5 e -5 (Fig. 61) estão igualmente distantes do ponto O e estão localizados em lados opostos dele. Para ir do ponto O a esses pontos, você precisa percorrer as mesmas distâncias, mas em direções opostas. Os números 5 e -5 são chamados de números opostos: 5 é o oposto de 5 e -5 é o oposto de 5.

Dois números que diferem entre si apenas em sinais são chamados de números opostos.

Por exemplo, os números opostos seriam 8 e -8, já que o número 8 = + 8, o que significa números 8 e - 8 diferem apenas nos sinais. Os números opostos também serão

Para cada número existe apenas um número oposto.

O número 0 é o oposto dele mesmo.

O número oposto o é denotado -a. Se a = -7,8, então -a = 7,8; se a = 8,3, então - a = -8,3; se a = 0, então -a = 0. A entrada “- (-15)” significa o número oposto ao número -15. Como o número oposto de -15 é 15, então -(- 15) = 15. Em geral - (- a) = a.

Os números naturais, seus opostos e zero são chamados de inteiros.

? Quais números são chamados de opostos?

O número b é oposto ao número a. Qual número é o oposto de b?

Qual número é oposto a zero?

Existe um número que tem dois números opostos?

Quais números são chamados de inteiros?

PARA 910. Encontre os números opostos:

911. Substitua um número para obter a igualdade correta:

912. Encontre o significado da expressão:

913. Encontre as coordenadas dos pontos A, B e C (Fig. 62).

914. Qual é o número - x, se x:

um negativo; b) zero; c) positivo?

915. Preencha os espaços em branco da tabela e marque na coordenada direto pontos que têm como coordenadas os números da tabela resultante.

916. Resolva a equação:

a) - x = 607; b) - a = 30,4; c) - y= -3

917. Quais inteiros estão localizados na linha de coordenadas entre os números:

P 918. Calcule convencionalmente:

919. Entre quais inteiros na linha de coordenadas está o número: 2,6; -trinta; -6; -8

920. Encontre os números que estão distantes na linha de coordenadas: a) 6 unidades do número -9; b) 10 unidades do número 4; c) 10 unidades do número -4; d) 100 unidades do número 0.

921. Desenhe uma linha de coordenadas, tomando como unidade segmento de linha o comprimento de 4 células do caderno e marque o ponto nesta linha reta, F (2,25).

A 922. Marque na “linha do tempo” os seguintes eventos da história da matemática:

a) O livro “Elementos” foi escrito por Euclides no século III. AC e.

b) A teoria dos números teve origem na Grécia Antiga no século VI. AC e.

c) As frações decimais surgiram na China no século III.

d) A teoria das relações e proporções foi desenvolvida na Grécia Antiga no século IV. AC e.

e) O sistema numérico decimal posicional espalhou-se pelos países do Oriente no século IX. Há quantos séculos esses eventos ocorreram? Compare a “linha do tempo” e a linha de coordenadas.

923. Especifique pares de números mutuamente inversos:

924. Vitya comprou 2,4 kg de cenouras. Quantas cenouras comprado Kolya, se você sabe o que ele comprou:

a) 0,7 kg a mais que Viti; f) o que Vitya comprou;
b) 0,9 kg a menos que Viti; g) 0,5 do que Vitya comprou;
c) 3 vezes mais que Viti; h) 20% do que Vitya comprou;
d) 1,2 vezes menos que Viti; i) 120% do que Vitya comprou;
e) o que Vitya comprou; j) 20% a mais do que Vitya comprou?

925. Resolva o problema:

1) A olaria teve que produzir 270 mil tijolos para a construção do Palácio da Cultura. Primeiro
semana ele produziu as tarefas, na segunda semana produziu 10% a mais que na primeira semana. Quantos milhares de tijolos a fábrica ainda tem para produzir?

2) A fazenda coletiva vendeu 434 toneladas de grãos ao estado em três dias. No primeiro dia ele vendeu esse valor, no segundo dia - 10% menos que no primeiro dia, e no terceiro dia - o restante do grão. Quantas toneladas de grãos a fazenda coletiva vendeu no terceiro dia?

926. As notas diferem na duração do som. O sinal denota uma nota inteira, uma nota com metade do comprimento - uma mínima, uma semicolcheia.

Verifique a igualdade de durações:

D 927. Quais números são números opostos:

928. Escreva todos os números naturais menores que 5 e seus opostos.

929. Encontre o valor:

930. No segundo dia, foi liberado 2 vezes mais fio do armazém do que no primeiro dia, e no terceiro dia 3 vezes mais do que no primeiro. Quantos quilos de fio foram emitidos nestes três dias, se no primeiro dia foram emitidos 30 kg a menos que no terceiro?

931. Na fazenda coletiva, em terras irrigadas, foram colhidos 60,8 centavos de trigo por hectare. Substituir uma variedade de trigo antiga por uma nova proporciona um aumento de 25% no rendimento. Quanto trigo a fazenda coletiva coleta agora em 23 hectares de campo irrigado?

932. Faça uma equação para cada diagrama e resolva-a:

933. Encontre o significado da expressão:

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V. I. Zhokhov, Matemática para a 6ª série, Livro didático para o ensino médio

§ 1 O conceito de número positivo

Nesta lição você aprenderá quais números são chamados de opostos, como encontrar o número oposto e também o que são números inteiros e racionais.

Vamos começar com um trabalho prático. Na linha de coordenadas, marque os pontos A(2) e B(-2). São simétricos e o centro de simetria desses pontos é a origem das coordenadas O(0), visto que a distância OA=OB.

Vemos que as coordenadas dos pontos simétricos em relação à origem são números que diferem apenas no sinal. Esses números são chamados de opostos.

Existe outra definição de números opostos. Quais são os valores absolutos dos números 2 e -2? Igual a 2. Portanto, números opostos são números que possuem os mesmos módulos, mas diferem em sinal.

Para indicar o oposto de um determinado número, use o sinal de menos, que está escrito antes do número fornecido. Ou seja, o número oposto de a é escrito como −a. Por exemplo, o número 0,24 é oposto ao número −0,24, o número -25 é o número oposto −(−25), mas o número -25 na linha de coordenadas é oposto a 25, o que significa -(-25) = 25. Segue-se disso que -( -a) = a e a = -(-a).

§ 2 Propriedades dos números opostos

Vamos destacar algumas propriedades dos números opostos.

O oposto de um número positivo é negativo e o oposto de um número negativo é positivo. Isso é compreensível, uma vez que os pontos da reta coordenada correspondentes a números opostos estão localizados em lados opostos da origem.

Se o número a é oposto ao número b, então b é oposto a a - isso decorre da propriedade de simetria dos pontos na linha de coordenadas.

Vamos voltar para a linha de coordenadas. Quantos pontos podem ser marcados em uma linha de coordenadas que são simétricas àquela dada em relação à origem? Apenas um. Isso significa que para cada número existe apenas um número oposto.

Apenas um número é oposto a si mesmo - este é o número 0, pois 0 = -0 (portanto, não é costume escrever -0).

Números com um atributo comum formam um conjunto (ou grupo), cada conjunto possui seu próprio nome.

Lembremos que os números que usamos na contagem são chamados de números naturais; eles formam o conjunto dos números naturais.

Para cada número natural você pode encontrar seu número oposto. Os números naturais, seus opostos e o número 0 são chamados de inteiros.

Os números fracionários também podem ser positivos ou negativos. Todos os números inteiros e todas as frações são chamados de números racionais. Dizem também que juntos formam o conjunto dos números racionais.

Vamos destacar mais dois grupos de números. Vamos pegar uma linha de coordenadas. Se removermos a parte da reta onde estão localizados os números negativos, o que resta é um raio com números positivos e um ponto de referência 0. Os números restantes são chamados de não negativos, ou seja, números maiores ou iguais a 0. Portanto, números não positivos são todos números negativos e o número 0, ou seja, números menores ou iguais a 0.

Hoje aprendemos o que são números opostos, inteiros, racionais, não negativos e não positivos, e aprendemos a encontrar o número oposto de um determinado.

Lista de literatura usada:

1. Matemática 6ª série: planos de aula do livro didático de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //autor-compilador L.A. Topilina. Mnemósine 2009
2. Matemática. 6ª série: livro didático para alunos de instituições de ensino geral. Eu. eu. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matemática. 6ª série: livro didático para alunos de instituições de ensino geral. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemósine, 2013.
4. Manual de matemática - http://lyudmilanik.com.ua
5. Manual para alunos do ensino médio http://shkolo.ru

Neste artigo iremos explorar números opostos. Aqui responderemos à questão de quais números são chamados de opostos, mostraremos como o oposto de um determinado número é designado e daremos exemplos. Listaremos também os principais resultados característicos dos números opostos.

Navegação na página.

Determinando números opostos

Isso nos ajudará a ter uma ideia dos números opostos.

Marquemos algum ponto M na reta coordenada, diferente da origem. Podemos chegar ao ponto M separando sequencialmente um segmento unitário, bem como seu décimo, centésimo e assim por diante, da origem na direção do ponto M. Se traçarmos o mesmo número de segmentos unitários e suas parcelas na direção oposta, chegaremos a outro ponto, denotado pela letra N. Vamos dar um exemplo para ilustrar nossas ações (veja a figura abaixo). Para chegar ao ponto M na reta coordenada, separamos dois segmentos unitários e 4 segmentos, constituindo um décimo de unidade, na direção negativa. Agora vamos colocar dois segmentos unitários e 4 segmentos, constituindo um décimo de unidade, no sentido positivo. Isso nos dará o ponto N.

Estamos quase prontos para entender a definição de números opostos, resta apenas discutir algumas nuances.

Sabemos que cada ponto da reta coordenada corresponde a um único número real, portanto, tanto o ponto M quanto o ponto N correspondem a alguns números reais. Portanto, os números correspondentes aos pontos M e N são chamados de opostos.

Separadamente, é necessário falar sobre o ponto O - a origem. O ponto O corresponde ao número 0. O número zero é considerado o oposto de si mesmo.

Agora podemos expressar determinando números opostos.

Definição.

Dois números são chamados de opostos se os pontos na linha de coordenadas correspondentes a esses números puderem ser alcançados separando o mesmo número de segmentos unitários da origem em direções opostas, bem como frações de um segmento unitário, o número 0 é oposto a em si.

Notação de números opostos e exemplos

É hora de entrar símbolos de números opostos.

Para indicar o oposto de um determinado número, use o sinal de menos, que está escrito antes do número fornecido. Ou seja, o número oposto ao número a é escrito como −a. Por exemplo, o número oposto 0,24 é −0,24, e o número oposto −25 é −(−25).

Vamos dar exemplos de números opostos. O par de números 17 e −17 (ou −17 e 17) é um exemplo de inteiros opostos. Os números e são números racionais opostos. Outros exemplos de números racionais opostos são os pares de números 5,126 e −5,126. bem como 0,(1201) e −0,(1201) . Resta dar alguns exemplos do contrário

Neste artigo, tentaremos descobrir o que são números opostos. Explicaremos o que são em geral, mostraremos quais designações específicas são usadas para eles e veremos alguns exemplos. Na última parte do material listaremos as principais propriedades dos números opostos.

Para explicar o próprio conceito de opostos, primeiro precisamos representar uma linha de coordenadas. Vamos considerar o ponto M (mas não no início da contagem regressiva). Sua distância a zero será igual a um certo número de segmentos unitários, que podem, por sua vez, ser divididos em décimos e centésimos. Se medirmos a mesma distância da origem na direção oposta àquela em que M está localizado, podemos chegar a outro ponto semelhante. Vamos chamá-lo de N. Por exemplo, de M a zero há uma distância de 2,4 segmentos unitários e de N a zero é a mesma. Dê uma olhada na foto:

Lembremos que cada ponto de uma reta coordenada pode estar associado a apenas um número real. Neste caso, nossos pontos M e N correspondem a determinados números, que são chamados de opostos. Todo número tem um número oposto, exceto zero. Como este é o início da contagem regressiva, é considerado o oposto de si mesmo.

Vamos escrever a definição do que são números opostos:

Definição 1

Oposto são chamados os números que correspondem a esses pontos na linha de coordenadas que chegaremos se marcarmos a mesma distância da origem em direções diferentes (positiva e negativa). Zero está na origem e é oposto a si mesmo.

Como os números opostos são indicados?

Nesta seção apresentaremos a notação básica para tais números. Se tivermos um determinado número e precisarmos anotar o oposto dele, usamos um sinal de menos para isso.

Exemplo 1

Digamos que nosso número seja a, portanto seu oposto é a (menos a). Exatamente da mesma maneira, para 0,26 o oposto é - 0,26, e para 145 será - 145. Se o próprio número original for negativo, por exemplo, - 9, então escrevemos o oposto como – (- 9).

Que outros exemplos de números opostos você pode dar? Vamos pegar os números inteiros: 12 e -12. Os números racionais opostos são 3 2 11 e - 3 2 11, bem como 8, 128 e − 8, 128, 0, (18901) e − 0, (18901), etc. os valores das expressões numéricas 2 + 1 e - 2 + 1.

Os números irracionais opostos também serão e e - e.

Propriedades básicas de números opostos

Esses números têm certas propriedades. Abaixo daremos uma lista deles com explicações.

Definição 2

1. Se o número original for positivo, seu oposto será negativo.

Esta afirmação é óbvia e decorre do gráfico acima: tais números estão localizados em lados opostos da linha de referência. Se você esqueceu os conceitos de números positivos e negativos, dê uma olhada no material que publicamos anteriormente.

Outra afirmação muito importante pode ser deduzida desta regra. Na forma literal, sua notação é assim: para qualquer a positivo será verdadeiro − (− a) = a. Vamos mostrar com um exemplo porque isso é importante.

Vamos pegar o número 5. Usando a linha de coordenadas, você pode ver que o número oposto é 5 e vice-versa. Usando a notação que indicamos acima, escrevemos o número oposto - 5 como – (- 5) . Acontece que – (- 5) = 5. Daí a conclusão: os números opostos diferem entre si apenas pela presença de um sinal de menos.

2. A propriedade a seguir é geralmente chamada de propriedade de simetria. Também pode ser derivado da própria definição de números opostos. Parece assim:

Definição 3

Se algum número a é o oposto de b, então b é o oposto de a.

Obviamente, esta afirmação não necessita de provas adicionais.

3. A terceira propriedade dos números opostos diz:

Definição 4

Todo número real tem apenas um número oposto.

Esta afirmação decorre do fato de que os pontos em uma linha coordenada não podem corresponder a muitos números ao mesmo tempo.

Definição 5

4. Os módulos de números opostos são iguais.

Isso decorre da definição do módulo. É lógico que os pontos de uma linha correspondente a quaisquer números opostos estejam à mesma distância do ponto de referência.

Definição 6

5. Se somarmos números opostos, obtemos 0.

Literalmente, esta afirmação se parece com a + (− a) = 0.

Exemplo 2

Aqui estão exemplos de tais cálculos:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Como você pode ver, esta regra funciona para todos os números – inteiros, racionais, irracionais, etc.

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Definição de números opostos

Definição de números opostos:

Dois números são chamados de opostos se diferirem apenas em sinais.

Exemplos de números opostos

Exemplos de números opostos.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

A partir daqui fica claro como encontrar o oposto de um determinado número: basta alterar o sinal do número.

O número oposto a 3 é o número menos três.

Exemplo. Os números são opostos aos dados.

Dado: números 1; 5; 8; 9.

Encontre os números opostos dos dados.

Para resolver esta tarefa, basta alterar os sinais dos números fornecidos:

Vamos fazer uma tabela de números opostos:

O oposto de zero

O oposto de zero é o próprio número zero.

Portanto, o número oposto a 0 é 0.

Inteiros opostos

Os inteiros opostos diferem apenas no sinal.

Exemplos de inteiros opostos.

10 -10
20 -20
125 -125

Par de números opostos

Quando falam de números opostos, sempre se referem a um par de números opostos.

Um número é o oposto de outro número. E todo número tem apenas um número oposto.

Números opostos aos números naturais

O oposto dos números naturais são os inteiros negativos.

Vamos fazer uma tabela de números opostos para os cinco primeiros números naturais:

Soma de números opostos

A soma dos números opostos é zero. Afinal, os números opostos diferem apenas no sinal.