Θεωρήστε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC και ένα σημείο D που δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του τριγώνου. Συνδέστε αυτό το σημείο με τμήματα στις κορυφές του τριγώνου ABC. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τρίγωνα ADC , CDB , ABD . Η επιφάνεια που οριοθετείται από τέσσερα τρίγωνα ABC, ADC, CDB και ABD ονομάζεται τετράεδρο και συμβολίζεται DABC.
Τα τρίγωνα που αποτελούν ένα τετράεδρο ονομάζονται όψεις του.
Οι πλευρές αυτών των τριγώνων ονομάζονται άκρες του τετραέδρου. Και οι κορυφές τους είναι οι κορυφές ενός τετραέδρου

Το τετράεδρο έχει 4 πρόσωπα, 6 παϊδάκιαΚαι 4 κορυφές.
Δύο ακμές που δεν έχουν κοινή κορυφή ονομάζονται αντίθετες.
Συχνά, για ευκολία, ονομάζεται ένα από τα πρόσωπα του τετραέδρου βάση, και οι υπόλοιπες τρεις όψεις είναι πλευρικές όψεις.

Έτσι, το τετράεδρο είναι το απλούστερο πολύεδρο, οι όψεις του οποίου είναι τέσσερα τρίγωνα.

Αλλά είναι επίσης αλήθεια ότι κάθε αυθαίρετη τριγωνική πυραμίδα είναι ένα τετράεδρο. Τότε είναι επίσης αλήθεια ότι ονομάζεται τετράεδρο μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της.

Το ύψος του τετραέδρουονομάζεται τμήμα που συνδέει μια κορυφή με ένα σημείο που βρίσκεται στην απέναντι όψη και κάθετο σε αυτήν.
Διάμεσος τετραέδρουονομάζεται τμήμα που συνδέει την κορυφή με το σημείο τομής των διαμέσου της απέναντι όψης.
Διμεσικό τετράεδροονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρικών άκρων του τετραέδρου.

Δεδομένου ότι ένα τετράεδρο είναι μια πυραμίδα με τριγωνική βάση, ο όγκος οποιουδήποτε τετραέδρου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

• μικρόείναι η περιοχή οποιουδήποτε προσώπου,
• H- το ύψος χαμηλωμένο σε αυτό το πρόσωπο

Κανονικό τετράεδρο - ένας ειδικός τύπος τετραέδρου

Ένα τετράεδρο στο οποίο όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα ονομάζεται σωστός.
Ιδιότητες ενός κανονικού τετραέδρου:

• Όλες οι άκρες είναι ίσες.
• Όλες οι επίπεδες γωνίες ενός κανονικού τετραέδρου είναι 60°
• Δεδομένου ότι κάθε κορυφή του είναι η κορυφή τριών κανονικών τριγώνων, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 180°
• Οποιαδήποτε κορυφή ενός κανονικού τετραέδρου προβάλλεται στο ορθόκεντρο της απέναντι όψης (στο σημείο τομής των υψών του τριγώνου).

Ας μας δοθεί ένα κανονικό τετράεδρο ABCD με ακμές ίσες με a . DH είναι το ύψος του.
Ας κάνουμε επιπλέον κατασκευές BM - το ύψος του τριγώνου ABC και DM - το ύψος του τριγώνου ACD .
Ύψος ΒΜ ίσον ΒΜ και ίσον
Εξετάστε το τρίγωνο BDM , όπου DH , που είναι το ύψος του τετραέδρου, είναι επίσης το ύψος αυτού του τριγώνου.
Το ύψος ενός τριγώνου που έπεσε στην πλευρά MB μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

, Οπου
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Αντικαταστήστε αυτές τις τιμές στον τύπο ύψους. Παίρνω


Ας βγάλουμε 1/2α. Παίρνω

Εφαρμόστε τη διαφορά τύπου των τετραγώνων

Μετά από κάποιες μικρές μεταμορφώσεις, έχουμε


Ο όγκος οποιουδήποτε τετραέδρου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
,
Οπου ,

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε

Έτσι ο τύπος όγκου για ένα κανονικό τετράεδρο είναι

Οπου ένα– ακμή τετραέδρου

Υπολογισμός του όγκου ενός τετραέδρου αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του

Ας μας δοθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του τετραέδρου

Σχεδιάστε διανύσματα από την κορυφή , , .
Για να βρείτε τις συντεταγμένες καθενός από αυτά τα διανύσματα, αφαιρέστε την αντίστοιχη συντεταγμένη έναρξης από τη συντεταγμένη τέλους. Παίρνω

Ενότητες: Μαθηματικά

Σχέδιο προετοιμασίας και διεξαγωγής του μαθήματος:

I. Προπαρασκευαστικό στάδιο:

1. Επανάληψη των γνωστών ιδιοτήτων της τριγωνικής πυραμίδας.
2. Υποβολή υποθέσεων σχετικά με πιθανά, που δεν εξετάστηκαν προηγουμένως, χαρακτηριστικά του τετραέδρου.
3. Σχηματισμός ομάδων για τη διεξαγωγή έρευνας σε αυτές τις υποθέσεις.
4. Κατανομή εργασιών για κάθε ομάδα (λαμβάνοντας υπόψη την επιθυμία).
5. Κατανομή των ευθυνών για το έργο.

II. Κυρίως σκηνή:

1. Λύση υπόθεσης.
2. Διαβουλεύσεις με δάσκαλο.
3. Φόρμα εργασίας.

III. Το τελικό στάδιο:

1. Παρουσίαση και υπεράσπιση της υπόθεσης.

Στόχοι μαθήματος:

• γενίκευση και συστηματοποίηση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών· μελέτη πρόσθετου θεωρητικού υλικού για το καθορισμένο θέμα. να διδάξει πώς να εφαρμόζει τη γνώση στην επίλυση μη τυπικών προβλημάτων, να βλέπει απλά στοιχεία σε αυτά.
• να διαμορφώσουν τις δεξιότητες των μαθητών που εργάζονται με πρόσθετη βιβλιογραφία, να βελτιώσουν την ικανότητα ανάλυσης, γενίκευσης, εύρεσης του κύριου πράγματος σε αυτό που διαβάζουν, αποδείξεων νέων πραγμάτων. να αναπτύξουν τις επικοινωνιακές δεξιότητες των μαθητών.
• καλλιεργήσουν μια γραφική κουλτούρα.

Προπαρασκευαστικό στάδιο (1 μάθημα):

1. Μήνυμα μαθητή «Μυστικά των Μεγάλων Πυραμίδων».
2. Εισαγωγική ομιλία του δασκάλου για την ποικιλομορφία των τύπων πυραμίδων.
3. Ερωτήσεις συζήτησης:

• Με ποιους λόγους μπορούν να συνδυαστούν ακανόνιστες τριγωνικές πυραμίδες
• Τι εννοούμε με τον όρο ορθόκεντρο ενός τριγώνου και τι μπορεί να ονομαστεί ορθόκεντρο ενός τετραέδρου
• Ένα ορθογώνιο τετράεδρο έχει ορθόκεντρο;
• Ποιο τετράεδρο ονομάζεται ισοεδρικό Τι ιδιότητες μπορεί να έχει

1. Ως αποτέλεσμα της εξέτασης διαφόρων τετραέδρων, της συζήτησης των ιδιοτήτων τους, οι έννοιες διευκρινίζονται και εμφανίζεται μια συγκεκριμένη δομή:

1. Εξετάστε τις ιδιότητες ενός κανονικού τετραέδρου (Παράρτημα)

Οι ιδιότητες 1-4 αποδεικνύονται προφορικά χρησιμοποιώντας τη Διαφάνεια 1.

Ιδιότητα 1: Όλες οι ακμές είναι ίσες.

Ιδιότητα 2: Όλες οι επίπεδες γωνίες είναι 60°.

Ιδιότητα 3: Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε οποιεσδήποτε τρεις κορυφές ενός τετραέδρου είναι 180°.

Ιδιότητα 4: Εάν το τετράεδρο είναι κανονικό, τότε οποιαδήποτε από τις κορυφές του προβάλλεται στο ορθόκεντρο της απέναντι όψης.

Δεδομένος:

Το ABCD είναι ένα κανονικό τετράεδρο

AH - ύψος

Αποδεικνύω:

H - ορθόκεντρο

Απόδειξη:

1) το σημείο H μπορεί να συμπίπτει με οποιοδήποτε από τα σημεία A, B, C. Έστω H ?B, H ?C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Θεωρήστε τα ABH, BCH, ADH

AD - γενική => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB \u003d AC \u003d AD t. H - είναι το ορθόκεντρο του ABC

Q.E.D.

1. Στο πρώτο μάθημα οι ιδιότητες 5-9 διατυπώνονται ως υποθέσεις που απαιτούν απόδειξη.

Κάθε ομάδα παίρνει τη δική της εργασία:

Αποδείξτε μια από τις ιδιότητες.

Ετοιμάστε ένα σκεπτικό με μια παρουσίαση.

II. Κύριο στάδιο (εντός μιας εβδομάδας):

1. Λύση υπόθεσης.
2. Διαβουλεύσεις με δάσκαλο.
3. Φόρμα εργασίας.

III. Τελικό στάδιο (1-2 μαθήματα):

Αναπαράσταση και υπεράσπιση της υπόθεσης με χρήση παρουσιάσεων.

Κατά την προετοιμασία του υλικού για το τελευταίο μάθημα, οι μαθητές καταλήγουν στο συμπέρασμα σχετικά με τα χαρακτηριστικά του σημείου τομής των υψών, συμφωνούμε να το ονομάσουμε "καταπληκτικό" σημείο.

Ιδιότητα 5: Τα κέντρα των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων σφαιρών συμπίπτουν.

Δεδομένος:

Το DABC είναι ένα κανονικό τετράεδρο

Περίπου 1 - το κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας

O - το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας

N είναι το σημείο επαφής της εγγεγραμμένης σφαίρας με την όψη ABC

Απόδειξη: O 1 = O

Απόδειξη:

Έστω OA = OB =OD = OC οι ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου

Drop ON + (ABC)

AON = CON - ορθογώνιο, κατά μήκος του ποδιού και υποτείνουσα => AN = CN

Παράλειψη OM + (BCD)

COM DOM - ορθογώνιο, κατά μήκος του ποδιού και της υποτείνουσας => CM = DM

Από την παράγραφο 1 CON COM => ON = OM

ON + (ABC) => ON,OM - ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Για ένα κανονικό τετράεδρο, υπάρχει η δυνατότητα αμοιβαίας διάταξης του με μια σφαίρα - επαφή με μια συγκεκριμένη σφαίρα με όλες τις άκρες της. Μια τέτοια σφαίρα μερικές φορές ονομάζεται «ημιεγγεγραμμένη» σφαίρα.

Ιδιότητα 6: Τα τμήματα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι άκρων και είναι κάθετα σε αυτά τα άκρα είναι οι ακτίνες μιας ημιεγγεγραμμένης σφαίρας.

Δεδομένος:

Το ABCD είναι ένα κανονικό τετράεδρο.

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

Αποδεικνύω:

LO=OK=OS=OM=ON=OP

Απόδειξη.

Τετράεδρο ABCD - κανονικό => AO= BO = CO = DO

Θεωρήστε τα τρίγωνα AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – ισοσκελές =>
OL - διάμεσος, ύψος, διχοτόμος
AO=CO=>?AOC– ισοσκελές =>
ΟΚ - διάμεσος, ύψος, διχοτόμος
CO=DO=>?COD– ισοσκελές =>
ON– διάμεσος, ύψος, διχοτόμος AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD–ισοσκελές => BOD=BOC=AOD
OM– διάμεσος, ύψος, διχοτόμος
AO=DO=>?AOD– ισοσκελές =>
OS - διάμεσος, ύψος, διχοτόμος
BO=CO=>?BOC– ισοσκελές =>
OP– διάμεσος, ύψος, διχοτόμος
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - ύψη ​​σε ίσες ακτίνες OL,OK,ON,OM,OS, OP

ισοσκελές τρίγωνα της σφαίρας

Συνέπεια:

Ένα κανονικό τετράεδρο περιέχει μια ημι-εγγεγραμμένη σφαίρα.

Ιδιοκτησία 7:αν το τετράεδρο είναι κανονικό, τότε κάθε δύο απέναντι άκρες του τετραέδρου είναι αμοιβαία κάθετες.

Δεδομένος:

Το DABC είναι ένα κανονικό τετράεδρο.

H - ορθόκεντρο

Αποδεικνύω:

Απόδειξη:

DABC - κανονικό τετράεδρο => ADB - ισόπλευρο

(ADB) (EDC) = ED

ED - ύψος ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

Παρόμοια αποδεικνύεται και η καθετότητα άλλων ακμών.

Ιδιότητα 8: Έξι επίπεδα συμμετρίας τέμνονται σε ένα σημείο. Τέσσερις ευθείες γραμμές τέμνονται στο σημείο Ο, τραβηγμένες μέσα από τα κέντρα των κύκλων που περικλείονται κοντά στις κάθετες στα επίπεδα των όψεων όψεων και το σημείο Ο είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας.

Δεδομένος:

Το ABCD είναι ένα κανονικό τετράεδρο

Αποδεικνύω:

Το O είναι το κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας.

6 επίπεδα συμμετρίας τέμνονται στο σημείο Ο.

Απόδειξη.

CG + BD BCD - ισόπλευρο => GO + BD (από το θεώρημα τριών καθέτων GO + BD)

BG = GD, επειδή AG - ABD διάμεσος

ABD (ABD)=> ? BOD - ισοσκελές => BO=DO

ΕΔ + ΑΒ, όπως ΑΒΔ - ισόπλευρο => ΟΕ + ΑΔ (από το θεώρημα των τριών καθέτων)

ΒΕ = ΑΕ, γιατί DE - διάμεσος;ABD

ABD (ABD) =>?AOB - ισοσκελές =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (από τα τρία

BF + AC, επειδή ABC - ισόπλευρες κάθετοι)

AF = FC, επειδή BF - διάμεσος; ABC

ABC (ABC) => AOC - ισοσκελές => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = AC

BO = AO =>AO = BO = CO = DO είναι ακτίνες σφαίρας,

AO = CO που περιγράφεται γύρω από το τετράεδρο ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

Ως εκ τούτου:

Το σημείο Ο είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας,

6 επίπεδα συμμετρίας τέμνονται στο σημείο Ο.

Ιδιοκτησία 9: Η αμβλεία γωνία μεταξύ των καθέτων που διέρχονται από τις κορυφές του τετραέδρου προς τα ορθόκεντρα είναι 109°28"

Δεδομένος:

Το ABCD είναι ένα κανονικό τετράεδρο.

Το O είναι το κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας.

Αποδεικνύω:

Απόδειξη:

1)AS - ύψος

ASB = 90 o OSB ορθογώνιο

2) (σύμφωνα με την ιδιότητα ενός κανονικού τετραέδρου)

3)AO=BO - ακτίνες της περιγεγραμμένης σφαίρας

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

Συμπέρασμα.

(Ο δάσκαλος και οι μαθητές συνοψίζουν το μάθημα. Ένας από τους μαθητές μιλάει με μια σύντομη αναφορά για τα τετράεδρα, ως δομική μονάδα χημικών στοιχείων.)

Μελετώνται οι ιδιότητες ενός κανονικού τετραέδρου και το «εκπληκτικό» σημείο του.

Διαπιστώθηκε ότι το σχήμα μόνο ενός τέτοιου τετραέδρου, το οποίο έχει όλες τις παραπάνω ιδιότητες, καθώς και ένα «ιδανικό» σημείο, μπορεί να καταληφθεί από μόρια πυριτικών αλάτων και υδρογονανθράκων. Ή τα μόρια μπορεί να αποτελούνται από πολλά κανονικά τετράεδρα. Προς το παρόν, το τετράεδρο είναι γνωστό όχι μόνο ως εκπρόσωπος του αρχαίου πολιτισμού, των μαθηματικών, αλλά και ως βάση της δομής των ουσιών.

Τα πυριτικά είναι ουσίες που μοιάζουν με άλατα και περιέχουν ενώσεις πυριτίου με οξυγόνο. Το όνομά τους προέρχεται από τη λατινική λέξη "silex" - "fint". Η βάση των μορίων πυριτικού είναι οι ατομικές ρίζες, που έχουν τη μορφή τετραέδρων.

Τα πυριτικά είναι η άμμος, και ο πηλός, και το τούβλο, και το γυαλί, και το τσιμέντο, και το σμάλτο, και ο τάλκης, και ο αμίαντος, και το σμαράγδι και το τοπάζι.

Τα πυριτικά αποτελούν περισσότερο από το 75% του φλοιού της γης (και μαζί με τον χαλαζία περίπου το 87%) και περισσότερο από το 95% των πυριγενών πετρωμάτων.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πυριτικών αλάτων είναι η ικανότητα για αμοιβαίο συνδυασμό (πολυμερισμού) δύο ή περισσότερων τετραέδρων πυριτίου-οξυγόνου μέσω ενός κοινού ατόμου οξυγόνου.

Η ίδια μορφή μορίων έχει κορεσμένους υδρογονάνθρακες, αλλά αποτελούνται, σε αντίθεση με τα πυριτικά, από άνθρακα και υδρογόνο. Γενικός τύπος μορίων

Οι υδρογονάνθρακες περιλαμβάνουν φυσικό αέριο.

Είναι απαραίτητο να εξεταστούν οι ιδιότητες των ορθογώνιων και ισοεδρικών τετραέδρων.

Βιβλιογραφία.

• Potapov V.M., Tatarinchik S.N. "Οργανική Χημεία", Μόσχα 1976.
• Babarin V.P. «Μυστικά των Μεγάλων Πυραμίδων», Αγία Πετρούπολη, 2000
• Sharygin I. F. "Προβλήματα στη γεωμετρία", Μόσχα, 1984
• Μεγάλο εγκυκλοπαιδικό λεξικό.
• "Σχολικός Κατάλογος", Μόσχα, 2001.

Για ένα κανονικό τετράεδρο, όλες οι διεδρικές γωνίες στις ακμές και όλες οι τριεδρικές γωνίες στις κορυφές είναι ίσες

Ένα τετράεδρο έχει 4 όψεις, 4 κορυφές και 6 ακμές.

Οι βασικοί τύποι για ένα κανονικό τετράεδρο δίνονται στον πίνακα.

Οπου:
S - Επιφάνεια ενός κανονικού τετραέδρου
V - όγκος
h - ύψος χαμηλωμένο στη βάση
r - ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τετράεδρο
R - ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου
α - μήκος πλευράς

Πρακτικά παραδείγματα

Λύση.
Εφόσον όλες οι άκρες μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι ίσες, είναι σωστό. Η επιφάνεια μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι S = a 2 √3.
Επειτα
S = 3√3

Απάντηση: 3√3

Εργο.
Όλες οι άκρες μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι 4 εκ. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας

Λύση.
Εφόσον σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα το ύψος της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης, που είναι και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Έτσι το ύψος της πυραμίδας ΟΜ μπορεί να βρεθεί από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΜ

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Ο όγκος της πυραμίδας βρίσκεται με τον τύπο V = 1/3 Sh
Σε αυτή την περίπτωση, βρίσκουμε το εμβαδόν της βάσης με τον τύπο S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Απάντηση: 16√2/3cm

Κανονικό τετράεδρο. Αποτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του είναι μια κορυφή τριών τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 180?. Ρύζι. 1.

Διαστάσεις: 445 x 487 pixels, μορφή: jpg. Για να κατεβάσετε μια εικόνα για ένα μάθημα γεωμετρίας δωρεάν, κάντε δεξί κλικ στην εικόνα και κάντε κλικ στην επιλογή "Αποθήκευση εικόνας ως...". Για να εμφανίσετε εικόνες στο μάθημα, μπορείτε επίσης να κατεβάσετε δωρεάν την πλήρη παρουσίαση "Polyhedron 2.ppt" με όλες τις εικόνες σε ένα αρχείο zip. Μέγεθος αρχείου - 197 KB.

κανονικό πολύεδρο

«Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος» - Απόδειξη Ευκλείδη. Αποδείξεις του θεωρήματος. Αλγεβρική απόδειξη. γεωμετρική απόδειξη. Η έννοια του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Θεωρήστε το τετράγωνο που φαίνεται στο σχήμα. Και τώρα το θεώρημα του Πυθαγόρα Βερν, όπως στη μακρινή του εποχή. Δήλωση του θεωρήματος. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη γεωμετρία.

"Κανονικό πολύεδρο" - Κανονικό οκτάεδρο. Σωστό δωδεκάεδρο. Ο κρύσταλλος του θειικού νατρίου αντιμονίου έχει σχήμα τετραέδρου. Ονόματα πολύεδρων. Οι κρύσταλλοι του κοινού αλατιού (NaCl) έχουν σχήμα κύβου. Ένα κανονικό εικοσάεδρο αποτελείται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. Ένα κανονικό τετράεδρο αποτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα.

"Ιστορία της Γεωμετρίας" - VI αιώνας π.Χ. Υπάρχουν πολλοί τύποι, σχήματα, θεωρήματα, προβλήματα, αξιώματα στη γεωμετρία. Μεσαίωνας. Ο Θαλής πρότεινε μια μέθοδο για τον προσδιορισμό της απόστασης από ένα πλοίο στη θάλασσα. Αρχαία Αίγυπτος. Σε γενικές γραμμές, το έργο του Ευκλείδη είναι μεγαλειώδες. Ο Θαλής υπολόγισε το ύψος της αιγυπτιακής πυραμίδας του Χέοπα από το μήκος της σκιάς. Στη γεωμετρία του Λιουμπατσέφσκι, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180°· δεν υπάρχουν παρόμοια σχήματα σε αυτό.

"Γωνία μεταξύ διανυσμάτων" - Εξετάστε τις κατευθυντήριες γραμμές D1B και CB1. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών BD και CD1. Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων DD1 και MN. Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων. Πώς βρίσκεται η απόσταση μεταξύ των σημείων; Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Υπολογισμός γωνιών μεταξύ ευθειών και επιπέδων. Το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι ευθύ.

"Γεωμετρία του Λομπατσέφσκι" - Είναι τα γράμματα στο σχήμα παράλληλα (στέκονται ίσια) ή όχι; Είναι η μη ευκλείδεια γεωμετρία η μόνη σωστή; Η γεωμετρία του Ρίμαν πήρε το όνομά της από τον B. Riemann, ο οποίος έθεσε τα θεμέλιά της το 1854. Η επιστήμη δεν θα μείνει ποτέ ακίνητη. Το σχήμα δείχνει μια σπείρα ή πολλούς κύκλους;

"Ισοσκελές τρίγωνο" - Πλευρική πλευρά. Το BD είναι η διάμεσος. Υψος. Βάση. Ισοσκελές τρίγωνο. Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου που τραβιέται στη βάση είναι η διάμεσος και η διχοτόμος. AB και BC είναι οι πλευρές. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες. BD - ύψος. ΒΔ - διχοτόμος. Ένα τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες ονομάζεται ισόπλευρο τρίγωνο.

Υπάρχουν 15 παρουσιάσεις συνολικά στο θέμα

ΚΕΙΜΕΝΟ ΕΞΗΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:

Καλό απόγευμα Συνεχίζουμε να μελετάμε το θέμα: "Παραλληλισμός γραμμών και επιπέδων."

Νομίζω ότι είναι ήδη ξεκάθαρο ότι σήμερα θα μιλήσουμε για πολύεδρα - τις επιφάνειες των γεωμετρικών σωμάτων που αποτελούνται από πολύγωνα.

Δηλαδή, το τετράεδρο.

Θα μελετήσουμε τα πολύεδρα σύμφωνα με το σχέδιο:

1. ορισμός τετραέδρου

2. στοιχεία του τετραέδρου

3. ανάπτυξη του τετραέδρου

4. εικόνα στο αεροπλάνο

1. χτίστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ

2. Το σημείο Δ δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του τριγώνου

3. συνδέστε το σημείο Δ κατά τμήματα με τις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ. Παίρνουμε τρίγωνα DAB, DBC και DCA.

Ορισμός: Μια επιφάνεια που αποτελείται από τέσσερα τρίγωνα ABC, DAB, DBC και DCA ονομάζεται τετράεδρο.

Ονομασία: DABC.

Στοιχεία ενός τετραέδρου

Τα τρίγωνα που αποτελούν ένα τετράεδρο ονομάζονται όψεις, οι πλευρές τους είναι ακμές και οι κορυφές τους είναι οι κορυφές του τετραέδρου.

Πόσες όψεις, ακμές και κορυφές έχει ένα τετράεδρο;

Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις, έξι άκρες και τέσσερις κορυφές.

Δύο ακμές ενός τετραέδρου που δεν έχουν κοινές κορυφές ονομάζονται αντίθετες.

Στο σχήμα, οι ακμές AD και BC, BD και AC, CD και AB είναι απέναντι.

Μερικές φορές μια από τις όψεις του τετραέδρου ξεχωρίζεται και ονομάζεται βάση του και οι άλλες τρεις ονομάζονται πλευρικές όψεις.

Το τετράεδρο ξεδιπλώνεται.

Για να φτιάξετε ένα τετράεδρο από χαρτί, θα χρειαστείτε την ακόλουθη σάρωση:

πρέπει να μεταφερθεί σε χοντρό χαρτί, να κοπεί, να διπλωθεί κατά μήκος των διακεκομμένων γραμμών και να κολληθεί.

Το τετράεδρο απεικονίζεται στο επίπεδο

Με τη μορφή κυρτού ή μη κυρτού τετράπλευρου με διαγώνιες. Οι διακεκομμένες γραμμές αντιπροσωπεύουν αόρατες άκρες.

Στο πρώτο σχήμα, το AC είναι μια αόρατη άκρη,

στο δεύτερο - EK, LK και KF.

Ας λύσουμε μερικά τυπικά προβλήματα στο τετράεδρο:

Βρείτε την περιοχή ανάπτυξης ενός κανονικού τετραέδρου με ακμή 5 cm.

Λύση. Ας σχεδιάσουμε ένα δίχτυ από ένα τετράεδρο

(στην οθόνη εμφανίζεται μια σάρωση τετραέδρου)

Αυτό το τετράεδρο αποτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα, επομένως, η περιοχή ανάπτυξης ενός κανονικού τετραέδρου είναι ίση με τη συνολική επιφάνεια του τετραέδρου ή την περιοχή τεσσάρων κανονικών τριγώνων.

Αναζητούμε το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Τότε παίρνουμε το εμβαδόν του τετραέδρου ίσο με:

Αντικαταστήστε στον τύπο το μήκος της άκρης a \u003d 5 cm,

αποδεικνύεται

Απάντηση: Εμβαδόν κανονικού τετραέδρου

Κατασκευάστε ένα τμήμα του τετραέδρου από ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία M, N και K.

α) Πράγματι, ας συνδέσουμε τα σημεία Μ και Ν (ανήκουν στην όψη ADC), τα σημεία Μ και Κ (ανήκουν στην όψη ADB), τα σημεία Ν και Κ (τις όψεις DBC). Το τμήμα του τετραέδρου είναι το τρίγωνο ΜΚΝ.

β) Συνδέστε τα σημεία M και K (ανήκουν στην όψη ADB), τα σημεία K και N (ανήκουν στην όψη DCB), στη συνέχεια συνεχίστε τις ευθείες MK και AB στην τομή και βάλτε το σημείο P. Η ευθεία PN και το σημείο Το T βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο ABC και τώρα μπορούμε να κατασκευάσουμε τομή της ευθείας MK με κάθε όψη. Το αποτέλεσμα είναι ένα τετράπλευρο MKNT, το οποίο είναι το απαιτούμενο τμήμα.