermeņa attiecībā pret asi, kas iet caur ķermeņa masas centru un ir paralēla pirmajam.

6. attēls. Teorēmas par griešanās ass paralēlo tulkojumu pierādījums.

2. piemērs

Piemēram, ņemsim cietu ķermeni, kura forma ir patvaļīga. Apzīmēsim masas centru C. Izvēlēsimies koordinātu sistēmu X Y ar koordinātu sākumpunktu 0. Izlīdzināsim masas centru un koordinātu izcelsmi.

Viena no asīm iet caur masas centru C. Otrā ass šķērso patvaļīgi izvēlētu punktu P, kas atrodas attālumā d no izcelsmes. Izvēlēsimies kādu nelielu dotā cietā ķermeņa masas elementu Δ m i .

Pēc inerces momenta definīcijas:

I C = ∑ ∆ m i (x i 2 + y i 2) , I P = ∑ m i (x i - a) 2 + y i - b 2

Izteiksme priekš Es P var pārrakstīt šādi:

I P = ∑ ∆ m i (x i 2 + y i 2) + ∑ ∆ m i (a 2 + b 2) - 2 a ∑ ∆ m i x i - 2 b ∑ ∆ m i y i .

Pēdējie divi vienādojuma locekļi pazūd, jo koordinātu izcelsme mūsu gadījumā sakrīt ar ķermeņa masas centru.

Tādā veidā mēs nonācām pie Šteinera teorēmas formulas par rotācijas ass paralēlo tulkojumu.

2. teorēma

Ķermenim, kas griežas ap patvaļīgu fiksētu asi, inerces moments saskaņā ar Šteinera teorēmu ir vienāds ar šī ķermeņa inerces momenta summu attiecībā pret tai paralēlu asi, kas iet caur ķermeņa masas centru. ķermenis un ķermeņa masas reizinājums ar attāluma starp asīm kvadrātu.

I P = I C + m d 2,

Kur m- kopējais ķermeņa svars.

7. attēls. Inerces momenta modelis.

Zemāk esošajā attēlā parādīti dažādu formu viendabīgi cietie ķermeņi un norādīti šo ķermeņu inerces momenti attiecībā pret asi, kas iet caur masas centru.

8. attēls. Dažu viendabīgu cietvielu inerces momenti I C.

Gadījumos, kad mums ir darīšana ar stingru ķermeni, kas griežas ap fiksētu asi, mēs varam vispārināt Ņūtona otro likumu. Zemāk redzamajā attēlā ir attēlots patvaļīgas formas ciets ķermenis, kas rotē ap noteiktu asi, kas iet caur punktu O. Rotācijas ass atrodas perpendikulāri figūras plaknei.

Δ m i ir patvaļīgs mazs masas elements, kuru ietekmē ārējie un iekšējie spēki. Visu spēku rezultants ir F i →. To var sadalīt divās komponentēs: tangenciālā komponente F i τ → un radiālā komponente F i r →. Radiālā komponente F i r → rada centripetālu paātrinājumu a n.

9. attēls. Pieskares F i τ → un radiālās F i r → spēka F i → komponentes, kas iedarbojas uz cietā ķermeņa elementu Δ m i.

Pieskares komponents F i τ → izraisa tangenciālo paātrinājumu a i τ → masa Δ m i. Otrais Ņūtona likums, kas rakstīts skalārā formā, dod

∆ m i a i τ = F i τ sin θ vai ∆ m i r i ε = F i sin θ ,

kur ε = a i τ r i ir visu cietā ķermeņa punktu leņķiskais paātrinājums.

Ja abas iepriekšminētā vienādojuma puses tiek reizinātas ar r i, tad mēs iegūstam:

∆ m i r i 2 ε = F i r i sin θ = F i l i = M i .

Šeit l i ir spēka plecs, F i , → M i ir spēka moments.

Tagad mums ir jāpieraksta līdzīgas attiecības visiem masas Δ elementiem m i rotējošu stingru korpusu un pēc tam summējiet kreiso un labo daļu. Tas dod:

∑ ∆ m i r i 2 ε = ∑ M i .

To spēku momentu summa, kas iedarbojas uz dažādiem stingra ķermeņa punktiem labajā pusē, sastāv no visu ārējo spēku momentu summas un visu iekšējo spēku momentu summas.

∑ M = ∑ M i ārējais + ∑ M i iekšējais.

Bet visu iekšējo spēku momentu summa saskaņā ar Ņūtona trešo likumu ir vienāda ar nulli, tāpēc labajā pusē paliek tikai visu ārējo spēku momentu summa, ko apzīmēsim ar M. Tādā veidā mēs ieguvām stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu.

4. definīcija

Leņķiskais paātrinājums ε un griezes moments Mšajā vienādojumā ir algebriskie lielumi.

Parasti pozitīvo griešanās virzienu uzskata par pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Iespējama arī rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojuma rakstīšanas vektora forma, kurā lielumi ω → , ε → , M → ir definēti kā vektori, kas vērsti pa rotācijas asi.

Sadaļā, kas veltīta ķermeņa translācijas kustībai, mēs iepazīstinājām ar ķermeņa impulsa p → jēdzienu. Pēc analoģijas ar translācijas kustību rotācijas kustībai mēs ieviešam leņķiskā impulsa jēdzienu.

5. definīcija

Rotējoša ķermeņa impulss ir fizikāls lielums, kas ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta reizinājumu es līdz tās rotācijas leņķiskajam ātrumam ω.

Latīņu burts L tiek izmantots, lai apzīmētu leņķisko impulsu.

Tā kā ε = ∆ ω ∆ t ; ∆ t → 0, rotācijas kustības vienādojumu var attēlot šādi:

M = I ε = I ∆ ω ∆ t vai M ∆ t = I ∆ ω = ∆ L .

Mēs iegūstam:

M = ∆ L ∆ t; (∆ t → 0) .

Mēs ieguvām šo vienādojumu gadījumam, kad I = c o n s t. Bet tā būs arī taisnība, kad kustības laikā mainīsies ķermeņa inerces moments.

Ja kopējais brīdis Mārējie spēki, kas iedarbojas uz ķermeni, ir vienādi ar nulli, tad leņķiskais impulss L = I ω attiecībā pret doto asi saglabājas: ∆ L = 0, ja M = 0.

6. definīcija

Tāpēc

L = l ω = c o n s t.

Tā mēs nonācām pie leņķiskā impulsa saglabāšanas likuma.

3. piemērs

Kā piemēru mēs sniedzam attēlu, kas attēlo uz kopējas ass uzmontētu disku neelastīgu rotācijas sadursmi.

10. attēls. Divu disku neelastīga rotācijas sadursme. Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums: I 1 ω 1 = (I 1 + I 2) ω .

Mums ir darīšana ar slēgtu sistēmu. Jebkurai slēgtai sistēmai būs spēkā leņķiskā impulsa saglabāšanas likums. To veic gan eksperimentu apstākļos mehānikā, gan kosmosa apstākļos, kad planētas pārvietojas savās orbītās ap zvaigzni.

Rotācijas kustības dinamikas vienādojumu varam pierakstīt gan stacionārai asij, gan asij, kas kustas vienmērīgi vai ar paātrinājumu. Vienādojuma forma nemainīsies pat tad, ja ass kustēsies paātrināti. Lai to izdarītu, ir jāizpilda divi nosacījumi: asij jāiziet caur ķermeņa masas centru, un tās virziens telpā paliek nemainīgs.

4. piemērs

Pieņemsim, ka mums ir ķermenis (bumba vai cilindrs), kas ar zināmu berzi ripo lejup pa slīpu plakni.

11. attēls. Simetriska ķermeņa ripināšana slīpā plaknē.

Rotācijas ass O iet caur ķermeņa masas centru. Smaguma momenti m g → un reakcijas spēks N → attiecībā pret asi O ir vienādi ar nulli. Mirklis M rada tikai berzes spēku: M = F t r R .

Rotācijas kustības vienādojums:

I C ε = I C a R = M = F t r R ,

kur ε ir ripojoša ķermeņa leņķiskais paātrinājums, a- tā masas centra lineārais paātrinājums, Es C– inerces moments ap asi O, kas iet caur masas centru.

Otrais Ņūtona likums masas centra translācijas kustībai ir uzrakstīts šādi:

m a = m g sin α - F t r.

Izslēdzot F t r no šiem vienādojumiem, mēs beidzot iegūstam:

α = m g sin θ I C R 2 + m .

No šī izteiksmes ir skaidrs, ka ķermenis ar mazāku inerces momentu ātrāk ripos lejup pa slīpo plakni. Piemēram, lodītes IC = 2 5 m R 2 , bet cieta viendabīga cilindra IC = 1 2 m R 2 . Līdz ar to bumbiņa ripos ātrāk nekā cilindrs.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ja m.t. griežas pa apli, tad uz to iedarbojas spēks, tad pagriežoties noteiktā leņķī tiek veikts elementārs darbs:

(22)

Ja aktīvais spēks ir potenciāls, tad

tad (24)

Rotācijas jauda

Momentānā jauda, ​​kas veidojas ķermeņa rotācijas laikā:

Rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija

Materiāla punkta kinētiskā enerģija. Materiālo punktu kinētiskā enerģija sis . Jo , mēs iegūstam rotācijas kinētiskās enerģijas izteiksmi:

Plakanā kustībā (cilindrs ripo lejup pa slīpu plakni) kopējais ātrums ir vienāds ar:

kur ir cilindra masas centra ātrums.

Kopā ir vienāda ar tā masas centra translācijas kustības kinētiskās enerģijas un ķermeņa rotācijas kustības kinētiskās enerģijas summu attiecībā pret masas centru, t.i.:

(28)

Secinājums:

Un tagad, izskatot visu lekciju materiālu, apkoposim un salīdzināsim ķermeņa rotācijas un translācijas kustības lielumus un vienādojumus:

1. pielikums:

Cilvēks stāv Žukovska sola centrā un ar to griežas pēc inerces. Rotācijas biežums n 1 = 0,5 s -1. Inerces moments j o cilvēka ķermeņa radinieks

attiecībā pret griešanās asi ir 1,6 kg m 2. Rokās, kas izstieptas uz sāniem, cilvēks tur svarus m= 2 kg katrs. Attālums starp svariem l 1 =l,6 m Nosakiet griešanās ātrumu n 2 , soliņi ar cilvēku, kad viņš nolaiž rokas un attālums l 2 starp atsvariem kļūs vienāds ar 0,4 m. Neņemiet vērā sola inerces momentu.

Simetrijas īpašības un saglabāšanas likumi.

Enerģijas taupīšana.

Mehānikā aplūkotie saglabāšanas likumi ir balstīti uz telpas un laika īpašībām.

Enerģijas saglabāšana ir saistīta ar laika viendabīgumu, impulsa saglabāšana ir saistīta ar telpas viendabīgumu, un, visbeidzot, leņķiskā impulsa saglabāšana ir saistīta ar telpas izotropiju.

Mēs sākam ar enerģijas nezūdamības likumu. Ļaujiet daļiņu sistēmai atrasties konstantos apstākļos (tas notiek, ja sistēma ir slēgta vai pakļauta pastāvīga ārējā spēka lauka ietekmei); savienojumi (ja tādi ir) ir ideāli un stacionāri. Šajā gadījumā laiku tā viendabīguma dēļ nevar tieši iekļaut Lagranža funkcijā. Tiešām homogenitāte nozīmē visu laika punktu līdzvērtību. Tāpēc viena laika momenta aizstāšana ar citu, nemainot koordinātu un daļiņu ātruma vērtības, nedrīkst mainīt sistēmas mehāniskās īpašības. Tas, protams, ir taisnība, ja viena laika momenta aizstāšana ar citu nemaina apstākļus, kādos sistēma atrodas, tas ir, ja ārējais lauks ir neatkarīgs no laika (jo īpaši šī lauka var nebūt).

Tātad slēgtai sistēmai, kas atrodas slēgtā spēka laukā, .