Os planetas se movem ao redor do Sol em órbitas elípticas alongadas, com o Sol localizado em um dos dois pontos focais da elipse.

Uma linha reta que conecta o Sol e um planeta separa áreas iguais em períodos iguais de tempo.

Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas ao redor do Sol estão relacionados aos cubos dos semieixos maiores de suas órbitas.

Johannes Kepler tinha um senso de beleza. Durante toda a sua vida adulta ele tentou provar que o sistema solar é uma espécie de obra de arte mística. No início, ele tentou vincular o dispositivo dela a cinco poliedros regulares geometria clássica da Grécia Antiga. (Um poliedro regular é uma figura tridimensional, cujas faces são polígonos regulares iguais.) Na época de Kepler, eram conhecidos seis planetas, que se acreditava estarem colocados em “esferas de cristal” rotativas. Kepler argumentou que essas esferas estão dispostas de tal forma que os poliedros regulares se ajustam exatamente entre as esferas adjacentes. Entre as duas esferas externas - Saturno e Júpiter - ele colocou um cubo inscrito na esfera externa, no qual, por sua vez, está inscrita a esfera interna; entre as esferas de Júpiter e Marte - um tetraedro (tetraedro regular), etc. * Seis esferas de planetas, cinco poliedros regulares inscritos entre eles - parece que a própria perfeição?

Infelizmente, tendo comparado seu modelo com as órbitas observadas dos planetas, Kepler foi forçado a admitir que o comportamento real dos corpos celestes não se enquadra na estrutura harmoniosa que ele delineou. Como observou acertadamente o biólogo britânico contemporâneo J. B. S. Haldane, “a ideia do Universo como uma obra de arte geometricamente perfeita acabou por ser mais uma bela hipótese destruída por fatos feios”. O único resultado do impulso juvenil de Kepler que sobreviveu aos séculos foi um modelo do sistema solar, feito pelo próprio cientista e apresentado como presente ao seu patrono, o duque Frederick von Württemburg. Neste artefato de metal lindamente executado, todas as esferas orbitais dos planetas e os poliedros regulares inscritos neles são recipientes ocos que não se comunicam entre si, que nos feriados deveriam ser enchidos com diversas bebidas para tratar os convidados do duque.

Somente depois de se mudar para Praga e se tornar assistente do famoso astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) é que Kepler encontrou ideias que verdadeiramente imortalizaram seu nome nos anais da ciência. Tycho Brahe coletou dados de observação astronômica ao longo de sua vida e acumulou enormes quantidades de informações sobre os movimentos dos planetas. Após sua morte, eles passaram para a posse de Kepler. Esses registros, aliás, tinham grande valor comercial naquela época, pois podiam ser usados ​​para compilar horóscopos astrológicos refinados (hoje os cientistas preferem permanecer calados sobre esta seção da astronomia primitiva).

Ao processar os resultados das observações de Tycho Brahe, Kepler se deparou com um problema que, mesmo com computadores modernos, pode parecer intratável para alguém, e Kepler não teve escolha a não ser realizar todos os cálculos manualmente. É claro que, como a maioria dos astrônomos de seu tempo, Kepler já estava familiarizado com o sistema heliocêntrico copernicano (ver princípio copernicano) e sabia que a Terra gira em torno do Sol, como evidenciado pelo modelo do sistema solar descrito acima. Mas como exatamente a Terra e outros planetas giram? Vamos imaginar o problema da seguinte forma: você está em um planeta que, em primeiro lugar, gira em torno de seu eixo e, em segundo lugar, gira em torno do Sol em uma órbita desconhecida para você. Olhando para o céu, vemos outros planetas que também se movem em órbitas desconhecidas para nós. Nossa tarefa é determinar, com base em dados observacionais feitos em nosso globo girando em torno de seu eixo ao redor do Sol, a geometria das órbitas e velocidades de movimento de outros planetas. Foi exatamente isso que Kepler conseguiu fazer, após o que, com base nos resultados obtidos, derivou suas três leis!

Primeira Lei** descreve a geometria das trajetórias das órbitas planetárias. Você deve se lembrar do curso de geometria da escola que uma elipse é um conjunto de pontos em um plano, a soma das distâncias de dois pontos fixos é truques- igual a uma constante. Se isso for muito complicado para você, há outra definição: imagine uma seção da superfície lateral de um cone por um plano em ângulo com sua base, sem passar pela base - isso também é uma elipse. A primeira lei de Kepler afirma que as órbitas dos planetas são elipses, com o Sol em um dos focos. Excentricidades(grau de alongamento) das órbitas e sua distância do Sol em periélio(o ponto mais próximo do Sol) e apoélia(o ponto mais distante) todos os planetas são diferentes, mas todas as órbitas elípticas têm uma coisa em comum - o Sol está localizado em um dos dois focos da elipse. Depois de analisar os dados observacionais de Tycho Brahe, Kepler concluiu que as órbitas planetárias são um conjunto de elipses aninhadas. Antes dele, isso simplesmente não havia ocorrido a nenhum astrônomo.

O significado histórico da primeira lei de Kepler não pode ser superestimado. Antes dele, os astrônomos acreditavam que os planetas se moviam exclusivamente em órbitas circulares e, se isso não se enquadrasse na estrutura das observações, o movimento circular principal era complementado por pequenos círculos que os planetas descreviam em torno dos pontos da órbita circular principal. Esta foi, eu diria, antes de mais nada uma posição filosófica, uma espécie de facto imutável, não sujeito a dúvida e verificação. Os filósofos argumentaram que a estrutura celeste, ao contrário da terrestre, é perfeita em sua harmonia, e como as figuras geométricas mais perfeitas são o círculo e a esfera, isso significa que os planetas se movem em círculo (e ainda hoje tenho que dissipar esse equívoco repetidas vezes entre meus alunos). O principal é que, tendo acesso aos extensos dados observacionais de Tycho Brahe, Johannes Kepler conseguiu ultrapassar este preconceito filosófico, vendo que não correspondia aos factos - tal como Copérnico ousou retirar a Terra do centro do universo, diante de argumentos que contradiziam ideias geocêntricas persistentes, que consistiam também no “comportamento impróprio” dos planetas em órbitas.

O modelo geométrico inicial do Universo de Kepler: seis esferas planetárias em órbita e cinco poliedros regulares inscritos entre elas

Segunda Lei descreve a mudança na velocidade dos planetas ao redor do Sol. Já dei a sua formulação na sua forma formal, mas para compreender melhor o seu significado físico, lembre-se da sua infância. Você provavelmente já teve a oportunidade de girar em torno de um poste no parquinho, agarrando-o com as mãos. Na verdade, os planetas orbitam o Sol de maneira semelhante. Quanto mais longe a órbita elíptica leva um planeta do Sol, mais lento é o movimento; quanto mais próximo ele está do Sol, mais rápido o planeta se move. Agora imagine um par de segmentos de reta conectando duas posições do planeta em sua órbita com o foco da elipse em que o Sol está localizado. Juntamente com o segmento de elipse situado entre eles, formam um setor cuja área é precisamente a “área que é cortada por um segmento de reta”. É exatamente disso que fala a segunda lei. Quanto mais próximo o planeta estiver do Sol, mais curtos serão os segmentos. Mas neste caso, para que o setor cubra uma área igual em tempo igual, o planeta deve percorrer uma distância maior na sua órbita, o que significa que a sua velocidade de movimento aumenta.

As duas primeiras leis tratam das especificidades das trajetórias orbitais de um único planeta. Terceira Lei Kepler permite comparar as órbitas dos planetas entre si. Diz que quanto mais longe um planeta está do Sol, mais tempo leva para completar uma revolução completa ao se mover em órbita e mais tempo, conseqüentemente, dura o “ano” neste planeta. Hoje sabemos que isso se deve a dois fatores. Em primeiro lugar, quanto mais longe um planeta estiver do Sol, maior será o perímetro da sua órbita. Em segundo lugar, à medida que a distância ao Sol aumenta, a velocidade linear do movimento do planeta também diminui.

Em suas leis, Kepler simplesmente expôs os fatos, tendo estudado e generalizado os resultados das observações. Se você tivesse perguntado a ele o que causava a elipticidade das órbitas ou a igualdade das áreas dos setores, ele não teria respondido. Isso simplesmente decorreu de sua análise. Se você perguntasse a ele sobre o movimento orbital dos planetas em outros sistemas estelares, ele também não teria nada para responder. Ele teria que começar tudo de novo – acumular dados observacionais, depois analisá-los e tentar identificar padrões. Ou seja, ele simplesmente não teria motivos para acreditar que outro sistema planetário obedecesse às mesmas leis do Sistema Solar.

Um dos maiores triunfos da mecânica clássica de Newton reside precisamente no facto de fornecer uma justificação fundamental para as leis de Kepler e afirmar a sua universalidade. Acontece que as leis de Kepler podem ser derivadas das leis da mecânica de Newton, da lei da gravitação universal de Newton e da lei da conservação do momento angular através de cálculos matemáticos rigorosos. E se assim for, podemos ter a certeza de que as leis de Kepler se aplicam igualmente a qualquer sistema planetário em qualquer parte do Universo. Os astrônomos que procuram novos sistemas planetários no espaço (e alguns deles já foram descobertos) vez após vez, naturalmente, usam as equações de Kepler para calcular os parâmetros das órbitas de planetas distantes, embora não possam observá-los diretamente. .

A terceira lei de Kepler desempenhou e continua a desempenhar um papel importante na cosmologia moderna. Ao observar galáxias distantes, os astrofísicos detectam sinais fracos emitidos por átomos de hidrogénio que orbitam em órbitas muito distantes do centro galáctico - muito mais longe do que as estrelas normalmente estão. Usando o efeito Doppler no espectro dessa radiação, os cientistas determinam as taxas de rotação da periferia do hidrogênio do disco galáctico e, a partir delas, as velocidades angulares das galáxias como um todo (ver também Matéria Escura). Fico feliz que os trabalhos do cientista que nos colocou firmemente no caminho para uma correta compreensão da estrutura do nosso sistema solar, e hoje, séculos após a sua morte, desempenham um papel tão importante no estudo da estrutura do vasto Universo.

* Entre as esferas de Marte e da Terra existe um dodecaedro (dodecaedro); entre as esferas da Terra e Vênus - um icosaedro (vinte edro); entre as esferas de Vênus e Mercúrio existe um octaedro (octaedro). O desenho resultante foi apresentado por Kepler em corte transversal em um desenho tridimensional detalhado (ver figura) em sua primeira monografia, “O Mistério Cosmográfico” (Mysteria Cosmographica, 1596). - Nota do tradutor.

** Historicamente, as leis de Kepler (assim como os princípios da termodinâmica) são numeradas não de acordo com a cronologia de sua descoberta, mas na ordem de sua compreensão nos círculos científicos. Na realidade, a primeira lei foi descoberta em 1605 (publicada em 1609), a segunda em 1602 (publicada em 1609) e a terceira em 1618 (publicada em 1619). - Nota do tradutor.

No mundo dos átomos e das partículas elementares, as forças gravitacionais são insignificantes em comparação com outros tipos de interações de força entre partículas. É muito difícil observar a interação gravitacional entre os vários corpos que nos rodeiam, mesmo que as suas massas sejam de muitos milhares de quilogramas. No entanto, é a gravidade que determina o comportamento de objetos “grandes”, como planetas, cometas e estrelas, e é a gravidade que nos mantém a todos na Terra.

A gravidade controla o movimento dos planetas no sistema solar. Sem ele, os planetas que compõem o sistema solar se espalhariam em diferentes direções e se perderiam nas vastas extensões do espaço mundial.

Os padrões do movimento planetário atraem a atenção das pessoas há muito tempo. O estudo do movimento dos planetas e da estrutura do sistema solar levou à criação da teoria da gravidade - a descoberta da lei da gravitação universal.

Do ponto de vista de um observador terrestre, os planetas se movem ao longo de trajetórias muito complexas (Fig. 1.24.1). A primeira tentativa de criar um modelo do Universo foi feita por Ptolomeu (~140). No centro do universo, Ptolomeu colocou a Terra, em torno da qual planetas e estrelas se moviam em grandes e pequenos círculos, como numa dança circular.

Sistema geocêntrico Ptolomeu durou mais de 14 séculos e foi substituído apenas em meados do século XVI heliocêntrico o sistema copernicano. No sistema copernicano, as trajetórias dos planetas revelaram-se mais simples. O astrônomo alemão Johannes Kepler, no início do século XVII, baseado no sistema copernicano, formulou três leis empíricas do movimento dos planetas do sistema solar. Kepler usou os resultados das observações dos movimentos dos planetas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe.

Primeira Lei de Kepler (1609):

Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.

Na Fig. A Figura 1.24.2 mostra a órbita elíptica de um planeta cuja massa é muito menor que a massa do Sol. O sol está em um dos focos da elipse. Ponto mais próximo do Sol P trajetória é chamada periélio, ponto A, mais distante do Sol - afélio. A distância entre o afélio e o periélio é o eixo principal da elipse.

Quase todos os planetas do Sistema Solar (exceto Plutão) movem-se em órbitas quase circulares.

Segunda Lei de Kepler (1609):

O vetor raio do planeta descreve áreas iguais em períodos iguais de tempo.

Arroz. A Figura 1.24.3 ilustra a 2ª lei de Kepler.

A segunda lei de Kepler é equivalente à lei da conservação do momento angular. Na Fig. 1.24.3 mostra o vetor momento do corpo e seus componentes e a área descrita pelo vetor raio em um curto espaço de tempo Δ t, aproximadamente igual à área de um triângulo com base RΔθ e altura R:

Aqui está a velocidade angular.

Momento eu em valor absoluto é igual ao produto dos módulos dos vetores e:

Destas relações segue-se:

Portanto, se de acordo com a segunda lei de Kepler, então o momento angular eu permanece inalterado durante o movimento.

Em particular, como as velocidades do planeta no periélio e no afélio são direcionadas perpendicularmente aos vetores do raio e da lei de conservação do momento angular segue-se:

Terceira Lei de Kepler (1619):

Os quadrados dos períodos orbitais dos planetas estão relacionados como os cubos dos semieixos maiores de suas órbitas:

A terceira lei de Kepler é verdadeira para todos os planetas do sistema solar com uma precisão superior a 1%.

Na Fig. 1.24.4 mostra duas órbitas, uma das quais é circular com raio R, e o outro é elíptico com um semieixo maior a. A terceira lei afirma que se R = a, então os períodos de revolução dos corpos nessas órbitas são os mesmos.

Apesar do fato de as leis de Kepler terem sido um passo importante na compreensão do movimento dos planetas, elas ainda permaneceram apenas como regras empíricas derivadas de observações astronômicas. As leis de Kepler precisavam de justificativa teórica. Um passo decisivo nessa direção foi dado por Isaac Newton, que descobriu em 1682 lei da gravitação universal:

Onde M E eu- massas do Sol e do planeta, R- a distância entre eles, G= 6,67·10 -11 N·m 2 /kg 2 - constante gravitacional. Newton foi o primeiro a expressar a ideia de que as forças gravitacionais determinam não apenas o movimento dos planetas do sistema solar; eles atuam entre quaisquer corpos do Universo. Em particular, já foi dito que a força da gravidade que atua sobre os corpos próximos à superfície da Terra é de natureza gravitacional.

Para órbitas circulares, a primeira e a segunda leis de Kepler são satisfeitas automaticamente, e a terceira lei afirma que T 2 ~ R 3, onde T é o período de circulação, R- raio da órbita. A partir disso podemos obter a dependência da força gravitacional com a distância. Quando um planeta se move ao longo de uma trajetória circular, ele é influenciado por uma força que surge devido à interação gravitacional do planeta e do Sol:

Se T 2 ~ R 3 então

A propriedade do conservadorismo das forças gravitacionais permite-nos introduzir o conceito energia potencial . Para as forças da gravidade universal, é conveniente contar a energia potencial a partir de um ponto no infinito.

Energia potencial de um corpo de massa eu localizado a uma distância R de um corpo estacionário de massa M, é igual ao trabalho das forças gravitacionais ao mover a massa eu de um determinado ponto ao infinito.

O procedimento matemático para calcular a energia potencial de um corpo em um campo gravitacional consiste em somar o trabalho sobre pequenos deslocamentos (Fig. 1.24.5).

A lei da gravitação universal aplica-se não apenas às massas cinzeladas, mas também às corpos esfericamente simétricos. O trabalho realizado pela força gravitacional em um pequeno deslocamento é:

Trabalho total realizado ao mover uma massa corporal eu da posição inicial ao infinito é encontrado somando o trabalho Δ Aeu em pequenos movimentos:

No limite em Δ Reu→ 0 esta soma vai para a integral. Como resultado dos cálculos da energia potencial, obtemos a expressão

O sinal negativo indica que as forças gravitacionais são forças de atração.

Se um corpo está em um campo gravitacional a alguma distância R do centro de gravidade e tem uma certa velocidade v, sua energia mecânica total é igual a

De acordo com a lei da conservação da energia, a energia total de um corpo num campo gravitacional permanece inalterada.

A energia total pode ser positiva ou negativa, ou igual a zero. O sinal da energia total determina a natureza do movimento do corpo celeste (Fig. 1.24.6).

No E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние R > R máx. Neste caso, o corpo celeste se move ao longo órbita elíptica(planetas do sistema solar, cometas).

No E = E 2 = 0 o corpo pode se afastar até o infinito. A velocidade do corpo no infinito será zero. O corpo se move junto trajetória parabólica.

No E = E 3 > 0 movimento ocorre ao longo trajetória hiperbólica. O corpo se afasta ao infinito, possuindo uma reserva de energia cinética.

As leis de Kepler aplicam-se não apenas ao movimento dos planetas e outros corpos celestes no Sistema Solar, mas também ao movimento de satélites artificiais da Terra e de naves espaciais. Neste caso, o centro de gravidade é a Terra.

Primeira velocidade cósmica é a velocidade com que um satélite se move em uma órbita circular perto da superfície da Terra.

Essa velocidade deve ser ganha para vencer a gravidade da Terra e retirar o corpo (por exemplo, satélite) em órbitaTerra.

Segunda velocidade de escape é a velocidade mínima que deve ser transmitida a uma espaçonave próxima à superfície da Terra para que ela, superada a gravidade, se transforme em um satélite artificial do Sol (planeta artificial). Neste caso, a nave se afastará da Terra ao longo de uma trajetória parabólica.

Arroz. 1.24.7 ilustra velocidades de escape. Se a velocidade da espaçonave for igual a υ 1 = 7,9 10 3 m/s e for direcionada paralelamente à superfície da Terra, então a nave se moverá em uma órbita circular a uma baixa altitude acima da Terra. Em velocidades iniciais superiores a υ 1, mas inferiores a υ 2 = 11,2·10 3 m/s, a órbita da nave será elíptica. A uma velocidade inicial de υ 2, o navio se moverá ao longo de uma parábola, e a uma velocidade inicial ainda maior, ao longo de uma hipérbole.

As leis de Kepler são três leis do movimento planetário em relação ao Sol. Estabelecido por Johannes Kepler no início do século XVII como uma generalização dos dados observacionais de Tycho Brahe. Além disso, Kepler estudou o movimento de Marte com especial cuidado. Vejamos as leis com mais detalhes.

Primeira lei de Kepler:

Cada planeta se move em uma elipse, com o Sol em um dos focos. A forma da elipse, o grau de sua semelhança com um círculo, será então caracterizada pela razão: e=c/a, onde c é a distância do centro da elipse ao seu foco; a é o semieixo maior. O valor "e" é chamado de excentricidade da elipse. Em c=0 e e=0, a elipse se transforma em um círculo.

Segunda lei de Kepler:

Cada planeta se move em um plano que passa pelo centro do Sol, e a área do setor orbital, descrita pelo vetor raio do planeta, muda proporcionalmente ao tempo. Em relação ao nosso sistema Solar, dois conceitos estão associados a esta lei: periélio - o ponto da órbita mais próximo do Sol, e afélio - o ponto mais distante da órbita. Então pode-se argumentar que o planeta se move ao redor do Sol de forma desigual: tendo uma velocidade linear no periélio maior do que no afélio.

Terceira lei de Kepler:

Os quadrados dos tempos orbitais do planeta ao redor do Sol são proporcionais aos cubos de suas distâncias médias ao Sol. Esta lei, como as duas primeiras, é aplicável não apenas ao movimento dos planetas, mas também ao movimento dos seus satélites naturais e artificiais.

As leis Keplerianas foram refinadas e explicadas com base na lei da gravitação universal de Isaac Newton. A lei da gravitação universal diz:
A força F de atração mútua entre pontos materiais de massas m1 e m2, localizados a uma distância r um do outro, é igual a: F=Gm1m2/r^2, onde G é a constante gravitacional. A lei também foi descoberta por Newton no século XVII (é claro que com base nas leis de Kepler).

Assim, na formulação de Newton, as leis de Kepler soam assim:

- primeira lei: sob a influência da gravidade, um corpo celeste pode mover-se em relação a outro em círculo, elipse, parábola e hipérbole. É preciso dizer que é válido para todos os órgãos entre os quais atua a atração mútua.
- a formulação da segunda lei de Kepler não é dada, pois não era necessária.
— A terceira lei de Kepler foi formulada por Newton da seguinte forma: os quadrados dos períodos siderais dos planetas, multiplicados pela soma das massas do Sol e do planeta, estão relacionados como os cubos dos semieixos maiores dos planetas. órbitas.

Estas são as três leis de Kepler – as três leis do movimento planetário.

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Leis do movimento de Kepler

Johannes Kepler e os planetas do sistema solar

A astronomia do final do século XVI marca a colisão de dois modelos do nosso sistema solar: o sistema geocêntrico de Ptolomeu - onde o centro de rotação de todos os objetos é a Terra, e o sistema heliocêntrico de Copérnico - onde o Sol é o corpo central.

Modelo do Sistema Solar de Cláudio Ptolomeu

Embora Copérnico estivesse mais próximo da verdadeira natureza do sistema solar, o seu trabalho era falho. A principal dessas deficiências foi a afirmação de que os planetas giram em torno do Sol em órbitas circulares. Diante disso, o modelo de Copérnico era quase tão inconsistente com as observações quanto o sistema de Ptolomeu. O astrônomo polonês procurou corrigir essa discrepância com a ajuda de um movimento adicional do planeta em círculo, cujo centro já se movia em torno do Sol - um epiciclo. No entanto, a maioria das discrepâncias não foi eliminada.

No início do século XVII, o astrônomo alemão Johannes Kepler, estudando o sistema de Nicolau Copérnico, além de analisar os resultados das observações astronômicas do dinamarquês Tycho Brahe, deduziu as leis básicas relativas ao movimento dos planetas. Elas foram chamadas de Três Leis de Kepler.

A primeira lei de Kepler

O astrônomo alemão tentou de várias maneiras manter a órbita circular dos planetas, mas isso não lhe permitiu corrigir a discrepância com os resultados observacionais. Portanto, Kepler recorreu a órbitas elípticas. Cada uma dessas órbitas tem dois chamados focos. Os focos são dois pontos dados tais que a soma das distâncias desses dois pontos a qualquer ponto da elipse é constante.

Johannes Kepler observou que o planeta se move em uma órbita elíptica ao redor do Sol de tal forma que o Sol está localizado em um dos dois focos da elipse, o que se tornou a primeira lei do movimento planetário.

A primeira lei de Kepler

Segunda lei de Kepler

Desenhemos um vetor raio do Sol, que está localizado em um dos focos da órbita elipsoidal do planeta, até o próprio planeta. Então, durante períodos iguais de tempo, este vetor raio descreve áreas iguais no plano em que o planeta se move em torno do Sol. Esta afirmação é a segunda lei.

Segunda lei de Kepler

Terceira lei de Kepler

A órbita de cada planeta possui um ponto mais próximo do Sol, que é chamado de periélio. O ponto da órbita mais distante do Sol é chamado de afélio. O segmento que conecta esses dois pontos é chamado de eixo maior da órbita. Se dividirmos este segmento ao meio, obteremos o semieixo maior, que é mais usado em astronomia.

Elementos básicos de uma elipse

A terceira lei do movimento planetário de Kepler é a seguinte:

A razão entre o quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol e o semieixo maior da órbita deste planeta é constante e também é igual à razão entre o quadrado do período de revolução de outro planeta ao redor o Sol ao semi-eixo maior deste planeta.

Outra proporção às vezes também é escrita:

Uma das entradas da terceira lei

Desenvolvimento adicional

E embora as leis de Kepler tivessem um erro relativamente baixo (não mais que 1%), elas foram obtidas empiricamente. Não houve justificativa teórica. Este problema foi posteriormente resolvido por Isaac Newton, que descobriu a lei da gravitação universal em 1682. Graças a esta lei foi possível descrever tal comportamento dos planetas. As leis de Kepler tornaram-se o estágio mais importante na compreensão e descrição do movimento dos planetas.

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Movimentos planetários e leis de Kepler

No mundo dos átomos e das partículas elementares, as forças gravitacionais são insignificantes em comparação com outros tipos de interações de força entre partículas. É muito difícil observar a interação gravitacional entre os vários corpos que nos rodeiam, mesmo que as suas massas sejam de muitos milhares de quilogramas. No entanto, é a gravidade que determina o comportamento de objetos “grandes”, como planetas, cometas e estrelas, e é a gravidade que nos mantém a todos na Terra. A gravidade controla o movimento dos planetas no sistema solar. Sem ele, os planetas que compõem o sistema solar se espalhariam em diferentes direções e se perderiam nas vastas extensões do espaço mundial. Os padrões do movimento planetário atraem a atenção das pessoas há muito tempo. O estudo do movimento dos planetas e da estrutura do sistema solar levou à criação da teoria da gravidade - a descoberta lei da gravitação universal. Do ponto de vista de um observador terrestre, os planetas se movem ao longo de trajetórias muito complexas (Fig. 1.24.1). A primeira tentativa de criar um modelo do Universo foi feita por Ptolomeu (

140). No centro do universo, Ptolomeu colocou a Terra, em torno da qual planetas e estrelas se moviam em grandes e pequenos círculos, como numa dança circular.

Sistema geocêntrico Ptolomeu durou mais de 14 séculos e foi substituído apenas em meados do século XVI heliocêntrico o sistema copernicano. No sistema copernicano, as trajetórias dos planetas revelaram-se mais simples. O astrônomo alemão J. Kepler, no início do século XVII, baseado no sistema copernicano, formulou três leis empíricas do movimento dos planetas do sistema solar. Kepler usou os resultados das observações dos movimentos dos planetas pelo astrônomo dinamarquês T. Brahe. A primeira lei de Kepler(1609): Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos. Na Fig. A Figura 1.24.2 mostra a órbita elíptica de um planeta cuja massa é muito menor que a massa do Sol. O sol está em um dos focos da elipse. O ponto P da trajetória mais próximo do Sol é denominado periélio, o ponto A, mais distante do Sol, é chamado afélio ou apohélio. A distância entre o afélio e o periélio é o eixo principal da elipse.

Cada planeta se move em uma elipse, com o Sol em um dos focos. A lei também foi descoberta por Newton no século XVII (é claro que com base nas leis de Kepler). A segunda lei de Kepler é equivalente à lei da conservação do momento angular. Ao contrário das duas primeiras, a terceira lei de Kepler aplica-se apenas a órbitas elípticas. O astrônomo alemão J. Kepler, no início do século XVII, baseado no sistema copernicano, formulou três leis empíricas do movimento dos planetas do sistema solar.

No âmbito da mecânica clássica, eles são derivados da solução do problema dos dois corpos passando até o limite → 0, onde são as massas do planeta e do Sol, respectivamente. Obtivemos a equação de uma seção cônica com excentricidade e a origem do sistema de coordenadas em um dos focos. Assim, da segunda lei de Kepler segue-se que o planeta se move de forma desigual em torno do Sol, tendo uma velocidade linear maior no periélio do que no afélio.

Newton estabeleceu que a atração gravitacional de um planeta de determinada massa depende apenas de sua distância, e não de outras propriedades como composição ou temperatura. Outra formulação desta lei: a velocidade setorial do planeta é constante. A formulação moderna da primeira lei foi complementada da seguinte forma: em movimento imperturbável, a órbita de um corpo em movimento é uma curva de segunda ordem - uma elipse, parábola ou hipérbole.

Apesar do fato de as leis de Kepler terem sido um passo importante na compreensão do movimento dos planetas, elas ainda permaneceram apenas como regras empíricas derivadas de observações astronômicas.

Para órbitas circulares, a primeira e a segunda leis de Kepler são satisfeitas automaticamente, e a terceira lei afirma que T2

R3, onde T é o período orbital, R é o raio orbital. De acordo com a lei da conservação da energia, a energia total de um corpo num campo gravitacional permanece inalterada. Em E = E1 rmáx. Neste caso, o corpo celeste se move em órbita elíptica (planetas do Sistema Solar, cometas).

As leis de Kepler aplicam-se não apenas ao movimento dos planetas e outros corpos celestes no Sistema Solar, mas também ao movimento de satélites artificiais da Terra e de naves espaciais. Estabelecido por Johannes Kepler no início do século XVII como uma generalização dos dados observacionais de Tycho Brahe. Além disso, Kepler estudou o movimento de Marte com especial cuidado. Vejamos as leis com mais detalhes.

Em c=0 e e=0, a elipse se transforma em um círculo. Esta lei, como as duas primeiras, é aplicável não apenas ao movimento dos planetas, mas também ao movimento dos seus satélites naturais e artificiais. Kepler não é fornecido, pois não era necessário. Kepler foi formulado por Newton da seguinte forma: os quadrados dos períodos siderais dos planetas, multiplicados pela soma das massas do Sol e do planeta, estão relacionados como os cubos dos semieixos maiores das órbitas dos planetas.

século 17 J. Kepler (1571-1630) baseado em muitos anos de observações de T. Brahe (1546-1601). Lei das áreas.) 3. Os quadrados dos períodos de quaisquer dois planetas estão relacionados como os cubos de suas distâncias médias do Sol. Finalmente, ele assumiu que a órbita de Marte era elíptica e viu que esta curva descrevia bem as observações se o Sol fosse colocado num dos focos da elipse. Kepler propôs então (embora não pudesse prová-lo claramente) que todos os planetas se movem em elipses com o Sol no ponto focal.

LEI DA ÁREA DE KEPLER. 1ª lei: cada planeta se move numa direção elíptica. Quando uma pedra cai na Terra, ela obedece à lei da gravidade. Essa força é aplicada a um dos corpos em interação e direcionada para o outro. Em particular, I. Newton chegou a esta conclusão em seu lançamento mental de pedras de montanha alta... Assim, o Sol distorce o movimento dos planetas, evitando que eles se espalhem em todas as direções.

Kepler, com base nos resultados das observações meticulosas e de longo prazo do planeta Marte por Tycho Brahe, foi capaz de determinar a forma de sua órbita. A ação da Terra e do Sol sobre a Lua torna as leis de Kepler completamente inadequadas para o cálculo de sua órbita.

A forma da elipse e o grau de sua semelhança com um círculo são caracterizados pela razão, onde é a distância do centro da elipse ao seu foco (metade da distância interfocal) e é o semieixo maior. Assim, pode-se argumentar que, e portanto a velocidade de varredura da área proporcional a ela, é uma constante. do Sol, e e são os comprimentos dos semieixos maiores de suas órbitas. A afirmação também é verdadeira para satélites.

Vamos calcular a área da elipse ao longo da qual o planeta se move. Neste caso, a interação entre os corpos M1 e M2 não é levada em consideração. A diferença estará apenas nas dimensões lineares das órbitas (se os corpos forem de massas diferentes). No mundo dos átomos e das partículas elementares, as forças gravitacionais são insignificantes em comparação com outros tipos de interações de força entre partículas.

A gravidade controla o movimento dos planetas no sistema solar. Sem ele, os planetas que compõem o sistema solar se espalhariam em diferentes direções e se perderiam nas vastas extensões do espaço mundial. Do ponto de vista de um observador terrestre, os planetas se movem ao longo de trajetórias muito complexas (Fig. 1.24.1). O sistema geocêntrico de Ptolomeu durou mais de 14 séculos e só foi substituído pelo sistema heliocêntrico de Copérnico em meados do século XVI.

Na Fig. A Figura 1.24.2 mostra a órbita elíptica de um planeta cuja massa é muito menor que a massa do Sol. Quase todos os planetas do Sistema Solar (exceto Plutão) movem-se em órbitas quase circulares. Órbitas circulares e elípticas.

Newton foi o primeiro a expressar a ideia de que as forças gravitacionais determinam não apenas o movimento dos planetas do sistema solar; eles atuam entre quaisquer corpos do Universo. Em particular, já foi dito que a força da gravidade que atua sobre os corpos próximos à superfície da Terra é de natureza gravitacional. A energia potencial de um corpo de massa m localizado a uma distância r de um corpo estacionário de massa M é igual ao trabalho das forças gravitacionais ao mover a massa m de um determinado ponto ao infinito.

No limite como Δri → 0, esta soma se transforma em integral. A energia total pode ser positiva ou negativa, ou igual a zero. O sinal da energia total determina a natureza do movimento do corpo celeste (Fig. 1.24.6). Se a velocidade da espaçonave for igual a υ1 = 7,9·103 m/s e estiver direcionada paralelamente à superfície da Terra, então a nave se moverá em uma órbita circular a uma baixa altitude acima da Terra.

Assim, a primeira lei de Kepler segue diretamente da lei da gravitação universal de Newton e da segunda lei de Newton. 3. Finalmente, Kepler também observou a terceira lei dos movimentos planetários. O sol e e são as massas dos planetas. Em relação ao nosso sistema Solar, dois conceitos estão associados a esta lei: periélio - o ponto da órbita mais próximo do Sol, e afélio - o ponto mais distante da órbita.

Copérnico explicou os movimentos visíveis dos planetas em forma de loop por uma combinação do movimento da Terra com o movimento de cada planeta ao redor do Sol. Como os períodos de revolução da Terra e de qualquer planeta não são iguais, acontece que, por exemplo, a Terra ultrapassa o planeta, e então o planeta parece estar se movendo em relação às estrelas para oeste. Outras vezes, seus movimentos são formados de tal forma que o planeta parece estar se movendo para leste.

Isto é ilustrado na Figura 20, onde as setas mostram a direção de rotação da Terra e de um planeta que está mais longe do Sol que a Terra e se move mais lentamente. As linhas retas conectam as posições simultâneas da Terra e do planeta e indicam a direção na qual o planeta é visível da Terra em suas diferentes posições em órbita. As setas próximas ao caminho aparente do planeta mostram como a direção do seu movimento aparente muda.

Figura 20 - Movimento aparente em loop do planeta (ocorre devido a uma combinação do movimento do planeta e do observador junto com a Terra).

Copérnico determinou os períodos orbitais dos planetas e suas distâncias do Sol em comparação com a distância da Terra ao Sol.

As posições relativas da Terra e dos planetas mudam o tempo todo. Por exemplo, um planeta que esteja mais distante do Sol do que a Terra pode estar atrás do Sol em relação a esta (Figura 21), e um planeta que esteja mais próximo pode estar entre a Terra e o Sol ou também atrás dele. Nessas posições, os planetas não são visíveis para nós, pois estão escondidos nos raios do Sol. Um planeta mais distante do Sol do que a Terra é melhor observado quando é visível no lado oposto ao Sol. Então está mais perto da Terra e é claramente visível através de um telescópio. Neste horário culmina à meia-noite e é visível por muito tempo durante o dia. A posição do planeta oposto ao Sol em relação à Terra é chamada confronto.

Figura 21 – Oposições e maiores distâncias do planeta ao Sol.

Para um planeta mais próximo do Sol do que a Terra, o ângulo entre as direções da Terra para ele e para o Sol muda, não excedendo 29° para Mercúrio e 48° para Vênus. Na maior distância angular entre o Sol e tal planeta, é mais conveniente observá-lo - ele se põe mais tarde, após o Sol, ou nasce no início da manhã, antes do nascer do sol, dependendo de qual lado do Sol o vemos. . Como mostra a Figura 22, a aparência de Mercúrio e Vênus muda, assim como a da Lua. Depende de como o hemisfério desses planetas iluminados pelo Sol está voltado para nós.

Figura 22 – Mudanças na fase e diâmetro aparente de Mercúrio e Vênus dependendo de sua posição em relação à Terra e ao Sol.

Copérnico estabeleceu que o centro de movimento da Terra e dos planetas é o Sol, mas não conseguiu estabelecer com precisão a verdadeira forma das órbitas dos planetas. Como todos os cientistas e filósofos da antiguidade, Copérnico acreditava que nos céus todos os movimentos são uniformes e as trajetórias desses movimentos são círculos. Portanto, a teoria de Copérnico refletia os verdadeiros movimentos dos planetas de forma pouco mais precisa do que a teoria de Ptolomeu.

A razão desta discrepância foi descoberta no início do século XVII. Cientista austríaco Johannes Kepler (1571 -1630). Kepler estabeleceu três leis dos movimentos planetários, que derivou dos movimentos observados dos planetas na esfera celeste.

Primeira lei. Cada planeta se move em uma elipse, com o Sol em um dos focos.

Uma elipse é uma curva plana fechada que tem a propriedade de que a soma das distâncias de cada ponto a dois pontos, chamados focos, permanece constante. Na Figura 23 O é o centro da elipse, DA.- eixo principal, PARA e S são os focos da elipse, então KM+SM=DA igual ao eixo maior da elipse. Quanto maior a distância entre os focos, mais comprimida será a elipse para um determinado valor do seu eixo maior. O grau de alongamento de uma elipse é caracterizado pelo seu tamanho excentricidade. Excentricidade e chamada razão de distância SO o centro da elipse de um dos focos até o comprimento do semieixo maior OA, isto é, e = SO: Sobre A.

As órbitas elípticas dos planetas diferem pouco de um círculo e suas excentricidades são ligeiramente maiores que zero.

Da primeira lei de Kepler segue-se que a distância dos planetas ao Sol muda. O ponto mais próximo da órbita é chamado periélio, e o mais distante é afélio.

A órbita da Terra também é elíptica. A Terra está no periélio no início de janeiro e no afélio no início de julho. Embora, portanto, o inverno no hemisfério norte da Terra ocorra durante o período de menor distância do Sol, a diferença no ângulo de incidência dos raios solares na superfície da Terra e a diferença na duração do dia no verão e o inverno influenciam mais do que pequenas mudanças na distância da Terra ao Sol.

Segunda lei (lei das áreas). O vetor raio do planeta descreve áreas iguais em tempos iguais.

Vetor de raio Um planeta é chamado de segmento de linha reta que conecta um planeta ao Sol. A velocidade do planeta à medida que se move muda de tal forma que a área descrita pelo vetor raio por períodos iguais de tempo é a mesma, independentemente da parte da sua órbita em que o planeta se encontra. Existem 23 áreas na figura CDS, FSE E CINZAS. são iguais se os arcos CD, EF, AN descritas pelo planeta em períodos iguais de tempo. Assim, perto do periélio a velocidade do planeta é maior, perto do afélio é menor.

Figura 23 – Lei das áreas (segunda lei de Kepler).

Terceira lei. Os quadrados dos períodos orbitais dos planetas estão relacionados aos cubos dos semieixos maiores de suas órbitas.

Se o período orbital e o semieixo maior da órbita de um planeta forem denotados de acordo T1 E a2, e outro planeta - através T2 e a2, então a terceira lei de Kepler será expressa pela fórmula:

Conhecendo pelas observações os períodos de revolução dos planetas, é possível usar esta fórmula para determinar os semieixos maiores das órbitas dos planetas em relação a

ao semieixo maior da órbita da Terra, tomando o semieixo da órbita da Terra como unidade. Observe que o comprimento do semieixo maior da órbita do planeta é igual à sua distância média do Sol, uma vez que metade da soma das distâncias do planeta ao Sol no afélio e no periélio é igual ao semieixo maior do planeta. órbita; na Figura 23 DS+AS/2 = OD Onde OD- semieixo maior. Uma vez que, usando a terceira lei de Kepler, todas as distâncias dos planetas ao Sol podem ser determinadas conhecendo a distância da Terra ao Sol, o comprimento do semieixo maior da órbita da Terra é considerado em astronomia como uma unidade de distâncias e é chamada de unidade astronômica; é igual a 149.500.000 km.

2. O período orbital de Plutão é de 250 anos. Qual é o semieixo maior de sua órbita?

“Ele viveu numa época em que ainda não havia confiança na existência de algum padrão geral para todos os fenômenos naturais.

Quão profunda era sua fé em tal padrão, se, trabalhando sozinho, sem o apoio ou compreendido por ninguém, por muitas décadas ele tirou forças dele para um difícil e meticuloso estudo empírico do movimento dos planetas e das leis matemáticas desse movimento!

Hoje, quando este ato científico já foi realizado, ninguém pode avaliar plenamente quanta engenhosidade, quanto trabalho duro e paciência foram necessários para descobrir essas leis e expressá-las com tanta precisão” (Albert Einstein sobre Kepler).

Johannes Kepler foi o primeiro a descobrir a lei do movimento dos planetas do sistema solar. Mas ele fez isso com base na análise das observações astronômicas de Tycho Brahe. Então vamos falar sobre ele primeiro.

Tycho Brahe Astrônomo, astrólogo e alquimista dinamarquês da Renascença. Kepler foi o primeiro na Europa a começar a realizar observações astronômicas sistemáticas e de alta precisão, com base nas quais Kepler derivou as leis do movimento planetário.

Ele se interessou por astronomia ainda criança, conduziu observações independentes e criou alguns instrumentos astronômicos. Um dia (11 de novembro de 1572), voltando para casa vindo de um laboratório químico, ele notou uma estrela extraordinariamente brilhante na constelação de Cassiopeia, que não existia antes. Ele imediatamente percebeu que este não era um planeta e correu para medir suas coordenadas. A estrela brilhou no céu por mais 17 meses; No início era visível mesmo durante o dia, mas aos poucos seu brilho diminuiu. Esta foi a primeira explosão de supernova na nossa Galáxia em 500 anos. Este acontecimento empolgou toda a Europa, houve muitas interpretações deste “sinal celeste” - foram previstos desastres, guerras, epidemias e até o fim do mundo. Também apareceram tratados científicos contendo declarações errôneas de que se tratava de um cometa ou de um fenômeno atmosférico. Em 1573, seu primeiro livro, “On the New Star”, foi publicado. Nele, Brahe relatou que nenhuma paralaxe (mudanças na posição aparente de um objeto em relação a um fundo distante dependendo da posição do observador) foi detectada para este objeto, e isso prova de forma convincente que a nova luminária é uma estrela, e é não está localizado perto da Terra, mas pelo menos a uma distância planetária. Com o aparecimento deste livro, Tycho Brahe foi reconhecido como o primeiro astrônomo da Dinamarca. Em 1576, por decreto do rei dinamarquês-norueguês Frederico II, Tycho Brahe recebeu a ilha de Ven para uso vitalício ( Hven), localizado a 20 km de Copenhague, e foram alocadas quantias significativas para a construção do observatório e sua manutenção. Foi o primeiro edifício na Europa construído especificamente para observações astronômicas. Tycho Brahe chamou seu observatório de "Uraniborg" em homenagem à musa da astronomia Urania (o nome às vezes é traduzido como "Castelo no Céu"). O projeto do edifício foi elaborado pelo próprio Tycho Brahe. Em 1584, outro castelo observatório foi construído próximo a Uraniborg: Stjerneborg (traduzido do dinamarquês como “Castelo da Estrela”). Uraniborg logo se tornou o melhor centro astronômico do mundo, combinando observações, ensinando estudantes e publicando trabalhos científicos. Mas mais tarde, em conexão com a mudança do rei. Tycho Brahe perdeu apoio financeiro e depois foi proibida a prática de astronomia e alquimia na ilha. O astrônomo deixou a Dinamarca e parou em Praga.

Logo Uraniborg e todos os edifícios associados a ele foram completamente destruídos (em nossa época foram parcialmente restaurados).

Durante esse período tenso, Brahe chegou à conclusão de que precisava de um jovem e talentoso assistente matemático para processar os dados acumulados ao longo de 20 anos. Ao saber da perseguição de Johannes Kepler, cujas extraordinárias habilidades matemáticas ele já havia apreciado em sua correspondência, Tycho o convidou para sua casa. Os cientistas se depararam com uma tarefa: deduzir a partir das observações um novo sistema do mundo, que deveria substituir tanto o ptolomaico quanto o copernicano. Ele confiou a Kepler o planeta-chave: Marte, cujo movimento não se enquadrava fortemente não apenas no esquema de Ptolomeu, mas também nos próprios modelos de Brahe (de acordo com seus cálculos, as órbitas de Marte e do Sol se cruzaram).

Em 1601, Tycho Brahe e Kepler começaram a trabalhar em novas e refinadas tabelas astronômicas, que foram chamadas de “Rudolph” em homenagem ao imperador; foram concluídos em 1627 e serviram a astrônomos e marinheiros até o início do século XIX. Mas Tycho Brahe só conseguiu dar um nome às mesas. Em outubro, ele adoeceu inesperadamente e morreu de uma doença desconhecida.

Depois de estudar cuidadosamente os dados de Tycho Brahe, Kepler descobriu as leis do movimento planetário.

Inicialmente, Kepler planejava se tornar um padre protestante, mas graças às suas extraordinárias habilidades matemáticas, foi convidado em 1594 para lecionar matemática na Universidade de Graz (hoje Áustria). Kepler passou 6 anos em Graz. Aqui, em 1596, foi publicado seu primeiro livro, “O Segredo do Mundo”. Nele, Kepler tentou encontrar a harmonia secreta do Universo, para a qual comparou vários “sólidos platônicos” (poliedros regulares) às órbitas dos cinco planetas então conhecidos (ele destacou especialmente a esfera da Terra). Ele apresentou a órbita de Saturno como um círculo (ainda não uma elipse) na superfície de uma bola circunscrita em torno de um cubo. O cubo, por sua vez, estava inscrito com uma bola, que deveria representar a órbita de Júpiter. Um tetraedro foi inscrito nesta bola, circunscrito em torno de uma bola que representa a órbita de Marte, etc. Este trabalho, após novas descobertas de Kepler, perdeu seu significado original (mesmo porque as órbitas dos planetas revelaram-se não circulares) ; No entanto, Kepler acreditou na existência de uma harmonia matemática oculta do Universo até o fim de sua vida, e em 1621 republicou “O Segredo do Mundo”, fazendo inúmeras alterações e acréscimos a ele.

Sendo um excelente observador, Tycho Brahe compilou um volumoso trabalho ao longo de muitos anos sobre a observação de planetas e centenas de estrelas, e a precisão de suas medições foi significativamente maior do que a de todos os seus antecessores. Para aumentar a precisão, Brahe utilizou melhorias técnicas e uma técnica especial para neutralizar erros de observação. A natureza sistemática das medições foi especialmente valiosa.

Ao longo de vários anos, Kepler estudou cuidadosamente os dados de Brahe e, como resultado de uma análise cuidadosa, chegou à conclusão de que A trajetória de Marte não é um círculo, mas sim uma elipse, com o Sol em um de seus focos - posição hoje conhecida como A primeira lei de Kepler.

Cada planeta do sistema solar gira em torno de uma elipse, com o Sol em um dos focos.

A forma da elipse e o grau de sua semelhança com um círculo são caracterizados pela razão, onde é a distância do centro da elipse ao seu foco (metade da distância interfocal) e é o semieixo maior. A quantidade é chamada de excentricidade da elipse. Quando, e, portanto, a elipse se transforma em um círculo.

Uma análise mais aprofundada leva à segunda lei. O vetor raio que conecta o planeta e o Sol descreve áreas iguais em momentos iguais. Isto significa que quanto mais longe um planeta está do Sol, mais lentamente ele se move.

Cada planeta se move em um plano que passa pelo centro do Sol e, em períodos iguais de tempo, o vetor raio que conecta o Sol e o planeta descreve áreas iguais.

Existem dois conceitos associados a esta lei: periélio- o ponto da órbita mais próximo do Sol, e afélio- o ponto mais distante da órbita. Assim, da segunda lei de Kepler segue-se que o planeta se move de forma desigual em torno do Sol, tendo uma velocidade linear maior no periélio do que no afélio.

Todos os anos, no início de janeiro, a Terra se move mais rápido ao passar pelo periélio, de modo que o movimento aparente do Sol ao longo da eclíptica para leste também ocorre mais rápido que a média do ano. No início de julho, a Terra, ao passar pelo afélio, se move mais lentamente e, portanto, o movimento do Sol ao longo da eclíptica fica mais lento. A lei das áreas indica que a força que rege o movimento orbital dos planetas é direcionada para o Sol.

Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas ao redor do Sol estão relacionados como os cubos dos semieixos maiores das órbitas dos planetas. Isto é verdade não apenas para os planetas, mas também para os seus satélites.

Onde e são os períodos de revolução de dois planetas ao redor do Sol, e e são os comprimentos dos semieixos maiores de suas órbitas.

Newton estabeleceu mais tarde que a terceira lei de Kepler não é totalmente precisa - ela também inclui a massa do planeta: , onde está a massa do Sol, e e são as massas dos planetas.

Como o movimento e a massa estão relacionados, esta combinação da lei harmônica de Kepler e da lei da gravidade de Newton é usada para determinar a massa de planetas e satélites se suas órbitas e períodos orbitais forem conhecidos.

Descoberto por Kepler três leis do movimento planetário explicou completa e precisamente a aparente irregularidade desses movimentos. Em vez de numerosos epiciclos inventados, o modelo de Kepler inclui apenas uma curva – uma elipse. A segunda lei estabeleceu como a velocidade do planeta muda à medida que ele se afasta ou se aproxima do Sol, e a terceira permite calcular essa velocidade e o período de revolução em torno do Sol.

Embora historicamente o sistema mundial Kepleriano seja baseado no modelo copernicano, na verdade eles têm muito pouco em comum (apenas a rotação diária da Terra). Os movimentos circulares das esferas que carregavam planetas desapareceram e o conceito de órbita planetária apareceu. No sistema copernicano, a Terra ainda ocupava uma posição um tanto especial, pois era a única sem epiciclos. Segundo Kepler, a Terra é um planeta comum, cujo movimento está sujeito a três leis gerais. Todas as órbitas dos corpos celestes são elipses; o foco comum das órbitas é o Sol.

Kepler também derivou a “equação de Kepler”, usada em astronomia para determinar as posições dos corpos celestes.

As leis descobertas por Kepler serviram mais tarde a Newton base para a criação da teoria da gravidade. Newton provou matematicamente que todas as leis de Kepler são consequências da lei da gravitação.

Mas Kepler não acreditava na infinidade do Universo e, como argumento, propôs paradoxo fotométrico(esse nome surgiu mais tarde): se o número de estrelas fosse infinito, então em qualquer direção o olhar encontraria uma estrela e não haveria áreas escuras no céu. Kepler, como os pitagóricos, considerava o mundo a realização de uma certa harmonia numérica, tanto geométrica quanto musical; revelar a estrutura desta harmonia forneceria respostas às questões mais profundas.

Na matemática ele encontrou uma maneira de determinar os volumes de vários corpos de revolução, propôs os primeiros elementos do cálculo integral, analisou detalhadamente a simetria dos flocos de neve. O trabalho de Kepler no campo da simetria mais tarde encontrou aplicação na cristalografia e na teoria da codificação. Ele compilou uma das primeiras tabelas de logaritmos e pela primeira vez introduziu o conceito mais importante ponto infinitamente distante introduziu o conceito foco da seção cônica e revisado transformações projetivas de seções cônicas, inclusive aquelas que mudam de tipo.

Na física introduziu o termo inércia como a propriedade inata dos corpos de resistir a uma força externa aplicada, chegou perto da descoberta da lei da gravidade, embora não tenha tentado expressá-la matematicamente, foi o primeiro, quase cem anos antes de Newton, a apresentaram a hipótese de que a causa das marés é a influência da Lua nas camadas superiores dos oceanos.

Em óptica: a óptica como ciência começa com seus trabalhos. Ele descreve a refração da luz, a refração e o conceito de imagem óptica, a teoria geral das lentes e seus sistemas. Kepler descobriu o papel do cristalino e descreveu corretamente as causas da miopia e da hipermetropia.

PARA astrologia Kepler teve uma atitude ambivalente. Duas de suas declarações são citadas sobre este assunto. Primeiro: " Claro, essa astrologia é uma filha estúpida, mas, meu Deus, para onde iria sua mãe, a astronomia altamente sábia, se não tivesse uma filha estúpida! O mundo é ainda mais estúpido e tão estúpido que, para o benefício desta velha mãe razoável, a filha estúpida deve conversar e mentir. E o salário dos matemáticos é tão insignificante que a mãe provavelmente morreria de fome se a filha não ganhasse nada" E em segundo lugar: " As pessoas se enganam ao pensar que os assuntos terrenos dependem dos corpos celestes" Mesmo assim, Kepler compilou horóscopos para si e para seus entes queridos.

É incrível o quanto conquistei na minha vida. Johannes Kepler, embora, pela triste sorte do destino, desde criança sofresse de diversas doenças, inclusive de visão múltipla, razão pela qual, ao observar o céu, em seus olhos, por exemplo, não aparecia uma Lua, mas várias.

Que tipo de força de espírito e vontade você precisa ter para continuar trabalhando duro? Kepler deu uma enorme contribuição não apenas à astronomia, mas também à óptica. Ele trabalhou em uma variedade de problemas científicos, até mesmo estudando a estrutura do olho humano...

Após a morte de Kepler em 1630, tudo o que restou foi um vestido surrado, duas camisas, várias moedas de cobre e... 57 tabelas de cálculo, 27 trabalhos científicos impressos, um enorme legado manuscrito reunido posteriormente em 22 livros, e três leis do planeta. movimento. Três leis notáveis, cuja correspondência exata com a mecânica celeste foi confirmada por medições cuidadosas e numerosas realizadas por muitas gerações subsequentes de cientistas.

Admirador defensor do sistema copernicano, Kepler, no entanto, viu nele uma séria desvantagem: Copérnico considerava que a revolução dos planetas ao redor do Sol consistia em vários movimentos em círculo. Analisando cuidadosamente as observações de Tycho Brahe, Kepler percebeu que na realidade as órbitas dos planetas são elipses, não círculos, e o Sol está necessariamente localizado em um dos focos da elipse. É assim que é formulado A primeira lei de Kepler. Simples e convincente!

Um grande trabalhador da ciência, um cientista versátil, Johannes Kepler.

Se o Sol e um dos planetas estiverem conectados por um raio de linha imaginário, então as áreas da elipse, delineadas pelo raio por períodos iguais de tempo, serão iguais entre si. Esse Segunda lei de Kepler.

Terceira Lei pode ser expresso nas seguintes palavras: o tempo de revolução de cada planeta ao redor do Sol, ao quadrado, é proporcional ao tamanho do semieixo maior de sua órbita elíptica, ao cubo.

Os planetas e o Sol revelaram-se inextricavelmente ligados. As leis de Kepler tornaram possível prever com mais precisão o movimento dos corpos celestes, mas a questão de por que esse movimento ocorre desta forma e não de outra forma deveria ser respondida por Isaac Newton...

Kepler, é claro, ponderou incansavelmente sobre a natureza das forças que unem as enormes massas de matéria contidas nos planetas e no Sol em um único sistema majestoso. Ele introduziu muitas definições na física e, em particular, na mecânica, que ainda usamos hoje. Kepler denotou a resistência ao movimento dos corpos em repouso com a palavra "inércia", e a força de atração entre corpos massivos é o termo "gravidade".

“Eu defino a gravidade como uma força”, escreveu Kepler, “semelhante ao magnetismo - atração mútua. Quanto mais próximos os corpos estiverem um do outro, maior será a força de atração...”

Mesmo antes das descobertas de Newton, Kepler explicou as causas das marés oceânicas dizendo que “os corpos do Sol e da Lua atraem as águas do oceano com a ajuda de certas forças semelhantes ao magnetismo”.

Os talentos de Kepler eram variados. E muitas vezes se manifestaram em áreas distantes da física e da astronomia. Durante seis anos, por exemplo, ele teve que ser... advogado da própria mãe, acusada de bruxaria.

Desde os tempos da astronomia contemplativa, permaneceram nomes figurativos de constelações que lembravam aos observadores os vários animais representados neste antigo mapa do século XVII do atlas de John Hevelius.

Na Europa medieval, o fogo da Inquisição ardeu. Na terra natal de Kepler, na pequena cidade alemã de Weil, que naquela época tinha apenas algumas centenas de habitantes, 38 “bruxas” foram queimadas entre 1615 e 1629!

E muitas acusações graves, pelos padrões da época, foram feitas contra a mãe de Kepler. Um de seus crimes mais terríveis foram as palavras que disse ao vizinho: “Não existe céu nem inferno. O que resta do homem é igual ao dos animais.”

Mas não foi à toa que os juízes escreveram em um dos protocolos: “A mulher presa, infelizmente, é defendida pelo filho, o senhor Kepler, matemático”. Kepler conseguiu a absolvição de sua mãe atormentada e condenada injustamente.

Ele simplesmente nunca conseguiu realizar uma das tarefas que exigiam muito esforço - receber em dia e integralmente o salário devido ao astrônomo e astrólogo da corte. Após a morte de Kepler, sua esposa e quatro filhos deviam quase 13 mil florins em salários não pagos...

“Ele viveu numa época em que ainda não havia confiança na existência de algum padrão geral para todos os fenómenos naturais...

Quão profunda era sua fé em tal padrão, se, trabalhando sozinho, sem o apoio ou compreendido por ninguém, por muitas décadas ele tirou forças dele para um difícil e meticuloso estudo empírico do movimento dos planetas e das leis matemáticas desse movimento!

Hoje, quando este ato científico já foi realizado, ninguém pode avaliar plenamente quanta engenhosidade, quanto trabalho duro e paciência foram necessários para descobrir essas leis e expressá-las com tanta precisão” (Albert Einstein sobre Kepler).

Johannes Kepler foi o primeiro a descobrir a lei do movimento dos planetas do sistema solar. Mas ele fez isso com base na análise das observações astronômicas de Tycho Brahe. Então vamos falar sobre ele primeiro.

Tycho Brahe (1546-1601)

Tycho Brahe Astrônomo, astrólogo e alquimista dinamarquês da Renascença. Kepler foi o primeiro na Europa a começar a realizar observações astronômicas sistemáticas e de alta precisão, com base nas quais Kepler derivou as leis do movimento planetário.

Ele se interessou por astronomia ainda criança, conduziu observações independentes e criou alguns instrumentos astronômicos. Um dia (11 de novembro de 1572), voltando para casa vindo de um laboratório químico, ele notou uma estrela extraordinariamente brilhante na constelação de Cassiopeia, que não existia antes. Ele imediatamente percebeu que este não era um planeta e correu para medir suas coordenadas. A estrela brilhou no céu por mais 17 meses; No início era visível mesmo durante o dia, mas aos poucos seu brilho diminuiu. Esta foi a primeira explosão de supernova na nossa Galáxia em 500 anos. Este acontecimento empolgou toda a Europa, houve muitas interpretações deste “sinal celeste” - foram previstos desastres, guerras, epidemias e até o fim do mundo. Também apareceram tratados científicos contendo declarações errôneas de que se tratava de um cometa ou de um fenômeno atmosférico. Em 1573, seu primeiro livro, “On the New Star”, foi publicado. Nele, Brahe relatou que nenhuma paralaxe (mudanças na posição aparente de um objeto em relação a um fundo distante dependendo da posição do observador) foi detectada para este objeto, e isso prova de forma convincente que a nova luminária é uma estrela, e é não está localizado perto da Terra, mas pelo menos a uma distância planetária. Com o aparecimento deste livro, Tycho Brahe foi reconhecido como o primeiro astrônomo da Dinamarca. Em 1576, por decreto do rei dinamarquês-norueguês Frederico II, Tycho Brahe recebeu a ilha de Ven para uso vitalício ( Hven), localizado a 20 km de Copenhague, e foram alocadas quantias significativas para a construção do observatório e sua manutenção. Foi o primeiro edifício na Europa construído especificamente para observações astronômicas. Tycho Brahe chamou seu observatório de "Uraniborg" em homenagem à musa da astronomia Urania (o nome às vezes é traduzido como "Castelo no Céu"). O projeto do edifício foi elaborado pelo próprio Tycho Brahe. Em 1584, outro castelo observatório foi construído próximo a Uraniborg: Stjerneborg (traduzido do dinamarquês como “Castelo da Estrela”). Uraniborg logo se tornou o melhor centro astronômico do mundo, combinando observações, ensinando estudantes e publicando trabalhos científicos. Mas mais tarde, em conexão com a mudança do rei. Tycho Brahe perdeu apoio financeiro e depois foi proibida a prática de astronomia e alquimia na ilha. O astrônomo deixou a Dinamarca e parou em Praga.

Logo Uraniborg e todos os edifícios associados a ele foram completamente destruídos (em nossa época foram parcialmente restaurados).

Durante esse período tenso, Brahe chegou à conclusão de que precisava de um jovem e talentoso assistente matemático para processar os dados acumulados ao longo de 20 anos. Ao saber da perseguição de Johannes Kepler, cujas extraordinárias habilidades matemáticas ele já havia apreciado em sua correspondência, Tycho o convidou para sua casa. Os cientistas se depararam com uma tarefa: deduzir a partir das observações um novo sistema do mundo, que deveria substituir tanto o ptolomaico quanto o copernicano. Ele confiou a Kepler o planeta-chave: Marte, cujo movimento não se enquadrava fortemente não apenas no esquema de Ptolomeu, mas também nos próprios modelos de Brahe (de acordo com seus cálculos, as órbitas de Marte e do Sol se cruzaram).

Em 1601, Tycho Brahe e Kepler começaram a trabalhar em novas e refinadas tabelas astronômicas, que foram chamadas de “Rudolph” em homenagem ao imperador; foram concluídos em 1627 e serviram a astrônomos e marinheiros até o início do século XIX. Mas Tycho Brahe só conseguiu dar um nome às mesas. Em outubro, ele adoeceu inesperadamente e morreu de uma doença desconhecida.

Depois de estudar cuidadosamente os dados de Tycho Brahe, Kepler descobriu as leis do movimento planetário.

Leis do movimento planetário de Kepler

Inicialmente, Kepler planejava se tornar um padre protestante, mas graças às suas extraordinárias habilidades matemáticas, foi convidado em 1594 para lecionar matemática na Universidade de Graz (hoje Áustria). Kepler passou 6 anos em Graz. Aqui, em 1596, foi publicado seu primeiro livro, “O Segredo do Mundo”. Nele, Kepler tentou encontrar a harmonia secreta do Universo, para a qual comparou vários “sólidos platônicos” (poliedros regulares) às órbitas dos cinco planetas então conhecidos (ele destacou especialmente a esfera da Terra). Ele apresentou a órbita de Saturno como um círculo (ainda não uma elipse) na superfície de uma bola circunscrita em torno de um cubo. O cubo, por sua vez, estava inscrito com uma bola, que deveria representar a órbita de Júpiter. Um tetraedro foi inscrito nesta bola, circunscrito em torno de uma bola que representa a órbita de Marte, etc. Este trabalho, após novas descobertas de Kepler, perdeu seu significado original (mesmo porque as órbitas dos planetas revelaram-se não circulares) ; No entanto, Kepler acreditou na existência de uma harmonia matemática oculta do Universo até o fim de sua vida, e em 1621 republicou “O Segredo do Mundo”, fazendo inúmeras alterações e acréscimos a ele.

Sendo um excelente observador, Tycho Brahe compilou um volumoso trabalho ao longo de muitos anos sobre a observação de planetas e centenas de estrelas, e a precisão de suas medições foi significativamente maior do que a de todos os seus antecessores. Para aumentar a precisão, Brahe utilizou melhorias técnicas e uma técnica especial para neutralizar erros de observação. A natureza sistemática das medições foi especialmente valiosa.

Ao longo de vários anos, Kepler estudou cuidadosamente os dados de Brahe e, como resultado de uma análise cuidadosa, chegou à conclusão de que A trajetória de Marte não é um círculo, mas sim uma elipse, com o Sol em um de seus focos - posição hoje conhecida como A primeira lei de Kepler.

Primeira lei de Kepler (lei das elipses)

Cada planeta do sistema solar gira em torno de uma elipse, com o Sol em um dos focos.

A forma da elipse e o grau de sua semelhança com um círculo são caracterizados pela razão , onde é a distância do centro da elipse ao seu foco (metade da distância interfocal), e é o semieixo maior. A quantidade é chamada de excentricidade da elipse. Quando , e, portanto, a elipse se transforma em um círculo.

Uma análise mais aprofundada leva à segunda lei. O vetor raio que conecta o planeta e o Sol descreve áreas iguais em momentos iguais. Isto significa que quanto mais longe um planeta está do Sol, mais lentamente ele se move.

Segunda lei de Kepler (lei das áreas)

Cada planeta se move em um plano que passa pelo centro do Sol e, em períodos iguais de tempo, o vetor raio que conecta o Sol e o planeta descreve áreas iguais.

Existem dois conceitos associados a esta lei: periélio- o ponto da órbita mais próximo do Sol, e afélio- o ponto mais distante da órbita. Assim, da segunda lei de Kepler segue-se que o planeta se move de forma desigual em torno do Sol, tendo uma velocidade linear maior no periélio do que no afélio.

Todos os anos, no início de janeiro, a Terra se move mais rápido ao passar pelo periélio, de modo que o movimento aparente do Sol ao longo da eclíptica para leste também ocorre mais rápido que a média do ano. No início de julho, a Terra, ao passar pelo afélio, se move mais lentamente e, portanto, o movimento do Sol ao longo da eclíptica fica mais lento. A lei das áreas indica que a força que rege o movimento orbital dos planetas é direcionada para o Sol.

Terceira lei de Kepler (lei harmônica)

Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas ao redor do Sol estão relacionados como os cubos dos semieixos maiores das órbitas dos planetas. Isto é verdade não apenas para os planetas, mas também para os seus satélites.

Onde e são os períodos de revolução de dois planetas ao redor do Sol, e e são os comprimentos dos semieixos maiores de suas órbitas.

Newton estabeleceu mais tarde que a terceira lei de Kepler não é totalmente precisa - ela também inclui a massa do planeta: , onde está a massa do Sol, e e são as massas dos planetas.

Como o movimento e a massa estão relacionados, esta combinação da lei harmônica de Kepler e da lei da gravidade de Newton é usada para determinar a massa de planetas e satélites se suas órbitas e períodos orbitais forem conhecidos.

O significado das descobertas de Kepler na astronomia

Descoberto por Kepler três leis do movimento planetário explicou completa e precisamente a aparente irregularidade desses movimentos. Em vez de numerosos epiciclos inventados, o modelo de Kepler inclui apenas uma curva – uma elipse. A segunda lei estabeleceu como a velocidade do planeta muda à medida que ele se afasta ou se aproxima do Sol, e a terceira permite calcular essa velocidade e o período de revolução em torno do Sol.

Embora historicamente o sistema mundial Kepleriano seja baseado no modelo copernicano, na verdade eles têm muito pouco em comum (apenas a rotação diária da Terra). Os movimentos circulares das esferas que carregavam planetas desapareceram e o conceito de órbita planetária apareceu. No sistema copernicano, a Terra ainda ocupava uma posição um tanto especial, pois era a única sem epiciclos. Segundo Kepler, a Terra é um planeta comum, cujo movimento está sujeito a três leis gerais. Todas as órbitas dos corpos celestes são elipses; o foco comum das órbitas é o Sol.

Kepler também derivou a “equação de Kepler”, usada em astronomia para determinar as posições dos corpos celestes.

As leis descobertas por Kepler serviram mais tarde a Newton base para a criação da teoria da gravidade. Newton provou matematicamente que todas as leis de Kepler são consequências da lei da gravitação.

Mas Kepler não acreditava na infinidade do Universo e, como argumento, propôs paradoxo fotométrico(esse nome surgiu mais tarde): se o número de estrelas fosse infinito, então em qualquer direção o olhar encontraria uma estrela e não haveria áreas escuras no céu. Kepler, como os pitagóricos, considerava o mundo a realização de uma certa harmonia numérica, tanto geométrica quanto musical; revelar a estrutura desta harmonia forneceria respostas às questões mais profundas.

Outras conquistas de Kepler

Na matemática ele encontrou uma maneira de determinar os volumes de vários corpos de revolução, propôs os primeiros elementos do cálculo integral, analisou detalhadamente a simetria dos flocos de neve. O trabalho de Kepler no campo da simetria mais tarde encontrou aplicação na cristalografia e na teoria da codificação. Ele compilou uma das primeiras tabelas de logaritmos e pela primeira vez introduziu o conceito mais importante ponto infinitamente distanteintroduziu o conceito foco da seção cônica e revisado transformações projetivas de seções cônicas, inclusive aquelas que mudam de tipo.

Na físicacunhou o termo inércia como propriedade inata dos corpos de resistir a uma força externa aplicada, chegou perto da descoberta da lei da gravitação, embora não tenha tentado expressá-la matematicamente, o primeiro, quase cem anos antes de Newton, apresentou a hipótese de que a causa das marés é a influência da Lua nas camadas superiores dos oceanos.

Em óptica: a óptica como ciência começa com seus trabalhos. Ele descreve a refração da luz, a refração e o conceito de imagem óptica, a teoria geral das lentes e seus sistemas. Kepler descobriu o papel do cristalino e descreveu corretamente as causas da miopia e da hipermetropia.

PARA astrologia Kepler teve uma atitude ambivalente. Duas de suas declarações são citadas sobre este assunto. Primeiro: " Claro, essa astrologia é uma filha estúpida, mas, meu Deus, para onde iria sua mãe, a astronomia altamente sábia, se não tivesse uma filha estúpida! O mundo é ainda mais estúpido e tão estúpido que, para o benefício desta velha mãe razoável, a filha estúpida deve conversar e mentir. E o salário dos matemáticos é tão insignificante que a mãe provavelmente morreria de fome se a filha não ganhasse nada" E em segundo lugar: " As pessoas se enganam ao pensar que os assuntos terrenos dependem dos corpos celestes" Mesmo assim, Kepler compilou horóscopos para si e para seus entes queridos.

Formulação de Kepler:

O planeta se move ao longo de uma elipse, em um dos focos onde o Sol está localizado.

Newton generaliza: em primeiro lugar, pode-se considerar o sistema estrela - estrela (estrela dupla), planeta - satélite; em segundo lugar, um corpo menor pode se mover ao longo de uma parábola ou hipérbole (Fig. 33).

Redação moderna:

Em um sistema gravitacionalmente ligado, o corpo B move-se ao longo de uma elipse, em um dos focos do qual existe um corpo A. A excentricidade da elipse é determinada pelo valor numérico da energia total do sistema. Em um sistema gravitacionalmente não ligado, o corpo B se move ao longo de uma parábola ( E= 0) ou por hipérbole ( E> 0), cujos focos são o corpo A.

Elipse

Elipse (Fig. 33) é um círculo alongado com a propriedade de existirem dois pontos (focos da elipse F1 E F2, para o qual a condição é satisfeita: a soma das distâncias dos focos de qualquer ponto da elipse é constante ( F1C + F2C = F1E + F2E= const), ou seja, não depende do ponto selecionado na elipse).

Segmento de linha ABé chamado de eixo maior, respectivamente o segmento A.O. = O.B.- semieixo maior (designação aceita a), segmentos CD E O.C.- eixo menor e semieixo b. O tamanho da elipse é determinado pelo semieixo maior, a forma é determinada pela excentricidade e = √(1 - b 2 / a 2). No e= 0 a elipse degenera em um círculo, quando e= 1 - em uma parábola, com e> 1 - em uma hipérbole, que é melhor representada como um gráfico da função sim = 1 / x, girado 45°. A elipse tem um semieixo maior a> 0, perto de uma parábola a= ∞, para a hipérbole a < 0, что, конечно, только математиче-ская абстракция.

O vetor raio do planeta descreve áreas iguais em períodos iguais de tempo (Fig. 34).

Esta afirmação é semelhante ao fato de que a velocidade do movimento diminui com a distância do Sol, ou melhor, esta é a lei da conservação do momento angular.

Se contarmos o número de dias desde o equinócio vernal (21 de março) até o equinócio de outono (23 de setembro) e de 23 de setembro a 21 de março do ano seguinte, verifica-se que o primeiro período é de 7 dias. mais longo que o segundo. Em outras palavras, a Terra se move mais rápido no inverno do que no verão, portanto, está mais próxima do Sol no inverno. A Terra passa pelo ponto mais próximo de sua órbita do Sol – periélio – em 6 de janeiro.

Lei da conservação do momento angular

Momento ( K = mvr) é uma quantidade física conveniente para descrever o movimento de um ponto ao longo de um círculo ou elipse, parábola, hipérbole, bem como para descrever a rotação de um corpo rígido. Lei da conservação do momento angular(como as leis de conservação do momento e da energia) é uma das três leis fundamentais da natureza. Segundo o teorema de Noether, esta lei é consequência da isotropia (igualdade de todas as direções) do Universo.

A razão entre o cubo do semieixo maior da órbita planetária e o cubo do período de revolução do planeta ao redor do Sol é igual à soma das massas do Sol e do planeta (na formulação de Newton):

a 3 / T 2 = (G/4π2) . ( M + eu),Matéria do site

Onde M E eu— massas de corpos do sistema; a E T— semieixo maior e período de revolução do corpo menor (planeta, satélite); G— constante gravitacional.

É preciso atentar para o fator constante do lado direito. Na fórmula é dado em unidades SI, mas na astronomia são utilizadas as unidades astronômicas de comprimento (em vez do metro), o ano (em vez do segundo) e a massa do Sol (em vez do quilograma). Então, como é fácil de ver, se desprezarmos a massa do planeta em relação à massa do Sol, o fator constante nesta fórmula é igual a um.

A terceira lei de Kepler oferece a única oportunidade para determinar diretamente a massa de um corpo celeste (por exemplo,