1) c+d ≤ z ≤ a+d. Então

2) a+d ≤ z ≤ b+c. Então

3) b+c ≤ z ≤ a+b. Então

Essa distribuição é chamada de lei de Simpson. As Figuras 8, 9 mostram gráficos de densidade de distribuição de SW em Com=0, d=0.

Na prática, muitas vezes torna-se necessário encontrar a lei de distribuição da soma de variáveis ​​aleatórias.

Que haja um sistema (X b X 2) dois s contínuos. V. e sua soma

Vamos encontrar a densidade de distribuição c. V. U. De acordo com a solução geral do parágrafo anterior, encontramos a região do plano onde x + x 2 (Fig. 9.4.1):

Diferenciando esta expressão em relação a y, obtemos um ap. variável aleatória Y \u003d X + X 2:

Como a função φ (x b x 2) = Xj + x 2 é simétrica em relação aos seus argumentos, então

Se com. V. X E X 2 são independentes, então as fórmulas (9.4.2) e (9.4.3) assumem a forma:

No caso quando independente c. V. x x E X 2, fale sobre a composição das leis de distribuição. Produzir composição duas leis de distribuição - isso significa encontrar a lei de distribuição para a soma de dois independentes c. c., distribuído de acordo com essas leis. A notação simbólica é usada para designar a composição das leis de distribuição

que é essencialmente denotado pelas fórmulas (9.4.4) ou (9.4.5).

Exemplo 1. É considerado o funcionamento de dois dispositivos técnicos (TD). Primeiro, a TU funciona após sua falha (falha) ser incluída na operação da TU 2. Tempo de atividade TU TU TU 2 - x x E X 2 - são independentes e distribuídos de acordo com leis exponenciais com parâmetros A,1 e X2. Portanto, o tempo S operação sem problemas do TU, que consiste em TU! e TU 2 serão determinados pela fórmula

É necessário encontrar um pr. variável aleatória Sim, ou seja, a composição de duas leis exponenciais com parâmetros e X2.

Solução. Pela fórmula (9.4.4) obtemos (y > 0)

Se houver uma composição de duas leis exponenciais com os mesmos parâmetros (?c = X 2 = Y), então na expressão (9.4.8) obtém-se uma incerteza do tipo 0/0, expandindo-a, obtemos:

Comparando esta expressão com a expressão (6.4.8), estamos convencidos de que a composição de duas leis exponenciais idênticas (?c = X 2 = x)é a lei Erlang de segunda ordem (9.4.9). Ao compor duas leis exponenciais com parâmetros diferentes x x e A-2 obtêm lei de Erlang generalizada de segunda ordem (9.4.8). ?

Problema 1. A lei da distribuição da diferença de dois s. V. Sistema com. V. (X e X 2) tem um r.p./(x x x 2) conjunto. Encontre um relações públicas suas diferenças Y=X - X2.

Solução. Para o sistema com V. (X b - X 2) etc. será / (x b - x2), ou seja, substituímos a diferença pela soma. Portanto, a.r. a variável aleatória U terá a forma (ver (9.4.2), (9.4.3)):

Se Com. V. X x iX 2 independente, então

Exemplo 2. Encontre um f.r. a diferença de dois s independentes distribuídos exponencialmente. V. com parâmetros x x E X2.

Solução. De acordo com a fórmula (9.4.11) obtemos

Arroz. 9.4.2 Arroz. 9.4.3

A Figura 9.4.2 mostra uma p. g(s). Se considerarmos a diferença de dois s independentes distribuídos exponencialmente. V. com as mesmas configurações (A-eu= X 2 = A,), Que g(y) \u003d / 2 - já familiar

Lei de Laplace (Fig. 9.4.3). ?

Exemplo 3. Encontre a lei de distribuição para a soma de dois c independentes. V. X E X 2, distribuído de acordo com a lei de Poisson com parâmetros um x E um 2.

Solução. Encontre a probabilidade de um evento (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Portanto, S. V. S = X x + X 2 distribuído de acordo com a lei de Poisson com o parâmetro uma x2) - uma x + uma 2. ?

Exemplo 4. Encontre a lei de distribuição para a soma de dois c independentes. V. x x E X 2, distribuído de acordo com leis binomiais com parâmetros p x ri p 2 , p respectivamente.

Solução. Imagine com. V. x x como:

Onde X 1) - indicador de evento A wu "ésima experiência:

Faixa de distribuição com. V. X,- tem a forma

Faremos uma representação semelhante para s. V. X 2: onde X] 2) - indicador de evento A na sua"-ésima experiência:

Por isso,

onde está X? 1)+(2) se o indicador de evento A:

Assim, mostramos que V. Valor do sogro (você + n 2) indicadores de eventos A, de onde segue que s. V. ^distribuído de acordo com a lei binomial com parâmetros ( nx + nº 2), pág.

Observe que se as probabilidades R em diferentes séries de experimentos são diferentes, então como resultado da adição de dois s independentes. c., distribuído de acordo com leis binomiais, resulta c. c., distribuído não de acordo com a lei binomial. ?

Os exemplos 3 e 4 são facilmente generalizados para um número arbitrário de termos. Ao compor as leis de Poisson com parâmetros a b a 2 , ..., no A lei de Poisson é novamente obtida com o parâmetro a (t) \u003d a x + a 2 + ... + e T.

Ao compor leis binomiais com parâmetros (n r); (eu 2, R) , (n t, p) novamente obtemos a lei binomial com parâmetros (“(“), R), Onde n (t) \u003d você + n 2 + ... + etc.

Provamos propriedades importantes da lei de Poisson e da lei binomial: a “propriedade da estabilidade”. A lei de distribuição é chamada sustentável, se a composição de duas leis do mesmo tipo resultar em uma lei do mesmo tipo (apenas os parâmetros desta lei diferem). Na Subseção 9.7 mostraremos que a lei normal possui a mesma propriedade de estabilidade.

O tomador de decisão pode utilizar seguros para mitigar o impacto financeiro adverso de certos tipos de eventos aleatórios.

Mas esta consideração é muito geral, uma vez que um decisor pode significar tanto um indivíduo que procura protecção contra danos à propriedade, poupanças ou rendimentos, como uma organização que procura protecção contra o mesmo tipo de danos.

Na verdade, tal organização pode ser uma seguradora que procura formas de se proteger de perdas financeiras devido a muitos eventos segurados que ocorreram com um cliente individual ou com a sua carteira de seguros. Essa proteção é chamada resseguro.

Considere um de dois modelos (ou seja, modelo de risco individual) amplamente utilizado na determinação de taxas e reservas de seguros, bem como em resseguros.

Denotar por S o valor das perdas acidentais da seguradora para alguma parte de seus riscos. Nesse caso Sé uma variável aleatória para a qual devemos determinar a distribuição de probabilidade. Historicamente, para distribuições de r.v. S havia dois conjuntos de postulados. O modelo de risco individual define S Da seguinte maneira:

onde r.v. significa perdas causadas pelo objeto do seguro com o número eu, A n denota o número total de objetos de seguro.

Geralmente assume-se que são variáveis ​​​​aleatórias independentes, pois neste caso os cálculos matemáticos são mais simples e não são necessárias informações sobre a natureza da relação entre elas. O segundo modelo é o modelo de risco coletivo.

O modelo de riscos individuais considerado não reflete as mudanças no valor do dinheiro ao longo do tempo. Isso é feito para simplificar o modelo, por isso o título do artigo se refere a um curto intervalo de tempo.

Consideraremos apenas modelos fechados, ou seja, aqueles em que o número de objetos de seguro n na fórmula (1.1) é conhecido e fixado logo no início do intervalo de tempo considerado. Se introduzirmos suposições sobre a presença de migração de ou para o sistema de seguros, obteremos um modelo aberto.

Variáveis ​​aleatórias que descrevem pagamentos individuais

Em primeiro lugar, recordemos as principais disposições relativas ao seguro de vida.

No caso de seguro de morte pelo período de um ano, a seguradora compromete-se a pagar o valor b, se o tomador do seguro falecer no prazo de um ano a contar da data de celebração do contrato de seguro, e não paga nada se o tomador viver este ano.

A probabilidade de um evento segurado ocorrer durante o ano especificado é denotada por .

A variável aleatória que descreve os pagamentos de seguros tem uma distribuição que pode ser especificada pela função de probabilidade

(2.1)

ou a função de distribuição correspondente

(2.2)

Da fórmula (2.1) e da definição de momentos, obtemos

(2.4)

Essas fórmulas também podem ser obtidas escrevendo X como

onde é um valor constante pago em caso de morte, e é uma variável aleatória que assume o valor 1 em caso de morte e 0 caso contrário.

Assim, e , e o valor médio e a variância do r.v. são iguais e respectivamente, e o valor médio e a variância de r.v. são iguais a e , o que coincide com as fórmulas acima.

Uma variável aleatória com intervalo (0,1) é amplamente utilizada em modelos atuariais.

Nos livros didáticos sobre teoria das probabilidades, é chamado indicador, Bernoulli aleatório valor ou variável aleatória binomial no design de teste único.

Nós vamos ligar para ela indicador por questões de brevidade, e também porque indica o início, ou não, do evento em questão.

Passemos à busca de modelos mais gerais em que o valor do pagamento do seguro também seja uma variável aleatória e vários eventos de seguro possam ocorrer no intervalo de tempo considerado.

Seguro saúde, seguro automóvel e outros seguros de propriedade e seguro de responsabilidade civil fornecem imediatamente muitos exemplos. Generalizando a fórmula (2.5), definimos

onde é uma variável aleatória que descreve os pagamentos de seguros no intervalo de tempo considerado, r.v. denota o valor total dos pagamentos neste intervalo e r.v. é um indicador para o evento em que ocorreu pelo menos um evento segurado.

Sendo um indicador de tal evento, r.v. corrige a presença () ou falta () eventos segurados neste intervalo de tempo, mas não o número de eventos segurados nele.

A probabilidade continuará a ser denotada por.

Vamos discutir vários exemplos e determinar a distribuição de variáveis ​​​​aleatórias em algum modelo.

Consideremos primeiro um seguro de morte por um ano, com um benefício adicional se a morte for acidental.

Para maior certeza, vamos supor que se a morte ocorreu em decorrência de acidente, o valor do pagamento será de 50.000. Se a morte ocorrer por outras causas, o valor do pagamento será de 25.000.

Suponhamos que para uma pessoa de uma determinada idade, estado de saúde e profissão, a probabilidade de morrer em consequência de um acidente durante o ano seja de 0,0005, e a probabilidade de morrer por outras causas seja de 0,0020. Na forma de fórmula, fica assim:

Somando todos os valores possíveis de, obtemos

,

Distribuição condicional c. V. condição tem a forma

Consideremos agora o seguro de colisão automóvel (indemnização paga ao proprietário do automóvel pelos danos causados ​​ao seu automóvel) com uma franquia incondicional de 250 e um pagamento máximo de 2.000.

Para maior clareza, assumimos que a probabilidade de ocorrência de um evento segurado no período de tempo considerado para um indivíduo é de 0,15, e a probabilidade de ocorrência de mais de uma colisão é igual a zero:

, .

A suposição irrealista de que não pode ocorrer mais de um evento segurado durante um período é feita para simplificar a distribuição de r.v. .

Abandonaremos essa suposição na próxima seção, depois de considerarmos a distribuição da soma de vários sinistros de seguros.

Como é o valor dos pagamentos da seguradora, e não os danos causados ​​ao carro, podemos considerar duas características, e.

Em primeiro lugar, o evento inclui aquelas colisões em que o dano é inferior à franquia incondicional, que é de 250.

Em segundo lugar, a distribuição de r.v. terá um “coágulo” da massa probabilística no ponto do valor máximo do pagamento do seguro, que é igual a 2.000.

Suponha que a massa probabilística concentrada neste ponto seja 0,1. Além disso, suponha que o valor dos pagamentos de seguros no intervalo de 0 a 2.000 possa ser modelado por uma distribuição contínua com uma função de densidade proporcional a (Na prática, a curva contínua escolhida para representar a distribuição dos prêmios é resultado de estudos de prêmios do período anterior.)

Resumindo essas suposições sobre a distribuição condicional de r.v. sob a condição, chegamos a uma distribuição de tipo misto que tem uma densidade positiva na faixa de 0 a 2.000 e algum "coágulo" da massa probabilística no ponto 2.000. Isso é ilustrado pelo gráfico da Fig. 2.2.1.

A função de distribuição desta distribuição condicional é semelhante a esta:

Figura 2.1. Função de distribuição de r.v. B sob a condição I = 1

Calculamos a expectativa matemática e a variância no exemplo considerado com seguro automóvel de duas maneiras.

Primeiro, escrevemos a distribuição do r.v. e use-o para calcular e . Denotando através da função de distribuição do r.v. , Nós temos

Para x<0

Esta é uma distribuição mista. Como mostrado na fig. 2.2, tem uma parte discreta (“aglomerado” de massa probabilística no ponto 2000) e uma parte contínua. Tal função de distribuição corresponde a uma combinação da função de probabilidade

Arroz. 2.2. Função de distribuição de r.v. X=IB

e funções de densidade

Em particular, e . É por isso .

Existem várias fórmulas que relacionam os momentos das variáveis ​​​​aleatórias com as expectativas matemáticas condicionais. Para a expectativa matemática e para a variância, essas fórmulas têm a forma

(2.10)

(2.11)

Supõe-se que as expressões do lado esquerdo dessas igualdades são calculadas diretamente a partir da distribuição do r.v. . Ao calcular as expressões do lado direito, nomeadamente, e , é utilizada a distribuição condicional do r.v.. a um valor fixo de r.v. .

Essas expressões são, portanto, funções do r.v. , e podemos calcular seus momentos usando a distribuição de r.v. .

Distribuições condicionais são utilizadas em muitos modelos atuariais e isso permite que as fórmulas acima sejam aplicadas diretamente. Em nosso modelo. Considerando o r.v. como e r.v. como, obtemos

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

e considere expectativas matemáticas condicionais

(2.16)

(2.17)

As fórmulas (2.16) e (2.17) são definidas em função do r.v. , que pode ser escrita como a seguinte fórmula:

Desde às , então (2.21)

Pois temos e (2.22)

As fórmulas (2.21) e (2.22) podem ser combinadas: (2.23)

Assim, (2.24)

Substituindo (2.21), (2.20) e (2.24) em (2.12) e (2.13), obtemos

Vamos aplicar as fórmulas recebidas para cálculo e em um exemplo de seguro automóvel (figo. 2.2). Uma vez que a função de densidade do r.v. Na condição é expressa pela fórmula

e P(B=2000|I=1)= 0,1, temos

Finalmente, assumindo q= 0,15, das fórmulas (2.25) e (2.26) obtemos as seguintes igualdades:

Para descrever outra situação de seguro, podemos oferecer outros modelos para r.v. .

Exemplo: modelo para o número de mortes devido a acidentes aéreos

Como exemplo, considere um modelo para o número de mortes devido a acidentes aéreos durante o período de um ano de operação de uma companhia aérea.

Podemos começar com uma variável aleatória que descreve o número de mortes num voo e depois somar estas variáveis ​​aleatórias de todos os voos num ano.

Para um voo, o evento indicará o início de um acidente aéreo. O número de mortes que esta catástrofe acarretou será representado pelo produto de duas variáveis ​​​​aleatórias e , onde é a taxa de ocupação da aeronave, ou seja, o número de pessoas a bordo no momento do acidente, e é a proporção de mortes entre as pessoas a bordo quadro.

O número de mortes é apresentado desta forma, uma vez que estatísticas separadas para e são mais acessíveis do que estatísticas para r.v. . Assim, embora a proporção de mortes entre as pessoas a bordo e o número de pessoas a bordo estejam provavelmente relacionados, como primeira aproximação pode-se presumir que o r.v. e independente.

Somas de variáveis ​​aleatórias independentes

No modelo de risco individual, os pagamentos de seguros feitos por uma seguradora são apresentados como a soma dos pagamentos a muitos indivíduos.

Lembre-se de dois métodos para determinar a distribuição da soma de variáveis ​​​​aleatórias independentes. Considere primeiro a soma de duas variáveis ​​aleatórias, cujo espaço amostral é mostrado na Fig. 3.1.

Arroz. 2.3.1. Evento

A linha e a área abaixo desta linha representam um evento. Portanto, a função de distribuição do r.v. S tem a forma (3.1)

Para duas variáveis ​​aleatórias discretas não negativas, podemos usar a fórmula da probabilidade total e escrever (3.1) como

Se X E S são independentes, a última soma pode ser reescrita como

(3.3)

A função de probabilidade correspondente a esta função de distribuição pode ser encontrada pela fórmula

(3.4)

Para variáveis ​​​​aleatórias contínuas não negativas, as fórmulas correspondentes às fórmulas (3.2), (3.3) e (3.4) têm a forma

Quando uma ou ambas as variáveis ​​aleatórias X E S têm uma distribuição de tipo misto (o que é típico para modelos de risco individuais), as fórmulas são semelhantes, mas mais complicadas. Para variáveis ​​aleatórias que também podem assumir valores negativos, as somas e integrais nas fórmulas acima são tomadas sobre todos os valores de y de a .

Na teoria das probabilidades, a operação nas fórmulas (3.3) e (3.6) é chamada de convolução de duas funções de distribuição e é denotada por. A operação de convolução também pode ser definida para um par de funções de probabilidade ou densidade usando as fórmulas (3.4) e (3.7).

Para determinar a distribuição da soma de mais de duas variáveis ​​aleatórias, podemos usar iterações do processo de convolução. Para , onde estão variáveis ​​​​aleatórias independentes, denota a função de distribuição do r.v. e é a função de distribuição do r.v. , nós conseguiremos

O Exemplo 3.1 ilustra esse procedimento para três variáveis ​​aleatórias discretas.

Exemplo 3.1. Variáveis ​​aleatórias, e são independentes e possuem distribuições definidas pelas colunas (1), (2) e (3) da tabela abaixo.

Vamos escrever a função de probabilidade e a função de distribuição do r.v.

Solução. A tabela usa a notação introduzida antes do exemplo:

As colunas (1)-(3) contêm as informações disponíveis.

A coluna (4) é obtida a partir das colunas (1) e (2) usando (3.4).

A coluna (5) é obtida a partir das colunas (3) e (4) usando (3.4).

A definição da coluna (5) completa a determinação da função de probabilidade para o r.v. . Sua função de distribuição na coluna (8) é o conjunto das somas parciais da coluna (5), começando do topo.

Para maior clareza, incluímos a coluna (6), a função de distribuição para a coluna (1), coluna (7), que pode ser obtida diretamente das colunas (1) e (6) usando (2.3.3), e coluna (8 ) determinado de forma semelhante para as colunas (3) e (7). A coluna (5) pode ser determinada a partir da coluna (8) por subtração sucessiva.

Passemos à consideração de dois exemplos com variáveis ​​​​aleatórias contínuas.

Exemplo 3.2. Deixe r.v. tem uma distribuição uniforme no intervalo (0,2), e deixe o r.v. não depende do r.v. e tem distribuição uniforme no intervalo (0,3). Vamos definir a função de distribuição do r.v.

Solução. Desde as distribuições de r.v. e contínuo, usamos a fórmula (3.6):

Então

Espaço amostral de r.v. e está ilustrado na Fig. 3.2. A área retangular contém todos os valores possíveis do par e . O evento de interesse para nós, é representado na figura por cinco valores é.

Para cada valor, a linha cruza o eixo S no ponto é e uma linha em um ponto. Os valores da função para estes cinco casos são descritos pela seguinte fórmula:

Arroz. 3.2. Convolução de duas distribuições uniformes

Exemplo 3.3. Consideremos três r.v. . Para r.v. tem uma distribuição exponencial e . Vamos encontrar a função densidade do r.v. aplicando a operação de convolução.

Solução. Nós temos

Usando a fórmula (3.7) três vezes, obtemos

Outro método para determinar a distribuição da soma de variáveis ​​​​aleatórias independentes é baseado na singularidade da função geradora de momento, que para r.v. é determinado pela razão .

Se esta expectativa matemática for finita para todos t de algum intervalo aberto contendo a origem, então é a única função geradora dos momentos de distribuição do r.v. no sentido de que não existe outra função além de , que seria a função geradora dos momentos de distribuição do r.v. .

Esta unicidade pode ser usada da seguinte forma: para a soma

Se forem independentes, então a expectativa do produto na fórmula (3.8) é igual a ..., Então

Encontrar uma expressão explícita para a única distribuição que corresponde à função geradora dos momentos (3.9) completaria a descoberta da distribuição do r.v. . Se não for possível especificá-lo explicitamente, ele poderá ser pesquisado por métodos numéricos.

Exemplo 3.4. Considere as variáveis ​​aleatórias do Exemplo 3.3. Vamos definir a função densidade do r.v. , utilizando a função geradora dos momentos do r.v. .

Solução. De acordo com a igualdade (3.9), que pode ser escrito como usando o método de decomposição em frações simples. A solução é . Mas é a função geradora dos momentos da distribuição exponencial com o parâmetro , de modo que a função densidade do r.v. tem a forma

Exemplo 3.5. No estudo de processos aleatórios, foi introduzida a distribuição gaussiana inversa. É usado como uma distribuição de r.v. EM, o valor dos pagamentos do seguro. A função densidade e a função geradora dos momentos da distribuição gaussiana inversa são dadas pelas fórmulas

Vamos encontrar a distribuição de r.v. , onde r.v. são independentes e têm as mesmas distribuições gaussianas inversas.

Solução. Utilizando a fórmula (3.9), obtemos a seguinte expressão para a função geradora dos momentos r.v.. :

A função geradora dos momentos corresponde a uma distribuição única, podendo-se observar que possui uma distribuição gaussiana inversa com parâmetros e .

Aproximações para distribuição de soma

O teorema do limite central fornece um método para encontrar valores numéricos para a distribuição da soma de variáveis ​​​​aleatórias independentes. Normalmente este teorema é formulado para a soma de variáveis ​​​​aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica, onde .

Para qualquer n, a distribuição do r.v. onde = , tem expectativa matemática 0 e variância 1. Como se sabe, a sequência de tais distribuições (para n= 1, 2, ...) tende à distribuição normal padrão. Quando n grande, este teorema é aplicado para aproximar a distribuição de r.v. distribuição normal com média μ e dispersão. Da mesma forma, a distribuição da soma n variáveis ​​aleatórias é aproximada por uma distribuição normal com média e variância.

A eficiência de tal aproximação depende não apenas do número de termos, mas também da proximidade da distribuição dos termos com a distribuição normal. Muitos cursos elementares de estatística afirmam que n deve ser pelo menos 30 para que a aproximação seja razoável.

No entanto, um dos programas para geração de variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas usado na modelagem de simulação implementa uma variável aleatória normal como uma média de 12 variáveis ​​aleatórias independentes distribuídas uniformemente ao longo do intervalo (0,1).

Em muitos modelos de risco individuais, as variáveis ​​aleatórias incluídas nas somas não são distribuídas igualmente. Isso será ilustrado por exemplos na próxima seção.

O teorema do limite central também se estende a sequências de variáveis ​​aleatórias distribuídas desigualmente.

Para ilustrar algumas aplicações do modelo de risco individual, utilizaremos uma aproximação normal da distribuição da soma das variáveis ​​aleatórias independentes para obter soluções numéricas. Se , Que

e ainda mais, se r.v. independente, então

Para a aplicação em questão, precisamos apenas de:

• encontrar as médias e variâncias de variáveis ​​aleatórias simulando perdas individuais;
• some-os para obter a média e a variação das perdas da seguradora como um todo,
• use a aproximação normal.

Abaixo ilustramos essa sequência de ações.

Pedidos de seguro

Esta seção ilustra o uso da aproximação normal com quatro exemplos.

Exemplo 5.1. Uma seguradora de vida oferece um contrato de seguro de morte de um ano com pagamentos de 1 e 2 unidades para pessoas cujas probabilidades de morte são 0,02 ou 0,01. A tabela abaixo mostra o número de pessoas ok em cada uma das quatro classes formadas de acordo com o pagamento bk e a probabilidade de um evento segurado qk:

A seguradora deseja cobrar deste grupo de 1.800 indivíduos um valor igual ao percentil 95 da distribuição do total de pagamentos de seguros para este grupo. Além disso, ela deseja que a parcela de cada pessoa nesse valor seja proporcional ao pagamento esperado do seguro da pessoa.

A parcela da pessoa com o número , cujo pagamento médio é igual a , deveria ser . Decorre do requisito do percentil 95 que . O valor excedente, , é o prêmio de risco e é chamado de prêmio de risco relativo. Vamos calcular.

Solução. O valor é determinado pela razão = 0,95, onde S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 . Esta declaração de probabilidade é equivalente ao seguinte:

De acordo com o que foi dito sobre o teorema do limite central na Seç. 4, aproximamos a distribuição do r.v. distribuição normal padrão e usamos seu percentil 95, do qual obtemos:

Para as quatro classes em que se dividem os segurados, obtemos os seguintes resultados:

Por isso,

Portanto, o prêmio de risco relativo é

Exemplo 5.2. Os clientes de uma seguradora automóvel dividem-se em duas classes:

A distribuição exponencial truncada é definida pela função de distribuição

Esta é uma distribuição de tipo misto com uma função de densidade , e um "aglomerado" de massa probabilística em um ponto eu. O gráfico desta função de distribuição é mostrado na Figura 5.1.

Arroz. 5.1. Distribuição exponencial truncada

Como antes, a probabilidade de o valor total dos pagamentos do seguro exceder o valor cobrado dos segurados deve ser igual a 0,05. Assumiremos que o prémio de risco relativo deverá ser o mesmo em cada uma das duas classes em consideração. Vamos calcular.

Solução. Este exemplo é muito semelhante ao anterior. A única diferença é que os valores dos pagamentos de seguros agora são variáveis ​​aleatórias.

Primeiramente obteremos expressões para os momentos da distribuição exponencial truncada. Esta será uma etapa preparatória para aplicação das fórmulas (2.25) e (2.26):

Utilizando os valores dos parâmetros dados na condição e aplicando as fórmulas (2.25) e (2.26), obtemos os seguintes resultados:

Então, S, o valor total dos pagamentos do seguro, tem momentos

A condição para a definição permanece a mesma do Exemplo 5.1, a saber,

Usando novamente a aproximação da distribuição normal, obtemos

Exemplo 5.3. A carteira da seguradora inclui 16.000 contratos de seguro de morte pelo período de um ano conforme tabela a seguir:

A probabilidade de ocorrência de um evento segurado q para cada um dos 16.000 clientes (esses eventos são considerados mutuamente independentes) é igual a 0,02. A empresa deseja definir sua própria taxa de retenção. Para cada segurado, o nível de retenção própria é o valor abaixo do qual esta empresa (empresa cedente) efetua os pagamentos de forma independente, sendo que os pagamentos que excedam esse valor são cobertos pelo contrato de resseguro por outra empresa (resseguradora).

Por exemplo, se a taxa de retenção própria for 200.000, então a empresa reserva cobertura até 20.000 para cada segurado e compra resseguro para cobrir a diferença entre o prêmio e o valor de 20.000 para cada um dos 4.500 segurados cujos prêmios de seguro excedem 20.000.

A empresa escolhe como critério de decisão a minimização da probabilidade de os sinistros deixados por conta própria, acrescidos do valor pago pelo resseguro, ultrapassarem o valor de 8.250.000. O resseguro custa 0,025 por unidade de cobertura (ou seja, 125% do valor esperado). valor dos pagamentos de seguro por unidade 0,02).

Acreditamos que a carteira em questão se encontra encerrada: os novos contratos de seguros celebrados durante o corrente ano não serão tidos em conta no processo de decisão descrito.

Solução parcial. Vamos fazer todos os cálculos primeiro, escolhendo 10.000 como unidade de pagamento. Como ilustração, suponha que c. V. Sé o valor dos pagamentos que restam para dedução própria, tem a seguinte forma:

Para esses pagamentos de seguro deixados em sua própria dedução S, é adicionado o valor dos prêmios de resseguro. No total, o montante total da cobertura de acordo com este regime é

O valor restante na dedução própria é igual a

Assim, o valor total ressegurado é 35.000-24.000 = 11.000 e o custo do resseguro é

Assim, no nível de retenção própria igual a 2, os pagamentos de seguro deixados na retenção própria mais o custo do resseguro são . O critério de decisão baseia-se na probabilidade de este total ultrapassar 825,

Usando a distribuição normal, obtemos que esse valor é aproximadamente igual a 0,0062.

Os valores médios dos pagamentos de seguros para seguros de perdas excedentes, como um dos tipos de resseguro, podem ser aproximados usando a distribuição normal como distribuição do total de pagamentos de seguros.

Deixe o total de pagamentos de seguro X ter uma distribuição normal com média e variância

Exemplo 5.4. Vamos considerar uma carteira de seguros, como no exemplo 5.3. Vamos encontrar a expectativa matemática do valor dos pagamentos de seguro sob o contrato de seguro para o excesso de falta de rentabilidade, se

(a) não há resseguro individual e a franquia incondicional é fixada em 7.500.000

(b) é estabelecida uma retenção pessoal de 20.000 em contratos de seguros individuais e a franquia incondicional para a carteira é de 5.300.000.

Solução.

(a) Na ausência de resseguro individual e na transição para 10.000 como moeda

aplicar a fórmula (5.2) dá

que é a soma de 43.770 nas unidades originais.

(b) No Anexo 5.3, obtemos que a média e a variância dos prêmios totais para uma franquia individual de 20.000 são 480 e 784, respectivamente, usando 10.000 como unidade. Assim, =28.

aplicar a fórmula (5.2) dá

que é a soma de 4140 nas unidades originais.

Utilizemos o método geral acima para resolver um problema, nomeadamente, encontrar a lei de distribuição para a soma de duas variáveis ​​aleatórias. Existe um sistema de duas variáveis ​​aleatórias (X,Y) com densidade de distribuição f(x,y).

Considere a soma das variáveis ​​​​aleatórias X e Y: e encontre a lei de distribuição do valor Z. Para fazer isso, construímos uma reta no plano xOy, cuja equação (Fig. 6.3.1). Esta é uma linha reta que corta segmentos iguais a z nos eixos. Direto divide o plano xy em duas partes; à direita e acima ; esquerda e abaixo

A região D, neste caso, é a parte inferior esquerda do plano xOy, sombreada na Fig. 6.3.1. De acordo com a fórmula (6.3.2) temos:

Esta é a fórmula geral para a densidade de distribuição da soma de duas variáveis ​​aleatórias.

Por razões de simetria do problema em relação a X e Y, podemos escrever outra versão da mesma fórmula:

É necessário produzir uma composição dessas leis, ou seja, encontrar a lei de distribuição da quantidade: .

Aplicamos a fórmula geral para a composição das leis de distribuição:

Substituindo essas expressões na fórmula que já encontramos

e isso nada mais é do que uma lei normal com um centro de dispersão

A mesma conclusão pode ser alcançada muito mais facilmente com a ajuda do seguinte raciocínio qualitativo.

Sem abrir os colchetes e sem fazer transformações no integrando (6.3.3), chegamos imediatamente à conclusão de que o expoente é um trinômio quadrado em relação a x da forma

onde o valor de z não está incluído no coeficiente A, ele está incluído no coeficiente B no primeiro grau e o coeficiente C está incluído no quadrado. Com isto em mente e aplicando a fórmula (6.3.4), concluímos que g(z) é uma função exponencial, cujo expoente é um trinômio quadrado em relação a z, e a densidade de distribuição; deste tipo corresponde à lei normal. Assim, nós; chegamos a uma conclusão puramente qualitativa: a lei de distribuição de z deve ser normal. Para encontrar os parâmetros desta lei - e - usaremos o teorema da adição de expectativas matemáticas e o teorema da adição de variâncias. De acordo com o teorema da adição das expectativas matemáticas . De acordo com o teorema da adição de variância ou de onde segue a fórmula (6.3.7).

Passando da raiz dos desvios quadráticos médios para os desvios prováveis ​​proporcionais a eles, obtemos:
.

Assim, chegamos à seguinte regra: quando as leis normais são compostas, uma lei normal é novamente obtida, e as expectativas e variâncias matemáticas (ou desvios prováveis ​​​​ao quadrado) são somadas.

A regra de composição para leis normais pode ser generalizada para o caso de um número arbitrário de variáveis ​​aleatórias independentes.

Se houver n variáveis ​​aleatórias independentes: sujeitas às leis normais com centros de espalhamento e desvios padrão, então o valor também está sujeito à lei normal com parâmetros

Se o sistema de variáveis ​​​​aleatórias (X, Y) é distribuído de acordo com a lei normal, mas as quantidades X, Y são dependentes, então é fácil provar, como antes, com base na fórmula geral (6.3.1), que a lei de distribuição da quantidade também é uma lei normal. Os centros de dispersão ainda somam algebricamente, mas para desvios padrão a regra se torna mais complicada: , onde r é o coeficiente de correlação dos valores de X e Y.

Ao adicionar várias variáveis ​​​​aleatórias dependentes, sujeitas em sua totalidade à lei normal, a lei de distribuição da soma também acaba sendo normal com parâmetros

onde é o coeficiente de correlação das quantidades X i , X j , e a soma se estende a todas as diferentes combinações de pares das quantidades .

Vimos uma propriedade muito importante da lei normal: quando as leis normais são combinadas, obtém-se novamente uma lei normal. Esta é a chamada "propriedade de estabilidade". Diz-se que uma lei de distribuição é estável se, ao compor duas leis deste tipo, se obtém novamente uma lei do mesmo tipo. Mostramos acima que a lei normal é estável. Muito poucas leis de distribuição têm a propriedade de estabilidade. A lei da densidade uniforme é instável: ao compor duas leis da densidade uniforme nas seções de 0 a 1, obtivemos a lei de Simpson.

A estabilidade de uma lei normal é uma das condições essenciais para a sua ampla aplicação na prática. Porém, a propriedade de estabilidade, além da normal, também é possuída por algumas outras leis de distribuição. Uma característica da lei normal é que quando um número suficientemente grande de leis de distribuição praticamente arbitrárias é composto, a lei total acaba sendo arbitrariamente próxima da normal, independentemente de quais fossem as leis de distribuição dos termos. Isto pode ser ilustrado, por exemplo, compondo a composição de três leis de densidade uniforme em seções de 0 a 1. A lei de distribuição resultante g(z) é mostrada na fig. 6.3.1. Como pode ser visto no desenho, o gráfico da função g(z) é muito semelhante ao gráfico da lei normal.

FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO

Deixar x(k)é alguma variável aleatória. Então, para qualquer valor fixo x, um evento aleatório x(k) x definido como o conjunto de todos os resultados possíveis k de tal modo que x(k)x. Em termos da medida de probabilidade original dada no espaço amostral, função de distribuiçãoP(x) definido como a probabilidade atribuída a um conjunto de pontos k x(k)x. Observe que o conjunto de pontos k satisfazendo a desigualdade x(k)x, é um subconjunto do conjunto de pontos que satisfazem a desigualdade x(k) . Formalmente

É óbvio que

Se o intervalo de valores da variável aleatória for contínuo, o que é assumido abaixo, então densidade de probabilidade(unidimensional) p(x)é determinado pela relação diferencial

(4)

Por isso,

(6)

Para poder considerar casos discretos é necessário admitir a presença de funções delta na composição da densidade de probabilidade.

VALOR ESPERADO

Deixe a variável aleatória x(k) assume valores no intervalo de -  a + . Valor médio(de outra forma, valor esperado ou valor esperado) x(k)é calculado usando a passagem correspondente ao limite na soma dos produtos dos valores x(k) sobre a probabilidade desses eventos ocorrerem:

(8)

Onde E- expectativa matemática da expressão entre colchetes por índice k. A expectativa matemática de uma função contínua real de valor único é definida de forma semelhante g(x) de uma variável aleatória x(k)

(9)

Onde p(x)- densidade de probabilidade de uma variável aleatória x(k). Em particular, tomando g(x)=x, Nós temos quadrado médio x(k) :

(10)

Dispersãox(k) definido como o quadrado médio da diferença x(k) e seu valor médio,

ou seja, neste caso g(x)= E

A-priorado, desvio padrão variável aleatória x(k), denotado , é o valor positivo da raiz quadrada da variância. O desvio padrão é medido nas mesmas unidades que a média.

FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO MAIS IMPORTANTES

DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (RETANGULAR).

Suponhamos que o experimento consista na seleção aleatória de um ponto do intervalo [ um,b] , incluindo seus pontos finais. Neste exemplo, como o valor de uma variável aleatória x(k) você pode obter o valor numérico do ponto selecionado. A função de distribuição correspondente tem a forma

Portanto, a densidade de probabilidade é dada pela fórmula

Neste exemplo, o cálculo da média e da variância usando as fórmulas (9) e (11) dá

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSSIANA)

, - média aritmética, - RMS.

O valor de z correspondente à probabilidade P(z)=1-, ou seja,

CHI - DISTRIBUIÇÃO QUADRADA

Deixar - n variáveis ​​aleatórias independentes, cada uma com distribuição normal com média zero e variância unitária.

Variável aleatória qui-quadrado com n graus de liberdade.

densidade de probabilidade .

DF: 100 - pontos percentuais - as distribuições são denotadas por , ou seja,

média e variância são iguais

t - DISTRIBUIÇÕES DE ESTUDANTES

y, z são variáveis ​​aleatórias independentes; y - tem - distribuição, z - normalmente distribuído com média zero e variância unitária.

valor - tem t- Distribuição de estudantes com n graus de liberdade

DF: 100 - ponto percentual t - distribuição é indicada

Média e variância são iguais

F - DISTRIBUIÇÃO

Variáveis ​​aleatórias independentes; has - distribuição com graus de liberdade; distribuição com graus de liberdade. Valor aleatório:

,

F é uma variável aleatória distribuída com graus de liberdade.

,

DF: 100 - ponto percentual:

A média e a variância são iguais:

DISTRIBUIÇÃO DO VALOR

DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Deixar x(k) E sim (k) são variáveis ​​aleatórias com uma densidade de probabilidade conjunta p(x,y). Encontre a densidade de probabilidade da soma das variáveis ​​​​aleatórias

Em um fixo x Nós temos y=z–x.É por isso

Em um fixo z valores x execute o intervalo de – a +. É por isso

(37)

de onde se pode ver que para calcular a densidade desejada da soma, é necessário conhecer a densidade de probabilidade conjunta original. Se x(k) E sim (k) são variáveis ​​​​aleatórias independentes com densidades e, respectivamente, então e

(38)

EXEMPLO: A SOMA DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES E UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS.

Deixe duas variáveis ​​​​aleatórias independentes terem densidades da forma

Em outros casos Vamos encontrar a densidade de probabilidade p(z) de sua soma z= x+ y.

Densidade de probabilidade Para ou seja, para Por isso, x não excede z. Além disso, não é igual a zero para Pela fórmula (38), descobrimos que

Ilustração:

A densidade de probabilidade da soma de duas variáveis ​​aleatórias independentes e uniformemente distribuídas.

CONVERSÃO ALEATÓRIA

VALORES

Deixar x(t)- variável aleatória com densidade de probabilidade p(x), deixa para lá g(x)é uma função real contínua de valor único de x. Considere primeiro o caso em que a função inversa x(g) também é uma função contínua de valor único de g. Densidade de probabilidade p(g), correspondente a uma variável aleatória g(x(k)) = g(k), pode ser determinado a partir da densidade de probabilidade p(x) variável aleatória x(k) e derivada dg/dx sob a suposição de que a derivada existe e é diferente de zero, a saber:

(12)

Portanto, no limite dg/dx#0

(13)

Usando esta fórmula, segue no lado direito em vez de uma variável x substitua o valor apropriado g.

Considere agora o caso em que a função inversa x(g)é válido n função com valor de g, Onde né um número inteiro e todos os n valores são igualmente prováveis. Então

(14)

EXEMPLO:

DISTRIBUIÇÃO DA FUNÇÃO HARMÔNICA.

Função harmônica com amplitude fixa X e frequência f será uma variável aleatória se seu ângulo de fase inicial  =  (k)- valor aleatório. Em particular, deixe t fixo e igual t ó, e deixe a variável aleatória harmônica ter a forma

Vamos fingir que  (k) tem uma densidade de probabilidade uniforme p( ) tipo

Encontre a densidade de probabilidade p(x) variável aleatória x(k).

Neste exemplo, a função direta x( ) inequivocamente, e a função inversa  (x) ambíguo.