Uma das áreas da matemática com a qual os alunos mais lutam é a trigonometria. Não é surpreendente: para dominar livremente esta área do conhecimento, você precisa de pensamento espacial, capacidade de encontrar senos, cossenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expressões e ser capaz de usar o número pi em cálculos. Além disso, você precisa ser capaz de usar trigonometria ao provar teoremas, e isso requer uma memória matemática desenvolvida ou a capacidade de derivar cadeias lógicas complexas.

Origens da trigonometria

A familiarização com esta ciência deve começar com a definição de seno, cosseno e tangente de um ângulo, mas primeiro você precisa entender o que a trigonometria faz em geral.

Historicamente, o principal objeto de estudo neste ramo da ciência matemática foram os triângulos retângulos. A presença de um ângulo de 90 graus permite realizar diversas operações que permitem determinar os valores de todos os parâmetros da figura em questão a partir de dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado. No passado, as pessoas notaram esse padrão e começaram a utilizá-lo ativamente na construção de edifícios, na navegação, na astronomia e até na arte.

Primeira etapa

Inicialmente, as pessoas falavam sobre a relação entre ângulos e lados exclusivamente usando o exemplo dos triângulos retângulos. Em seguida, foram descobertas fórmulas especiais que permitiram ampliar os limites de uso desse ramo da matemática na vida cotidiana.

O estudo da trigonometria na escola hoje começa com triângulos retângulos, após os quais os alunos utilizam os conhecimentos adquiridos em física e na resolução de equações trigonométricas abstratas, que começam no ensino médio.

Trigonometria esférica

Mais tarde, quando a ciência atingiu o próximo nível de desenvolvimento, fórmulas com seno, cosseno, tangente e cotangente começaram a ser usadas na geometria esférica, onde se aplicam regras diferentes e a soma dos ângulos em um triângulo é sempre superior a 180 graus. Esta seção não é estudada na escola, mas é necessário saber de sua existência, pelo menos porque a superfície da Terra, e a superfície de qualquer outro planeta, é convexa, o que significa que qualquer marcação de superfície terá “formato de arco” em espaço tridimensional.

Pegue o globo e o fio. Prenda o fio em dois pontos quaisquer do globo para que fique esticado. Observe que ele assumiu a forma de um arco. A geometria esférica trata dessas formas, que são usadas em geodésia, astronomia e outros campos teóricos e aplicados.

Triângulo retângulo

Tendo aprendido um pouco sobre as formas de usar a trigonometria, voltemos à trigonometria básica para entender melhor o que são seno, cosseno, tangente, quais cálculos podem ser realizados com a ajuda deles e quais fórmulas usar.

O primeiro passo é entender os conceitos relacionados a um triângulo retângulo. Primeiro, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90 graus. É o mais longo. Lembramos que segundo o teorema de Pitágoras, seu valor numérico é igual à raiz da soma dos quadrados dos outros dois lados.

Por exemplo, se os dois lados tiverem 3 e 4 centímetros respectivamente, o comprimento da hipotenusa será de 5 centímetros. A propósito, os antigos egípcios sabiam disso há cerca de quatro mil e quinhentos anos.

Os dois lados restantes, que formam um ângulo reto, são chamados de pernas. Além disso, devemos lembrar que a soma dos ângulos de um triângulo em um sistema de coordenadas retangulares é igual a 180 graus.

Definição

Finalmente, com uma compreensão sólida da base geométrica, pode-se recorrer à definição de seno, cosseno e tangente de um ângulo.

O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (ou seja, o lado oposto ao ângulo desejado) e a hipotenusa. O cosseno de um ângulo é a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa.

Lembre-se de que nem seno nem cosseno podem ser maiores que um! Por que? Porque a hipotenusa é por padrão a mais longa. Não importa o comprimento da perna, ela será mais curta que a hipotenusa, o que significa que sua proporção será sempre menor que um. Assim, se na sua resposta a um problema você obtiver um seno ou cosseno com valor maior que 1, procure um erro nos cálculos ou no raciocínio. Esta resposta está claramente incorreta.

Finalmente, a tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. Dividir o seno pelo cosseno dará o mesmo resultado. Veja: de acordo com a fórmula, dividimos o comprimento do lado pela hipotenusa, depois dividimos pelo comprimento do segundo lado e multiplicamos pela hipotenusa. Assim, obtemos a mesma relação que na definição de tangente.

A cotangente, portanto, é a razão entre o lado adjacente ao canto e o lado oposto. Obtemos o mesmo resultado dividindo um pela tangente.

Então, vimos as definições do que são seno, cosseno, tangente e cotangente e podemos passar para as fórmulas.

As fórmulas mais simples

Na trigonometria você não pode prescindir de fórmulas - como encontrar seno, cosseno, tangente, cotangente sem elas? Mas isso é exatamente o que é necessário para resolver problemas.

A primeira fórmula que você precisa saber ao começar a estudar trigonometria diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é igual a um. Esta fórmula é uma consequência direta do teorema de Pitágoras, mas economiza tempo se você precisar saber o tamanho do ângulo e não do lado.

Muitos alunos não conseguem se lembrar da segunda fórmula, que também é muito popular na resolução de problemas escolares: a soma de um e o quadrado da tangente de um ângulo é igual a um dividido pelo quadrado do cosseno do ângulo. Observe mais de perto: esta é a mesma afirmação da primeira fórmula, apenas ambos os lados da identidade foram divididos pelo quadrado do cosseno. Acontece que uma simples operação matemática torna a fórmula trigonométrica completamente irreconhecível. Lembre-se: sabendo o que são seno, cosseno, tangente e cotangente, regras de transformação e algumas fórmulas básicas, você pode a qualquer momento derivar as fórmulas mais complexas necessárias em uma folha de papel.

Fórmulas para ângulos duplos e adição de argumentos

Mais duas fórmulas que você precisa aprender estão relacionadas aos valores de seno e cosseno para soma e diferença de ângulos. Eles são apresentados na figura abaixo. Observe que no primeiro caso, seno e cosseno são multiplicados ambas as vezes e, no segundo, o produto pareado de seno e cosseno é adicionado.

Existem também fórmulas associadas a argumentos de ângulo duplo. Eles são completamente derivados dos anteriores - como prática, tente obtê-los você mesmo, tomando o ângulo alfa igual ao ângulo beta.

Finalmente, observe que as fórmulas de ângulo duplo podem ser reorganizadas para reduzir a potência do seno, cosseno e tangente alfa.

Teoremas

Os dois principais teoremas da trigonometria básica são o teorema do seno e o teorema do cosseno. Com a ajuda desses teoremas, você pode entender facilmente como encontrar o seno, o cosseno e a tangente e, portanto, a área da figura e o tamanho de cada lado, etc.

O teorema do seno afirma que dividir o comprimento de cada lado de um triângulo pelo ângulo oposto resulta no mesmo número. Além disso, esse número será igual a dois raios do círculo circunscrito, ou seja, o círculo que contém todos os pontos de um determinado triângulo.

O teorema do cosseno generaliza o teorema de Pitágoras, projetando-o em quaisquer triângulos. Acontece que da soma dos quadrados dos dois lados, subtraia seu produto multiplicado pelo cosseno duplo do ângulo adjacente - o valor resultante será igual ao quadrado do terceiro lado. Assim, o teorema de Pitágoras acaba sendo um caso especial do teorema do cosseno.

Erros por descuido

Mesmo sabendo o que são seno, cosseno e tangente, é fácil cometer erros por distração ou erro nos cálculos mais simples. Para evitar tais erros, vamos dar uma olhada nos mais populares.

Primeiro, você não deve converter frações em decimais até obter o resultado final - você pode deixar a resposta como uma fração, salvo indicação em contrário nas condições. Tal transformação não pode ser chamada de erro, mas deve-se lembrar que a cada etapa do problema podem surgir novas raízes, que, segundo a ideia do autor, deveriam ser reduzidas. Nesse caso, você perderá tempo com operações matemáticas desnecessárias. Isto é especialmente verdadeiro para valores como a raiz de três ou a raiz de dois, porque eles são encontrados em problemas em cada etapa. O mesmo vale para arredondar números “feios”.

Além disso, observe que o teorema do cosseno se aplica a qualquer triângulo, mas não o teorema de Pitágoras! Se você erroneamente esquecer de subtrair duas vezes o produto dos lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, não apenas obterá um resultado completamente errado, mas também demonstrará uma total falta de compreensão do assunto. Isso é pior do que um erro descuidado.

Em terceiro lugar, não confunda os valores dos ângulos de 30 e 60 graus para senos, cossenos, tangentes, cotangentes. Lembre-se desses valores, pois o seno de 30 graus é igual ao cosseno de 60 e vice-versa. É fácil confundi-los e, como resultado, você inevitavelmente obterá um resultado errôneo.

Aplicativo

Muitos estudantes não têm pressa em começar a estudar trigonometria porque não entendem seu significado prático. O que é seno, cosseno e tangente para um engenheiro ou astrônomo? São conceitos com os quais você pode calcular a distância até estrelas distantes, prever a queda de um meteorito ou enviar uma sonda de pesquisa para outro planeta. Sem eles é impossível construir um edifício, projetar um carro, calcular a carga sobre uma superfície ou a trajetória de um objeto. E estes são apenas os exemplos mais óbvios! Afinal, a trigonometria, de uma forma ou de outra, é usada em todos os lugares, da música à medicina.

Finalmente

Então você é seno, cosseno, tangente. Você pode usá-los em cálculos e resolver problemas escolares com sucesso.

O ponto principal da trigonometria se resume ao fato de que, usando os parâmetros conhecidos de um triângulo, você precisa calcular as incógnitas. Existem seis parâmetros no total: o comprimento de três lados e o tamanho de três ângulos. A única diferença nas tarefas reside no fato de serem fornecidos diferentes dados de entrada.

Agora você sabe como encontrar seno, cosseno e tangente com base nos comprimentos conhecidos das pernas ou hipotenusa. Como esses termos significam nada mais do que uma razão, e uma razão é uma fração, o objetivo principal de um problema de trigonometria é encontrar as raízes de uma equação ordinária ou de um sistema de equações. E aqui a matemática da escola regular irá ajudá-lo.

Nível médio

Triângulo retângulo. O guia ilustrado completo (2019)

TRIÂNGULO DIREITO. PRIMEIRO NÍVEL.

Nos problemas, o ângulo reto não é necessário - o canto inferior esquerdo, então você precisa aprender a reconhecer um triângulo retângulo nesta forma,

e neste

e neste

O que há de bom em um triângulo retângulo? Bem... em primeiro lugar, existem belos nomes especiais para seus lados.

Atenção ao desenho!

Lembre-se e não confunda: existem duas pernas e há apenas uma hipotenusa(único, único e mais longo)!

Bem, já discutimos os nomes, agora o mais importante: o Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras.

Este teorema é a chave para resolver muitos problemas envolvendo um triângulo retângulo. Foi comprovado por Pitágoras em tempos imemoriais e, desde então, tem trazido muitos benefícios para quem o conhece. E o melhor é que é simples.

Então, Teorema de Pitágoras:

Você se lembra da piada: “As calças pitagóricas são iguais em todos os lados!”?

Vamos desenhar essas mesmas calças pitagóricas e dar uma olhada nelas.

Não parece algum tipo de short? Bem, de que lados e onde eles são iguais? Por que e de onde veio a piada? E esta piada está ligada precisamente ao teorema de Pitágoras, ou mais precisamente à forma como o próprio Pitágoras formulou o seu teorema. E ele formulou assim:

"Soma áreas de quadrados, construído sobre as pernas, é igual a área quadrada, construído sobre a hipotenusa."

Realmente soa um pouco diferente? E assim, quando Pitágoras desenhou a afirmação do seu teorema, esta foi exatamente a imagem que surgiu.

Nesta imagem, a soma das áreas dos quadrados pequenos é igual à área do quadrado grande. E para que as crianças lembrem melhor que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, alguém espirituoso inventou essa piada sobre as calças pitagóricas.

Por que estamos formulando agora o teorema de Pitágoras?

Pitágoras sofreu e falou em quadrados?

Veja, nos tempos antigos não existia... álgebra! Não havia sinais e assim por diante. Não havia inscrições. Você pode imaginar como foi terrível para os pobres estudantes antigos se lembrarem de tudo em palavras??! E podemos regozijar-nos por termos uma formulação simples do teorema de Pitágoras. Vamos repetir para lembrar melhor:

Deve ser fácil agora:

Bem, o teorema mais importante sobre triângulos retângulos foi discutido. Se você está interessado em como isso é comprovado, leia os seguintes níveis de teoria, e agora vamos mais longe... na floresta escura... da trigonometria! Às terríveis palavras seno, cosseno, tangente e cotangente.

Seno, cosseno, tangente, cotangente em um triângulo retângulo.

Na verdade, nem tudo é tão assustador. Claro, a definição “real” de seno, cosseno, tangente e cotangente deve ser analisada no artigo. Mas eu realmente não quero, não é? Podemos nos alegrar: para resolver problemas sobre um triângulo retângulo, você pode simplesmente preencher as seguintes coisas simples:

Por que tudo está quase na esquina? Onde fica a esquina? Para entender isso, você precisa saber como as afirmações 1 a 4 são escritas em palavras. Olhe, entenda e lembre-se!

1.
Na verdade, parece assim:

E o ângulo? Existe uma perna oposta ao canto, ou seja, uma perna oposta (para um ângulo)? Claro que sim! Isto é uma perna!

E o ângulo? Olhe atentamente. Qual perna é adjacente ao canto? Claro, a perna. Isso significa que para o ângulo a perna é adjacente, e

Agora, preste atenção! Veja o que temos:

Veja como é legal:

Agora vamos passar para tangente e cotangente.

Como posso escrever isso em palavras agora? Qual é a perna em relação ao ângulo? Oposto, é claro - ele “fica” em frente à esquina. E a perna? Ao lado da esquina. Então, o que temos?

Viu como o numerador e o denominador trocaram de lugar?

E agora os cantos novamente e fiz uma troca:

Resumo

Vamos escrever brevemente tudo o que aprendemos.

Teorema de Pitágoras:

O principal teorema sobre triângulos retângulos é o teorema de Pitágoras.

teorema de Pitágoras

Aliás, você lembra bem o que são pernas e hipotenusa? Se não for muito bom, olhe a foto - atualize seus conhecimentos

É bem possível que você já tenha usado o teorema de Pitágoras muitas vezes, mas já se perguntou por que tal teorema é verdadeiro? Como posso provar isso? Façamos como os antigos gregos. Vamos desenhar um quadrado com lado.

Veja como dividimos habilmente seus lados em comprimentos e!

Agora vamos conectar os pontos marcados

Aqui, porém, notamos outra coisa, mas você mesmo olha o desenho e pensa por que isso acontece.

Qual é a área do quadrado maior? Certo, . E uma área menor? Certamente, . A área total dos quatro cantos permanece. Imagine que pegamos dois de cada vez e os encostamos um no outro com a hipotenusa. O que aconteceu? Dois retângulos. Isso significa que a área dos “cortes” é igual.

Vamos juntar tudo agora.

Vamos transformar:

Então visitamos Pitágoras - provamos seu teorema de uma maneira antiga.

Triângulo retângulo e trigonometria

Para um triângulo retângulo, as seguintes relações são válidas:

O seno de um ângulo agudo é igual à razão entre o lado oposto e a hipotenusa

O cosseno de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo agudo é igual à razão entre o lado oposto e o lado adjacente.

A cotangente de um ângulo agudo é igual à razão entre o lado adjacente e o lado oposto.

E mais uma vez tudo isso em forma de tablet:

É muito confortável!

Sinais de igualdade de triângulos retângulos

I. Em dois lados

II. Por perna e hipotenusa

III. Por hipotenusa e ângulo agudo

4. Ao longo da perna e ângulo agudo

a)

b)

Atenção! É muito importante aqui que as pernas sejam “apropriadas”. Por exemplo, se for assim:

ENTÃO OS TRIÂNGULOS NÃO SÃO IGUAIS, apesar de terem um ângulo agudo idêntico.

Preciso em ambos os triângulos a perna era adjacente, ou em ambos era oposta.

Você notou como os sinais de igualdade dos triângulos retângulos diferem dos sinais usuais de igualdade dos triângulos? Dê uma olhada no tópico “e preste atenção ao fato de que para igualdade de triângulos “comuns”, três de seus elementos devem ser iguais: dois lados e o ângulo entre eles, dois ângulos e o lado entre eles, ou três lados. Mas para a igualdade dos triângulos retângulos, apenas dois elementos correspondentes são suficientes. Ótimo, certo?

A situação é aproximadamente a mesma com os sinais de similaridade dos triângulos retângulos.

Sinais de semelhança de triângulos retângulos

I. Ao longo de um ângulo agudo

II. Em dois lados

III. Por perna e hipotenusa

Mediana em um triângulo retângulo

Porque isto é assim?

Em vez de um triângulo retângulo, considere um retângulo inteiro.

Vamos desenhar uma diagonal e considerar um ponto - o ponto de intersecção das diagonais. O que você sabe sobre as diagonais de um retângulo?

E o que se segue disso?

Então aconteceu que

1. - mediana:

Lembre-se deste fato! Ajuda muito!

O que é ainda mais surpreendente é que o oposto também é verdadeiro.

Que benefício pode ser obtido do fato de a mediana desenhada para a hipotenusa ser igual à metade da hipotenusa? Vejamos a foto

Olhe atentamente. Temos: , isto é, as distâncias do ponto a todos os três vértices do triângulo acabaram sendo iguais. Mas há apenas um ponto no triângulo, cujas distâncias de todos os três vértices do triângulo são iguais, e este é o CENTRO DO CÍRCULO. Então o que aconteceu?

Então vamos começar com esse “além...”.

Vejamos e.

Mas triângulos semelhantes têm todos ângulos iguais!

O mesmo pode ser dito sobre e

Agora vamos desenhar juntos:

Que benefício pode ser derivado desta semelhança “tripla”?

Bem, por exemplo - duas fórmulas para a altura de um triângulo retângulo.

Vamos anotar as relações das partes correspondentes:

Para encontrar a altura, resolvemos a proporção e obtemos a primeira fórmula "Altura em um triângulo retângulo":

Então, vamos aplicar a semelhança: .

O que vai acontecer agora?

Novamente resolvemos a proporção e obtemos a segunda fórmula:

Você precisa se lembrar muito bem dessas duas fórmulas e usar aquela que for mais conveniente. Vamos anotá-los novamente

Teorema de Pitágoras:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: .

Sinais de igualdade de triângulos retângulos:

• em dois lados:
• por perna e hipotenusa: ou
• ao longo da perna e ângulo agudo adjacente: ou
• ao longo da perna e no ângulo agudo oposto: ou
• por hipotenusa e ângulo agudo: ou.

Sinais de semelhança de triângulos retângulos:

• um canto agudo: ou
• da proporcionalidade de duas pernas:
• da proporcionalidade da perna e hipotenusa: ou.

Seno, cosseno, tangente, cotangente em um triângulo retângulo

• O seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa:
• O cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
• A tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente:
• A cotangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o lado adjacente e o lado oposto: .

Altura de um triângulo retângulo: ou.

Num triângulo retângulo, a mediana traçada a partir do vértice do ângulo reto é igual à metade da hipotenusa: .

Área de um triângulo retângulo:

• através das pernas:

A trigonometria é um ramo da ciência matemática que estuda funções trigonométricas e seu uso em geometria. O desenvolvimento da trigonometria começou na Grécia antiga. Durante a Idade Média, cientistas do Médio Oriente e da Índia deram importantes contribuições para o desenvolvimento desta ciência.

Este artigo é dedicado aos conceitos básicos e definições de trigonometria. Discute as definições das funções trigonométricas básicas: seno, cosseno, tangente e cotangente. Seu significado é explicado e ilustrado no contexto da geometria.

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Inicialmente, as definições de funções trigonométricas cujo argumento é um ângulo foram expressas em termos da razão dos lados de um triângulo retângulo.

Definições de funções trigonométricas

O seno de um ângulo (sin α) é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

Cosseno do ângulo (cos α) - a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.

Tangente angular (t g α) - a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.

Ângulo cotangente (ct g α) - a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.

Estas definições são dadas para o ângulo agudo de um triângulo retângulo!

Vamos dar uma ilustração.

No triângulo ABC com ângulo reto C, o seno do ângulo A é igual à razão entre a perna BC e a hipotenusa AB.

As definições de seno, cosseno, tangente e cotangente permitem calcular os valores dessas funções a partir dos comprimentos conhecidos dos lados do triângulo.

Importante lembrar!

O intervalo de valores de seno e cosseno é de -1 a 1. Em outras palavras, seno e cosseno assumem valores de -1 a 1. O intervalo de valores de tangente e cotangente é a reta numérica inteira, isto é, essas funções podem assumir qualquer valor.

As definições fornecidas acima se aplicam a ângulos agudos. Na trigonometria, é introduzido o conceito de ângulo de rotação, cujo valor, ao contrário de um ângulo agudo, não se limita a 0 a 90 graus. O ângulo de rotação em graus ou radianos é expresso por qualquer número real de - ∞ a + ∞ .

Neste contexto, podemos definir seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de magnitude arbitrária. Imaginemos um círculo unitário com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas.

O ponto inicial A com coordenadas (1, 0) gira em torno do centro do círculo unitário através de um certo ângulo α e vai para o ponto A 1. A definição é dada em termos das coordenadas do ponto A 1 (x, y).

Seno (sin) do ângulo de rotação

O seno do ângulo de rotação α é a ordenada do ponto A 1 (x, y). pecado α = y

Cosseno (cos) do ângulo de rotação

O cosseno do ângulo de rotação α é a abcissa do ponto A 1 (x, y). cos α = x

Tangente (tg) do ângulo de rotação

A tangente do ângulo de rotação α é a razão entre a ordenada do ponto A 1 (x, y) e sua abcissa. t g α = y x

Cotangente (ctg) do ângulo de rotação

A cotangente do ângulo de rotação α é a razão entre a abcissa do ponto A 1 (x, y) e sua ordenada. c t g α = x y

Seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação. Isso é lógico, porque a abcissa e a ordenada de um ponto após a rotação podem ser determinadas em qualquer ângulo. A situação é diferente com tangente e cotangente. A tangente é indefinida quando um ponto após a rotação vai para um ponto com abscissa zero (0, 1) e (0, - 1). Nesses casos, a expressão para a tangente t g α = y x simplesmente não faz sentido, pois contém divisão por zero. A situação é semelhante com a cotangente. A diferença é que a cotangente não é definida nos casos em que a ordenada de um ponto vai para zero.

Importante lembrar!

Seno e cosseno são definidos para quaisquer ângulos α.

A tangente é definida para todos os ângulos, exceto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A cotangente é definida para todos os ângulos, exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Ao resolver exemplos práticos, não diga “seno do ângulo de rotação α”. As palavras “ângulo de rotação” são simplesmente omitidas, o que implica que já está claro no contexto o que está sendo discutido.

Números

E quanto à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente de um número, e não do ângulo de rotação?

Seno, cosseno, tangente, cotangente de um número

Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número té um número que é respectivamente igual a seno, cosseno, tangente e cotangente em t radiano.

Por exemplo, o seno do número 10 π é igual ao seno do ângulo de rotação de 10 π rad.

Existe outra abordagem para determinar o seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Vamos dar uma olhada mais de perto.

Qualquer número real t um ponto no círculo unitário está associado ao centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Seno, cosseno, tangente e cotangente são determinados através das coordenadas deste ponto.

O ponto inicial do círculo é o ponto A com coordenadas (1, 0).

Número positivo t

Número negativo t corresponde ao ponto para onde irá o ponto inicial se ele se mover ao redor do círculo no sentido anti-horário e passar pelo caminho t.

Agora que a ligação entre um número e um ponto de uma circunferência foi estabelecida, passamos à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente.

Seno (pecado) de t

Seno de um número t- ordenada de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t. pecado t = y

Cosseno (cos) de t

Cosseno de um número t- abscissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. cos t = x

Tangente (tg) de t

Tangente de um número t- a razão entre a ordenada e a abcissa de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t. t g t = y x = sin t cos t

As últimas definições estão de acordo e não contradizem a definição dada no início deste parágrafo. Aponte no círculo correspondente ao número t, coincide com o ponto para onde vai o ponto inicial após girar um ângulo t radiano.

Funções trigonométricas de argumento angular e numérico

Cada valor do ângulo α corresponde a um determinado valor do seno e cosseno deste ângulo. Assim como todos os ângulos α diferentes de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) correspondem a um determinado valor da tangente. A cotangente, como afirmado acima, é definida para todo α exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Podemos dizer que sen α, cos α, t g α, c t g α são funções do ângulo alfa, ou funções do argumento angular.

Da mesma forma, podemos falar de seno, cosseno, tangente e cotangente como funções de um argumento numérico. Cada número real t corresponde a um determinado valor do seno ou cosseno de um número t. Todos os números diferentes de π 2 + π · k, k ∈ Z, correspondem a um valor tangente. A cotangente, da mesma forma, é definida para todos os números, exceto π · k, k ∈ Z.

Funções básicas da trigonometria

Seno, cosseno, tangente e cotangente são as funções trigonométricas básicas.

Geralmente fica claro no contexto com qual argumento da função trigonométrica (argumento angular ou argumento numérico) estamos lidando.

Voltemos às definições dadas no início e ao ângulo alfa, que está na faixa de 0 a 90 graus. As definições trigonométricas de seno, cosseno, tangente e cotangente são inteiramente consistentes com as definições geométricas dadas pelas proporções de um triângulo retângulo. Vamos mostrar.

Vamos pegar um círculo unitário com centro em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Vamos girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo de até 90 graus e traçar uma perpendicular ao eixo das abcissas a partir do ponto resultante A 1 (x, y). No triângulo retângulo resultante, o ângulo A 1 O H é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna O H é igual à abcissa do ponto A 1 (x, y). O comprimento da perna oposta ao ângulo é igual à ordenada do ponto A 1 (x, y), e o comprimento da hipotenusa é igual a um, pois é o raio do círculo unitário.

De acordo com a definição da geometria, o seno do ângulo α é igual à razão entre o lado oposto e a hipotenusa.

pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Isso significa que determinar o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo através da proporção é equivalente a determinar o seno do ângulo de rotação α, com alfa situado na faixa de 0 a 90 graus.

Da mesma forma, a correspondência de definições pode ser mostrada para cosseno, tangente e cotangente.

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Neste artigo mostraremos como dar definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo e número em trigonometria. Aqui falaremos sobre notações, daremos exemplos de entradas e daremos ilustrações gráficas. Concluindo, traçamos um paralelo entre as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente em trigonometria e geometria.

Navegação na página.

Definição de seno, cosseno, tangente e cotangente

Vamos ver como se forma a ideia de seno, cosseno, tangente e cotangente em um curso escolar de matemática. Nas aulas de geometria, é dada a definição de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. E posteriormente estuda-se a trigonometria, que fala sobre seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação e número. Apresentaremos todas essas definições, daremos exemplos e faremos os comentários necessários.

Ângulo agudo em um triângulo retângulo

Do curso de geometria conhecemos as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. Eles são dados como a proporção dos lados de um triângulo retângulo. Deixe-nos dar suas formulações.

Definição.

Seno de um ângulo agudo em um triângulo retânguloé a razão entre o lado oposto e a hipotenusa.

Definição.

Cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retânguloé a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.

Definição.

Tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo– esta é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.

Definição.

Cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo- esta é a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.

As designações para seno, cosseno, tangente e cotangente também são introduzidas ali - sin, cos, tg e ctg, respectivamente.

Por exemplo, se ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto C, então o seno do ângulo agudo A é igual à razão entre o lado oposto BC e a hipotenusa AB, ou seja, sen∠A=BC/AB.

Essas definições permitem calcular os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo a partir dos comprimentos conhecidos dos lados de um triângulo retângulo, bem como a partir dos valores conhecidos de seno, cosseno, tangente, cotangente e o comprimento de um dos lados para encontrar os comprimentos dos outros lados. Por exemplo, se soubéssemos que em um triângulo retângulo o cateto AC é igual a 3 e a hipotenusa AB é igual a 7, então poderíamos calcular o valor do cosseno do ângulo agudo A por definição: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Ângulo de rotação

Na trigonometria, eles começam a olhar para o ângulo de forma mais ampla - introduzem o conceito de ângulo de rotação. A magnitude do ângulo de rotação, ao contrário de um ângulo agudo, não está limitada a 0 a 90 graus; o ângulo de rotação em graus (e em radianos) pode ser expresso por qualquer número real de −∞ a +∞.

Sob esta luz, as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente são dadas não como um ângulo agudo, mas como um ângulo de tamanho arbitrário - o ângulo de rotação. Eles são dados através das coordenadas xey do ponto A 1, para o qual o chamado ponto inicial A(1, 0) vai após sua rotação por um ângulo α em torno do ponto O - o início do sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o centro do círculo unitário.

Definição.

Seno do ângulo de rotaçãoα é a ordenada do ponto A 1, ou seja, sinα=y.

Definição.

Cosseno do ângulo de rotaçãoα é chamada de abcissa do ponto A 1, ou seja, cosα=x.

Definição.

Tangente do ângulo de rotaçãoα é a razão entre a ordenada do ponto A 1 e sua abcissa, ou seja, tanα=y/x.

Definição.

Cotangente do ângulo de rotaçãoα é a razão entre a abscissa do ponto A 1 e sua ordenada, ou seja, ctgα=x/y.

O seno e o cosseno são definidos para qualquer ângulo α, pois sempre podemos determinar a abcissa e a ordenada do ponto, que é obtida girando o ponto inicial pelo ângulo α. Mas tangente e cotangente não são definidas para nenhum ângulo. A tangente não é definida para ângulos α em que o ponto inicial vai para um ponto com abscissa zero (0, 1) ou (0, −1), e isso ocorre em ângulos 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·krad). Na verdade, em tais ângulos de rotação, a expressão tgα=y/x não faz sentido, pois contém divisão por zero. Quanto à cotangente, ela não está definida para ângulos α em que o ponto inicial vai até o ponto com ordenada zero (1, 0) ou (−1, 0), e isso ocorre para ângulos 180° k, k ∈Z (π·krad).

Portanto, seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação, a tangente é definida para todos os ângulos, exceto 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), e a cotangente é definida para todos os ângulos, exceto 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

As definições incluem as designações já conhecidas por nós sin, cos, tg e ctg, também são usadas para designar seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação (às vezes você pode encontrar as designações tan e cotcorrespondentes a tangente e cotangente) . Portanto, o seno de um ângulo de rotação de 30 graus pode ser escrito como sen30°, as entradas tg(−24°17′) e ctgα correspondem à tangente do ângulo de rotação −24 graus 17 minutos e à cotangente do ângulo de rotação α . Lembre-se de que ao escrever a medida em radianos de um ângulo, a designação “rad” é frequentemente omitida. Por exemplo, o cosseno de um ângulo de rotação de três pi rad é geralmente denotado por cos3·π.

Concluindo este ponto, é importante notar que quando se fala em seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação, a frase “ângulo de rotação” ou a palavra “rotação” é frequentemente omitida. Ou seja, em vez da frase “seno do ângulo de rotação alfa”, geralmente é usada a frase “seno do ângulo alfa” ou ainda mais curta, “seno alfa”. O mesmo se aplica ao cosseno, tangente e cotangente.

Diremos também que as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo são consistentes com as definições dadas para seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de rotação variando de 0 a 90 graus. Vamos justificar isso.

Números

Definição.

Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número t é um número igual ao seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação em t radianos, respectivamente.

Por exemplo, o cosseno do número 8·π por definição é um número igual ao cosseno do ângulo de 8·π rad. E o cosseno de um ângulo de 8·π rad é igual a um, portanto, o cosseno do número 8·π é igual a 1.

Existe outra abordagem para determinar o seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Consiste no fato de que cada número real t está associado a um ponto do círculo unitário com centro na origem do sistema de coordenadas retangulares, sendo o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente determinados através das coordenadas deste ponto. Vejamos isso com mais detalhes.

Vamos mostrar como se estabelece uma correspondência entre números reais e pontos de um círculo:

• ao número 0 é atribuído o ponto inicial A(1, 0);
• o número positivo t está associado a um ponto no círculo unitário, ao qual chegaremos se nos movermos ao longo do círculo a partir do ponto inicial no sentido anti-horário e percorrermos um caminho de comprimento t;
• o número negativo t está associado a um ponto no círculo unitário, ao qual chegaremos se nos movermos ao longo do círculo a partir do ponto inicial no sentido horário e percorrermos um caminho de comprimento |t| .

Passamos agora às definições de seno, cosseno, tangente e cotangente do número t. Suponhamos que o número t corresponde a um ponto do círculo A 1 (x, y) (por exemplo, o número &pi/2; corresponde ao ponto A 1 (0, 1)).

Definição.

Seno do número t é a ordenada do ponto no círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, sint=y.

Definição.

Cosseno do número t é chamado de abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, custo=x.

Definição.

Tangente do número t é a razão entre a ordenada e a abcissa de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, tgt=y/x. Em outra formulação equivalente, a tangente de um número t é a razão entre o seno desse número e o cosseno, ou seja, tgt=sint/custo.

Definição.

Cotangente do número t é a razão entre a abscissa e a ordenada de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, ctgt=x/y. Outra formulação é esta: a tangente do número t é a razão entre o cosseno do número t e o seno do número t: ctgt=custo/sint.

Aqui notamos que as definições fornecidas são consistentes com a definição dada no início deste parágrafo. Na verdade, o ponto no círculo unitário correspondente ao número t coincide com o ponto obtido girando o ponto inicial em um ângulo de t radianos.

Ainda vale a pena esclarecer este ponto. Digamos que temos a entrada sin3. Como podemos entender se estamos falando do seno do número 3 ou do seno do ângulo de rotação de 3 radianos? Isso geralmente fica claro no contexto; caso contrário, provavelmente não terá importância fundamental.

Funções trigonométricas de argumento angular e numérico

De acordo com as definições dadas no parágrafo anterior, cada ângulo de rotação α corresponde a um valor muito específico sinα, assim como ao valor cosα. Além disso, todos os ângulos de rotação diferentes de 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) correspondem a valores tgα, e valores diferentes de 180°k, k∈Z (πk rad ) – valores de ctgα. Portanto sinα, cosα, tanα e ctgα são funções do ângulo α. Em outras palavras, estas são funções do argumento angular.

Podemos falar de forma semelhante sobre as funções seno, cosseno, tangente e cotangente de um argumento numérico. Na verdade, cada número real t corresponde a um valor muito específico de sint, bem como de custo. Além disso, todos os números diferentes de π/2+π·k, k∈Z correspondem aos valores tgt, e os números π·k, k∈Z - valores ctgt.

As funções seno, cosseno, tangente e cotangente são chamadas funções trigonométricas básicas.

Geralmente fica claro pelo contexto se estamos lidando com funções trigonométricas de um argumento angular ou com um argumento numérico. Caso contrário, podemos pensar na variável independente tanto como uma medida do ângulo (argumento angular) quanto como um argumento numérico.

Porém, na escola estudamos principalmente funções numéricas, ou seja, funções cujos argumentos, bem como seus correspondentes valores de função, são números. Portanto, se estamos falando especificamente de funções, é aconselhável considerar as funções trigonométricas como funções de argumentos numéricos.

Relação entre definições de geometria e trigonometria

Se considerarmos o ângulo de rotação α variando de 0 a 90 graus, então as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação no contexto da trigonometria são totalmente consistentes com as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo, que são dados no curso de geometria. Vamos justificar isso.

Vamos representar o círculo unitário no sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxy. Vamos marcar o ponto de partida A(1, 0) . Vamos girá-lo em um ângulo α variando de 0 a 90 graus, obtemos o ponto A 1 (x, y). Vamos deixar cair a perpendicular A 1 H do ponto A 1 ao eixo do Boi.

É fácil ver que em um triângulo retângulo o ângulo A 1 OH é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna OH adjacente a este ângulo é igual à abcissa do ponto A 1, ou seja, |OH |=x, o comprimento da perna A 1 H oposta ao ângulo é igual à ordenada do ponto A 1, ou seja, |A 1 H|=y, e o comprimento da hipotenusa OA 1 é igual a um, já que é o raio do círculo unitário. Então, por definição da geometria, o seno de um ângulo agudo α em um triângulo retângulo A 1 OH é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou seja, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. E por definição da trigonometria, o seno do ângulo de rotação α é igual à ordenada do ponto A 1, ou seja, sinα=y. Isto mostra que determinar o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é equivalente a determinar o seno do ângulo de rotação α quando α está entre 0 e 90 graus.

Da mesma forma, pode-se mostrar que as definições de cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo α são consistentes com as definições de cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação α.

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6. Mordkovich A. G.Álgebra e os primórdios da análise. 10ª série. Em 2 partes Parte 1: livro didático para instituições de ensino geral (nível de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4ª ed., adicionar. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: il. ISBN 978-5-346-00792-0.
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8. Bashmakov M. I.Álgebra e os primórdios da análise: livro didático. para as séries 10-11. média. escola - 3ª edição. - M.: Educação, 1993. - 351 p.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
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Os conceitos de seno (), cosseno (), tangente (), cotangente () estão inextricavelmente ligados ao conceito de ângulo. Para compreender bem estes conceitos, à primeira vista, complexos (que causam um estado de horror em muitos alunos), e para ter a certeza de que “o diabo não é tão terrível como é pintado”, comecemos pelo desde o começo e entender o conceito de ângulo.

Conceito de ângulo: radiano, grau

Vejamos a foto. O vetor “girou” em relação ao ponto em uma certa quantidade. Portanto, a medida desta rotação em relação à posição inicial será canto.

O que mais você precisa saber sobre o conceito de ângulo? Bem, é claro, unidades angulares!

O ângulo, tanto na geometria quanto na trigonometria, pode ser medido em graus e radianos.

Ângulo (um grau) é o ângulo central em um círculo subentendido por um arco circular igual a parte do círculo. Assim, todo o círculo consiste em “pedaços” de arcos circulares, ou seja, o ângulo descrito pelo círculo é igual.

Ou seja, a figura acima mostra um ângulo igual a, ou seja, esse ângulo repousa sobre um arco circular do tamanho da circunferência.

Um ângulo em radianos é o ângulo central de um círculo subentendido por um arco circular cujo comprimento é igual ao raio do círculo. Bem, você descobriu? Se não, vamos descobrir no desenho.

Assim, a figura mostra um ângulo igual a um radiano, ou seja, esse ângulo repousa sobre um arco circular, cujo comprimento é igual ao raio do círculo (o comprimento é igual ao comprimento ou o raio é igual ao comprimento do arco). Assim, o comprimento do arco é calculado pela fórmula:

Onde está o ângulo central em radianos.

Bem, sabendo disso, você consegue responder quantos radianos estão contidos no ângulo descrito pelo círculo? Sim, para isso você precisa se lembrar da fórmula da circunferência. Aqui está ela:

Bem, agora vamos correlacionar estas duas fórmulas e descobrir que o ângulo descrito pela circunferência é igual. Ou seja, correlacionando o valor em graus e radianos, obtemos isso. Respectivamente, . Como você pode ver, ao contrário de “graus”, a palavra “radiano” é omitida, uma vez que a unidade de medida geralmente fica clara no contexto.

Quantos radianos existem? Isso mesmo!

Entendi? Então vá em frente e corrija:

Está com dificuldades? Então olhe respostas:

Triângulo retângulo: seno, cosseno, tangente, cotangente do ângulo

Então, descobrimos o conceito de ângulo. Mas o que é seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo? Vamos descobrir. Para fazer isso, um triângulo retângulo nos ajudará.

Como são chamados os lados de um triângulo retângulo? Isso mesmo, hipotenusa e pernas: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (no nosso exemplo é o lado); as pernas são os dois lados restantes e (aqueles adjacentes ao ângulo reto), e se considerarmos as pernas em relação ao ângulo, então a perna é a perna adjacente e a perna é o oposto. Então, agora vamos responder à pergunta: o que são seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo?

Seno do ângulo- esta é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.

Em nosso triângulo.

Cosseno do ângulo- esta é a razão entre a perna adjacente (próxima) e a hipotenusa.

Em nosso triângulo.

Tangente do ângulo- esta é a razão entre o lado oposto (distante) e o adjacente (próximo).

Em nosso triângulo.

Cotangente do ângulo- esta é a proporção entre a perna adjacente (próxima) e a oposta (distante).

Em nosso triângulo.

Essas definições são necessárias lembrar! Para tornar mais fácil lembrar qual perna dividir em quê, você precisa entender claramente que em tangente E co-tangente apenas as pernas ficam sentadas, e a hipotenusa aparece apenas em seio E cosseno. E então você pode criar uma cadeia de associações. Por exemplo, este:

Cosseno→toque→toque→adjacente;

Cotangente→toque→toque→adjacente.

Em primeiro lugar, é preciso lembrar que seno, cosseno, tangente e cotangente como as proporções dos lados de um triângulo não dependem dos comprimentos desses lados (no mesmo ângulo). Não acredite? Então certifique-se olhando a foto:

Considere, por exemplo, o cosseno de um ângulo. Por definição, de um triângulo: , mas podemos calcular o cosseno de um ângulo de um triângulo: . Veja, os comprimentos dos lados são diferentes, mas o valor do cosseno de um ângulo é o mesmo. Assim, os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dependem unicamente da magnitude do ângulo.

Se você entende as definições, vá em frente e consolide-as!

Para o triângulo mostrado na figura abaixo, encontramos.

Bem, você entendeu? Então tente você mesmo: calcule o mesmo para o ângulo.

Círculo unitário (trigonométrico)

Compreendendo os conceitos de graus e radianos, consideramos um círculo com raio igual a. Tal círculo é chamado solteiro. Será muito útil ao estudar trigonometria. Portanto, vamos examinar isso com um pouco mais de detalhes.

Como você pode ver, este círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas. O raio do círculo é igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem das coordenadas, a posição inicial do vetor raio é fixada ao longo da direção positiva do eixo (no nosso exemplo, este é o raio).

Cada ponto do círculo corresponde a dois números: a coordenada do eixo e a coordenada do eixo. Quais são esses números de coordenadas? E em geral, o que eles têm a ver com o tema em questão? Para fazer isso, precisamos nos lembrar do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere um triângulo. É retangular porque é perpendicular ao eixo.

A que é igual o triângulo? Isso mesmo. Além disso, sabemos que é o raio do círculo unitário, o que significa. Vamos substituir esse valor em nossa fórmula para cosseno. Aqui está o que acontece:

A que é igual o triângulo? Bem, claro, ! Substitua o valor do raio nesta fórmula e obtenha:

Então, você pode dizer quais são as coordenadas de um ponto pertencente a um círculo? Bem, de jeito nenhum? E se você perceber isso e for apenas números? A que coordenada corresponde? Bem, claro, as coordenadas! E a que coordenada corresponde? Isso mesmo, coordenadas! Assim, ponto final.

O que então são e iguais? Isso mesmo, vamos usar as definições correspondentes de tangente e cotangente e obter isso, a.

E se o ângulo for maior? Por exemplo, como nesta imagem:

O que mudou neste exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, vamos voltar novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo: ângulo (como adjacente a um ângulo). Quais são os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para um ângulo? É isso mesmo, seguimos as definições correspondentes de funções trigonométricas:

Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada; o valor do cosseno do ângulo - a coordenada; e os valores de tangente e cotangente às razões correspondentes. Assim, estas relações aplicam-se a qualquer rotação do vetor raio.

Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio está ao longo da direção positiva do eixo. Até agora giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado valor, mas só será negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário - negativo.

Então, sabemos que uma revolução completa do vetor raio em torno de um círculo é ou. É possível girar o vetor raio para ou para? Bem, é claro que você pode! No primeiro caso, portanto, o vetor raio fará uma revolução completa e parará na posição ou.

No segundo caso, ou seja, o vetor raio dará três voltas completas e parará na posição ou.

Assim, a partir dos exemplos acima podemos concluir que ângulos que diferem em ou (onde é qualquer número inteiro) correspondem à mesma posição do vetor raio.

A figura abaixo mostra um ângulo. A mesma imagem corresponde ao canto, etc. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos pela fórmula geral ou (onde é qualquer número inteiro)

Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e utilizando o círculo unitário, tente responder quais são os valores:

Aqui está um círculo unitário para ajudá-lo:

Está com dificuldades? Então vamos descobrir. Então sabemos que:

A partir daqui, determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a determinadas medidas de ângulos. Bom, vamos começar pela ordem: o ângulo em corresponde a um ponto com coordenadas, portanto:

Não existe;

Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos B correspondem a pontos com coordenadas, respectivamente. Sabendo disso, é fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Experimente primeiro e depois verifique as respostas.

Respostas:

Não existe

Não existe

Não existe

Não existe

Assim, podemos fazer a seguinte tabela:

Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos do círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:

Mas os valores das funções trigonométricas dos ângulos em e, dados na tabela abaixo, deve ser lembrado:

Não tenha medo, agora vamos mostrar um exemplo bastante simples de lembrar os valores correspondentes:

Para utilizar este método, é vital lembrar os valores do seno para todas as três medidas do ângulo (), bem como o valor da tangente do ângulo. Conhecendo esses valores, é bastante simples restaurar toda a tabela - os valores do cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:

Sabendo disso, você pode restaurar os valores de. O numerador " " corresponderá e o denominador " " corresponderá. Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas indicadas na figura. Se você entender isso e se lembrar do diagrama com as setas, será suficiente lembrar todos os valores da tabela.

Coordenadas de um ponto em um círculo

É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecer as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação?

Bem, é claro que você pode! Vamos tirar isso fórmula geral para encontrar as coordenadas de um ponto.

Por exemplo, aqui está um círculo à nossa frente:

Sabemos que o ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas de um ponto obtido girando o ponto em graus.

Como pode ser visto na figura, a coordenada do ponto corresponde ao comprimento do segmento. O comprimento do segmento corresponde à coordenada do centro do círculo, ou seja, é igual. O comprimento de um segmento pode ser expresso usando a definição de cosseno:

Então temos isso para a coordenada do ponto.

Usando a mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto. Por isso,

Assim, em geral, as coordenadas dos pontos são determinadas pelas fórmulas:

Coordenadas do centro do círculo,

Raio do círculo,

O ângulo de rotação do raio do vetor.

Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são iguais a zero e o raio é igual a um:

Bem, vamos experimentar essas fórmulas praticando a localização de pontos em um círculo?

1. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.

2. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.

3. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.

4. O ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtido girando o vetor raio inicial em.

5. O ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtido girando o vetor raio inicial em.

Está tendo problemas para encontrar as coordenadas de um ponto em um círculo?

Resolva estes cinco exemplos (ou seja bom em resolvê-los) e você aprenderá a encontrá-los!

1.

Você pode notar isso. Mas sabemos o que corresponde a uma revolução completa do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição de quando você girou. Sabendo disso, encontramos as coordenadas necessárias do ponto:

2. O círculo unitário está centrado em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Você pode perceber isso. Sabemos o que corresponde a duas revoluções completas do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição de quando você girou. Sabendo disso, encontramos as coordenadas necessárias do ponto:

Seno e cosseno são valores de tabela. Lembramos seus significados e obtemos:

Assim, o ponto desejado possui coordenadas.

3. O círculo unitário está centrado em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Você pode perceber isso. Vamos representar o exemplo em questão na figura:

O raio forma ângulos iguais e com o eixo. Sabendo que os valores tabulares de cosseno e seno são iguais, e tendo determinado que o cosseno aqui assume um valor negativo e o seno assume um valor positivo, temos:

Tais exemplos são discutidos com mais detalhes ao estudar as fórmulas para redução de funções trigonométricas no tópico.

Assim, o ponto desejado possui coordenadas.

4.

Ângulo de rotação do raio do vetor (por condição)

Para determinar os sinais correspondentes de seno e cosseno, construímos um círculo unitário e um ângulo:

Como você pode ver, o valor, isto é, é positivo, e o valor, isto é, é negativo. Conhecendo os valores tabulares das funções trigonométricas correspondentes, obtemos que:

Vamos substituir os valores obtidos em nossa fórmula e encontrar as coordenadas:

Assim, o ponto desejado possui coordenadas.

5. Para resolver este problema, usamos fórmulas de forma geral, onde

Coordenadas do centro do círculo (no nosso exemplo,

Raio do círculo (por condição)

Ângulo de rotação do raio do vetor (por condição).

Vamos substituir todos os valores na fórmula e obter:

e - valores da tabela. Vamos lembrar e substituí-los na fórmula:

Assim, o ponto desejado possui coordenadas.

RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS

O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente (próximo) e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto (distante) e o lado adjacente (próximo).

A cotangente de um ângulo é a razão entre o lado adjacente (próximo) e o lado oposto (distante).