A necessidade de agir sobre as probabilidades ocorre quando as probabilidades de alguns eventos são conhecidas, sendo necessário calcular as probabilidades de outros eventos que estão associados a esses eventos.

A adição de probabilidades é usada quando você precisa calcular a probabilidade de uma combinação ou soma lógica de eventos aleatórios.

Soma de eventos A E B denotar A + B ou A ∪ B. A soma de dois eventos é um evento que ocorre se e somente se pelo menos um dos eventos ocorrer. Significa que A + B– um evento que ocorre se e somente se o evento ocorreu durante a observação A ou evento B, ou simultaneamente A E B.

Se os eventos A E B são mutuamente inconsistentes e suas probabilidades são dadas, então a probabilidade de que um desses eventos ocorra como resultado de uma tentativa é calculada usando a adição de probabilidades.

Teorema da adição de probabilidade. A probabilidade de ocorrer um de dois eventos mutuamente incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos:

Por exemplo, durante a caça, dois tiros são disparados. Evento A– acertar um pato com o primeiro tiro, evento EM– acerto do segundo tiro, evento ( A+ EM) – um acerto do primeiro ou segundo tiro ou de dois tiros. Então, se dois eventos A E EM– eventos incompatíveis, então A+ EM– a ocorrência de pelo menos um destes eventos ou dois eventos.

Exemplo 1. Numa caixa existem 30 bolas do mesmo tamanho: 10 vermelhas, 5 azuis e 15 brancas. Calcule a probabilidade de uma bola colorida (não branca) ser apanhada sem olhar.

Solução. Suponhamos que o evento A- “a bola vermelha foi tirada”, e o evento EM- “A bola azul foi tirada.” Então o evento é “uma bola colorida (não branca) é pega”. Vamos encontrar a probabilidade do evento A:

e eventos EM:

Eventos A E EM– mutuamente incompatíveis, pois se for retirada uma bola, é impossível retirar bolas de cores diferentes. Portanto, usamos a adição de probabilidades:

O teorema para adicionar probabilidades para vários eventos incompatíveis. Se os eventos constituem um conjunto completo de eventos, então a soma de suas probabilidades é igual a 1:

A soma das probabilidades de eventos opostos também é igual a 1:

Eventos opostos formam um conjunto completo de eventos e a probabilidade de um conjunto completo de eventos é 1.

As probabilidades de eventos opostos são geralmente indicadas em letras minúsculas p E q. Em particular,

do qual seguem as seguintes fórmulas para a probabilidade de eventos opostos:

Exemplo 2. O alvo no campo de tiro é dividido em 3 zonas. A probabilidade de um determinado atirador atirar no alvo na primeira zona é de 0,15, na segunda zona – 0,23, na terceira zona – 0,17. Encontre a probabilidade de o atirador acertar o alvo e a probabilidade de o atirador errar o alvo.

Solução: Encontre a probabilidade de o atirador acertar o alvo:

Vamos encontrar a probabilidade de o atirador errar o alvo:

Problemas mais complexos, nos quais é necessário utilizar tanto adição quanto multiplicação de probabilidades, podem ser encontrados na página “Vários problemas envolvendo adição e multiplicação de probabilidades”.

Adição de probabilidades de eventos mutuamente simultâneos

Dois eventos aleatórios são chamados conjuntos se a ocorrência de um evento não exclui a ocorrência de um segundo evento na mesma observação. Por exemplo, ao lançar um dado, o evento A O número 4 é considerado lançado e o evento EM– rolando um número par. Como 4 é um número par, os dois eventos são compatíveis. Na prática, existem problemas de cálculo das probabilidades de ocorrência de um dos eventos mutuamente simultâneos.

Teorema da adição de probabilidade para eventos conjuntos. A probabilidade de ocorrência de um dos eventos conjuntos é igual à soma das probabilidades desses eventos, da qual se subtrai a probabilidade de ocorrência comum de ambos os eventos, ou seja, o produto das probabilidades. A fórmula para as probabilidades de eventos conjuntos tem a seguinte forma:

Desde os eventos A E EM compatível, evento A+ EM ocorre se um dos três eventos possíveis ocorrer: ou AB. De acordo com o teorema da adição de eventos incompatíveis, calculamos da seguinte forma:

Evento A ocorrerá se ocorrer um de dois eventos incompatíveis: ou AB. No entanto, a probabilidade de ocorrência de um evento entre vários eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades de todos esses eventos:

Da mesma maneira:

Substituindo as expressões (6) e (7) na expressão (5), obtemos a fórmula de probabilidade para eventos conjuntos:

Ao usar a fórmula (8), deve-se levar em conta que os eventos A E EM pode ser:

  • mutuamente independentes;
  • mutuamente dependentes.

Fórmula de probabilidade para eventos mutuamente independentes:

Fórmula de probabilidade para eventos mutuamente dependentes:

Se os eventos A E EM são inconsistentes, então sua coincidência é um caso impossível e, portanto, P(AB) = 0. A quarta fórmula de probabilidade para eventos incompatíveis é:

Exemplo 3. No automobilismo, quando você dirige o primeiro carro, você tem mais chances de vencer, e quando dirige o segundo carro. Encontrar:

  • a probabilidade de ambos os carros vencerem;
  • a probabilidade de pelo menos um carro vencer;

1) A probabilidade de o primeiro carro vencer não depende do resultado do segundo carro, portanto os eventos A(o primeiro carro vence) e EM(o segundo carro vencerá) – eventos independentes. Vamos encontrar a probabilidade de ambos os carros ganharem:

2) Encontre a probabilidade de um dos dois carros vencer:

Problemas mais complexos, nos quais é necessário utilizar tanto adição quanto multiplicação de probabilidades, podem ser encontrados na página “Vários problemas envolvendo adição e multiplicação de probabilidades”.

Resolva você mesmo o problema da adição de probabilidades e, em seguida, observe a solução

Exemplo 4. Duas moedas são lançadas. Evento A- perda do brasão da primeira moeda. Evento B- perda do brasão da segunda moeda. Encontre a probabilidade de um evento C = A + B .

Multiplicando Probabilidades

A multiplicação de probabilidade é usada quando a probabilidade de um produto lógico de eventos deve ser calculada.

Neste caso, os eventos aleatórios devem ser independentes. Dois eventos são considerados mutuamente independentes se a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de ocorrência do segundo evento.

Teorema da multiplicação de probabilidades para eventos independentes. Probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes A E EMé igual ao produto das probabilidades desses eventos e é calculado pela fórmula:

Exemplo 5. A moeda é lançada três vezes seguidas. Encontre a probabilidade de o brasão aparecer três vezes.

Solução. A probabilidade de o brasão aparecer no primeiro lançamento de uma moeda, na segunda e na terceira vez. Vamos encontrar a probabilidade de o brasão aparecer três vezes:

Resolva problemas de multiplicação de probabilidade por conta própria e depois observe a solução

Exemplo 6. Há uma caixa com nove bolas de tênis novas. Para jogar, são retiradas três bolas e, após o jogo, elas são recolocadas. Ao escolher as bolas, as bolas jogadas não se distinguem das bolas não jogadas. Qual é a probabilidade de que, após três jogos, não haja mais bolas não jogadas na área?

Exemplo 7. 32 letras do alfabeto russo estão escritas em cartões alfabéticos recortados. Cinco cartas são sorteadas aleatoriamente, uma após a outra, e colocadas na mesa em ordem de aparecimento. Encontre a probabilidade de as letras formarem a palavra "fim".

Exemplo 8. De um baralho completo (52 folhas), quatro cartas são retiradas de uma vez. Encontre a probabilidade de que todas essas quatro cartas sejam de naipes diferentes.

Exemplo 9. A mesma tarefa do exemplo 8, mas cada carta após ser removida é devolvida ao baralho.

Problemas mais complexos, nos quais é necessário utilizar tanto adição quanto multiplicação de probabilidades, bem como calcular o produto de diversos eventos, podem ser encontrados na página “Vários problemas envolvendo adição e multiplicação de probabilidades”.

A probabilidade de ocorrer pelo menos um dos eventos mutuamente independentes pode ser calculada subtraindo de 1 o produto das probabilidades de eventos opostos, ou seja, usando a fórmula:

Exemplo 10. A carga é entregue por três modais de transporte: fluvial, ferroviário e rodoviário. A probabilidade de a carga ser entregue por transporte fluvial é de 0,82, por transporte ferroviário 0,87, por transporte rodoviário 0,90. Encontre a probabilidade de a carga ser entregue por pelo menos um dos três meios de transporte.

Quando uma moeda é lançada, podemos dizer que ela cairá cara, ou probabilidade isso é 1/2. É claro que isso não significa que, se uma moeda for lançada 10 vezes, ela necessariamente dará cara 5 vezes. Se a moeda for “justa” e for lançada muitas vezes, então a cara cairá muito perto na metade das vezes. Assim, existem dois tipos de probabilidades: experimental E teórico .

Probabilidade experimental e teórica

Se lançarmos uma moeda um grande número de vezes - digamos 1000 - e contarmos quantas vezes ela dá cara, podemos determinar a probabilidade de ela dar cara. Se caras forem lançadas 503 vezes, podemos calcular a probabilidade de cair:
503/1000 ou 0,503.

Esse experimental definição de probabilidade. Esta definição de probabilidade vem da observação e estudo de dados e é bastante comum e muito útil. Aqui, por exemplo, estão algumas probabilidades que foram determinadas experimentalmente:

1. A probabilidade de uma mulher desenvolver câncer de mama é de 1/11.

2. Se você beijar alguém que está resfriado, a probabilidade de você também pegar um resfriado é de 0,07.

3. Uma pessoa que acaba de ser libertada da prisão tem 80% de probabilidade de regressar à prisão.

Se considerarmos o lançamento de uma moeda e tendo em conta que é igualmente provável que dê cara ou coroa, podemos calcular a probabilidade de obter cara: 1/2. Esta é uma definição teórica de probabilidade. Aqui estão algumas outras probabilidades que foram determinadas teoricamente usando matemática:

1. Se houver 30 pessoas numa sala, a probabilidade de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia (excluindo o ano) é de 0,706.

2. Durante uma viagem você conhece alguém e durante a conversa descobre que tem um amigo em comum. Reação típica: “Isso não pode ser!” Na verdade, esta frase não é adequada, porque a probabilidade de tal evento é bastante elevada - pouco mais de 22%.

Assim, as probabilidades experimentais são determinadas através da observação e coleta de dados. As probabilidades teóricas são determinadas através de raciocínio matemático. Exemplos de probabilidades experimentais e teóricas, como as discutidas acima, e principalmente aquelas que não esperamos, nos levam à importância do estudo da probabilidade. Você pode perguntar: "Qual é a verdadeira probabilidade?" Na verdade, não existe tal coisa. As probabilidades dentro de certos limites podem ser determinadas experimentalmente. Podem ou não coincidir com as probabilidades que obtemos teoricamente. Existem situações em que é muito mais fácil determinar um tipo de probabilidade do que outro. Por exemplo, seria suficiente encontrar a probabilidade de pegar um resfriado usando a probabilidade teórica.

Cálculo de probabilidades experimentais

Consideremos primeiro a definição experimental de probabilidade. O princípio básico que usamos para calcular tais probabilidades é o seguinte.

Princípio P (experimental)

Se em um experimento no qual são feitas n observações, uma situação ou evento E ocorre m vezes em n observações, então a probabilidade experimental do evento é considerada P (E) = m/n.

Exemplo 1 Pesquisa sociológica. Foi realizado um estudo experimental para determinar o número de canhotos, destros e pessoas com ambas as mãos igualmente desenvolvidas. Os resultados são mostrados no gráfico.

a) Determine a probabilidade de a pessoa ser destra.

b) Determine a probabilidade de a pessoa ser canhota.

c) Determine a probabilidade de uma pessoa ser igualmente fluente em ambas as mãos.

d) A maioria dos torneios da Professional Bowling Association são limitados a 120 jogadores. Com base nos dados desta experiência, quantos jogadores poderiam ser canhotos?

Solução

a)O número de destros é 82, o número de canhotos é 17 e o número de canhotos é igualmente fluente em ambas as mãos é 1. O número total de observações é 100. Assim, a probabilidade que uma pessoa é destra é P
P = 82/100, ou 0,82, ou 82%.

b) A probabilidade de uma pessoa ser canhota é P, onde
P = 17/100, ou 0,17, ou 17%.

c) A probabilidade de uma pessoa ser igualmente fluente em ambas as mãos é P, onde
P = 1/100, ou 0,01, ou 1%.

d) 120 jogadores de boliche, e de (b) podemos esperar que 17% sejam canhotos. Daqui
17% de 120 = 0,17,120 = 20,4,
isto é, podemos esperar que cerca de 20 jogadores sejam canhotos.

Exemplo 2 Controle de qualidade . É muito importante para um fabricante manter um alto nível de qualidade de seus produtos. Na verdade, as empresas contratam inspetores de controle de qualidade para garantir esse processo. O objetivo é produzir o menor número possível de produtos defeituosos. Mas como a empresa produz milhares de produtos todos os dias, ela não pode se dar ao luxo de testar cada produto para determinar se apresenta defeito ou não. Para descobrir qual a porcentagem de produtos com defeito, a empresa testa muito menos produtos.
O USDA exige que 80% das sementes vendidas pelos produtores germinem. Para determinar a qualidade das sementes que uma empresa agrícola produz, são plantadas 500 sementes daquelas que foram produzidas. Depois disso, calculou-se que brotaram 417 sementes.

a) Qual é a probabilidade de a semente germinar?

b) As sementes atendem aos padrões governamentais?

Solução a) Sabemos que das 500 sementes plantadas, 417 brotaram. Probabilidade de germinação de sementes P, e
P = 417/500 = 0,834 ou 83,4%.

b) Como a percentagem de sementes germinadas excedeu 80% conforme exigido, as sementes atendem aos padrões governamentais.

Exemplo 3 Avaliações de televisão. Segundo as estatísticas, existem 105.500.000 domicílios com televisão nos Estados Unidos. Todas as semanas são recolhidas e processadas informações sobre a visualização de programas. Em uma semana, 7.815.000 famílias sintonizaram a série de comédia de sucesso "Everybody Loves Raymond" da CBS e 8.302.000 famílias sintonizaram a série de sucesso "Law & Order" da NBC (Fonte: Nielsen Media Research). Qual é a probabilidade de a TV de uma família estar sintonizada em "Everybody Loves Raymond" durante uma determinada semana? em "Law & Order"?

Solução A probabilidade de que a TV de uma casa esteja sintonizada em "Everybody Loves Raymond" é P, e
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
A chance de a TV da família estar sintonizada em Law & Order é P, e
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Essas porcentagens são chamadas de classificações.

Probabilidade teórica

Suponha que estejamos conduzindo um experimento, como jogar uma moeda ou dardos, tirar uma carta de um baralho ou testar a qualidade de produtos em uma linha de montagem. Cada resultado possível de tal experimento é chamado Êxodo . O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado espaço de resultados . Evento é um conjunto de resultados, ou seja, um subconjunto do espaço de resultados.

Exemplo 4 Jogando dardos. Suponha que, em um experimento de lançamento de dardo, um dardo atinja um alvo. Encontre cada um dos seguintes:

b) Espaço de resultados

Solução
a) Os resultados são: acertar o preto (B), acertar o vermelho (R) e acertar o branco (B).

b) O espaço de resultados é (atingir o preto, atingir o vermelho, atingir o branco), que pode ser escrito simplesmente como (H, K, B).

Exemplo 5 Jogando dados. Um dado é um cubo com seis lados, cada um com um a seis pontos.


Suponha que estejamos jogando um dado. Encontrar
a) Resultados
b) Espaço de resultados

Solução
a) Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Espaço de resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Denotamos a probabilidade de um evento E ocorrer como P(E). Por exemplo, “a moeda cairá em cara” pode ser denotada por H. Então P(H) representa a probabilidade de a moeda cair em cara. Quando todos os resultados de um experimento têm a mesma probabilidade de ocorrer, dizemos que são igualmente prováveis. Para ver as diferenças entre eventos que são igualmente prováveis ​​e eventos que não o são, considere o alvo mostrado abaixo.

Para o alvo A, os eventos de acertar o preto, o vermelho e o branco são igualmente prováveis, uma vez que os setores preto, vermelho e branco são iguais. Porém, para o alvo B, as zonas com essas cores não são iguais, ou seja, acertá-las não é igualmente provável.

Princípio P (Teórico)

Se um evento E pode acontecer de m maneiras dentre n resultados igualmente prováveis ​​possíveis do espaço de resultados S, então probabilidade teórica eventos, P(E) é
P(E) = m/n.

Exemplo 6 Qual é a probabilidade de lançar um dado para obter um 3?

Solução Existem 6 resultados igualmente prováveis ​​num dado e só existe uma possibilidade de lançar o número 3. Então a probabilidade P será P(3) = 1/6.

Exemplo 7 Qual é a probabilidade de sair um número par em um dado?

Solução O evento é o lançamento de um número par. Isso pode acontecer de 3 maneiras (se você tirar 2, 4 ou 6). O número de resultados igualmente prováveis ​​é 6. Então a probabilidade P(par) = 3/6 ou 1/2.

Usaremos vários exemplos envolvendo um baralho padrão de 52 cartas. Este baralho consiste nas cartas mostradas na figura abaixo.

Exemplo 8 Qual é a probabilidade de tirar um Ás de um baralho de cartas bem embaralhado?

Solução Existem 52 resultados (o número de cartas no baralho), eles são igualmente prováveis ​​(se o baralho estiver bem embaralhado) e existem 4 maneiras de tirar um Ás, portanto, de acordo com o princípio P, a probabilidade
P (tirar um ás) = 4/52 ou 1/13.

Exemplo 9 Suponha que escolhemos, sem olhar, uma bola de um saco com 3 bolas vermelhas e 4 bolas verdes. Qual é a probabilidade de escolher uma bola vermelha?

Solução Existem 7 resultados igualmente prováveis ​​de se tirar qualquer bola, e como o número de maneiras de se tirar uma bola vermelha é 3, obtemos
P (seleção de bola vermelha) = 3/7.

As afirmações a seguir são resultados do Princípio P.

Propriedades de probabilidade

a) Se o evento E não puder acontecer, então P(E) = 0.
b) Se o evento E for certo, então P(E) = 1.
c) A probabilidade de ocorrência do evento E é um número de 0 a 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o evento de a moeda cair em sua borda tem probabilidade zero. A probabilidade de uma moeda dar cara ou coroa tem probabilidade de 1.

Exemplo 10 Suponhamos que 2 cartas sejam retiradas de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de ambos serem picos?

Solução O número n de maneiras de tirar 2 cartas de um baralho bem embaralhado de 52 cartas é 52 C 2 . Como 13 das 52 cartas são espadas, o número de maneiras m de tirar 2 espadas é 13 C 2 . Então,
P(puxando 2 picos) = m/n = 13 C 2/52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Exemplo 11 Suponha que 3 pessoas sejam selecionadas aleatoriamente de um grupo de 6 homens e 4 mulheres. Qual é a probabilidade de que 1 homem e 2 mulheres sejam selecionados?

Solução O número de maneiras de selecionar três pessoas de um grupo de 10 pessoas é 10 C 3. Um homem pode ser escolhido de 6 C 1 maneiras, e 2 mulheres podem ser escolhidas de 4 C 2 maneiras. De acordo com o princípio fundamental da contagem, o número de maneiras de escolher 1 homem e 2 mulheres é 6 C 1. 4C2. Então, a probabilidade de 1 homem e 2 mulheres serem selecionados é
P = 6 C 1 . 4 C 2/10 C 3 = 3/10.

Exemplo 12 Jogando dados. Qual é a probabilidade de rolar um total de 8 em dois dados?

Solução Cada dado tem 6 resultados possíveis. Os resultados são duplicados, o que significa que existem 6,6 ou 36 maneiras possíveis de aparecer os números nos dois dados. (É melhor que os cubos sejam diferentes, digamos que um seja vermelho e o outro azul - isso ajudará a visualizar o resultado.)

Os pares de números que somam 8 são mostrados na figura abaixo. Existem 5 maneiras possíveis de obter uma soma igual a 8, portanto a probabilidade é 5/36.

Tudo no mundo acontece de forma determinística ou por acaso...
Aristóteles

Probabilidade: regras básicas

A teoria da probabilidade calcula as probabilidades de vários eventos. Fundamental para a teoria da probabilidade é o conceito de evento aleatório.

Por exemplo, você joga uma moeda, ela cai aleatoriamente em cara ou coroa. Você não sabe antecipadamente de que lado a moeda irá cair. Você celebra um contrato de seguro e não sabe antecipadamente se os pagamentos serão feitos ou não.

Nos cálculos atuariais, você precisa ser capaz de estimar a probabilidade de vários eventos, portanto a teoria das probabilidades desempenha um papel fundamental. Nenhum outro ramo da matemática pode lidar com as probabilidades dos eventos.

Vamos dar uma olhada mais de perto no lançamento de uma moeda. Existem 2 resultados mutuamente exclusivos: o brasão cai ou a cauda cai. O resultado do lançamento é aleatório, pois o observador não consegue analisar e levar em consideração todos os fatores que influenciam o resultado. Qual é a probabilidade de o brasão cair? A maioria responderá ½, mas por quê?

Que seja formal A indica a perda do brasão. Deixe a moeda ser lançada n uma vez. Então a probabilidade do evento A pode ser definido como a proporção daqueles lances que resultam em um brasão:

Onde n número total de lançamentos, n / D) número de quedas de brasões.

A relação (1) é chamada frequência eventos A em uma longa série de testes.

Acontece que em várias séries de testes a frequência correspondente em geral n agrupa em torno de algum valor constante P(A). Essa quantidade é chamada probabilidade de um evento A e é designado pela letra R- abreviatura da palavra inglesa probabilidade - probabilidade.

Formalmente temos:

(2)

Esta lei é chamada lei dos grandes números.

Se a moeda for justa (simétrica), então a probabilidade de obter um brasão é igual à probabilidade de obter cara e é igual a ½.

Deixar A E EM alguns eventos, por exemplo, se um evento segurado ocorreu ou não. A união de dois eventos é um evento que consiste na execução de um evento A, eventos EM, ou ambos os eventos juntos. A interseção de dois eventos A E EM chamado de evento que consiste na implementação como um evento A e eventos EM.

Regras básicas O cálculo das probabilidades dos eventos é o seguinte:

1. A probabilidade de qualquer evento está entre zero e um:

2. Sejam A e B dois eventos, então:

É assim: a probabilidade de dois eventos se combinarem é igual à soma das probabilidades desses eventos menos a probabilidade dos eventos se cruzarem. Se os eventos forem incompatíveis ou não sobrepostos, então a probabilidade da combinação (soma) de dois eventos é igual à soma das probabilidades. Esta lei é chamada de lei Adição probabilidades.

Dizemos que um evento é confiável se sua probabilidade for igual a 1. Ao analisar certos fenômenos, surge a questão de como a ocorrência de um evento afeta EM na ocorrência de um evento A. Para fazer isso, digite Probabilidade Condicional :

(4)

É assim: probabilidade de ocorrência A dado que EMé igual à probabilidade de interseção A E EM, dividido pela probabilidade do evento EM.
A fórmula (4) assume que a probabilidade de um evento EM Acima de zero.

A fórmula (4) também pode ser escrita como:

(5)

Esta é a fórmula multiplicando probabilidades.

A probabilidade condicional também é chamada a posteriori probabilidade de um evento A- probabilidade de ocorrência A depois da ofensiva EM.

Neste caso, a própria probabilidade é chamada a priori probabilidade. Existem várias outras fórmulas importantes que são intensamente utilizadas em cálculos atuariais.

Fórmula de Probabilidade Total

Suponhamos que esteja sendo realizado um experimento cujas condições podem ser determinadas antecipadamente mutuamente suposições mutuamente exclusivas (hipóteses):

Assumimos que existe uma hipótese, ou... ou. As probabilidades dessas hipóteses são conhecidas e iguais:

Então a fórmula vale completo probabilidades :

(6)

Probabilidade de um evento ocorrer A igual à soma dos produtos da probabilidade de ocorrência A para cada hipótese sobre a probabilidade dessa hipótese.

Fórmula de Bayes

Fórmula de Bayes permite que a probabilidade das hipóteses seja recalculada à luz de novas informações fornecidas pelo resultado A.

A fórmula de Bayes, em certo sentido, é o inverso da fórmula da probabilidade total.

Considere o seguinte problema prático.

Problema 1

Suponha que haja um acidente de avião e os especialistas estejam ocupados investigando suas causas. 4 razões pelas quais o desastre ocorreu são conhecidas antecipadamente: a causa, ou, ou, ou. De acordo com as estatísticas disponíveis, estes motivos têm as seguintes probabilidades:



Ao examinar o local do acidente, foram encontrados vestígios de ignição de combustível, segundo as estatísticas, a probabilidade deste evento por um motivo ou outro é a seguinte:




Pergunta: qual é a causa mais provável do desastre?

Vamos calcular as probabilidades das causas nas condições de ocorrência de um evento A.



A partir disso fica claro que o primeiro motivo é o mais provável, pois sua probabilidade é máxima.

Problema 2

Considere um avião pousando em um campo de aviação.

Ao pousar, as condições climáticas podem ser as seguintes: sem nuvens baixas (), presença de nuvens baixas (). No primeiro caso, a probabilidade de um pouso seguro é P1. No segundo caso - P2. Está claro que P1>P2.

Dispositivos que fornecem pouso cego têm probabilidade de operação sem problemas R. Se houver pouca cobertura de nuvens e os instrumentos de pouso cego falharem, a probabilidade de um pouso bem-sucedido é P3, e P3<Р2 . Sabe-se que para um determinado aeródromo a proporção de dias em um ano com nuvens baixas é igual a .

Encontre a probabilidade de o avião pousar com segurança.

Precisamos encontrar a probabilidade.

Existem duas opções mutuamente exclusivas: os dispositivos de pouso cego estão funcionando, os dispositivos de pouso cego falharam, então temos:

Portanto, de acordo com a fórmula da probabilidade total:

Problema 3

Uma seguradora oferece seguro de vida. 10% dos segurados desta empresa são fumantes. Se o segurado não fuma, a probabilidade de sua morte durante o ano é de 0,01. Se for fumante, essa probabilidade é de 0,05.

Qual é a proporção de fumantes entre os segurados que morreram durante o ano?

Possíveis respostas: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.

Solução

Vamos entrar nos eventos:

A condição do problema significa que

Além disso, como os eventos formam um grupo completo de eventos incompatíveis entre pares, então.
A probabilidade em que estamos interessados ​​é .

Usando a fórmula de Bayes, temos:

portanto a opção correta é ( EM).

Problema 4

A seguradora comercializa contratos de seguro de vida em três categorias: padrão, preferencial e ultraprivilegiado.

50% de todos os segurados são padrão, 40% são preferenciais e 10% são ultraprivilegiados.

A probabilidade de morte dentro de um ano para um segurado padrão é de 0,010, para um privilegiado - 0,005 e para um ultraprivilegiado - 0,001.

Qual é a probabilidade de o segurado falecido ser ultraprivilegiado?

Solução

Vamos introduzir os seguintes eventos em consideração:

Em termos desses eventos, a probabilidade em que estamos interessados ​​é . Por condição:

Como os eventos,, formam um grupo completo de eventos incompatíveis entre pares, usando a fórmula de Bayes, temos:

Variáveis ​​aleatórias e suas características

Que seja alguma variável aleatória, por exemplo, danos causados ​​por um incêndio ou o valor dos pagamentos do seguro.
Uma variável aleatória é completamente caracterizada por sua função de distribuição.

Definição. Função chamado função de distribuição variável aleatória ξ .

Definição. Se existe uma função tal que para arbitrário a feito

então eles dizem que a variável aleatória ξ Tem função de densidade de probabilidade f(x).

Definição. Deixar . Para uma função de distribuição contínua F α-quantil teóricoé chamada de solução da equação.

Esta solução pode não ser a única.

Nível quantil ½ chamado teórico mediana , níveis de quantil ¼ E ¾ -quartis inferior e superior respectivamente.

Nas aplicações atuariais, desempenha um papel importante Desigualdade de Chebyshev:

em qualquer

Símbolo da expectativa matemática.

É assim: a probabilidade de o módulo ser maior ou igual à expectativa matemática do módulo dividida por .

Tempo de vida como uma variável aleatória

A incerteza do momento da morte é um importante fator de risco no seguro de vida.

Nada definitivo pode ser dito sobre o momento da morte de um indivíduo. No entanto, se estamos lidando com um grande grupo homogêneo de pessoas e não estamos interessados ​​​​no destino de pessoas individuais desse grupo, então estamos dentro da estrutura da teoria da probabilidade como a ciência dos fenômenos aleatórios de massa que possuem a propriedade de estabilidade de frequência .

Respectivamente, podemos falar sobre a expectativa de vida como uma variável aleatória T.

Função de sobrevivência

A teoria da probabilidade descreve a natureza estocástica de qualquer variável aleatória T função de distribuição F(x), que é definido como a probabilidade de que a variável aleatória T menos que número x:

.

Em matemática atuarial é bom trabalhar não com a função de distribuição, mas com a função de distribuição adicional . Em termos de longevidade, esta é a probabilidade de uma pessoa viver até envelhecer x anos.

chamado função de sobrevivência(função de sobrevivência):

A função de sobrevivência tem as seguintes propriedades:

As tabelas de vida geralmente assumem que há alguma limite de idade (limite de idade) (geralmente anos) e, consequentemente, em x>.

Ao descrever a mortalidade por meio de leis analíticas, geralmente assume-se que o tempo de vida é ilimitado, mas o tipo e os parâmetros das leis são selecionados de modo que a probabilidade de vida além de uma certa idade seja insignificante.

A função de sobrevivência tem um significado estatístico simples.

Digamos que estamos observando um grupo de recém-nascidos (geralmente), que observamos e podemos registrar os momentos de sua morte.

Vamos denotar o número de representantes vivos deste grupo com idade por . Então:

.

Símbolo E aqui e abaixo usado para denotar expectativa matemática.

Assim, a função de sobrevivência é igual à proporção média daqueles que sobrevivem até a idade de algum grupo fixo de recém-nascidos.

Na matemática atuarial, muitas vezes não se trabalha com a função de sobrevivência, mas com o valor que acabamos de introduzir (fixando o tamanho inicial do grupo).

A função de sobrevivência pode ser reconstruída a partir da densidade:

Características de vida útil

Do ponto de vista prático, as seguintes características são importantes:

1 . Média vida

,
2 . Dispersão vida

,
Onde
,

como categoria ontológica reflete a extensão da possibilidade de surgimento de qualquer entidade sob quaisquer condições. Ao contrário da interpretação matemática e lógica deste conceito, a matemática ontológica não se associa à obrigação de expressão quantitativa. O significado de V. é revelado no contexto da compreensão do determinismo e da natureza do desenvolvimento em geral.

Excelente definição

Definição incompleta ↓

PROBABILIDADE

conceito que caracteriza quantidades. a medida da possibilidade de ocorrência de um determinado evento em um determinado condições. Em científico conhecimento existem três interpretações de V. O conceito clássico de V., que surgiu da matemática. análise do jogo e desenvolvida de forma mais completa por B. Pascal, J. Bernoulli e P. Laplace, considera o ganho como a razão entre o número de casos favoráveis ​​​​e o número total de todos os igualmente possíveis. Por exemplo, ao lançar um dado que tem 6 lados, pode-se esperar que cada um deles caia com um valor de 1/6, uma vez que nenhum lado tem vantagens sobre o outro. Tal simetria dos resultados experimentais é especialmente levada em conta na organização de jogos, mas é relativamente rara no estudo de eventos objetivos na ciência e na prática. Clássico A interpretação de V. deu lugar às estatísticas. Os conceitos de V., que se baseiam na realidade observar a ocorrência de um determinado evento durante um longo período de tempo. experiência sob condições precisamente fixadas. A prática confirma que quanto mais frequentemente um evento ocorre, maior é o grau de possibilidade objetiva de sua ocorrência, ou B. Portanto, estatística. A interpretação de V. baseia-se no conceito de relaciona. frequência, que pode ser determinada experimentalmente. V. como teórico o conceito nunca coincide com a frequência determinada empiricamente, porém, no plural. Em alguns casos, difere praticamente pouco do relativo. frequência encontrada como resultado da duração. observações. Muitos estatísticos consideram V. como um “duplo” refere-se. frequências, as bordas são determinadas estatisticamente. estudo de resultados observacionais

ou experimentos. Menos realista foi a definição de V. no que se refere ao limite. frequências de eventos de massa, ou grupos, propostas por R. Mises. Como um desenvolvimento adicional da abordagem de frequência para V., uma interpretação disposicional ou propensiva de V. é apresentada (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Segundo esta interpretação, V. caracteriza a propriedade de condições geradoras, por exemplo. experimentar. instalações para obter uma sequência de eventos aleatórios massivos. É precisamente esta atitude que dá origem à disposições, ou predisposições, V. que podem ser verificadas por meio de parentes. frequência

Estatística A interpretação de V. domina a pesquisa científica. cognição, porque reflete específico. a natureza dos padrões inerentes aos fenômenos de massa de natureza aleatória. Em muitos aspectos físicos, biológicos, econômicos, demográficos. e outros processos sociais, é necessário levar em conta a ação de muitos fatores aleatórios, que se caracterizam por uma frequência estável. Identificando essas frequências e quantidades estáveis. a sua avaliação com a ajuda de V. permite revelar a necessidade que perpassa a ação cumulativa de muitos acidentes. É aqui que a dialética da transformação do acaso em necessidade encontra a sua manifestação (ver F. Engels, no livro: K. Marx e F. Engels, Works, vol. 20, pp. 535-36).

O raciocínio lógico, ou indutivo, caracteriza a relação entre as premissas e a conclusão do raciocínio não demonstrativo e, em particular, do raciocínio indutivo. Ao contrário da dedução, as premissas da indução não garantem a veracidade da conclusão, mas apenas a tornam mais ou menos plausível. Esta plausibilidade, com premissas formuladas com precisão, às vezes pode ser avaliada usando V. O valor deste V. é mais frequentemente determinado por comparação. conceitos (mais que, menos que ou igual a), e às vezes de forma numérica. Lógico a interpretação é frequentemente usada para analisar o raciocínio indutivo e construir vários sistemas de lógica probabilística (R. Carnap, R. Jeffrey). Em semântica conceitos lógicos V. é frequentemente definido como o grau em que uma afirmação é confirmada por outras (por exemplo, uma hipótese pelos seus dados empíricos).

Em conexão com o desenvolvimento de teorias de tomada de decisão e jogos, os chamados interpretação personalista de V. Embora V. expresse ao mesmo tempo o grau de fé do sujeito e a ocorrência de um determinado evento, os próprios V. devem ser escolhidos de tal forma que os axiomas do cálculo de V. sejam satisfeitos. Portanto, V. com tal interpretação expressa não tanto o grau de fé subjetiva, mas sim razoável. Conseqüentemente, as decisões tomadas com base em tal V. serão racionais, pois não levam em consideração o psicológico. características e inclinações do sujeito.

Com epistemológico t.zr. diferença entre estatístico, lógico. e interpretações personalistas de V. é que se o primeiro caracteriza as propriedades objetivas e as relações dos fenômenos de massa de natureza aleatória, então os dois últimos analisam as características do subjetivo, cognoscente. atividades humanas em condições de incerteza.

PROBABILIDADE

um dos conceitos mais importantes da ciência, caracterizando uma visão sistêmica especial do mundo, sua estrutura, evolução e conhecimento. A especificidade da visão probabilística do mundo é revelada através da inclusão dos conceitos de aleatoriedade, independência e hierarquia (a ideia de níveis na estrutura e determinação dos sistemas) entre os conceitos básicos de existência.

As ideias sobre probabilidade tiveram origem na antiguidade e estavam relacionadas com as características do nosso conhecimento, ao mesmo tempo que se reconhecia a existência de um conhecimento probabilístico, que diferia do conhecimento confiável e do conhecimento falso. O impacto da ideia de probabilidade no pensamento científico e no desenvolvimento do conhecimento está diretamente relacionado ao desenvolvimento da teoria das probabilidades como disciplina matemática. A origem da doutrina matemática da probabilidade remonta ao século XVII, quando o desenvolvimento de um núcleo de conceitos permitiu. características quantitativas (numéricas) e expressando uma ideia probabilística.

Aplicações intensivas de probabilidade ao desenvolvimento da cognição ocorrem no 2º semestre. 19 - 1º andar século 20 A probabilidade entrou nas estruturas de ciências fundamentais da natureza como a física estatística clássica, a genética, a teoria quântica e a cibernética (teoria da informação). Conseqüentemente, a probabilidade personifica aquele estágio no desenvolvimento da ciência, que agora é definido como ciência não clássica. Para revelar a novidade e as características do modo de pensar probabilístico, é necessário proceder a uma análise do tema da teoria das probabilidades e dos fundamentos de suas inúmeras aplicações. A teoria da probabilidade é geralmente definida como uma disciplina matemática que estuda os padrões de fenômenos aleatórios em massa sob certas condições. Aleatoriedade significa que, no quadro do caráter de massa, a existência de cada fenômeno elementar não depende e não é determinada pela existência de outros fenômenos. Ao mesmo tempo, a própria natureza massiva dos fenômenos tem uma estrutura estável e contém certos padrões. Um fenômeno de massa é estritamente dividido em subsistemas, e o número relativo de fenômenos elementares em cada um dos subsistemas (frequência relativa) é muito estável. Essa estabilidade é comparada com a probabilidade. Um fenômeno de massa como um todo é caracterizado por uma distribuição de probabilidade, ou seja, pela especificação de subsistemas e suas probabilidades correspondentes. A linguagem da teoria das probabilidades é a linguagem das distribuições de probabilidade. Conseqüentemente, a teoria da probabilidade é definida como a ciência abstrata de operar com distribuições.

A probabilidade deu origem na ciência a ideias sobre padrões estatísticos e sistemas estatísticos. Estes últimos são sistemas formados por entidades independentes ou quase independentes; sua estrutura é caracterizada por distribuições de probabilidade. Mas como é possível formar sistemas a partir de entidades independentes? Geralmente é assumido que para a formação de sistemas com características integrais é necessário que existam ligações suficientemente estáveis ​​entre os seus elementos que cimentam os sistemas. A estabilidade dos sistemas estatísticos é dada pela presença de condições externas, ambiente externo, forças externas e não internas. A própria definição de probabilidade baseia-se sempre no estabelecimento das condições para a formação do fenômeno de massa inicial. Outra ideia importante que caracteriza o paradigma probabilístico é a ideia de hierarquia (subordinação). Esta ideia expressa a relação entre as características dos elementos individuais e as características integrais dos sistemas: estas últimas, por assim dizer, são construídas sobre as primeiras.

A importância dos métodos probabilísticos na cognição reside no fato de permitirem estudar e expressar teoricamente os padrões de estrutura e comportamento de objetos e sistemas que possuem uma estrutura hierárquica de “dois níveis”.

A análise da natureza da probabilidade é baseada na sua frequência e na interpretação estatística. Ao mesmo tempo, por muito tempo, tal compreensão da probabilidade dominou na ciência, que foi chamada de probabilidade lógica ou indutiva. A probabilidade lógica está interessada em questões sobre a validade de um julgamento individual e separado sob certas condições. É possível avaliar o grau de confirmação (confiabilidade, veracidade) de uma conclusão indutiva (conclusão hipotética) de forma quantitativa? Durante o desenvolvimento da teoria das probabilidades, tais questões foram discutidas repetidamente e começaram a falar sobre os graus de confirmação de conclusões hipotéticas. Esta medida de probabilidade é determinada pelas informações disponíveis para uma determinada pessoa, sua experiência, visão de mundo e mentalidade psicológica. Em todos esses casos, a magnitude da probabilidade não é passível de medições rigorosas e praticamente está fora da competência da teoria da probabilidade como uma disciplina matemática consistente.

A interpretação objetiva e frequentista da probabilidade foi estabelecida na ciência com dificuldades significativas. Inicialmente, a compreensão da natureza da probabilidade foi fortemente influenciada pelas visões filosóficas e metodológicas características da ciência clássica. Historicamente, o desenvolvimento dos métodos probabilísticos na física ocorreu sob a influência determinante das ideias da mecânica: os sistemas estatísticos foram interpretados simplesmente como mecânicos. Como os problemas correspondentes não foram resolvidos por métodos estritos da mecânica, surgiram afirmações de que o recurso a métodos probabilísticos e leis estatísticas é o resultado da incompletude do nosso conhecimento. Na história do desenvolvimento da física estatística clássica, inúmeras tentativas foram feitas para fundamentá-la com base na mecânica clássica, mas todas falharam. A base da probabilidade é que ela expressa as características estruturais de uma determinada classe de sistemas, exceto os sistemas mecânicos: o estado dos elementos desses sistemas é caracterizado pela instabilidade e por uma natureza especial (não redutível à mecânica) das interações.

A entrada da probabilidade no conhecimento leva à negação do conceito de determinismo rígido, à negação do modelo básico de ser e conhecimento desenvolvido no processo de formação da ciência clássica. Os modelos básicos representados pelas teorias estatísticas são de natureza diferente e mais geral: incluem as ideias de aleatoriedade e independência. A ideia de probabilidade está associada à divulgação da dinâmica interna de objetos e sistemas, que não pode ser inteiramente determinada por condições e circunstâncias externas.

O conceito de uma visão probabilística do mundo, baseada na absolutização das ideias sobre a independência (como antes do paradigma da determinação rígida), revelou agora as suas limitações, o que se reflecte mais fortemente na transição da ciência moderna para métodos analíticos de estudo sistemas complexos e os fundamentos físicos e matemáticos dos fenômenos de auto-organização.

Excelente definição

Definição incompleta ↓

Na economia, como em outras áreas da actividade humana ou na natureza, temos constantemente de lidar com acontecimentos que não podem ser previstos com precisão. Assim, o volume de vendas de um produto depende da procura, que pode variar significativamente, e de uma série de outros factores quase impossíveis de ter em conta. Portanto, ao organizar a produção e realizar as vendas, é necessário prever o resultado de tais atividades com base na sua própria experiência anterior, ou na experiência semelhante de outras pessoas, ou na intuição, que em grande medida também se baseia em dados experimentais.

Para avaliar de alguma forma o evento em questão, é necessário levar em consideração ou organizar especialmente as condições em que esse evento é registrado.

A implementação de certas condições ou ações para identificar o evento em questão é chamada experiência ou experimentar.

O evento é chamado aleatório, se como resultado da experiência isso pode ou não ocorrer.

O evento é chamado confiável, se aparece necessariamente como resultado de uma determinada experiência, e impossível, se não puder aparecer nesta experiência.

Por exemplo, a queda de neve em Moscou em 30 de novembro é um evento aleatório. O nascer do sol diário pode ser considerado um evento confiável. A queda de neve no equador pode ser considerada um evento impossível.

Uma das principais tarefas da teoria das probabilidades é determinar uma medida quantitativa da possibilidade de ocorrência de um evento.

Álgebra de eventos

Os eventos são chamados de incompatíveis se não puderem ser observados juntos na mesma experiência. Assim, a presença de dois e três carros à venda ao mesmo tempo em uma loja são dois eventos incompatíveis.

Quantia eventos é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um desses eventos

Um exemplo de soma de eventos é a presença de pelo menos um dos dois produtos na loja.

O trabalho eventos é um evento que consiste na ocorrência simultânea de todos esses eventos

Um evento que consiste no aparecimento de duas mercadorias ao mesmo tempo em uma loja é um produto de eventos: - o aparecimento de um produto, - o aparecimento de outro produto.

Os eventos formam um grupo completo de eventos se pelo menos um deles ocorrer com certeza na experiência.

Exemplo. O porto possui dois berços para recebimento de navios. Podem ser considerados três eventos: - a ausência de navios nos berços, - a presença de um navio num dos berços, - a presença de dois navios em dois berços. Esses três eventos formam um grupo completo de eventos.

Oposto dois eventos possíveis únicos que formam um grupo completo são chamados.

Se um dos eventos opostos for denotado por, então o evento oposto geralmente será denotado por.

Definições clássicas e estatísticas de probabilidade de evento

Cada um dos resultados igualmente possíveis de testes (experimentos) é chamado de resultado elementar. Geralmente são designados por letras. Por exemplo, um dado é lançado. Pode haver um total de seis resultados elementares com base no número de pontos nas laterais.

A partir de resultados elementares você pode criar um evento mais complexo. Assim, o evento de um número par de pontos é determinado por três resultados: 2, 4, 6.

Uma medida quantitativa da possibilidade de ocorrência do evento em questão é a probabilidade.

As definições mais amplamente utilizadas da probabilidade de um evento são: clássico E estatística.

A definição clássica de probabilidade está associada ao conceito de resultado favorável.

O resultado é chamado favorável a um determinado evento se sua ocorrência implicar a ocorrência desse evento.

No exemplo acima, o evento em questão – um número par de pontos no lado lançado – tem três resultados favoráveis. Neste caso, o geral
número de resultados possíveis. Isto significa que a definição clássica da probabilidade de um evento pode ser usada aqui.

Definição clássicaé igual à razão entre o número de resultados favoráveis ​​e o número total de resultados possíveis

onde está a probabilidade do evento, é o número de resultados favoráveis ​​ao evento, é o número total de resultados possíveis.

No exemplo considerado

A definição estatística de probabilidade está associada ao conceito de frequência relativa de ocorrência de um evento em experimentos.

A frequência relativa de ocorrência de um evento é calculada usando a fórmula

onde é o número de ocorrências de um evento em uma série de experimentos (testes).

Definição estatística. A probabilidade de um evento é o número em torno do qual a frequência relativa se estabiliza (definida) com um aumento ilimitado no número de experimentos.

Em problemas práticos, a probabilidade de um evento é considerada a frequência relativa para um número suficientemente grande de tentativas.

A partir dessas definições da probabilidade de um evento, fica claro que a desigualdade é sempre satisfeita

Para determinar a probabilidade de um evento com base na fórmula (1.1), são frequentemente utilizadas fórmulas combinatórias, que são usadas para encontrar o número de resultados favoráveis ​​​​e o número total de resultados possíveis.