Nível médio

Desigualdades quadráticas. O guia definitivo (2019)

Para descobrir como resolver equações quadráticas, precisamos entender o que é uma função quadrática e quais propriedades ela possui.

Você provavelmente já se perguntou por que uma função quadrática é necessária? Onde seu gráfico (parábola) é aplicável? Sim, basta olhar em volta e perceberá que se depara com isso todos os dias na vida cotidiana. Você já percebeu como uma bola lançada voa na educação física? "Ao longo do arco"? A resposta mais correta seria “parábola”! E ao longo de qual trajetória o jato se move na fonte? Sim, também em uma parábola! Como uma bala ou projétil voa? Isso mesmo, também em parábola! Assim, conhecendo as propriedades de uma função quadrática, será possível resolver muitos problemas práticos. Por exemplo, em que ângulo uma bola deve ser lançada para garantir a maior distância? Ou onde o projétil irá parar se você o lançar em um determinado ângulo? etc.

Função quadrática

Então, vamos descobrir.

Por exemplo, . Quais são os iguais aqui e? Bem, claro!

E se, ou seja, menos que zero? Bem, é claro que estamos “tristes”, o que significa que os galhos ficarão direcionados para baixo! Vejamos o gráfico.

Esta figura mostra o gráfico de uma função. Desde então, ou seja, menor que zero, os ramos da parábola são direcionados para baixo. Além disso, você provavelmente já percebeu que os ramos desta parábola cruzam o eixo, o que significa que a equação tem 2 raízes e a função assume valores positivos e negativos!

Logo no início, quando demos a definição de função quadrática, foi dito que e são alguns números. Eles podem ser iguais a zero? Bem, é claro que podem! Vou até revelar um segredo ainda maior (que não é segredo nenhum, mas vale a pena mencionar): não há restrições impostas a esses números (e) de jeito nenhum!

Bem, vamos ver o que acontece com os gráficos se e forem iguais a zero.

Como você pode ver, os gráficos das funções (e) em consideração mudaram de forma que seus vértices estão agora no ponto com coordenadas, ou seja, na intersecção dos eixos e, isso não tem efeito na direção dos ramos . Assim, podemos concluir que eles são responsáveis pelo “movimento” do gráfico da parábola ao longo do sistema de coordenadas.

O gráfico de uma função toca o eixo em um ponto. Isso significa que a equação tem uma raiz. Assim, a função assume valores maiores ou iguais a zero.

Seguimos a mesma lógica com o gráfico da função. Ele toca o eixo x em um ponto. Isso significa que a equação tem uma raiz. Assim, a função assume valores menores ou iguais a zero, ou seja.

Assim, para determinar o sinal de uma expressão, a primeira coisa que você precisa fazer é encontrar as raízes da equação. Isto será muito útil para nós.

Desigualdade quadrática

Ao resolver tais desigualdades, precisaremos da capacidade de determinar onde uma função quadrática é maior, menor ou igual a zero. Aquilo é:

se tivermos uma desigualdade da forma, então na verdade a tarefa se resume a determinar o intervalo numérico de valores para os quais a parábola está acima do eixo.
se tivermos uma desigualdade da forma, então na verdade a tarefa se resume a determinar o intervalo numérico de valores de x para o qual a parábola está abaixo do eixo.

Se as desigualdades não forem estritas, então as raízes (as coordenadas da intersecção da parábola com o eixo) são incluídas no intervalo numérico desejado; no caso de desigualdades estritas, são excluídas.

Tudo isso é bastante formalizado, mas não se desespere nem se assuste! Agora vamos dar uma olhada nos exemplos e tudo se encaixará.

Ao resolver desigualdades quadráticas, aderiremos ao algoritmo fornecido e o sucesso inevitável nos espera!

Algoritmo	Exemplo:
1) Vamos escrever a equação quadrática correspondente à desigualdade (basta mudar o sinal da desigualdade para o sinal de igual “=”).
2) Vamos encontrar as raízes desta equação.
3) Marque as raízes no eixo e mostre esquematicamente a orientação dos ramos da parábola (“para cima” ou “para baixo”)
4) Vamos colocar sinais no eixo correspondente ao sinal da função quadrática: onde a parábola está acima do eixo, colocamos “ ”, e onde abaixo - “ “.
5) Escreva o(s) intervalo(s) correspondente(s) a “ ” ou “ ”, dependendo do sinal de desigualdade. Se a desigualdade não for estrita, as raízes estão incluídas no intervalo; se for estrita, não estão.

Entendi? Então vá em frente e fixe-o!

Exemplo:

Bom, deu certo? Se tiver alguma dificuldade, procure soluções.

Solução:

Vamos anotar os intervalos correspondentes ao sinal " ", já que o sinal de desigualdade é " ". A desigualdade não é estrita, então as raízes estão incluídas nos intervalos:

Vamos escrever a equação quadrática correspondente:

Vamos encontrar as raízes desta equação quadrática:

Marquemos esquematicamente as raízes obtidas no eixo e organizemos os sinais:

Vamos anotar os intervalos correspondentes ao sinal " ", já que o sinal de desigualdade é " ". A desigualdade é estrita, portanto as raízes não estão incluídas nos intervalos:

Vamos escrever a equação quadrática correspondente:

Vamos encontrar as raízes desta equação quadrática:

esta equação tem uma raiz

Marquemos esquematicamente as raízes obtidas no eixo e organizemos os sinais:

Vamos anotar os intervalos correspondentes ao sinal " ", já que o sinal de desigualdade é " ". Para qualquer um, a função assume valores não negativos. Como a desigualdade não é estrita, a resposta será.

Vamos escrever a equação quadrática correspondente:

Vamos encontrar as raízes desta equação quadrática:

Vamos desenhar esquematicamente um gráfico de uma parábola e organizar os sinais:

Vamos anotar os intervalos correspondentes ao sinal " ", já que o sinal de desigualdade é " ". Para qualquer uma, a função assume valores positivos, portanto, a solução para a inequação será o intervalo:

DESIGUALDADES QUADRADAS. NÍVEL MÉDIO

Função quadrática.

Antes de falar sobre o tema “desigualdades quadráticas”, vamos lembrar o que é uma função quadrática e qual é o seu gráfico.

Uma função quadrática é uma função da forma,

Em outras palavras, isso polinômio do segundo grau.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola (lembra o que é?). Seus ramos são direcionados para cima se "a) a função assume apenas valores positivos para todos, e no segundo () - apenas valores negativos:

No caso em que a equação () tem exatamente uma raiz (por exemplo, se o discriminante for zero), isso significa que o gráfico toca o eixo:

Então, semelhante ao caso anterior, para " .

Então, aprendemos recentemente como determinar onde uma função quadrática é maior que zero e onde é menor:

Se a desigualdade quadrática não for estrita, então as raízes estão incluídas no intervalo numérico; se for estrita, não estão.

Se houver apenas uma raiz, tudo bem, o mesmo sinal estará em todos os lugares. Se não houver raízes, tudo depende apenas do coeficiente: se "25((x)^(2))-30x+9

Respostas:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Não há raízes, então toda a expressão do lado esquerdo recebe o sinal do coeficiente antes:

Se você quiser encontrar um intervalo numérico no qual o trinômio quadrático seja maior que zero, então este é o intervalo numérico onde a parábola fica acima do eixo.
Se você quiser encontrar um intervalo numérico no qual o trinômio quadrático seja menor que zero, então este é o intervalo numérico onde a parábola fica abaixo do eixo.

DESIGUALDADES QUADRADAS. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Função quadráticaé uma função da forma: ,

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Seus ramos são direcionados para cima se e para baixo se:

Tipos de desigualdades quadráticas:

Todas as desigualdades quadráticas são reduzidas aos quatro tipos a seguir:

Algoritmo de solução:

Algoritmo	Exemplo:
1) Vamos escrever a equação quadrática correspondente à desigualdade (basta mudar o sinal da desigualdade para o sinal de igual "").
2) Vamos encontrar as raízes desta equação.
3) Marque as raízes no eixo e mostre esquematicamente a orientação dos ramos da parábola (“para cima” ou “para baixo”)
4) Vamos colocar sinais no eixo correspondente ao sinal da função quadrática: onde a parábola está acima do eixo, colocamos “ ”, e onde abaixo - “ “.
5) Escreva o(s) intervalo(s) correspondente(s) a “ ” ou “ ”, dependendo do sinal de desigualdade. Se a desigualdade não for estrita, as raízes estão incluídas no intervalo; se for estrita, não estão.

O método dos intervalos é legitimamente considerado um método universal para resolver desigualdades. É o mais fácil de usar para resolver desigualdades quadráticas em uma variável. Neste material consideraremos todos os aspectos do uso do método intervalar para resolver desigualdades quadráticas. Para facilitar a assimilação do material, consideraremos um grande número de exemplos de diversos graus de complexidade.

Yandex.RTB RA-339285-1

Algoritmo para aplicação do método intervalar

Consideremos um algoritmo para utilização do método intervalar em uma versão adaptada, adequado para resolver desigualdades quadráticas. É esta versão do método intervalar que os alunos são apresentados nas aulas de álgebra. Não vamos complicar a tarefa também.

Vamos passar para o algoritmo em si.

Temos o trinômio quadrático a · x 2 + b · x + c do lado esquerdo da desigualdade quadrática. Encontramos os zeros deste trinômio.

No sistema de coordenadas, representamos uma linha de coordenadas. Marcamos as raízes nele. Por conveniência, podemos introduzir diferentes formas de notar pontos para desigualdades estritas e não estritas. Vamos combinar que usaremos pontos “vazios” para marcar as coordenadas ao resolver uma desigualdade estrita, e pontos comuns para marcar uma não estrita. Ao marcar os pontos, obtemos vários intervalos no eixo de coordenadas.

Se na primeira etapa encontramos zeros, então determinamos os sinais dos valores do trinômio para cada um dos intervalos resultantes. Se não recebermos zeros, realizamos esta ação para toda a reta numérica. Marcamos as lacunas com os sinais “+” ou “-”.

Adicionalmente, introduziremos sombreamento nos casos em que resolvermos inequações com sinais > ou ≥ e< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

Observando os sinais dos valores do trinômio e aplicando sombreamento sobre os segmentos, obtemos uma imagem geométrica de um determinado conjunto numérico, que na verdade é uma solução para a desigualdade. Tudo o que precisamos fazer é anotar a resposta.

Detenhamo-nos com mais detalhes na terceira etapa do algoritmo, que envolve a determinação do sinal da lacuna. Existem várias abordagens para definir sinais. Vamos analisá-los em ordem, começando pelos mais precisos, embora não os mais rápidos. Este método envolve o cálculo dos valores do trinômio em vários pontos dos intervalos resultantes.

Exemplo 1

Por exemplo, vamos pegar o trinômio x 2 + 4 · x − 5 .

As raízes deste trinômio 1 e - 5 dividem o eixo de coordenadas em três intervalos (− ∞, − 5), (− 5, 1) e (1, + ∞).

Vamos começar com o intervalo (1, + ∞). Para simplificar nossa tarefa, consideremos x = 2. Obtemos 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7.

7 é um número positivo. Isso significa que os valores deste trinômio quadrático no intervalo (1, + ∞) são positivos e podem ser denotados pelo sinal “+”.

Para determinar o sinal do intervalo (− 5, 1) tomamos x = 0. Temos 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Coloque um sinal “-” acima do intervalo.

Para o intervalo (− ∞, − 5) tomamos x = − 6, obtemos (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Marcamos este intervalo com um sinal “+”.

Você pode identificar os sinais com muito mais rapidez levando em consideração os seguintes fatos.

Com um discriminante positivo, um trinômio quadrado com duas raízes dá uma alternância de sinais de seus valores nos intervalos em que a reta numérica é dividida pelas raízes desse trinômio. Isto significa que não precisamos necessariamente definir sinais para cada um dos intervalos. Basta fazer cálculos para um e colocar sinais para os restantes, tendo em conta o princípio da alternância.

Se desejar, você pode dispensar totalmente os cálculos, tirando conclusões sobre os sinais com base no valor do coeficiente líder. Se a > 0, então obtemos uma sequência de sinais +, −, +, e se a< 0 – то − , + , − .

Para trinômios quadráticos com uma raiz, quando o discriminante é zero, obtemos dois intervalos no eixo de coordenadas com os mesmos sinais. Isso significa que determinamos o sinal para um dos intervalos e definimos o mesmo para o segundo.

Aqui também aplicamos o método de determinação do sinal com base no valor do coeficiente a: se a > 0, então será +, +, e se a< 0 , то − , − .

Se um trinômio quadrado não tem raízes, então os sinais de seus valores para toda a linha de coordenadas coincidem tanto com o sinal do coeficiente líder a quanto com o sinal do termo livre c.

Por exemplo, se tomarmos o trinômio quadrático − 4 x 2 − 7, ele não tem raízes (seu discriminante é negativo). O coeficiente de x 2 é negativo − 4, e o intercepto − 7 também é negativo. Isso significa que no intervalo (− ∞, + ∞) seus valores são negativos.

Vejamos exemplos de resolução de desigualdades quadráticas usando o algoritmo discutido acima.

Exemplo 2

Resolva a desigualdade 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0.

Solução

Usamos o método do intervalo para resolver a inequação. Para fazer isso, vamos encontrar as raízes do trinômio quadrado 8 x 2 − 4 x − 1 . Devido ao fato de o coeficiente para x ser par, será mais conveniente calcularmos não o discriminante, mas a quarta parte do discriminante: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .

O discriminante é maior que zero. Isso nos permite encontrar as duas raízes do trinômio quadrado: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 e x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Vamos marcar esses valores na reta numérica. Como a equação não é estrita, usamos pontos ordinários no gráfico.

Agora, utilizando o método dos intervalos, determinamos os sinais dos três intervalos resultantes. O coeficiente de x 2 é igual a 8, ou seja, positivo, portanto, a sequência de sinais será +, −, +.

Como estamos resolvendo uma inequação com sinal ≥, desenhamos sombreamento sobre os intervalos com sinais de mais:

Vamos escrever o conjunto numérico analiticamente a partir da imagem gráfica resultante. Podemos fazer isso de duas maneiras:

Responder:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) ou x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

Exemplo 3

Resolva a desigualdade quadrática - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Solução

Primeiro, vamos encontrar as raízes do trinômio quadrático do lado esquerdo da desigualdade:

D" = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Esta é uma desigualdade estrita, por isso usamos um ponto “vazio” no gráfico. Com coordenada 7.

Agora precisamos determinar os sinais nos intervalos resultantes (− ∞, 7) e (7, + ∞). Como o discriminante de um trinômio quadrático é zero e o coeficiente líder é negativo, colocamos os sinais −, −:

Como estamos resolvendo uma inequação com sinal< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Neste caso, as soluções são ambos intervalos (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .

Responder:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) ou em outra notação x ≠ 7 .

Exemplo 4

A desigualdade quadrática x 2 + x + 7< 0 решения?

Solução

Vamos encontrar as raízes do trinômio quadrático do lado esquerdo da desigualdade. Para fazer isso, vamos encontrar o discriminante: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . O discriminante é menor que zero, o que significa que não existem raízes reais.

A imagem gráfica se parecerá com uma reta numérica sem pontos marcados nela.

Vamos determinar o sinal dos valores do trinômio quadrático. Em D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

Neste caso, poderíamos aplicar sombreamento sobre os espaços com o sinal “-”. Mas não temos essas lacunas. Portanto, o desenho fica assim:

Como resultado dos cálculos, obtivemos um conjunto vazio. Isto significa que esta desigualdade quadrática não tem soluções.

Responder: Não.

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Desigualdades quadráticas são chamados , que podem ser reduzidos à forma \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), onde \(a\),\(b\) e \(c\) são quaisquer números (e \(a≠0\)), \(x\) é desconhecido e \(⋁\) é qualquer um dos sinais de comparação (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)).

Simplificando, essas desigualdades se parecem com , mas com um sinal de igual em vez de.
Exemplos:

\(x^2+2x-3>0\)
\(3x^2-x≥0\)
\((2x+5)(x-1)≤5\)

Como resolver desigualdades quadráticas?

As desigualdades quadráticas geralmente são resolvidas. Abaixo está um algoritmo para resolver desigualdades quadráticas com discriminante maior que zero. A resolução de desigualdades quadráticas com um discriminante igual a zero ou menor que zero é discutida separadamente.

Exemplo. Resolva a desigualdade quadrática \(≥\) \(\frac(8)(15)\)
Solução:

\(\frac(x^2)(5)+\frac(2x)(3)\)\(≥\) \(\frac(8)(15)\)
\(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2\) \(x_1=\frac(-10-14)(6)=-4\) \(x_2=\frac(-10+14)(6)=\frac(2)(3)\)		Quando as raízes são encontradas, escrevemos a desigualdade em forma.
\(3(x+4)(x-\frac(2)(3))≥0\)		Agora vamos desenhar uma reta numérica, marcar as raízes nela e colocar os sinais nos intervalos.
		Vamos anotar os intervalos que nos interessam. Como o sinal de desigualdade é \(≥\), precisamos de intervalos com o sinal \(+\) e incluímos as próprias raízes na resposta (os colchetes nesses pontos são quadrados).

Responder : \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac(2)(3);∞)\)

Desigualdades quadráticas com discriminante negativo e zero

O algoritmo acima funciona quando o discriminante é maior que zero, ou seja, possui raízes \(2\). O que fazer em outros casos? Por exemplo, estes:

\(1)x^2+2x+9>0\)	\(2)x^2+6x+9≤0\)	\(3)-x^2-4x-4>0\)	\(4)-x^2-64<0\)
\(D=4-36=-32<0\)			\(D=-4 \cponto 64<0\)

Se \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Ou seja, a expressão:
\(x^2+2x+9\) – positivo para qualquer \(x\), porque \(uma=1>0\)
\(-x^2-64\) - negativo para qualquer \(x\), porque \(a=-1<0\)

Se \(D=0\), então o trinômio quadrático para um valor \(x\) é igual a zero, e para todos os outros tem um sinal constante, que coincide com o sinal do coeficiente \(a\).

Ou seja, a expressão:
\(x^2+6x+9\) é igual a zero para \(x=-3\) e positivo para todos os outros x's, porque \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - igual a zero para \(x=-2\) e negativo para todos os outros, porque \(a=-1<0\).

Como encontrar x em que o trinômio quadrático é igual a zero? Precisamos resolver a equação quadrática correspondente.

Dadas essas informações, vamos resolver as desigualdades quadráticas:

1) \(x^2+2x+9>0\) \(D=4-36=-32<0\)		A desigualdade, poder-se-ia dizer, coloca-nos a questão: “para qual \(x\) a expressão à esquerda é maior que zero?” Já descobrimos isso acima para qualquer um. Na resposta você pode escrever: “para qualquer \(x\)”, mas é melhor expressar a mesma ideia na linguagem da matemática.
Resposta: \(x∈(-∞;∞)\)
2) \(x^2+6x+9≤0\) \(D=36-36=0\)		Pergunta da desigualdade: “para qual \(x\) a expressão à esquerda é menor ou igual a zero?” Não pode ser menor que zero, mas pode ser igual a zero. E para descobrir em que afirmação isto acontecerá, vamos resolver a equação quadrática correspondente.
		Vamos montar nossa expressão de acordo com \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).
		Agora a única coisa que nos impede é a praça. Vamos pensar juntos - qual número ao quadrado é igual a zero? Zero! Isso significa que o quadrado de uma expressão só será igual a zero se a própria expressão for igual a zero.
\(x+3=0\) \(x=-3\)		Este número será a resposta.
Resposta: \(-3\)
3)\(-x^2-4x-4>0\) \(D=16-16=0\)		Quando a expressão à esquerda é maior que zero? Como mencionado acima, a expressão à esquerda é negativa ou igual a zero; não pode ser positiva. Então a resposta é nunca. Vamos escrever “nunca” na linguagem da matemática, usando o símbolo de “conjunto vazio” - \(∅\).
Resposta: \(x∈∅\)
4) \(-x^2-64<0\) \(D=-4 \cponto 64<0\)		Quando a expressão à esquerda é menor que zero? Sempre. Isso significa que a desigualdade vale para qualquer \(x\).
Resposta: \(x∈(-∞;∞)\)

Este artigo contém material que cobre o tema “ resolvendo desigualdades quadráticas" Primeiro, é mostrado o que são desigualdades quadráticas com uma variável e sua forma geral é dada. E então veremos detalhadamente como resolver desigualdades quadráticas. São mostradas as principais abordagens para a solução: o método gráfico, o método dos intervalos e selecionando o quadrado do binômio no lado esquerdo da desigualdade. São fornecidas soluções para exemplos típicos.

Navegação na página.

O que é uma desigualdade quadrática?

Naturalmente, antes de falarmos em resolver desigualdades quadráticas, devemos compreender claramente o que é uma desigualdade quadrática. Em outras palavras, você precisa ser capaz de distinguir as desigualdades quadráticas de outros tipos de desigualdades pelo tipo de registro.

Definição.

Desigualdade quadráticaé uma desigualdade da forma a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >pode haver qualquer outro sinal de desigualdade ≤, >, ≥), onde a, b e c são alguns números, e a≠0, e x é uma variável (a variável pode ser denotada por qualquer outra letra).

Vamos dar imediatamente outro nome para desigualdades quadráticas - desigualdades de segundo grau. Este nome é explicado pelo fato de que no lado esquerdo das desigualdades a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Às vezes, você também pode ouvir desigualdades quadráticas chamadas desigualdades quadráticas. Isto não é totalmente correto: a definição de “quadrático” refere-se a funções definidas por equações da forma y=a·x 2 +b·x+c. Portanto, existem desigualdades quadráticas e funções quadráticas, mas não desigualdades quadráticas.

Vamos mostrar alguns exemplos de desigualdades quadráticas: 5 x 2 −3 x+1>0, aqui a=5, b=−3 e c=1; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0, os coeficientes desta desigualdade quadrática são a=−2,2, b=−0,5 e c=−11; , nesse caso .

Observe que na definição de uma desigualdade quadrática, o coeficiente a de x 2 é considerado diferente de zero. Isto é compreensível; a igualdade do coeficiente a a zero irá na verdade “remover” o quadrado, e estaremos lidando com uma desigualdade linear da forma b x+c>0 sem o quadrado da variável. Mas os coeficientes b e c podem ser iguais a zero, tanto separadamente quanto simultaneamente. Aqui estão alguns exemplos de tais desigualdades quadráticas: x 2 −5≥0, aqui o coeficiente b para a variável x é igual a zero; −3x2 −0,6x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 ambos b e c são zero.

Como resolver desigualdades quadráticas?

Agora você pode ficar intrigado com a questão de como resolver desigualdades quadráticas. Basicamente, três métodos principais são usados para resolver:

método gráfico (ou, como em A.G. Mordkovich, gráfico funcional),
método de intervalo,
e resolver desigualdades quadráticas isolando o quadrado do binômio no lado esquerdo.

Graficamente

Façamos imediatamente uma reserva de que o método de resolução de desigualdades quadráticas, que estamos considerando agora, não é chamado de gráfico nos livros escolares de álgebra. No entanto, em essência, isso é o que ele é. Além disso, o primeiro contato com método gráfico para resolver desigualdades geralmente começa quando surge a questão de como resolver desigualdades quadráticas.

Método gráfico para resolver desigualdades quadráticas a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) consiste em analisar o gráfico da função quadrática y=a·x 2 +b·x+c para encontrar os intervalos em que a função especificada assume valores negativos, positivos, não positivos ou não negativos. Esses intervalos constituem as soluções para as desigualdades quadráticas a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 e a x 2 +b x+c≥0, respectivamente.

Método de intervalo

Para resolver desigualdades quadráticas com uma variável, além do método gráfico, é bastante conveniente o método intervalar, que por si só é muito universal e adequado para resolver várias desigualdades, não apenas quadráticas. A sua vertente teórica ultrapassa os limites do curso de álgebra do 8º e 9º anos, quando aprendem a resolver desigualdades quadráticas. Portanto, não entraremos aqui na justificativa teórica do método intervalar, mas nos concentraremos em como as desigualdades quadráticas são resolvidas com sua ajuda.

A essência do método intervalar em relação à resolução de desigualdades quadráticas a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥), consiste em determinar os sinais que possuem os valores do trinômio quadrático a·x 2 +b·x+c nos intervalos em que o eixo das coordenadas é dividido pelos zeros deste trinômio (se houver). Intervalos com sinais de menos constituem soluções para a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, e na resolução de desigualdades não estritas, os pontos correspondentes aos zeros do trinômio são somados aos intervalos indicados.

Você pode conhecer todos os detalhes deste método, seu algoritmo, as regras para colocar sinais em intervalos e considerar soluções prontas para exemplos típicos com as ilustrações fornecidas consultando o material do artigo resolvendo desigualdades quadráticas usando o método de intervalo .

Elevando ao quadrado o binômio

Além do método gráfico e do método intervalar, existem outras abordagens que permitem resolver desigualdades quadráticas. E chegamos a um deles, que se baseia em binômio quadrado no lado esquerdo da desigualdade quadrática.

O princípio deste método de resolução de desigualdades quadráticas é realizar transformações equivalentes da desigualdade, permitindo prosseguir para a resolução de uma desigualdade equivalente da forma (x−p) 2 , ≥), onde p e q são alguns números.

E como ocorre a transição para a desigualdade (x−p) 2? , ≥) e como resolvê-lo, o artigo explica a solução das desigualdades quadráticas isolando o quadrado do binômio. Existem também exemplos de resolução de desigualdades quadráticas usando este método e as ilustrações gráficas necessárias.

Desigualdades que se reduzem a quadráticas

Na prática, muitas vezes é preciso lidar com desigualdades que podem ser reduzidas usando transformações equivalentes a desigualdades quadráticas da forma a x 2 +b x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Vamos começar com exemplos das desigualdades mais simples que se reduzem a desigualdades quadráticas. Às vezes, para passar para uma desigualdade quadrática, basta reorganizar os termos dessa desigualdade ou movê-los de uma parte para outra. Por exemplo, se transferirmos todos os termos do lado direito da desigualdade 5≤2·x−3·x 2 para a esquerda, obteremos uma desigualdade quadrática na forma especificada acima 3·x 2 −2·x+5≤ 0. Outro exemplo: reorganizando o lado esquerdo da desigualdade 5+0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

Na escola, nas aulas de álgebra, quando aprendem a resolver desigualdades quadráticas, também lidam com resolvendo desigualdades racionais, reduzindo a quadrados. A solução deles envolve transferir todos os termos para o lado esquerdo e depois transformar a expressão ali formada na forma a·x 2 +b·x+c executando . Vejamos um exemplo.

Exemplo.

Encontre muitas soluções para a desigualdade 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .desigualdade irracional é equivalente à desigualdade quadrática x 2 −6 x−9<0 , а desigualdade logarítmica – desigualdade x 2 +x−2≥0.

Bibliografia.

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Mordkovich A. G.Álgebra. 8 ª série. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A. G.Álgebra. 9 º ano. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G.Álgebra e início da análise matemática. Grau 11. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino geral (nível de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.

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Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

O que aconteceu "desigualdade quadrática"? Sem dúvida!) Se você pegar qualquer equação quadrática e substitua o sinal nela "=" (igual) a qualquer sinal de desigualdade ( > ≥ < ≤ ≠ ), obtemos uma desigualdade quadrática. Por exemplo:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Bem, você entende...)

Não foi à toa que vinculei equações e desigualdades aqui. A questão é que o primeiro passo para resolver qualquer desigualdade quadrática - resolva a equação a partir da qual essa desigualdade é feita. Por esta razão, a incapacidade de resolver equações quadráticas leva automaticamente ao fracasso total nas desigualdades. A dica está clara?) Na verdade, veja como resolver quaisquer equações quadráticas. Tudo está descrito em detalhes lá. E nesta lição trataremos das desigualdades.

A desigualdade pronta para solução tem a forma: à esquerda está um trinômio quadrático machado 2 +bx+c, à direita - zero. O sinal de desigualdade pode ser absolutamente qualquer coisa. Os dois primeiros exemplos estão aqui já estão prontos para tomar uma decisão. O terceiro exemplo ainda precisa ser preparado.