Já no Antigo Egito eles conheciam não só aritmética, mas também progressão geométrica. Aqui, por exemplo, está um problema do papiro Rhind: “Sete faces têm sete gatos; Cada gato come sete ratos, cada rato come sete espigas de milho e cada espiga de cevada pode produzir sete medidas de cevada. Qual o tamanho dos números desta série e sua soma?

Arroz. 1. Problema de progressão geométrica do Antigo Egito

Esta tarefa foi repetida muitas vezes com diferentes variações entre outros povos em outras épocas. Por exemplo, escrito no século XIII. “O Livro do Ábaco” de Leonardo de Pisa (Fibonacci) tem um problema em que aparecem 7 velhas a caminho de Roma (obviamente peregrinas), cada uma com 7 mulas, cada uma com 7 malas, cada uma das quais contém 7 pães, cada um com 7 facas, cada uma com 7 bainhas. O problema pergunta quantos objetos existem.

A soma dos primeiros n termos da progressão geométrica S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Esta fórmula pode ser provada, por exemplo, assim: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Adicione o número b 1 q n a S n e obtenha:

A partir daqui S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), e obtemos a fórmula necessária.

Já numa das tábuas de argila da Antiga Babilónia, que data do século VI. AC e., contém a soma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. É verdade, como em vários outros casos, não sabemos como esse fato era conhecido pelos babilônios .

O rápido aumento da progressão geométrica em várias culturas, em particular na Índia, é repetidamente usado como um símbolo visual da vastidão do universo. Na famosa lenda sobre o surgimento do xadrez, o governante dá ao seu inventor a oportunidade de escolher ele mesmo a recompensa e pergunta a quantidade de grãos de trigo que serão obtidos se um for colocado na primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois na o segundo, quatro no terceiro, oito no quarto e etc., cada vez que o número dobra. Vladyka pensou que no máximo estávamos falando de algumas malas, mas calculou mal. É fácil ver que para todas as 64 casas do tabuleiro de xadrez o inventor teria que receber (2 64 - 1) grãos, o que é expresso como um número de 20 dígitos; mesmo que toda a superfície da Terra fosse semeada, seriam necessários pelo menos 8 anos para coletar a quantidade necessária de grãos. Esta lenda é por vezes interpretada como uma indicação das possibilidades virtualmente ilimitadas escondidas no jogo de xadrez.

É fácil ver que esse número tem, na verdade, 20 dígitos:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (um cálculo mais preciso dá 1,84∙10 19). Mas eu me pergunto se você consegue descobrir com que dígito esse número termina?

Uma progressão geométrica pode ser crescente se o denominador for maior que 1 ou decrescente se for menor que um. Neste último caso, o número q n para n suficientemente grande pode tornar-se arbitrariamente pequeno. Enquanto a progressão geométrica crescente aumenta de forma inesperada e rápida, a progressão geométrica decrescente diminui com a mesma rapidez.

Quanto maior n, mais fracamente o número q n difere de zero, e mais próxima a soma de n termos da progressão geométrica S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) do número S = b 1 / ( 1 – q). (Por exemplo, F. Viet raciocinou desta forma). O número S é chamado de soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente. No entanto, durante muitos séculos, a questão de qual é o significado de somar TODA a progressão geométrica, com o seu número infinito de termos, não era suficientemente clara para os matemáticos.

Uma progressão geométrica decrescente pode ser vista, por exemplo, nas aporias “Meia Divisão” e “Aquiles e a Tartaruga” de Zenão. No primeiro caso, fica claramente demonstrado que toda a estrada (assumindo o comprimento 1) é a soma de um número infinito de segmentos 1/2, 1/4, 1/8, etc. o ponto de vista das ideias sobre uma progressão geométrica infinita de soma finita. E ainda assim - como pode ser isso?

Na aporia sobre Aquiles a situação é um pouco mais complicada, porque aqui o denominador da progressão não é 1/2, mas algum outro número. Deixe, por exemplo, Aquiles correr com velocidade v, a tartaruga se move com velocidade u e a distância inicial entre eles é l. Aquiles percorrerá essa distância no tempo l/v, e durante esse tempo a tartaruga percorrerá uma distância lu/v. Quando Aquiles percorre este segmento, a distância entre ele e a tartaruga se tornará igual a l (u /v) 2, etc. Acontece que alcançar a tartaruga significa encontrar a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente com o primeiro termo l e o denominador u /v. Essa soma – o segmento que Aquiles eventualmente percorrerá até o local de encontro com a tartaruga – é igual a l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Mas, novamente, como interpretar este resultado e por que faz algum sentido não ficou muito claro durante muito tempo.

Arquimedes usou a soma de uma progressão geométrica para determinar a área de um segmento de parábola. Seja este segmento da parábola delimitado pela corda AB e seja a tangente no ponto D da parábola paralela a AB. Seja C o ponto médio de AB, E o ponto médio de AC, F o ponto médio de CB. Vamos desenhar linhas paralelas a DC passando pelos pontos A, E, F, B; Deixe a tangente desenhada no ponto D cruzar essas linhas nos pontos K, L, M, N. Vamos desenhar também os segmentos AD e DB. Deixe a linha EL cruzar a linha AD no ponto G e a parábola no ponto H; a linha FM cruza a linha DB no ponto Q e a parábola no ponto R. De acordo com a teoria geral das seções cônicas, DC é o diâmetro de uma parábola (ou seja, um segmento paralelo ao seu eixo); ele e a tangente no ponto D podem servir como eixos coordenados x e y, nos quais a equação da parábola é escrita como y 2 = 2px (x é a distância de D a qualquer ponto de um determinado diâmetro, y é o comprimento de um segmento paralelo a uma dada tangente deste ponto do diâmetro até algum ponto da própria parábola).

Em virtude da equação da parábola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, e como DK = 2DL, então KA = 4LH. Porque KA = 2LG, LH = HG. A área do segmento ADB de uma parábola é igual à área do triângulo ΔADB e às áreas dos segmentos AHD e DRB combinados. Por sua vez, a área do segmento AHD é igualmente igual à área do triângulo AHD e dos demais segmentos AH e HD, com cada um dos quais você pode realizar a mesma operação - dividir em um triângulo (Δ) e os dois segmentos restantes (), etc.:

A área do triângulo ΔAHD é igual à metade da área do triângulo ΔALD (eles têm uma base comum AD e as alturas diferem em 2 vezes), que, por sua vez, é igual à metade da área de ​​o triângulo ΔAKD e, portanto, metade da área do triângulo ΔACD. Assim, a área do triângulo ΔAHD é igual a um quarto da área do triângulo ΔACD. Da mesma forma, a área do triângulo ΔDRB é igual a um quarto da área do triângulo ΔDFB. Assim, as áreas dos triângulos ΔAHD e ΔDRB, tomadas em conjunto, são iguais a um quarto da área do triângulo ΔADB. Repetir esta operação quando aplicada aos segmentos AH, HD, DR e RB selecionará triângulos deles, cuja área, em conjunto, será 4 vezes menor que a área dos triângulos ΔAHD e ΔDRB, tomados em conjunto, e portanto, 16 vezes menos que a área do triângulo ΔADB. E assim por diante:

Assim, Arquimedes provou que “cada segmento contido entre uma linha reta e uma parábola constitui quatro terços de um triângulo com a mesma base e igual altura”.

Progressão geométrica não menos importante na matemática em comparação com a aritmética. Uma progressão geométrica é uma sequência de números b1, b2,..., b[n], cada termo seguinte é obtido multiplicando o anterior por um número constante. Esse número, que também caracteriza a taxa de crescimento ou diminuição da progressão, é denominado denominador da progressão geométrica e denotar

Para especificar completamente uma progressão geométrica, além do denominador, é necessário conhecer ou determinar o seu primeiro termo. Para um valor positivo do denominador, a progressão é uma sequência monotônica, e se essa sequência de números é decrescente monotonicamente e se é crescente monotonicamente. O caso em que o denominador é igual a um não é considerado na prática, pois temos uma sequência de números idênticos e sua soma não tem interesse prático

Termo geral de progressão geométrica calculado pela fórmula

Soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica determinado pela fórmula

Vejamos soluções para problemas clássicos de progressão geométrica. Vamos começar com os mais simples de entender.

Exemplo 1. O primeiro termo de uma progressão geométrica é 27 e seu denominador é 1/3. Encontre os primeiros seis termos da progressão geométrica.

Solução: Vamos escrever a condição do problema na forma

Para cálculos usamos a fórmula do enésimo termo de uma progressão geométrica

Com base nisso, encontramos os termos desconhecidos da progressão

Como você pode ver, calcular os termos de uma progressão geométrica não é difícil. A progressão em si ficará assim

Exemplo 2. Os três primeiros termos da progressão geométrica são dados: 6; -12; 24. Encontre o denominador e seu sétimo termo.

Solução: Calculamos o denominador da progressão geomítrica com base na sua definição

Obtivemos uma progressão geométrica alternada cujo denominador é igual a -2. O sétimo termo é calculado usando a fórmula

Isso resolve o problema.

Exemplo 3. Uma progressão geométrica é dada por dois de seus termos . Encontre o décimo termo da progressão.

Solução:

Vamos escrever os valores fornecidos usando fórmulas

De acordo com as regras, precisaríamos encontrar o denominador e depois procurar o valor desejado, mas para o décimo termo temos

A mesma fórmula pode ser obtida com base em manipulações simples com os dados de entrada. Divida o sexto termo da série por outro e como resultado obtemos

Se o valor resultante for multiplicado pelo sexto termo, obtemos o décimo

Assim, para tais problemas, utilizando transformações simples de forma rápida, você pode encontrar a solução correta.

Exemplo 4. A progressão geométrica é dada por fórmulas recorrentes

Encontre o denominador da progressão geométrica e a soma dos primeiros seis termos.

Solução:

Vamos escrever os dados fornecidos na forma de um sistema de equações

Expresse o denominador dividindo a segunda equação pela primeira

Vamos encontrar o primeiro termo da progressão da primeira equação

Vamos calcular os cinco termos a seguir para encontrar a soma da progressão geométrica

Instruções

10, 30, 90, 270...

Você precisa encontrar o denominador de uma progressão geométrica.
Solução:

Opção 1. Vamos pegar um termo arbitrário da progressão (por exemplo, 90) e dividi-lo pelo anterior (30): 90/30=3.

Se a soma de vários termos de uma progressão geométrica ou a soma de todos os termos de uma progressão geométrica decrescente for conhecida, então, para encontrar o denominador da progressão, use as fórmulas apropriadas:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), onde Sn é a soma dos primeiros n termos da progressão geométrica e
S = b1/(1-q), onde S é a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente (a soma de todos os termos da progressão com um denominador menor que um).
Exemplo.

O primeiro termo de uma progressão geométrica decrescente é igual a um e a soma de todos os seus termos é igual a dois.

É necessário determinar o denominador desta progressão.
Solução:

Substitua os dados do problema na fórmula. Acontecerá:
2=1/(1-q), de onde – q=1/2.

Uma progressão é uma sequência de números. Numa progressão geométrica, cada termo subsequente é obtido multiplicando o anterior por um certo número q, denominado denominador da progressão.

Instruções

Se dois termos geométricos adjacentes b(n+1) e b(n) são conhecidos, para obter o denominador, você precisa dividir o número com o maior pelo anterior: q=b(n+1)/b (n). Isso decorre da definição de progressão e seu denominador. Uma condição importante é que o primeiro termo e o denominador da progressão não sejam iguais a zero, caso contrário ela é considerada indefinida.

Assim, estabelecem-se as seguintes relações entre os termos da progressão: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Usando a fórmula b(n)=b1 q^(n-1), qualquer termo da progressão geométrica em que o denominador q e o termo b1 são conhecidos pode ser calculado. Além disso, cada uma das progressões é igual em módulo à média de seus membros vizinhos: |b(n)|=√, que é onde a progressão obteve seu .

Um análogo de uma progressão geométrica é a função exponencial mais simples y=a^x, onde x é um expoente, a é um certo número. Neste caso, o denominador da progressão coincide com o primeiro termo e é igual ao número a. O valor da função y pode ser entendido como o enésimo termo da progressão se o argumento x for considerado um número natural n (contador).

Primeiro nível

Progressão geométrica. Guia completo com exemplos (2019)

Sequência numérica

Então, vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser (no nosso caso, existem). Não importa quantos números escrevemos, sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo e assim sucessivamente até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica:

Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número exclusivo.

Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número na sequência. Em outras palavras, não há três segundos números na sequência. O segundo número (como o décimo número) é sempre o mesmo.

O número com o número é chamado de enésimo membro da sequência.

Normalmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro desta sequência é a mesma letra com um índice igual ao número deste membro: .

No nosso caso:

Os tipos mais comuns de progressão são aritmética e geométrica. Neste tópico falaremos sobre o segundo tipo - progressão geométrica.

Por que a progressão geométrica é necessária e sua história?

Mesmo nos tempos antigos, o monge matemático italiano Leonardo de Pisa (mais conhecido como Fibonacci) cuidava das necessidades práticas do comércio. O monge se deparou com a tarefa de determinar qual é o menor número de pesos que pode ser usado para pesar um produto? Em seus trabalhos, Fibonacci prova que tal sistema de pesos é ideal: Esta é uma das primeiras situações em que as pessoas tiveram que lidar com uma progressão geométrica, da qual você provavelmente já ouviu falar e da qual tem pelo menos uma compreensão geral. Depois de compreender totalmente o tópico, pense por que esse sistema é ideal?

Atualmente, na prática da vida, a progressão geométrica se manifesta na aplicação de dinheiro em um banco, quando incidem o valor dos juros sobre o valor acumulado na conta do período anterior. Em outras palavras, se você colocar dinheiro em um depósito a prazo em uma caixa econômica, depois de um ano o depósito aumentará no valor original, ou seja, o novo valor será igual à contribuição multiplicada por. Em mais um ano, esse valor aumentará, ou seja, o valor obtido naquele momento será novamente multiplicado por e assim por diante. Uma situação semelhante é descrita em problemas de cálculo dos chamados juros compostos- o percentual é retirado a cada vez do valor que está na conta, levando em consideração os juros anteriores. Falaremos sobre essas tarefas um pouco mais tarde.

Existem muitos outros casos simples em que a progressão geométrica é aplicada. Por exemplo, a propagação da gripe: uma pessoa infectou outra pessoa, ela, por sua vez, infectou outra pessoa, e assim a segunda onda de infecção é uma pessoa, e ela, por sua vez, infectou outra... e assim por diante. .

Aliás, uma pirâmide financeira, a mesma MMM, é um cálculo simples e seco baseado nas propriedades de uma progressão geométrica. Interessante? Vamos descobrir.

Progressão geométrica.

Digamos que temos uma sequência numérica:

Você responderá imediatamente que isso é fácil e que o nome dessa sequência é uma progressão aritmética com a diferença de seus termos. Que tal agora:

Se você subtrair o número anterior do próximo número, verá que cada vez obtém uma nova diferença (e assim por diante), mas a sequência definitivamente existe e é fácil de perceber - cada número subsequente é muitas vezes maior que o anterior!

Este tipo de sequência numérica é chamado progressão geométrica e é designado.

A progressão geométrica () é uma sequência numérica cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Este número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.

As restrições de que o primeiro termo ( ) não é igual e não são aleatórias. Vamos supor que não haja nenhum, e o primeiro termo ainda seja igual, e q seja igual a, hmm.. deixe estar, então acontece:

Concorde que isso não é mais uma progressão.

Como você entende, obteremos os mesmos resultados se houver qualquer número diferente de zero, a. Nestes casos, simplesmente não haverá progressão, uma vez que toda a série numérica será composta apenas por zeros ou um número, e todo o resto será zero.

Agora vamos falar mais detalhadamente sobre o denominador da progressão geométrica, ou seja, o.

Vamos repetir: - este é o número quantas vezes cada termo subsequente muda? progressão geométrica.

O que você acha que poderia ser? Isso mesmo, positivo e negativo, mas não zero (falamos sobre isso um pouco mais acima).

Vamos supor que o nosso seja positivo. Deixe no nosso caso, a. Qual é o valor do segundo termo e? Você pode facilmente responder a isso:

Isso mesmo. Assim, se, então, todos os termos subsequentes da progressão têm o mesmo sinal - eles são positivos.

E se for negativo? Por exemplo, um. Qual é o valor do segundo termo e?

Esta é uma história completamente diferente

Tente contar os termos desta progressão. Quanto você conseguiu? Eu tenho. Assim, se, então os sinais dos termos da progressão geométrica se alternam. Ou seja, se você vir uma progressão com sinais alternados para seus membros, então seu denominador é negativo. Esse conhecimento pode ajudá-lo a se testar ao resolver problemas neste tópico.

Agora vamos praticar um pouco: tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão geométrica e quais são uma progressão aritmética:

Entendi? Vamos comparar nossas respostas:

• Progressão geométrica - 3, 6.
• Progressão aritmética - 2, 4.
• Não é uma progressão aritmética nem geométrica – 1, 5, 7.

Voltemos à nossa última progressão e tentemos encontrar o seu membro, tal como na aritmética. Como você deve ter adivinhado, existem duas maneiras de encontrá-lo.

Multiplicamos sucessivamente cada termo por.

Assim, o décimo termo da progressão geométrica descrita é igual a.

Como você já adivinhou, agora você mesmo derivará uma fórmula que o ajudará a encontrar qualquer membro da progressão geométrica. Ou você já desenvolveu você mesmo, descrevendo passo a passo como encontrar o décimo membro? Em caso afirmativo, verifique a exatidão do seu raciocínio.

Vamos ilustrar isso com o exemplo de como encontrar o décimo termo desta progressão:

Em outras palavras:

Encontre você mesmo o valor do termo da progressão geométrica dada.

Ocorrido? Vamos comparar nossas respostas:

Observe que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando multiplicamos sequencialmente por cada termo anterior da progressão geométrica.
Vamos tentar “despersonalizar” esta fórmula – vamos colocá-la de forma geral e obter:

A fórmula derivada é verdadeira para todos os valores - positivos e negativos. Verifique você mesmo calculando os termos da progressão geométrica com as seguintes condições: , a.

Você contou? Vamos comparar os resultados:

Concordo que seria possível encontrar um termo de uma progressão da mesma forma que um termo, porém existe a possibilidade de cálculo incorreto. E se já encontramos o décimo termo da progressão geométrica, então o que poderia ser mais simples do que usar a parte “truncada” da fórmula.

Progressão geométrica infinitamente decrescente.

Mais recentemente, falamos sobre o fato de que pode ser maior ou menor que zero, porém, existem valores especiais para os quais a progressão geométrica é chamada diminuindo infinitamente.

Por que você acha que esse nome é dado?
Primeiro, vamos escrever alguma progressão geométrica composta por termos.
Digamos então:

Vemos que cada termo subsequente é menor que o anterior por um fator, mas haverá algum número? Você responderá imediatamente - “não”. É por isso que diminui infinitamente - diminui e diminui, mas nunca se torna zero.

Para entender claramente como isso fica visualmente, vamos tentar desenhar um gráfico de nossa progressão. Então, para o nosso caso, a fórmula assume a seguinte forma:

Nos gráficos estamos acostumados a traçar a dependência, portanto:

A essência da expressão não mudou: na primeira entrada mostramos a dependência do valor de um membro de uma progressão geométrica de seu número ordinal, e na segunda entrada simplesmente tomamos o valor de um membro de uma progressão geométrica como , e designou o número ordinal não como, mas como. Tudo o que falta fazer é construir um gráfico.
Vamos ver o que você tem. Aqui está o gráfico que criei:

Você vê? A função diminui, tende a zero, mas nunca o cruza, portanto é infinitamente decrescente. Vamos marcar nossos pontos no gráfico e ao mesmo tempo qual a coordenada e o que significa:

Tente representar esquematicamente um gráfico de uma progressão geométrica se seu primeiro termo também for igual. Analise qual é a diferença com nosso gráfico anterior?

Você conseguiu? Aqui está o gráfico que criei:

Agora que você entendeu completamente o básico do tema progressão geométrica: você sabe o que é, sabe como encontrar seu termo e também sabe o que é uma progressão geométrica infinitamente decrescente, vamos passar para sua propriedade principal.

Propriedade da progressão geométrica.

Você se lembra da propriedade dos termos de uma progressão aritmética? Sim, sim, como encontrar o valor de um determinado número de uma progressão quando existem valores anteriores e subsequentes dos termos desta progressão. Você se lembra? Esse:

Agora estamos diante exatamente da mesma questão para os termos de uma progressão geométrica. Para derivar tal fórmula, vamos começar a desenhar e raciocinar. Você verá, é muito fácil e, se esquecer, poderá retirá-lo sozinho.

Tomemos outra progressão geométrica simples, na qual conhecemos e. Como encontrar? Com a progressão aritmética é fácil e simples, mas e aqui? Na verdade, também não há nada complicado em geometria - basta anotar cada valor que nos é dado de acordo com a fórmula.

Você pode perguntar: o que devemos fazer sobre isso agora? Sim, muito simples. Primeiro, vamos representar essas fórmulas em uma imagem e tentar fazer várias manipulações com elas para chegar ao valor.

Vamos abstrair dos números que nos são dados, vamos nos concentrar apenas na sua expressão através da fórmula. Precisamos encontrar o valor destacado em laranja, conhecendo os termos adjacentes a ele. Vamos tentar realizar várias ações com eles, como resultado podemos obter.

Adição.
Vamos tentar adicionar duas expressões e obtemos:

A partir desta expressão, como você pode ver, não podemos expressá-la de forma alguma, portanto, tentaremos outra opção - a subtração.

Subtração.

Como você pode ver, também não podemos expressar isso, portanto, vamos tentar multiplicar essas expressões umas pelas outras.

Multiplicação.

Agora observe atentamente o que temos multiplicando os termos da progressão geométrica que nos são dados em comparação com o que precisa ser encontrado:

Adivinha do que estou falando? Corretamente, para descobrir precisamos tirar a raiz quadrada dos números da progressão geométrica adjacentes ao desejado multiplicados entre si:

Aqui você vai. Você mesmo derivou a propriedade da progressão geométrica. Tente escrever esta fórmula de forma geral. Ocorrido?

Esqueceu a condição para? Pense por que isso é importante, por exemplo, tente calculá-lo você mesmo. O que acontecerá neste caso? Isso mesmo, um absurdo completo porque a fórmula é assim:

Assim, não se esqueça desta limitação.

Agora vamos calcular o que é igual

Resposta correta - ! Se você não esqueceu o segundo valor possível durante o cálculo, então você está ótimo e pode passar imediatamente para o treinamento, e caso tenha esquecido, leia o que é discutido abaixo e preste atenção porque é necessário anotar ambas as raízes na resposta.

Vamos desenhar ambas as nossas progressões geométricas - uma com valor e outra com valor e verificar se ambas têm o direito de existir:

Para verificar se tal progressão geométrica existe ou não, é necessário verificar se todos os seus termos dados são iguais. Calcule q para o primeiro e segundo casos.

Veja por que temos que escrever duas respostas? Porque o sinal do termo que você procura depende se é positivo ou negativo! E como não sabemos o que é, precisamos de escrever ambas as respostas com um sinal de mais e um menos.

Agora que você dominou os pontos principais e derivou a fórmula da propriedade da progressão geométrica, encontre, conhecendo e

Compare suas respostas com as corretas:

O que você acha, e se não nos dessem os valores dos termos da progressão geométrica adjacentes ao número desejado, mas equidistantes dele. Por exemplo, precisamos encontrar, e dado e. Podemos usar a fórmula que derivamos neste caso? Tente confirmar ou refutar essa possibilidade da mesma maneira, descrevendo em que consiste cada valor, como você fez quando derivou originalmente a fórmula, em.
O que você conseguiu?

Agora olhe com atenção novamente.
e correspondentemente:

Disto podemos concluir que a fórmula funciona não só com os vizinhos com os termos desejados da progressão geométrica, mas também com equidistante do que os membros estão procurando.

Assim, nossa fórmula inicial assume a forma:

Ou seja, se no primeiro caso dissemos isso, agora dizemos que pode ser igual a qualquer número natural que seja menor. O principal é que seja igual para ambos os números fornecidos.

Pratique com exemplos específicos, mas seja extremamente cuidadoso!

1. , . Encontrar.
2. , . Encontrar.
3. , . Encontrar.

Decidido? Espero que você tenha sido extremamente atencioso e notado um pequeno problema.

Vamos comparar os resultados.

Nos dois primeiros casos, aplicamos com calma a fórmula acima e obtemos os seguintes valores:

No terceiro caso, após um exame cuidadoso dos números de série dos números que nos são dados, entendemos que eles não são equidistantes do número que procuramos: é o número anterior, mas é retirado em uma posição, então é não é possível aplicar a fórmula.

Como resolver isso? Na verdade não é tão difícil quanto parece! Vamos anotar em que consiste cada número que nos é dado e o número que procuramos.

Então nós temos e. Vamos ver o que podemos fazer com eles? Sugiro dividir por. Nós temos:

Substituímos nossos dados na fórmula:

O próximo passo que podemos encontrar é: para isso precisamos extrair a raiz cúbica do número resultante.

Agora vamos ver novamente o que temos. Nós temos, mas precisamos encontrá-lo, e, por sua vez, é igual a:

Encontramos todos os dados necessários para o cálculo. Substitua na fórmula:

Nossa resposta: .

Tente resolver outro problema semelhante:
Dado: ,
Encontrar:

Quanto você conseguiu? Eu tenho - .

Como você pode ver, essencialmente você precisa lembre-se de apenas uma fórmula- . Você mesmo pode retirar todo o resto sem qualquer dificuldade a qualquer momento. Para isso, basta escrever a progressão geométrica mais simples em um pedaço de papel e anotar a que cada um de seus números é igual, conforme a fórmula descrita acima.

A soma dos termos de uma progressão geométrica.

Agora vejamos as fórmulas que nos permitem calcular rapidamente a soma dos termos de uma progressão geométrica em um determinado intervalo:

Para derivar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita, multiplique todas as partes da equação acima por. Nós temos:

Observe com atenção: o que as duas últimas fórmulas têm em comum? Isso mesmo, membros comuns, por exemplo, e assim por diante, exceto o primeiro e o último membro. Vamos tentar subtrair a 1ª da 2ª equação. O que você conseguiu?

Agora expresse o termo da progressão geométrica através da fórmula e substitua a expressão resultante em nossa última fórmula:

Agrupe a expressão. Voce deveria pegar:

Resta apenas expressar:

Assim, neste caso.

E se? Que fórmula funciona então? Imagine uma progressão geométrica em. Como ela é? Uma série de números idênticos está correta, então a fórmula ficará assim:

Existem muitas lendas sobre progressão aritmética e geométrica. Uma delas é a lenda de Set, o criador do xadrez.

Muitas pessoas sabem que o jogo de xadrez foi inventado na Índia. Quando o rei hindu a conheceu, ficou encantado com sua inteligência e com a variedade de posições possíveis nela. Ao saber que foi inventado por um de seus súditos, o rei decidiu recompensá-lo pessoalmente. Ele convocou o inventor e ordenou-lhe que lhe pedisse tudo o que quisesse, prometendo realizar até o desejo mais hábil.

Seta pediu tempo para pensar e, no dia seguinte, Seta apareceu diante do rei, surpreendeu-o com a modéstia sem precedentes do seu pedido. Ele pediu para dar um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez, um grão de trigo para a segunda, um grão de trigo para a terceira, uma quarta, etc.

O rei ficou furioso e expulsou Seth, dizendo que o pedido do servo era indigno da generosidade do rei, mas prometeu que o servo receberia seus grãos por todas as casas do tabuleiro.

E agora a pergunta: usando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, calcule quantos grãos Seth deve receber?

Vamos começar a raciocinar. Visto que, de acordo com a condição, Sete pediu um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez, para a segunda, para a terceira, para a quarta, etc., então vemos que o problema se trata de uma progressão geométrica. O que é igual neste caso?
Certo.

Total de casas do tabuleiro de xadrez. Respectivamente, . Temos todos os dados, só falta inseri-los na fórmula e calcular.

Para imaginar pelo menos aproximadamente a “escala” de um determinado número, transformamos usando as propriedades de grau:

Claro, se quiser, você pode pegar uma calculadora e calcular qual número você obtém e, se não, terá que acreditar na minha palavra: o valor final da expressão será.
Aquilo é:

quintilhão, quatrilhão, trilhão, bilhão, milhão, mil.

Ufa) Se você quiser imaginar a enormidade desse número, estime o tamanho de um celeiro necessário para acomodar toda a quantidade de grãos.
Se o celeiro tiver m de altura e m de largura, seu comprimento deverá se estender por km, ou seja, duas vezes mais longe da Terra ao Sol.

Se o rei fosse forte em matemática, poderia ter convidado o próprio cientista para contar os grãos, pois para contar um milhão de grãos precisaria de pelo menos um dia de contagem incansável, e dado que é necessário contar quintilhões, os grãos teria que ser contado ao longo de sua vida.

Agora vamos resolver um problema simples envolvendo a soma dos termos de uma progressão geométrica.
Um aluno da classe 5A, Vasya, adoeceu com gripe, mas continua a frequentar a escola. Todos os dias, Vasya infecta duas pessoas, que, por sua vez, infectam mais duas pessoas e assim por diante. Existem apenas pessoas na classe. Em quantos dias toda a turma estará gripada?

Assim, o primeiro termo da progressão geométrica é Vasya, ou seja, pessoa. O décimo termo da progressão geométrica são as duas pessoas que ele infectou no primeiro dia de sua chegada. A soma total dos termos de progressão é igual ao número de alunos 5A. Assim, falamos de uma progressão em que:

Vamos substituir nossos dados na fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica:

A turma inteira ficará doente em poucos dias. Não acredita em fórmulas e números? Tente você mesmo retratar a “infecção” dos alunos. Ocorrido? Olha como fica para mim:

Calcule você mesmo quantos dias levaria para os alunos ficarem gripados se cada um infectasse uma pessoa e houvesse apenas uma pessoa na classe.

Qual valor você conseguiu? Acontece que todos começaram a ficar doentes depois de um dia.

Como você pode ver, tal tarefa e seu desenho lembram uma pirâmide, na qual cada uma delas “traz” novas pessoas. Porém, mais cedo ou mais tarde chega um momento em que este não consegue atrair ninguém. No nosso caso, se imaginarmos que a turma está isolada, a pessoa de fecha a cadeia (). Assim, se uma pessoa estivesse envolvida em uma pirâmide financeira em que fosse dado dinheiro se você trouxesse outros dois participantes, então a pessoa (ou em geral) não traria ninguém, portanto, perderia tudo o que investiu nessa fraude financeira.

Tudo o que foi dito acima refere-se a uma progressão geométrica decrescente ou crescente, mas, como você lembra, temos um tipo especial - uma progressão geométrica decrescente infinitamente. Como calcular a soma de seus membros? E por que esse tipo de progressão possui certas características? Vamos descobrir isso juntos.

Então, primeiro, vamos dar uma olhada novamente neste desenho de uma progressão geométrica infinitamente decrescente do nosso exemplo:

Agora vamos dar uma olhada na fórmula da soma de uma progressão geométrica, derivada um pouco antes:
ou

Pelo que estamos nos esforçando? Isso mesmo, o gráfico mostra que tende a zero. Ou seja, at, será quase igual, respectivamente, ao calcular a expressão obteremos quase. Nesse sentido, acreditamos que no cálculo da soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, esse colchete pode ser desprezado, pois será igual.

- fórmula é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

IMPORTANTE! Usamos a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente somente se a condição afirmar explicitamente que precisamos encontrar a soma infinito número de membros.

Se um número específico n for especificado, usaremos a fórmula para a soma de n termos, mesmo que ou.

Agora vamos praticar.

1. Encontre a soma dos primeiros termos da progressão geométrica com e.
2. Encontre a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente com e.

Espero que você tenha sido extremamente cuidadoso. Vamos comparar nossas respostas:

Agora que você sabe tudo sobre progressão geométrica e é hora de passar da teoria à prática. Os problemas de progressão geométrica mais comuns encontrados no exame são problemas de cálculo de juros compostos. São sobre estes que falaremos.

Problemas no cálculo de juros compostos.

Você provavelmente já ouviu falar da chamada fórmula de juros compostos. Você entende o que isso significa? Se não, vamos descobrir, porque depois de entender o processo em si, você entenderá imediatamente o que a progressão geométrica tem a ver com isso.

Todos vamos ao banco e sabemos que existem diferentes condições de depósito: incluem prazo, serviços adicionais e juros com duas formas diferentes de cálculo - simples e complexa.

COM simples interesse tudo é mais ou menos claro: os juros são acumulados uma vez no final do prazo do depósito. Ou seja, se dissermos que depositamos 100 rublos por ano, eles serão creditados somente no final do ano. Assim, ao final do depósito receberemos rublos.

Juros compostos- esta é uma opção em que ocorre capitalização de juros, ou seja sua adição ao valor do depósito e posterior cálculo do rendimento não a partir do valor inicial, mas sim do valor do depósito acumulado. A capitalização não ocorre constantemente, mas com alguma frequência. Via de regra, esses períodos são iguais e na maioria das vezes os bancos utilizam um mês, trimestre ou ano.

Suponhamos que depositamos os mesmos rublos anualmente, mas com capitalização mensal do depósito. O que estamos fazendo?

Você entende tudo aqui? Se não, vamos descobrir passo a passo.

Trouxemos rublos para o banco. No final do mês, devemos ter em nossa conta um valor composto por nossos rublos mais juros sobre eles, ou seja:

Concordar?

Podemos tirar isso dos colchetes e obtemos:

Concordo, esta fórmula já é mais parecida com o que escrevemos no início. Tudo o que resta é descobrir as porcentagens

Na definição do problema somos informados sobre as taxas anuais. Como você sabe, não multiplicamos por - convertemos porcentagens em frações decimais, ou seja:

Certo? Agora você pode perguntar: de onde veio esse número? Muito simples!
Repito: a declaração do problema diz sobre ANUAL juros que acumulam POR MÊS. Como você sabe, em um ano ou mês, respectivamente, o banco nos cobrará uma parcela dos juros anuais por mês:

Percebeu? Agora tente escrever como seria essa parte da fórmula se eu dissesse que os juros são calculados diariamente.
Você conseguiu? Vamos comparar os resultados:

Bom trabalho! Voltemos à nossa tarefa: escrever quanto será creditado em nossa conta no segundo mês, levando em consideração que incidem juros sobre o valor do depósito acumulado.
Aqui está o que eu consegui:

Ou, em outras palavras:

Acho que você já percebeu um padrão e viu uma progressão geométrica em tudo isso. Escreva quanto será igual ao seu membro, ou seja, quanto dinheiro receberemos no final do mês.
Fez? Vamos checar!

Como você pode ver, se você colocar dinheiro no banco por um ano a uma taxa de juros simples, receberá rublos e, se aplicar uma taxa de juros composta, receberá rublos. O benefício é pequeno, mas isso só acontece durante o décimo ano, mas para um período maior a capitalização é muito mais lucrativa:

Vejamos outro tipo de problema envolvendo juros compostos. Depois do que você descobriu, será fundamental para você. Então, a tarefa:

A empresa Zvezda começou a investir no setor em 2000, com capital em dólares. Todos os anos, desde 2001, tem recebido um lucro igual ao capital do ano anterior. Quanto lucro receberá a empresa Zvezda no final de 2003 se os lucros não forem retirados de circulação?

Capital da empresa Zvezda em 2000.
- capital da empresa Zvezda em 2001.
- capital da empresa Zvezda em 2002.
- capital da empresa Zvezda em 2003.

Ou podemos escrever brevemente:

Para o nosso caso:

2000, 2001, 2002 e 2003.

Respectivamente:
rublos
Observe que neste problema não temos divisão nem por nem por, pois o percentual é dado ANUALMENTE e é calculado ANUALMENTE. Ou seja, ao ler um problema sobre juros compostos, preste atenção em qual percentual é dado e em que período é calculado, para só então proceder aos cálculos.
Agora você sabe tudo sobre progressão geométrica.

Treinamento.

1. Encontre o termo da progressão geométrica se for conhecido, e
2. Encontre a soma dos primeiros termos da progressão geométrica se for conhecido isso, e
3. A empresa MDM Capital começou a investir no setor em 2003, com capital em dólares. Todos os anos, desde 2004, tem recebido um lucro igual ao capital do ano anterior. A empresa MSK Cash Flows começou a investir no setor em 2005 no valor de US$ 10 mil, passando a lucrar em 2006 no valor de. Em quantos dólares o capital de uma empresa seria maior que o da outra no final de 2007, se os lucros não fossem retirados de circulação?

Respostas:

1. Como o enunciado do problema não diz que a progressão é infinita e é necessário encontrar a soma de um número específico de seus termos, o cálculo é realizado de acordo com a fórmula:
2. 
   Companhia de Capital MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - aumenta em 100%, ou seja, 2 vezes.
   Respectivamente:
   rublos
   Empresa de fluxo de caixa MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - aumenta, isto é, vezes.
   Respectivamente:
   rublos
   rublos

Vamos resumir.

1) A progressão geométrica ( ) é uma sequência numérica cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Este número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.

2) A equação dos termos da progressão geométrica é .

3) pode assumir qualquer valor, exceto e.

• se, então todos os termos subsequentes da progressão têm o mesmo sinal - eles são positivos;
• se, então todos os termos subsequentes da progressão sinais alternativos;
• quando - a progressão é chamada de decrescente infinitamente.

4) , com - propriedade de progressão geométrica (termos adjacentes)

ou
, em (termos equidistantes)

Quando você encontrar, não se esqueça disso deveria haver duas respostas.

Por exemplo,

5) A soma dos termos da progressão geométrica é calculada pela fórmula:
ou

Se a progressão for infinitamente decrescente, então:
ou

IMPORTANTE! Utilizamos a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente apenas se a condição afirmar explicitamente que precisamos de determinar a soma de um número infinito de termos.

6) Os problemas de juros compostos também são calculados pela fórmula do décimo termo de uma progressão geométrica, desde que os recursos não tenham sido retirados de circulação:

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Progressão geométrica( ) é uma sequência numérica cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Este número é chamado denominador de uma progressão geométrica.

Denominador da progressão geométrica pode assumir qualquer valor, exceto e.

• Se, então, todos os termos subsequentes da progressão tiverem o mesmo sinal, eles são positivos;
• se, então todos os membros subsequentes da progressão alternam sinais;
• quando - a progressão é chamada de decrescente infinitamente.

Equação de termos de progressão geométrica - .

Soma dos termos de uma progressão geométrica calculado pela fórmula:
ou