O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum são conceitos aritméticos importantes que facilitam o trabalho com frações. LCM e são mais frequentemente usados ​​para encontrar o denominador comum de várias frações.

Conceitos Básicos

O divisor de um inteiro X é outro inteiro Y pelo qual X é dividido sem deixar resto. Por exemplo, o divisor de 4 é 2 e 36 é 4, 6, 9. Um múltiplo de um número inteiro X é um número Y que é divisível por X sem resto. Por exemplo, 3 é múltiplo de 15 e 6 é múltiplo de 12.

Para qualquer par de números podemos encontrar seus divisores comuns e múltiplos. Por exemplo, para 6 e 9, o múltiplo comum é 18 e o divisor comum é 3. Obviamente, os pares podem ter vários divisores e múltiplos, portanto os cálculos usam o maior divisor GCD e o menor múltiplo LCM.

O mínimo divisor não tem sentido, pois para qualquer número é sempre um. O maior múltiplo também não tem sentido, pois a sequência de múltiplos vai até o infinito.

Encontrando o MDC

Existem muitos métodos para encontrar o máximo divisor comum, sendo os mais famosos:

• busca sequencial de divisores, seleção dos comuns para um par e busca do maior deles;
• decomposição de números em fatores indivisíveis;
• Algoritmo euclidiano;
• algoritmo binário.

Hoje nas instituições de ensino os métodos mais populares são a decomposição em fatores primos e o algoritmo euclidiano. Este último, por sua vez, é utilizado na resolução de equações diofantinas: a busca pelo GCD é necessária para verificar a possibilidade de resolução da equação em números inteiros.

Encontrando o NOC

O mínimo múltiplo comum também é determinado por busca sequencial ou decomposição em fatores indivisíveis. Além disso, é fácil encontrar o MMC se o maior divisor já tiver sido determinado. Para os números X e Y, o MMC e o GCD estão relacionados pela seguinte relação:

LCD(X,Y) = X × Y / MDC(X,Y).

Por exemplo, se GCM(15,18) = 3, então LCM(15,18) = 15 × 18/3 = 90. O exemplo mais óbvio de uso de LCM é encontrar o denominador comum, que é o mínimo múltiplo comum de dadas frações.

Números coprimos

Se um par de números não tiver divisores comuns, esse par é chamado de coprimo. O mdc para tais pares é sempre igual a um e, com base na conexão entre divisores e múltiplos, o mdc para pares coprimos é igual ao seu produto. Por exemplo, os números 25 e 28 são relativamente primos, porque não têm divisores comuns, e MMC(25, 28) = 700, que corresponde ao seu produto. Quaisquer dois números indivisíveis serão sempre relativamente primos.

Divisor comum e calculadora múltipla

Usando nossa calculadora, você pode calcular GCD e LCM para um número arbitrário de números para escolher. As tarefas de cálculo de divisores comuns e múltiplos são encontradas na aritmética do 5º e 6º ano, mas GCD e LCM são conceitos-chave em matemática e são usados ​​​​na teoria dos números, planimetria e álgebra comunicativa.

Exemplos da vida real

Denominador comum de frações

O mínimo múltiplo comum é usado para encontrar o denominador comum de várias frações. Digamos que em um problema aritmético você precise somar 5 frações:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Para somar frações, a expressão deve ser reduzida a um denominador comum, o que se reduz ao problema de encontrar o MMC. Para fazer isso, selecione 5 números na calculadora e insira os valores dos denominadores nas células apropriadas. O programa calculará o MMC (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Agora você precisa calcular fatores adicionais para cada fração, que são definidos como a razão entre o MMC e o denominador. Portanto, os multiplicadores adicionais seriam assim:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Depois disso, multiplicamos todas as frações pelo fator adicional correspondente e obtemos:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Podemos facilmente somar essas frações e obter o resultado de 159/360. Reduzimos a fração em 3 e vemos a resposta final - 53/120.

Resolvendo equações diofantinas lineares

As equações diofantinas lineares são expressões da forma ax + by = d. Se a razão d / mdc(a, b) for um número inteiro, então a equação pode ser resolvida em números inteiros. Vamos verificar algumas equações para ver se elas têm uma solução inteira. Primeiro, vamos verificar a equação 150x + 8y = 37. Usando uma calculadora, encontramos MDC (150,8) = 2. Divida 37/2 = 18,5. O número não é um número inteiro, portanto a equação não possui raízes inteiras.

Vamos verificar a equação 1320x + 1760y = 10120. Use uma calculadora para encontrar GCD(1320, 1760) = 440. Divida 10120/440 = 23. Como resultado, obtemos um número inteiro, portanto, a equação Diofantina pode ser resolvida em coeficientes inteiros .

Conclusão

O GCD e o LCM desempenham um grande papel na teoria dos números, e os próprios conceitos são amplamente utilizados em uma ampla variedade de áreas da matemática. Use nossa calculadora para calcular os maiores divisores e os menores múltiplos de qualquer número de números.

O maior número natural pelo qual os números aeb são divididos sem resto é chamado máximo divisor comum esses números. Denote GCD (a, b).

Vamos considerar encontrar o GCD usando o exemplo de dois números naturais 18 e 60:

324 , 111 E 432

Vamos fatorar os números em fatores primos:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3x37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Riscando do primeiro número cujos fatores não estão no segundo e terceiro números, obtemos:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Como resultado, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Encontrando GCD usando o algoritmo euclidiano

A segunda maneira de encontrar o máximo divisor comum é usar Algoritmo euclidiano. O algoritmo euclidiano é a maneira mais eficiente de encontrar GCD, usando-o você precisa encontrar constantemente o resto da divisão dos números e aplicar fórmula de recorrência.

Fórmula de recorrência para GCD, MDC(a, b)=MDC(b, a mod b), onde a mod b é o resto de a dividido por b.

Algoritmo de Euclides

Exemplo Encontre o máximo divisor comum de números 7920 E 594

Vamos encontrar o GCD( 7920 , 594 ) usando o algoritmo euclidiano, calcularemos o resto da divisão usando uma calculadora.

• 7920 módulo 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 módulo 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Como resultado, obtemos MDC( 7920 , 594 ) = 198

Mínimo múltiplo comum

Para encontrar um denominador comum ao adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes, você precisa saber e ser capaz de calcular mínimo múltiplo comum(NOK).

Um múltiplo do número “a” é um número que é divisível pelo número “a” sem resto.

Números que são múltiplos de 8 (ou seja, esses números são divisíveis por 8 sem deixar resto): esses são os números 16, 24, 32...

Múltiplos de 9: 18, 27, 36, 45…

Existem infinitos múltiplos de um determinado número a, em contraste com os divisores do mesmo número. Existe um número finito de divisores.

O múltiplo comum de dois números naturais é um número divisível por ambos..

Mínimo múltiplo comum(LCM) de dois ou mais números naturais é o menor número natural que é divisível por cada um desses números.

Como encontrar o NOC

O LCM pode ser encontrado e escrito de duas maneiras.

A primeira maneira de encontrar o LOC

Este método geralmente é usado para números pequenos.

1. Anotamos os múltiplos de cada número numa linha até encontrarmos um múltiplo que seja igual para ambos os números.
2. O múltiplo do número “a” é denotado pela letra maiúscula “K”.

Exemplo. Encontre MMC 6 e 8.

A segunda maneira de encontrar o LOC

Este método é conveniente para encontrar o MMC de três ou mais números.

O número de fatores idênticos nas decomposições de números pode ser diferente.

Você também pode formalizar a localização do mínimo múltiplo comum (LCM) da seguinte maneira. Vamos encontrar o LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Como podemos ver na decomposição dos números, todos os fatores de 12 estão incluídos na decomposição de 24 (o maior dos números), portanto adicionamos apenas um 2 da decomposição do número 16 ao MMC.

MMC (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Resposta: MMC (12, 16, 24) = 48

Casos especiais de descoberta de um NPL

Por exemplo, MMC (60, 15) = 60
Como os números primos não possuem fatores primos comuns, seu mínimo múltiplo comum é igual ao produto desses números.

Em nosso site você também pode usar uma calculadora especial para encontrar o mínimo múltiplo comum online para verificar seus cálculos.

Se um número natural é divisível apenas por 1 e por ele mesmo, então ele é chamado de primo.

Qualquer número natural é sempre divisível por 1 e por ele mesmo.

O número 2 é o menor número primo. Este é o único número primo par, os demais números primos são ímpares.

Existem muitos números primos, e o primeiro deles é o número 2. No entanto, não existe um último número primo. Na seção “Para Estudo” você pode baixar uma tabela de números primos até 997.

Mas muitos números naturais também são divisíveis por outros números naturais.

• o número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
• O número 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Os números pelos quais o número é divisível por um inteiro (para 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados de divisores do número.

O divisor de um número natural a é um número natural que divide o número “a” fornecido sem deixar resto.

Um número natural que possui mais de dois divisores é chamado composto.

Observe que os números 12 e 36 têm fatores comuns. Esses números são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12.

O divisor comum de dois números dados “a” e “b” é o número pelo qual ambos os números dados “a” e “b” são divididos sem resto.

Maior divisor comum(GCD) de dois números dados “a” e “b” é o maior número pelo qual ambos os números “a” e “b” são divisíveis sem resto.

Resumidamente, o máximo divisor comum dos números “a” e “b” é escrito da seguinte forma::

Exemplo: mdc (12; 36) = 12.

Os divisores de números no registro da solução são indicados pela letra maiúscula “D”.

Os números 7 e 9 têm apenas um divisor comum - o número 1. Tais números são chamados números coprimos.

Números coprimos- são números naturais que possuem apenas um divisor comum - o número 1. Seu mdc é 1.

Como encontrar o máximo divisor comum

Para encontrar o MDC de dois ou mais números naturais, você precisa:

• decompor os divisores de números em fatores primos;

É conveniente escrever cálculos usando uma barra vertical. À esquerda da linha escrevemos primeiro o dividendo, à direita - o divisor. A seguir, na coluna da esquerda anotamos os valores dos quocientes.

Vamos explicar imediatamente com um exemplo. Vamos fatorar os números 28 e 64 em fatores primos.

Enfatizamos os mesmos fatores primos em ambos os números.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Encontre o produto de fatores primos idênticos e anote a resposta;
MDC (28; 64) = 2 2 = 4

Resposta: GCD (28; 64) = 4

Você pode formalizar a localização do GCD de duas maneiras: em coluna (como feito acima) ou “em linha”.

A primeira maneira de escrever mdc

Encontre mdc 48 e 36.

MDC (48; 36) = 2 2 3 = 12

A segunda maneira de escrever mdc

Agora vamos escrever a solução para a pesquisa do GCD em uma linha. Encontre mdc 10 e 15.

Em nosso site de informações você também pode usar o ajudante online do Máximo Divisor Comum para verificar seus cálculos.

Encontrando o mínimo múltiplo comum, métodos, exemplos de como encontrar o MMC.

O material apresentado a seguir é uma continuação lógica da teoria do artigo intitulado LCM - mínimo múltiplo comum, definição, exemplos, conexão entre LCM e GCD. Aqui falaremos sobre encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM), e daremos atenção especial à resolução de exemplos. Primeiro, mostraremos como o MMC de dois números é calculado usando o MDC desses números. A seguir, veremos como encontrar o mínimo múltiplo comum fatorando números em fatores primos. Depois disso, vamos nos concentrar em encontrar o MMC de três ou mais números e também prestar atenção ao cálculo do MMC de números negativos.

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Cálculo do mínimo múltiplo comum (LCM) via GCD

Uma maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum é baseada na relação entre LCM e GCD. A conexão existente entre LCM e GCD nos permite calcular o mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos através de um máximo divisor comum conhecido. A fórmula correspondente é MMC(a, b)=a b:MDC(a, b). Vejamos exemplos de como encontrar o MMC usando a fórmula fornecida.

Encontre o mínimo múltiplo comum de dois números 126 e 70.

Neste exemplo a=126 , b=70 . Vamos usar a conexão entre LCM e GCD, expressa pela fórmula LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Ou seja, primeiro temos que encontrar o máximo divisor comum dos números 70 e 126, após o qual podemos calcular o MMC desses números usando a fórmula escrita.

Vamos encontrar MDC(126, 70) usando o algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, portanto, MDC(126, 70)=14.

Agora encontramos o mínimo múltiplo comum necessário: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

A que LCM (68, 34) é igual?

Como 68 é divisível por 34, então GCD(68, 34)=34. Agora calculamos o mínimo múltiplo comum: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Observe que o exemplo anterior se ajusta à seguinte regra para encontrar o MMC para inteiros positivos a e b: se a é divisível por b, então o mínimo múltiplo comum desses números é a.

Encontrando o MMC fatorando números em fatores primos

Outra maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum é fatorar números em fatores primos. Se você compor um produto de todos os fatores primos de determinados números e, em seguida, excluir deste produto todos os fatores primos comuns presentes nas decomposições dos números fornecidos, então o produto resultante será igual ao mínimo múltiplo comum dos números fornecidos. .

A regra declarada para encontrar o MMC segue da igualdade LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Na verdade, o produto dos números aeb é igual ao produto de todos os fatores envolvidos na expansão dos números aeb. Por sua vez, MDC(a, b) é igual ao produto de todos os fatores primos presentes simultaneamente nas expansões dos números aeb (conforme descrito na seção sobre como encontrar o MDC usando a expansão de números em fatores primos).

Vamos dar um exemplo. Deixe-nos saber que 75=3·5·5 e 210=2·3·5·7. Vamos compor o produto de todos os fatores dessas expansões: 2·3·3·5·5·5·7 . Agora deste produto excluímos todos os fatores presentes tanto na expansão do número 75 quanto na expansão do número 210 (esses fatores são 3 e 5), então o produto assumirá a forma 2·3·5·5·7 . O valor deste produto é igual ao mínimo múltiplo comum dos números 75 e 210, ou seja, MMC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Fatore os números 441 e 700 em fatores primos e encontre o mínimo múltiplo comum desses números.

Vamos fatorar os números 441 e 700 em fatores primos:

Obtemos 441=3·3·7·7 e 700=2·2·5·5·7.

Agora vamos criar um produto de todos os fatores envolvidos na expansão desses números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluamos deste produto todos os fatores que estão presentes simultaneamente em ambas as expansões (só existe um desses fatores - este é o número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Assim, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

A regra para encontrar o MMC usando a fatoração de números em fatores primos pode ser formulada de maneira um pouco diferente. Se os fatores que faltam na expansão do número b forem somados aos fatores da expansão do número a, então o valor do produto resultante será igual ao mínimo múltiplo comum dos números a e b.

Por exemplo, tomemos os mesmos números 75 e 210, suas decomposições em fatores primos são as seguintes: 75=3·5·5 e 210=2·3·5·7. Aos fatores 3, 5 e 5 da expansão do número 75 somamos os fatores que faltam 2 e 7 da expansão do número 210, obtemos o produto 2·3·5·5·7, cujo valor é igual a LCM(75, 210).

Encontre o mínimo múltiplo comum de 84 e 648.

Primeiro obtemos as decomposições dos números 84 e 648 em fatores primos. Eles se parecem com 84=2·2·3·7 e 648=2·2·2·3·3·3·3. Aos fatores 2, 2, 3 e 7 da expansão do número 84 adicionamos os fatores que faltam 2, 3, 3 e 3 da expansão do número 648, obtemos o produto 2 2 2 3 3 3 3 7, que é igual a 4 536 . Assim, o mínimo múltiplo comum desejado de 84 e 648 é 4.536.

Encontrando o MMC de três ou mais números

O mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser encontrado encontrando sequencialmente o MMC de dois números. Lembremos o teorema correspondente, que fornece uma maneira de encontrar o MMC de três ou mais números.

Sejam dados números inteiros positivos a 1 , a 2 , …, a k, o mínimo múltiplo comum m k desses números é encontrado calculando sequencialmente m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Vamos considerar a aplicação deste teorema usando o exemplo de como encontrar o mínimo múltiplo comum de quatro números.

Encontre o MMC de quatro números 140, 9, 54 e 250.

Primeiro encontramos m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Para fazer isso, usando o algoritmo euclidiano, determinamos GCD(140, 9), temos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, portanto, GCD(140, 9)=1, do qual LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Ou seja, m 2 =1 260.

Agora encontramos m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Vamos calculá-lo através do MDC(1 260, 54), que também determinamos usando o algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Então mdc(1.260, 54)=18, do qual mdc(1.260, 54)= 1.260·54:mdc(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Ou seja, m 3 =3 780.

Resta encontrar m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Para fazer isso, encontramos o MDC(3.780, 250) usando o algoritmo euclidiano: 3.780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Portanto, MDC(3.780, 250)=10, do qual MDC(3.780, 250)= 3.780·250:MDC(3.780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Isto é, m 4 =94.500.

Portanto, o mínimo múltiplo comum dos quatro números originais é 94.500.

MMC(140, 9, 54, 250)=94.500 .

Em muitos casos, é conveniente encontrar o mínimo múltiplo comum de três ou mais números usando fatorações primárias dos números fornecidos. Neste caso, você deve seguir a seguinte regra. O mínimo múltiplo comum de vários números é igual ao produto, que é composto da seguinte forma: os fatores que faltam na expansão do segundo número são somados a todos os fatores da expansão do primeiro número, os fatores que faltam na expansão do o terceiro número é adicionado aos fatores resultantes e assim por diante.

Vejamos um exemplo de como encontrar o mínimo múltiplo comum usando a fatoração primária.

Encontre o mínimo múltiplo comum dos cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Primeiro, obtemos decomposições desses números em fatores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 é um número primo, coincide com sua decomposição em fatores primos) e 143=11·13.

Para encontrar o MMC desses números, aos fatores do primeiro número 84 (são 2, 2, 3 e 7), você precisa adicionar os fatores que faltam na expansão do segundo número 6. A decomposição do número 6 não contém fatores faltantes, pois tanto 2 quanto 3 já estão presentes na decomposição do primeiro número 84. A seguir, aos fatores 2, 2, 3 e 7 adicionamos os fatores que faltam 2 e 2 da expansão do terceiro número 48, obtemos um conjunto de fatores 2, 2, 2, 2, 3 e 7. Não haverá necessidade de adicionar multiplicadores a este conjunto na próxima etapa, pois ele já contém 7. Finalmente, aos fatores 2, 2, 2, 2, 3 e 7 adicionamos os fatores que faltam 11 e 13 da expansão do número 143. Obtemos o produto 2·2·2·2·3·7·11·13, que é igual a 48.048.

Portanto, MMC(84, 6, 48, 7, 143)=48.048.

MMC(84, 6, 48, 7, 143)=48.048 .

Encontrando o mínimo múltiplo comum de números negativos

Às vezes, há tarefas nas quais você precisa encontrar o mínimo múltiplo comum de números, entre os quais um, vários ou todos os números são negativos. Nestes casos, todos os números negativos devem ser substituídos pelos seus números opostos, e então o MMC dos números positivos deve ser encontrado. Esta é a maneira de encontrar o MMC de números negativos. Por exemplo, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) e LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Podemos fazer isso porque o conjunto de múltiplos de a é igual ao conjunto de múltiplos de −a (a e −a são números opostos). Na verdade, seja b algum múltiplo de a, então b é divisível por a, e o conceito de divisibilidade afirma a existência de um inteiro q tal que b=a·q. Mas a igualdade b=(−a)·(−q) também será verdadeira, o que, devido ao mesmo conceito de divisibilidade, significa que b é divisível por −a, ou seja, b é múltiplo de −a. O inverso também é verdadeiro: se b é algum múltiplo de −a, então b também é múltiplo de a.

Encontre o mínimo múltiplo comum de números negativos −145 e −45.

Vamos substituir os números negativos −145 e −45 pelos seus números opostos 145 e 45. Temos LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Tendo determinado GCD(145, 45)=5 (por exemplo, usando o algoritmo euclidiano), calculamos GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Assim, o mínimo múltiplo comum dos inteiros negativos −145 e −45 é 1.305.

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Continuamos a estudar a divisão. Nesta lição veremos conceitos como GCD E NOC.

GCDé o máximo divisor comum.

NOCé o mínimo múltiplo comum.

O assunto é bastante chato, mas você definitivamente precisa entendê-lo. Sem entender este tópico, você não conseguirá trabalhar de forma eficaz com frações, que são um verdadeiro obstáculo na matemática.

Maior divisor comum

Definição. Maior divisor comum de números a E b a E b dividido sem resto.

Para entender bem esta definição, vamos substituir as variáveis a E b quaisquer dois números, por exemplo, em vez de uma variável a Vamos substituir o número 12, e em vez da variável b número 9. Agora vamos tentar ler esta definição:

Maior divisor comum de números 12 E 9 é chamado o maior número pelo qual 12 E 9 dividido sem resto.

Pela definição fica claro que estamos falando do divisor comum dos números 12 e 9, e esse divisor é o maior de todos os divisores existentes. Este máximo divisor comum (MDC) precisa ser encontrado.

Para encontrar o máximo divisor comum de dois números, três métodos são usados. O primeiro método é bastante trabalhoso, mas permite compreender claramente a essência do tema e sentir todo o seu significado.

O segundo e o terceiro métodos são bastante simples e permitem encontrar rapidamente um GCD. Veremos todos os três métodos. E qual usar na prática fica a seu critério.

O primeiro método é encontrar todos os divisores possíveis de dois números e escolher o maior. Vejamos esse método usando o seguinte exemplo: encontre o máximo divisor comum dos números 12 e 9.

Primeiro encontraremos todos os divisores possíveis do número 12. Para fazer isso, dividiremos 12 por todos os divisores no intervalo de 1 a 12. Se o divisor nos permitir dividir 12 sem resto, então iremos destacá-lo em azul e faça uma explicação apropriada entre parênteses.

12: 1 = 12
(12 é dividido por 1 sem resto, o que significa que 1 é um divisor do número 12)

12: 2 = 6
(12 é dividido por 2 sem resto, o que significa que 2 é um divisor do número 12)

12: 3 = 4
(12 é dividido por 3 sem resto, o que significa que 3 é um divisor do número 12)

12: 4 = 3
(12 é dividido por 4 sem resto, o que significa que 4 é um divisor do número 12)

12: 5 = 2 (2 sobrando)
(12 não é dividido por 5 sem resto, o que significa que 5 não é divisor do número 12)

12: 6 = 2
(12 é dividido por 6 sem resto, o que significa que 6 é um divisor do número 12)

12: 7 = 1 (5 sobrando)
(12 não é dividido por 7 sem resto, o que significa que 7 não é divisor do número 12)

12: 8 = 1 (4 sobrando)
(12 não é dividido por 8 sem resto, o que significa que 8 não é divisor de 12)

12: 9 = 1 (3 sobrando)
(12 não é dividido por 9 sem resto, o que significa que 9 não é divisor do número 12)

12: 10 = 1 (2 sobrando)
(12 não é dividido por 10 sem resto, o que significa que 10 não é divisor do número 12)

12: 11 = 1 (1 sobra)
(12 não é dividido por 11 sem resto, o que significa que 11 não é divisor de 12)

12: 12 = 1
(12 é dividido por 12 sem resto, o que significa que 12 é um divisor do número 12)

Agora vamos encontrar os divisores do número 9. Para fazer isso, verifique todos os divisores de 1 a 9

9: 1 = 9
(9 é dividido por 1 sem resto, o que significa que 1 é um divisor do número 9)

9: 2 = 4 (1 sobra)
(9 não é dividido por 2 sem resto, o que significa que 2 não é divisor do número 9)

9: 3 = 3
(9 é dividido por 3 sem resto, o que significa que 3 é um divisor do número 9)

9: 4 = 2 (1 sobra)
(9 não é dividido por 4 sem resto, o que significa que 4 não é divisor do número 9)

9: 5 = 1 (4 sobrando)
(9 não é dividido por 5 sem resto, o que significa que 5 não é divisor do número 9)

9: 6 = 1 (3 sobrando)
(9 não é dividido por 6 sem resto, o que significa que 6 não é divisor do número 9)

9: 7 = 1 (2 sobrando)
(9 não é dividido por 7 sem resto, o que significa que 7 não é divisor do número 9)

9: 8 = 1 (1 sobra)
(9 não é dividido por 8 sem resto, o que significa que 8 não é divisor do número 9)

9: 9 = 1
(9 é dividido por 9 sem resto, o que significa que 9 é um divisor do número 9)

Agora vamos anotar os divisores de ambos os números. Os números destacados em azul são divisores. Vamos anotá-los:

Depois de escrever os divisores, você pode determinar imediatamente qual é o maior e mais comum.

Por definição, o máximo divisor comum dos números 12 e 9 é o número que divide 12 e 9 sem resto. O maior e divisor comum dos números 12 e 9 é o número 3

Tanto o número 12 quanto o número 9 são divisíveis por 3 sem resto:

Então mdc (12 e 9) = 3

A segunda maneira de encontrar o GCD

Agora vamos dar uma olhada no segundo método para encontrar o máximo divisor comum. A essência deste método é decompor ambos os números em fatores primos e multiplicar os comuns.

Exemplo 1. Encontre o mdc dos números 24 e 18

Primeiro, vamos fatorar ambos os números em fatores primos:

Agora vamos multiplicar seus fatores comuns. Para evitar confusão, os fatores comuns podem ser enfatizados.

Observamos a expansão do número 24. Seu primeiro fator é 2. Procuramos o mesmo fator na expansão do número 18 e vemos que ele também está lá. Enfatizamos ambos os dois:

Observamos novamente a expansão do número 24. Seu segundo fator também é 2. Procuramos o mesmo fator na expansão do número 18 e vemos que pela segunda vez ele não está mais lá. Então não enfatizamos nada.

Os próximos dois na expansão do número 24 também estão ausentes na expansão do número 18.

Vamos passar para o último fator na expansão do número 24. Este é o fator 3. Procuramos o mesmo fator na expansão do número 18 e vemos que ele também está lá. Enfatizamos os dois três:

Assim, os fatores comuns dos números 24 e 18 são os fatores 2 e 3. Para obter o MDC, esses fatores devem ser multiplicados:

Então mdc (24 e 18) = 6

A terceira maneira de encontrar o GCD

Agora vamos examinar a terceira maneira de encontrar o máximo divisor comum. A essência deste método é que os números a serem encontrados para o máximo divisor comum são decompostos em fatores primos. Então, a partir da expansão do primeiro número, são riscados os fatores que não estão incluídos na expansão do segundo número. Os números restantes na primeira expansão são multiplicados e obtidos GCD.

Por exemplo, vamos encontrar o GCD para os números 28 e 16 usando este método. Primeiro de tudo, decompomos esses números em fatores primos:

Temos duas expansões: e

Agora da decomposição do primeiro número iremos deletar os fatores que não estão incluídos na decomposição do segundo número. A expansão do segundo número não inclui sete. Vamos riscar da primeira expansão:

Agora multiplicamos os fatores restantes e obtemos o GCD:

O número 4 é o máximo divisor comum dos números 28 e 16. Ambos os números são divisíveis por 4 sem resto:

Exemplo 2. Encontre o mdc dos números 100 e 40

Fatorando o número 100

Fatorando o número 40

Temos duas expansões:

Agora da decomposição do primeiro número iremos deletar os fatores que não estão incluídos na decomposição do segundo número. A expansão do segundo número não inclui um cinco (há apenas um cinco). Vamos riscar da primeira expansão

Vamos multiplicar os números restantes:

Recebemos a resposta 20. Isso significa que o número 20 é o máximo divisor comum dos números 100 e 40. Esses dois números são divisíveis por 20 sem resto:

MDC (100 e 40) = 20.

Exemplo 3. Encontre o mdc dos números 72 e 128

Fatorando o número 72

Fatorando o número 128

2×2×2×2×2×2×2×2

Agora da decomposição do primeiro número iremos deletar os fatores que não estão incluídos na decomposição do segundo número. A expansão do segundo número não inclui dois trigêmeos (eles não existem). Vamos riscá-los da primeira expansão:

Recebemos a resposta 8. Isso significa que o número 8 é o máximo divisor comum dos números 72 e 128. Esses dois números são divisíveis por 8 sem resto:

MDC (72 e 128) = 8

Encontrando GCD para vários números

O máximo divisor comum pode ser encontrado para vários números, não apenas para dois. Para fazer isso, os números a serem encontrados para o máximo divisor comum são decompostos em fatores primos e, em seguida, é encontrado o produto dos fatores primos comuns desses números.

Por exemplo, vamos encontrar o GCD para os números 18, 24 e 36

Vamos fatorar o número 18

Vamos fatorar o número 24

Vamos fatorar o número 36

Temos três expansões:

Agora vamos destacar e sublinhar os fatores comuns nesses números. Fatores comuns devem aparecer em todos os três números:

Vemos que os fatores comuns para os números 18, 24 e 36 são os fatores 2 e 3. Multiplicando esses fatores, obtemos o mdc que procuramos:

Recebemos a resposta 6. Isso significa que o número 6 é o máximo divisor comum dos números 18, 24 e 36. Esses três números são divisíveis por 6 sem resto:

MDC (18, 24 e 36) = 6

Exemplo 2. Encontre o GCD para os números 12, 24, 36 e 42

Vamos fatorar cada número em fatores primos. Então encontramos o produto dos fatores comuns desses números.

Vamos fatorar o número 12

Vamos fatorar o número 42

Temos quatro expansões:

Agora vamos destacar e sublinhar os fatores comuns nesses números. Fatores comuns devem aparecer em todos os quatro números:

Vemos que os fatores comuns para os números 12, 24, 36 e 42 são os fatores de 2 e 3. Multiplicar esses fatores nos dá o mdc que procuramos:

Recebemos a resposta 6. Isso significa que o número 6 é o máximo divisor comum dos números 12, 24, 36 e 42. Esses números são divisíveis por 6 sem resto:

MDC (12, 24, 36 e 42) = 6

Da lição anterior sabemos que se um número for dividido por outro sem deixar resto, ele é chamado de múltiplo desse número.

Acontece que vários números podem ter um múltiplo comum. E agora estaremos interessados ​​no múltiplo de dois números, e deve ser o menor possível.

Definição. Mínimo múltiplo comum (LCM) de números a E b- a E b a e número b.

A definição contém duas variáveis a E b. Vamos substituir quaisquer dois números em vez dessas variáveis. Por exemplo, em vez de uma variável a Vamos substituir o número 9, e em vez da variável b Vamos substituir o número 12. Agora vamos tentar ler a definição:

Mínimo múltiplo comum (LCM) de números 9 E 12 - é o menor número que é múltiplo de 9 E 12 . Em outras palavras, este é um número tão pequeno que é divisível sem resto pelo número 9 e por número 12 .

A partir da definição fica claro que o MMC é o menor número divisível sem resto por 9 e 12. Este MMC precisa ser encontrado.

Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MCC), você pode usar dois métodos. A primeira maneira é anotar os primeiros múltiplos de dois números e, em seguida, escolher entre esses múltiplos um número que será comum a ambos os números e pequeno. Vamos aplicar este método.

Primeiro de tudo, vamos encontrar os primeiros múltiplos do número 9. Para encontrar os múltiplos de 9, você precisa multiplicar esse nove, um por um, por números de 1 a 9. As respostas resultantes serão múltiplos do número 9. Então, vamos começar. Destacaremos os múltiplos em vermelho:

Agora encontramos os múltiplos do número 12. Para fazer isso, multiplicamos 12 um por um por todos os números de 1 a 12.

Vamos resolver o problema. Temos dois tipos de cookies. Alguns são chocolate e outros são simples. São 48 de chocolate e 36 simples. Você precisa fazer o máximo possível de presentes com esses biscoitos e usar todos eles.

Primeiro, vamos anotar todos os divisores de cada um desses dois números, pois ambos os números devem ser divisíveis pelo número de presentes.

Nós temos

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Vamos encontrar entre os divisores comuns que o primeiro e o segundo números possuem.

Os fatores comuns serão: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

O maior divisor comum de todos é o número 12. Esse número é chamado de máximo divisor comum dos números 36 e 48.

Com base nos resultados obtidos, podemos concluir que podem ser feitos 12 presentes com todos os biscoitos. Um desses presentes conterá 4 biscoitos de chocolate e 3 biscoitos normais.

Encontrando o Maior Divisor Comum

• O maior número natural que divide dois números a e b sem deixar resto é chamado de máximo divisor comum desses números.

Às vezes, a abreviatura GCD é usada para encurtar a entrada.

Alguns pares de números têm um como máximo divisor comum. Tais números são chamados números mutuamente primos. Por exemplo, os números 24 e 35 têm GCD =1.

Como encontrar o máximo divisor comum

Para encontrar o máximo divisor comum, não é necessário anotar todos os divisores dos números fornecidos.

Você pode fazer isso de forma diferente. Primeiro, fatore ambos os números em fatores primos.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Agora, dos fatores que estão incluídos na expansão do primeiro número, riscaremos todos aqueles que não estão incluídos na expansão do segundo número. No nosso caso, são dois duques.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Os fatores restantes são 2, 2 e 3. Seu produto é 12. Este número será o máximo divisor comum dos números 48 e 36.

Esta regra pode ser estendida ao caso de três, quatro, etc. números.

Esquema geral para encontrar o máximo divisor comum

• 1. Divida os números em fatores primos.
• 2. Dos fatores incluídos na expansão de um desses números, risque aqueles que não estão incluídos na expansão de outros números.
• 3. Calcule o produto dos demais fatores.

Maior divisor comum

Definição 2

Se um número natural a é divisível por um número natural $b$, então $b$ é chamado de divisor de $a$, e $a$ é chamado de múltiplo de $b$.

Sejam $a$ e $b$ números naturais. O número $c$ é chamado de divisor comum de $a$ e $b$.

O conjunto de divisores comuns dos números $a$ e $b$ é finito, pois nenhum desses divisores pode ser maior que $a$. Isso significa que entre esses divisores existe um maior, que é chamado de máximo divisor comum dos números $a$ e $b$ e é denotado pela seguinte notação:

$GCD\(a;b)\ ou \D\(a;b)$

Para encontrar o máximo divisor comum de dois números você precisa:

1. Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

Exemplo 1

Encontre o mdc dos números $121$ e $132.$

$242=2\cponto 11\cponto 11$

$132=2\cponto 2\cponto 3\cponto 11$

Escolha os números incluídos na expansão desses números

$242=2\cponto 11\cponto 11$

$132=2\cponto 2\cponto 3\cponto 11$

Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

$MDC=2\cponto 11=22$

Exemplo 2

Encontre o mdc dos monômios $63$ e $81$.

Encontraremos de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta:

Vamos fatorar os números em fatores primos

$63=3\cponto 3\cponto 7$

$81=3\cponto 3\cponto 3\cponto 3$

Selecionamos os números que estão incluídos na expansão desses números

$63=3\cponto 3\cponto 7$

$81=3\cponto 3\cponto 3\cponto 3$

Vamos encontrar o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

$MDC=3\cponto 3=9$

Você pode encontrar o MDC de dois números de outra maneira, usando um conjunto de divisores de números.

Exemplo 3

Encontre o mdc dos números $48$ e $60$.

Solução:

Vamos encontrar o conjunto de divisores do número $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Agora vamos encontrar o conjunto de divisores do número $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Vamos encontrar a interseção desses conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - este conjunto determinará o conjunto de divisores comuns dos números $48$ e $60 $. O maior elemento deste conjunto será o número $12$. Isso significa que o máximo divisor comum dos números $48$ e $60$ é $12$.

Definição de NPL

Definição 3

Múltiplos comuns de números naturais$a$ e $b$ são números naturais múltiplos de $a$ e $b$.

Múltiplos comuns de números são números que são divisíveis pelos números originais sem resto. Por exemplo, para os números $25$ e $50$, os múltiplos comuns serão os números $50.100.150.200$, etc.

O menor múltiplo comum será chamado de mínimo múltiplo comum e será denotado LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$

Para encontrar o MMC de dois números, você precisa:

1. Fatore números em fatores primos
2. Anote os fatores que fazem parte do primeiro número e some a eles os fatores que fazem parte do segundo e não fazem parte do primeiro

Exemplo 4

Encontre o MMC dos números $99$ e $77$.

Encontraremos de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta

Fatore números em fatores primos

$99=3\cponto 3\cponto 11$

Anote os fatores incluídos no primeiro

adicione a eles multiplicadores que fazem parte do segundo e não fazem parte do primeiro

Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o mínimo múltiplo comum desejado

$NOK=3\cponto 3\cponto 11\cponto 7=693$

Compilar listas de divisores de números costuma ser uma tarefa muito trabalhosa. Existe uma maneira de encontrar o GCD chamada algoritmo euclidiano.

Declarações nas quais o algoritmo euclidiano se baseia:

Se $a$ e $b$ são números naturais, e $a\vdots b$, então $D(a;b)=b$

Se $a$ e $b$ são números naturais tais que $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos reduzir sucessivamente os números em consideração até chegarmos a um par de números tal que um deles seja divisível pelo outro. Então o menor desses números será o máximo divisor comum desejado para os números $a$ e $b$.

Propriedades de GCD e LCM

1. Qualquer múltiplo comum de $a$ e $b$ é divisível por K$(a;b)$
2. Se $a\vdots b$ , então К$(a;b)=a$

Se K$(a;b)=k$ e $m$ for um número natural, então K$(am;bm)=km$

Se $d$ é um divisor comum para $a$ e $b$, então K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Se $a\vdots c$ e $b\vdots c$ , então $\frac(ab)(c)$ é o múltiplo comum de $a$ e $b$

Para quaisquer números naturais $a$ e $b$ a igualdade é válida

$D(a;b)\cdot Ê(a;b)=ab$

Qualquer divisor comum dos números $a$ e $b$ é um divisor do número $D(a;b)$

Encontrar o máximo divisor comum de três ou mais números pode ser reduzido a encontrar sequencialmente o mdc de dois números. Mencionamos isso ao estudar as propriedades do GCD. Lá formulamos e provamos o teorema: o máximo divisor comum de vários números uma 1 , uma 2 , …, uma k igual ao número não sei, que é encontrado por cálculo sequencial MDC(a 1 , a 2)=d 2, MDC(d 2 , a 3)=d 3, MDC(d 3 , a 4)=d 4, …,MDC(d k-1 , a k)=d k.

Vamos ver como é o processo de encontrar o MDC de vários números observando a solução do exemplo.

Exemplo.

Encontre o máximo divisor comum de quatro números 78 , 294 , 570 E 36 .

Solução.

Neste exemplo uma 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Primeiro, usando o algoritmo euclidiano, determinamos o máximo divisor comum d2 dois primeiros números 78 E 294 . Ao dividir obtemos as igualdades 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 E 18=6·3. Por isso, d 2 =MDC(78, 294)=6.

Agora vamos calcular d 3 =MDC(d 2, a 3)=MDC(6, 570). Vamos usar o algoritmo euclidiano novamente: 570=6·95, por isso, d 3 =MDC(6, 570)=6.

Resta calcular d 4 =MDC(d 3, a 4)=MDC(6, 36). Porque 36 dividido por 6 , Que d 4 =MDC(6, 36)=6.

Assim, o máximo divisor comum dos quatro números dados é igual a d4 =6, aquilo é, MDC(78, 294, 570, 36)=6.

Responder:

MDC(78, 294, 570, 36)=6.

Fatorar números em fatores primos também permite calcular o MDC de três ou mais números. Neste caso, o máximo divisor comum é encontrado como o produto de todos os fatores primos comuns dos números fornecidos.

Exemplo.

Calcule o mdc dos números do exemplo anterior usando suas fatorações primárias.

Solução.

Vamos decompor os números 78 , 294 , 570 E 36 por fatores primos, obtemos 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Os fatores primos comuns de todos os quatro números dados são os números 2 E 3 . Por isso, MDC(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Responder:

MDC(78, 294, 570, 36)=6.

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Encontrando o GCD de números negativos

Se um, vários ou todos os números cujo maior divisor deve ser encontrado são números negativos, então seu mdc é igual ao máximo divisor comum dos módulos desses números. Isto se deve ao fato de que números opostos a E −a têm os mesmos divisores, como discutimos ao estudar as propriedades da divisibilidade.

Exemplo.

Encontre o mdc de inteiros negativos −231 E −140 .

Solução.

O valor absoluto de um número −231 é igual a 231 , e o módulo do número −140 é igual a 140 , E MDC(−231, −140)=GCD(231, 140). O algoritmo euclidiano nos dá as seguintes igualdades: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 E 42=7 6. Por isso, MDC(231, 140)=7. Então o máximo divisor comum desejado de números negativos é −231 E −140 é igual a 7 .

Responder:

MDC(−231, −140)=7.

Exemplo.

Determine o mdc de três números −585 , 81 E −189 .

Solução.

Ao encontrar o máximo divisor comum, os números negativos podem ser substituídos pelos seus valores absolutos, ou seja, MDC(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). Expansões numéricas 585 , 81 E 189 em fatores primos têm a forma 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 E 189=3·3·3·7. Os fatores primos comuns desses três números são 3 E 3 . Então MDC(585, 81, 189)=3·3=9, por isso, MDC(−585, 81, −189)=9.

Responder:

MDC(−585, 81, −189)=9.

35. Raízes de um polinômio. Teorema de Bezout. (33 e acima)

36. Raízes múltiplas, critério de multiplicidade de raízes.