Se duas linhas não forem paralelas, elas inevitavelmente se cruzarão em um ponto. Descobrir coordenadas pontos a interseção de 2 linhas é permitida tanto graficamente quanto aritméticamente, dependendo dos dados fornecidos pela tarefa.

Você vai precisar

• – duas linhas retas no desenho;
• – equações de 2 retas.

Instruções

1. Se as linhas já estiverem desenhadas no gráfico, encontre a solução graficamente. Para fazer isso, continue ambas ou uma das linhas para que elas se cruzem. Depois disso, marque o ponto de intersecção e abaixe uma perpendicular dele até o eixo x (como de costume, oh).

2. Usando as marcas de escala marcadas no eixo, encontre o valor x para esse ponto. Se estiver no sentido positivo do eixo (à direita da marca zero), então seu valor estará correto; caso contrário, será negativo.

3. Encontre também corretamente a ordenada do ponto de intersecção. Se a projeção de um ponto estiver acima da marca zero, está correta; se estiver abaixo, é negativa. Escreva as coordenadas do ponto na forma (x, y) - esta é a solução para o problema.

4. Se as linhas forem dadas na forma das fórmulas y=khx+b, você também poderá resolver o problema graficamente: desenhe as linhas em uma grade de coordenadas e encontre a solução usando o método descrito acima.

5. Tente descobrir a solução para o problema usando estas fórmulas. Para fazer isso, crie um sistema a partir dessas equações e resolva-o. Se as equações forem dadas na forma y=khx+b, simplesmente iguale ambos os lados a x e descubra x. Em seguida, insira o valor de x em uma das equações e encontre y.

6. Você pode encontrar uma solução usando o método de Cramer. Neste caso, reduza as equações para a forma A1x+B1y+C1=0 e A2x+B2y+C2=0. De acordo com a fórmula de Cramer, x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1) e y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Observe que se o denominador for zero, então as linhas são paralelas ou coincidem e, portanto, não se cruzam.

7. Se você receber linhas no espaço na forma canônica, antes de começar a procurar uma solução, verifique se as linhas são paralelas. Para fazer isso, avalie os expoentes antes de t se eles são proporcionais, digamos, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t e x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, então as linhas são paralelas. Além disso, as linhas podem se cruzar e, nesse caso, o sistema não terá solução.

8. Se você descobrir que as linhas se cruzam, encontre o ponto de intersecção delas. Primeiro, iguale variáveis ​​de linhas diferentes, substituindo condicionalmente t por u para a primeira linha e por v para a 2ª linha. Digamos, se você receber as linhas x=t-1, y=2t+1, z=t+2 e x=t+1, y=t+1, z=2t+8 você obterá expressões como u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Expresse u a partir de uma equação, substitua-a em outra e encontre v (neste problema u=-2,v=-4). Agora, para encontrar o ponto de intersecção, substitua os valores obtidos em vez de t (não importa na primeira ou na segunda equação) e obtenha as coordenadas do ponto x=-3, y=-3, z =0.

Para considerar 2 se cruzando direto Basta considerá-los em um plano, pois duas retas que se cruzam estão no mesmo plano. Conhecendo as equações destes direto, é possível detectar a coordenada do seu ponto cruzamentos .

Você vai precisar

• equações de retas

Instruções

1. Em coordenadas cartesianas, a equação geral de uma reta é assim: Ax+By+C = 0. Deixe duas retas se cruzarem. A equação da primeira linha é Ax+By+C = 0, a 2ª linha é Dx+Ey+F = 0. Todos os indicadores (A, B, C, D, E, F) devem ser especificados. Para detectar um ponto cruzamentos esses diretoé necessário resolver o sistema dessas 2 equações lineares.

2. Para resolver, é conveniente multiplicar a primeira equação por E, e a segunda por B. Como resultado, as equações ficarão assim: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Após subtrair a segunda equação da primeira, você obtém: (AE-DB)x = FB-CE. Portanto, x = (FB-CE)/(AE-DB) Por analogia, a primeira equação do sistema inicial pode ser multiplicada por D, a segunda por A, após o que a segunda pode ser subtraída da primeira. Como resultado, y = (CD-FA)/(AE-DB).Os valores x e y resultantes serão as coordenadas do ponto cruzamentos direto .

3. Equações direto também pode ser escrito através do índice angular k, igual à tangente do ângulo de inclinação da reta. Neste caso, a equação da reta tem a forma y = kx+b. Deixe agora a equação da primeira linha ser y = k1*x+b1, e a equação da 2ª linha ser y = k2*x+b2.

4. Se igualarmos os lados direitos dessas 2 equações, obteremos: k1*x+b1 = k2*x+b2. A partir daí é fácil obter que x = (b1-b2)/(k2-k1). Depois de substituir esse valor de x em qualquer uma das equações, você obtém: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Os valores x e y especificarão as coordenadas do ponto cruzamentos direto.Se duas retas são paralelas ou coincidentes, então elas não possuem pontos universais ou possuem um número imensamente grande de pontos universais, respectivamente. Nestes casos k1 = k2, denominadores para as coordenadas dos pontos cruzamentos desaparecerá, portanto, o sistema não terá uma solução clássica. O sistema pode ter apenas uma solução clássica, que é incondicional, porque duas linhas divergentes e não paralelas podem ter apenas um ponto cruzamentos .

Vídeo sobre o tema

Ponto de intersecção

Sejam dadas duas retas, definidas pelos seus coeficientes e . Você precisa encontrar o ponto de intersecção ou descobrir que as linhas são paralelas.

Solução

Se duas retas não são paralelas, elas se cruzam. Para encontrar o ponto de intersecção, basta criar um sistema de duas equações de reta e resolvê-lo:

Usando a fórmula de Cramer, encontramos imediatamente uma solução para o sistema, que será a desejada ponto de intersecção:

Se o denominador for zero, ou seja,

então o sistema não tem soluções (direto paralelo e não coincidem) ou tem infinitos (diretos corresponder). Se for necessário distinguir entre estes dois casos, é necessário verificar se os coeficientes das retas são proporcionais com o mesmo coeficiente de proporcionalidade que os coeficientes e , para o que basta calcular os dois determinantes; se ambos são igual a zero, então as linhas coincidem:

Implementação

estrutura pt(duplo x, y;); linha de estrutura (duplo a, b, c;); constdouble EPS =1e-9; double det (duplo a, duplo b, duplo c, duplo d)(return a * d - b * c;) bool intersect (linha m, linha n, pt & res)(duplo zn = det (m.a, m.b, n.a , n.b);se(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

Lição da série “ Algoritmos geométricos»

Olá querido leitor.

Dica 1: Como encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas

Vamos escrever mais três novas funções.

A função LinesCross() determinará se cruzar se dois segmento. Nele, a posição relativa dos segmentos é determinada por meio de produtos vetoriais. Para calcular produtos vetoriais, escreveremos uma função – VektorMulti().

A função RealLess() será usada para implementar a operação de comparação “<” (строго меньше) для вещественных чисел.

Tarefa 1. Dois segmentos são dados por suas coordenadas. Escreva um programa que determine esses segmentos se cruzam? sem encontrar o ponto de intersecção.

Solução
. O segundo é dado por pontos.

Considere o segmento e os pontos e .

O ponto fica à esquerda da reta, para ele o produto vetorial > 0, pois os vetores são orientados positivamente.

O ponto está localizado à direita da linha, para a qual o produto vetorial é < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Para que os pontos e fiquem em lados opostos da linha reta, é suficiente que a condição seja satisfeita< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Raciocínio semelhante pode ser realizado para o segmento e pontos e.

Então se , então os segmentos se cruzam.

Para verificar esta condição, a função LinesCross() é usada, e a função VektorMulti() é usada para calcular produtos vetoriais.

ax, ay – coordenadas do primeiro vetor,

bx, por – coordenadas do segundo vetor.

Programa geometr4; (Dois segmentos se cruzam?) Const _Eps: Real=1e-4; (precisão do cálculo) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;função RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (Estritamente menor que) start RealLess:= b-a> _Eps end; (RealLess)função VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; (ax,ay - coordenadas a bx,by - coordenadas b) start vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; (Os segmentos se cruzam?) start v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vetormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vetormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vetormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); se RealLess(v1*v2,0) e RealLess(v3*v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

Resultados da execução do programa:

Insira as coordenadas dos segmentos: -1 1 2 2,52 2 1 -1 3
Sim.

Escrevemos um programa que determina se os segmentos especificados pelas suas coordenadas se cruzam.

Na próxima lição criaremos um algoritmo que pode ser usado para determinar se um ponto está dentro de um triângulo.

Caro leitor.

Você já conheceu diversas lições da série Algoritmos Geométricos. Está tudo escrito de forma acessível? Ficarei muito grato se você deixar comentários sobre essas lições. Talvez algo ainda precise ser melhorado.

Atenciosamente, Vera Gospodarets.

Sejam dados dois segmentos. O primeiro é dado por pontos P1 (x1;y1) E P2 (x2;y2). O segundo é dado por pontos P3 (x3;y3) E P4 (x4;y4).

A posição relativa dos segmentos pode ser verificada usando produtos vetoriais:

Considere o segmento P 3 P 4 e pontos P1 E P2.

Ponto P1 fica à esquerda da linha P 3 P 4, para ela o produto vetorial v 1 > 0, uma vez que os vetores são orientados positivamente.
Ponto P2 localizado à direita da linha, para ela o produto vetorial v2< 0 , uma vez que os vetores são orientados negativamente.

Para deixar claro P1 E P2 colocar em lados opostos de uma linha reta P 3 P 4, é suficiente que a condição seja satisfeita v1 v2< 0 (os produtos vetoriais tiveram sinais opostos).

Raciocínio semelhante pode ser realizado para o segmento P 1 P 2 e pontos P3 E P4.

Então se v1 v2< 0 E v3v4< 0 , então os segmentos se cruzam.

O produto vetorial de dois vetores é calculado usando a fórmula:

Onde:
machado, sim— coordenadas do primeiro vetor,
bx, por— coordenadas do segundo vetor.

Equação de uma reta que passa por dois pontos diferentes especificados por suas coordenadas.

Sejam dados dois pontos não coincidentes em uma linha reta: P1 com coordenadas ( x1;y1) E P2 com coordenadas (x 2 ; y 2).

Interseção de linhas

Assim, um vetor com origem no ponto P1 e termina em um ponto P2 tem coordenadas (x 2 -x 1 , y 2 -y 1). Se P(x, y)é um ponto arbitrário em uma linha, então as coordenadas do vetor P 1 P igual (x - x 1, y - y 1).

Usando o produto vetorial, a condição de colinearidade dos vetores P 1 P E P 1 P 2 pode ser escrito assim:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0, ou seja (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
ou
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

A última equação é reescrita da seguinte forma:
machado + por + c = 0, (1)
Onde
uma = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

Portanto, a linha reta pode ser especificada por uma equação da forma (1).

Como encontrar o ponto de intersecção das linhas?
A solução óbvia é resolver o sistema de equações lineares:

machado 1 +por 1 =-c 1
machado 2 +por 2 =-c 2 (2)

Insira símbolos:

Aqui Dé o determinante do sistema, e Dx,Dy— determinantes resultantes da substituição da coluna de coeficientes pela incógnita correspondente por uma coluna de termos livres. Se D ≠ 0, então o sistema (2) é definido, ou seja, possui uma solução única. Esta solução pode ser encontrada usando as seguintes fórmulas: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, que são chamadas de fórmulas de Cramer. Um rápido lembrete de como o determinante de segunda ordem é calculado. O determinante distingue duas diagonais: a principal e a secundária. A diagonal principal consiste em elementos tomados na direção do canto superior esquerdo do determinante até o canto inferior direito. Diagonal lateral - do canto superior direito para o canto inferior esquerdo. O determinante de segunda ordem é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

Usando esta calculadora online você pode encontrar o ponto de intersecção das linhas em um plano. Uma solução detalhada com explicações é fornecida. Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas, defina o tipo de equação das retas ("canônica", "paramétrica" ​​ou "geral"), insira os coeficientes das equações das retas nas células e clique no botão "Resolver " botão. Veja a parte teórica e exemplos numéricos abaixo.

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Instruções de entrada de dados. Os números são inseridos como inteiros (exemplos: 487, 5, -7623, etc.), decimais (ex. 67., 102,54, etc.) ou frações. A fração deve ser inserida no formato a/b, onde a e b (b>0) são números inteiros ou decimais. Exemplos 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.

O ponto de intersecção das retas em um plano - teoria, exemplos e soluções

1. O ponto de intersecção das retas dado de forma geral.

Oxi eu 1 e eu 2:

Vamos construir uma matriz estendida:

Se B" 2 =0 e COM" 2 =0, então o sistema de equações lineares tem muitas soluções. Portanto direto eu 1 e eu 2 partidas. Se B" 2 =0 e COM" 2 ≠0, então o sistema é inconsistente e, portanto, as retas são paralelas e não possuem ponto comum. Se B" 2 ≠0, então o sistema de equações lineares tem uma solução única. Da segunda equação encontramos sim: sim=COM" 2 /B" 2 e substituindo o valor resultante na primeira equação encontramos x: x=−COM 1 −B 1 sim. Temos o ponto de intersecção das linhas eu 1 e eu 2: M(x, você).

2. O ponto de intersecção das retas dado na forma canônica.

Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesianas Oxi e sejam dadas linhas retas neste sistema de coordenadas eu 1 e eu 2:

Vamos abrir os colchetes e fazer as transformações:

Usando um método semelhante, obtemos a equação geral da reta (7):

Das equações (12) segue:

Como encontrar o ponto de intersecção das linhas fornecidas na forma canônica é descrito acima.

4. O ponto de intersecção das linhas especificadas em diferentes visualizações.

Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesianas Oxi e sejam dadas linhas retas neste sistema de coordenadas eu 1 e eu 2:

Nós vamos encontrar t:

Vamos resolver o sistema de equações lineares em relação a x, você. Para fazer isso, usaremos o método Gaussiano. Nós temos:

Exemplo 2. Encontre o ponto de intersecção das linhas eu 1 e eu 2:

(21)

Para encontrar o ponto de intersecção das linhas eu 1 e eu 2 você precisa resolver o sistema de equações lineares (20) e (21). Vamos apresentar as equações em forma de matriz.

Ao resolver alguns problemas geométricos usando o método de coordenadas, é necessário encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas. Na maioria das vezes é necessário procurar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas em um plano, mas às vezes é necessário determinar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas no espaço. Neste artigo trataremos de encontrar as coordenadas do ponto em que duas retas se cruzam.

Navegação na página.

O ponto de intersecção de duas linhas é uma definição.

Vamos primeiro definir o ponto de intersecção de duas retas.

Na seção sobre a posição relativa das retas em um plano, é mostrado que duas retas em um plano podem coincidir (e têm infinitos pontos comuns), ou ser paralelas (e duas retas não têm pontos comuns), ou se cruzar , tendo um ponto comum. Existem mais opções para a posição relativa de duas linhas no espaço - elas podem coincidir (ter infinitos pontos comuns), podem ser paralelas (ou seja, estar no mesmo plano e não se cruzar), podem estar se cruzando (não estão no mesmo plano), podendo também ter um ponto comum, ou seja, se cruzar. Assim, duas linhas no plano e no espaço são chamadas de intersecção se tiverem um ponto comum.

Da definição de linhas que se cruzam segue-se determinando o ponto de intersecção das linhas: O ponto em que duas linhas se cruzam é ​​chamado de ponto de intersecção dessas linhas. Em outras palavras, o único ponto comum de duas retas que se cruzam é ​​o ponto de intersecção dessas retas.

Para maior clareza, apresentamos uma ilustração gráfica do ponto de intersecção de duas retas em um plano e no espaço.

Topo da página

Encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas em um plano.

Antes de encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas em um plano usando suas equações conhecidas, considere um problema auxiliar.

Oxi a E b. Vamos assumir isso diretamente a corresponde a uma equação geral da reta da forma , e a reta b- tipo . Seja algum ponto no plano, e precisamos descobrir se o ponto é M 0 o ponto de intersecção de determinadas linhas.

Vamos resolver o problema.

Se M0 a E b, então por definição também pertence à linha a e liso b, ou seja, suas coordenadas devem satisfazer tanto a equação quanto a equação. Portanto, precisamos substituir as coordenadas do ponto M 0 nas equações de retas dadas e veja se isso resulta em duas igualdades corretas. Se as coordenadas do ponto M 0 satisfazem ambas as equações e , então é o ponto de intersecção das retas a E b, de outra forma M 0 .

É o ponto M 0 com coordenadas (2, -3) ponto de intersecção de linhas 5x-2y-16=0 E 2x-5y-19=0?

Se M 0é de fato o ponto de intersecção de determinadas retas, então suas coordenadas satisfazem as equações das retas. Vamos verificar isso substituindo as coordenadas do ponto M 0 nas equações dadas:

Temos duas igualdades verdadeiras, portanto, M 0 (2, -3)- ponto de intersecção de linhas 5x-2y-16=0 E 2x-5y-19=0.

Para maior clareza, apresentamos um desenho que mostra linhas retas e as coordenadas de seus pontos de intersecção são visíveis.

sim, ponto final M 0 (2, -3)é o ponto de intersecção das linhas 5x-2y-16=0 E 2x-5y-19=0.

As linhas se cruzam? 5x+3y-1=0 E 7x-2y+11=0 no ponto M 0 (2, -3)?

Vamos substituir as coordenadas do ponto M 0 nas equações das retas, esta ação verificará se o ponto pertence a M 0 ambas as linhas retas ao mesmo tempo:

Desde a segunda equação, ao substituir as coordenadas do ponto nela M 0 não se transformou em uma verdadeira igualdade, então aponte M 0 não pertence à linha 7x-2y+11=0. Deste fato podemos concluir que o ponto M 0 não é o ponto de intersecção das linhas dadas.

O desenho também mostra claramente que o ponto M 0 não é o ponto de intersecção das linhas 5x+3y-1=0 E 7x-2y+11=0. Obviamente, as linhas fornecidas se cruzam em um ponto com coordenadas (-1, 2) .

M 0 (2, -3) não é o ponto de intersecção das linhas 5x+3y-1=0 E 7x-2y+11=0.

Agora podemos passar para a tarefa de determinar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas usando as equações de retas fornecidas em um plano.

Deixe um sistema de coordenadas cartesianas retangulares ser fixado no plano Oxi e dadas duas linhas que se cruzam a E b equações e respectivamente. Vamos denotar o ponto de intersecção das retas dadas como M 0 e resolva o seguinte problema: encontre as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas a E b de acordo com as equações conhecidas dessas retas e .

Ponto M0 pertence a cada uma das linhas que se cruzam a E b a-prior. Então as coordenadas do ponto de intersecção das linhas a E b satisfaça a equação e a equação . Portanto, as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas a E b são a solução para um sistema de equações (veja o artigo resolvendo sistemas de equações algébricas lineares).

Assim, para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas definidas em um plano por equações gerais, é necessário resolver um sistema composto por equações de retas dadas.

Vejamos a solução de exemplo.

Encontre o ponto de intersecção de duas linhas definidas em um sistema de coordenadas retangulares em um plano pelas equações x-9y+14=0 E 5x-2y-16=0.

Temos duas equações gerais de retas, vamos fazer um sistema delas: . Soluções para o sistema de equações resultante são facilmente encontradas resolvendo sua primeira equação em relação à variável x e substitua esta expressão na segunda equação:

A solução encontrada para o sistema de equações nos dá as coordenadas desejadas do ponto de intersecção de duas retas.

M 0 (4, 2)– ponto de intersecção das linhas x-9y+14=0 E 5x-2y-16=0.

Assim, encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas, definidas por equações gerais de um plano, se resume a resolver um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas. Mas e se as retas em um plano não forem dadas por equações gerais, mas por equações de um tipo diferente (ver tipos de equações de uma reta em um plano)? Nestes casos, você pode primeiro reduzir as equações das retas a uma forma geral, e só depois encontrar as coordenadas do ponto de intersecção.

Antes de encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas fornecidas, reduzimos suas equações a uma forma geral. A transição das equações paramétricas de uma reta para a equação geral desta reta é assim:

Agora vamos realizar as ações necessárias com a equação canônica da reta:

Assim, as coordenadas desejadas do ponto de intersecção das retas são uma solução para um sistema de equações da forma . Usamos o método de Cramer para resolvê-lo:

M 0 (-5, 1)

Existe outra maneira de encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas em um plano. É conveniente usar quando uma das retas é dada por equações paramétricas da forma e a outra por uma equação de reta de tipo diferente. Neste caso, em outra equação em vez de variáveis x E sim você pode substituir as expressões e , de onde você pode obter o valor que corresponde ao ponto de intersecção das linhas fornecidas. Neste caso, o ponto de intersecção das linhas possui coordenadas.

Vamos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas do exemplo anterior usando este método.

Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas e .

Vamos substituir a expressão da linha reta na equação:

Tendo resolvido a equação resultante, obtemos . Este valor corresponde ao ponto comum das linhas e . Calculamos as coordenadas do ponto de intersecção substituindo uma linha reta nas equações paramétricas:
.

M 0 (-5, 1).

Para completar o quadro, mais um ponto deve ser discutido.

Antes de encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas em um plano, é útil ter certeza de que as retas fornecidas realmente se cruzam. Se acontecer que as linhas originais coincidem ou são paralelas, então não há como encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de tais linhas.

É claro que você pode prescindir dessa verificação, mas crie imediatamente um sistema de equações da forma e resolva-o. Se um sistema de equações tem uma solução única, então ele fornece as coordenadas do ponto em que as retas originais se cruzam. Se o sistema de equações não tiver soluções, então podemos concluir que as retas originais são paralelas (já que não existe tal par de números reais x E sim, o que satisfaria simultaneamente ambas as equações das retas fornecidas). Da presença de um número infinito de soluções para um sistema de equações, segue-se que as retas originais possuem infinitos pontos comuns, ou seja, coincidem.

Vejamos exemplos que se enquadram nessas situações.

Descubra se as linhas se cruzam e, se elas se cruzam, encontre as coordenadas do ponto de interseção.

As equações de retas fornecidas correspondem às equações e . Vamos resolver o sistema formado por essas equações.

É óbvio que as equações do sistema são expressas linearmente entre si (a segunda equação do sistema é obtida a partir da primeira multiplicando ambas as suas partes por 4 ), portanto, o sistema de equações possui um número infinito de soluções. Assim, as equações definem a mesma reta, e não podemos falar em encontrar as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas.

equações e são definidas em um sistema de coordenadas retangular Oxi a mesma linha reta, então não podemos falar em encontrar as coordenadas do ponto de intersecção.

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção das linhas e, se possível.

A condição do problema permite que as linhas não se cruzem. Vamos criar um sistema a partir dessas equações. Apliquemos o método de Gauss para resolvê-lo, pois nos permite estabelecer a compatibilidade ou incompatibilidade de um sistema de equações e, se for compatível, encontrar uma solução:

A última equação do sistema após a passagem direta do método de Gauss tornou-se uma igualdade incorreta, portanto, o sistema de equações não possui soluções. Disto podemos concluir que as retas originais são paralelas, e não podemos falar em encontrar as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas.

Segunda solução.

Vamos descobrir se as linhas fornecidas se cruzam.

Um vetor normal é uma reta e um vetor é um vetor normal de uma reta. Verifiquemos que a condição de colinearidade dos vetores e : a igualdade é verdadeira, pois , portanto, os vetores normais das retas dadas são colineares. Então essas linhas são paralelas ou coincidentes. Assim, não podemos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas originais.

é impossível encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas dadas, pois essas retas são paralelas.

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção das linhas 2x-1=0 e , se eles se cruzarem.

Vamos compor um sistema de equações que sejam equações gerais de retas dadas: . O determinante da matriz principal deste sistema de equações é diferente de zero, portanto o sistema de equações possui uma solução única, que indica a intersecção das retas dadas.

Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas, precisamos resolver o sistema:

A solução resultante nos dá as coordenadas do ponto de intersecção das retas, ou seja, o ponto de intersecção das retas 2x-1=0 E .

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Encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas no espaço.

As coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas no espaço tridimensional são encontradas de forma semelhante.

Deixe as linhas que se cruzam a E b especificado em um sistema de coordenadas retangular Oxyz equações de dois planos que se cruzam, ou seja, uma linha reta aé determinado por um sistema da forma , e a linha reta b- . Deixar M 0– ponto de intersecção das linhas a E b. Então aponte M 0 por definição também pertence à linha a e liso b, portanto, suas coordenadas satisfazem as equações de ambas as retas. Assim, as coordenadas do ponto de intersecção das linhas a E b representam uma solução para um sistema de equações lineares da forma. Aqui precisaremos de informações da seção sobre resolução de sistemas de equações lineares em que o número de equações não coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas.

Vejamos as soluções para os exemplos.

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas definidas no espaço pelas equações e .

Vamos compor um sistema de equações a partir das equações das retas dadas: . A solução deste sistema nos dará as coordenadas desejadas do ponto de intersecção das retas no espaço. Vamos encontrar a solução para o sistema escrito de equações.

A matriz principal do sistema tem a forma , e a estendida - .

Vamos determinar a classificação da matriz A e classificação da matriz T. Utilizamos o método dos menores limítrofes, mas não descreveremos detalhadamente o cálculo dos determinantes (se necessário, consulte o artigo Cálculo do determinante de uma matriz):

Assim, o posto da matriz principal é igual ao posto da matriz estendida e é igual a três.

Consequentemente, o sistema de equações tem uma solução única.

Tomaremos o determinante como base menor, portanto a última equação deve ser excluída do sistema de equações, pois não participa da formação da base menor. Então,

A solução para o sistema resultante é fácil de encontrar:

Assim, o ponto de intersecção das retas tem coordenadas (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Deve-se notar que o sistema de equações tem uma solução única se e somente se as retas a E b cruzar. Se direto A E b paralelas ou cruzadas, então o último sistema de equações não tem soluções, pois neste caso as retas não possuem pontos comuns. Se direto a E b coincidem, então possuem um número infinito de pontos comuns, portanto, o sistema de equações indicado possui um número infinito de soluções. Porém, nestes casos não podemos falar em encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas, uma vez que as retas não se cruzam.

Assim, se não sabemos antecipadamente se as linhas dadas se cruzam a E b ou não, então é razoável criar um sistema de equações da forma e resolvê-lo pelo método de Gauss. Se obtivermos uma solução única, ela corresponderá às coordenadas do ponto de intersecção das retas a E b. Se o sistema for inconsistente, então o direto a E b não se cruzem. Se o sistema tiver um número infinito de soluções, então as retas a E b combinar.

Você pode fazer isso sem usar o método gaussiano. Alternativamente, você pode calcular os postos das matrizes principal e estendida deste sistema, e com base nos dados obtidos e no teorema de Kronecker-Capelli, concluir ou a existência de uma única solução, ou a existência de muitas soluções, ou a ausência de soluções. É uma questão de gosto.

Se as linhas se cruzarem, determine as coordenadas do ponto de interseção.

Vamos criar um sistema a partir das equações fornecidas: . Vamos resolvê-lo usando o método gaussiano em forma matricial:

Ficou claro que o sistema de equações não tem soluções, portanto, as retas dadas não se cruzam, e não pode haver dúvida de encontrar as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas.

não podemos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas fornecidas, uma vez que essas retas não se cruzam.

Quando as linhas que se cruzam são dadas por equações canônicas de uma linha no espaço ou equações paramétricas de uma linha no espaço, então deve-se primeiro obter suas equações na forma de dois planos que se cruzam, e só depois encontrar as coordenadas do ponto de interseção.

Duas linhas que se cruzam são definidas em um sistema de coordenadas retangular Oxyz equações e . Encontre as coordenadas do ponto de intersecção dessas linhas.

Vamos definir as retas iniciais pelas equações de dois planos que se cruzam:

Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção das retas, resta resolver o sistema de equações. O posto da matriz principal deste sistema é igual ao posto da matriz estendida e é igual a três (recomendamos verificar este fato). Tomemos como base menor; portanto, podemos excluir a última equação do sistema. Tendo resolvido o sistema resultante usando qualquer método (por exemplo, o método de Cramer), obtemos a solução. Assim, o ponto de intersecção das retas tem coordenadas (-2, 3, -5) .

Lição da série “Algoritmos geométricos”

Olá querido leitor!

Vamos continuar a nos familiarizar com algoritmos geométricos. Na última lição, encontramos a equação de uma reta usando as coordenadas de dois pontos. Obtivemos uma equação da forma:

Hoje escreveremos uma função que, usando as equações de duas retas, encontrará as coordenadas de seu ponto de intersecção (se houver). Para verificar a igualdade dos números reais, usaremos a função especial RealEq().

Os pontos do plano são descritos por um par de números reais. Ao usar um tipo real, é melhor implementar operações de comparação usando funções especiais.

O motivo é conhecido: no tipo Real do sistema de programação Pascal não existe relação de ordem, portanto é melhor não usar registros da forma a = b, onde a e b são números reais.
Hoje apresentaremos a função RealEq() para implementar a operação “=” (estritamente igual):

Função RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (estritamente igual) start RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tarefa. As equações de duas retas são dadas: e . Encontre o ponto de sua intersecção.

Solução. A solução óbvia é resolver o sistema de equações lineares: Vamos reescrever este sistema de uma forma um pouco diferente:
(1)

Vamos introduzir a seguinte notação: , , . Aqui D é o determinante do sistema e são os determinantes resultantes da substituição da coluna de coeficientes da incógnita correspondente por uma coluna de termos livres. Se , então o sistema (1) é definido, ou seja, possui uma solução única. Esta solução pode ser encontrada usando as seguintes fórmulas: , que são chamadas Fórmulas de Cramer. Deixe-me lembrá-lo de como o determinante de segunda ordem é calculado. O determinante distingue duas diagonais: a principal e a secundária. A diagonal principal consiste em elementos tomados na direção do canto superior esquerdo do determinante até o canto inferior direito. Diagonal lateral - do canto superior direito para o canto inferior esquerdo. O determinante de segunda ordem é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

O código usa a função RealEq() para verificar a igualdade. Os cálculos em números reais são realizados com uma precisão de _Eps=1e-7.

Programa geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(precisão do cálculo) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Função RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (estritamente igual) start RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Compilamos um programa com o qual você pode, conhecendo as equações das retas, encontrar as coordenadas de seus pontos de intersecção.