การทำงานย = บาปx

กราฟของฟังก์ชันเป็นแบบไซน์ซอยด์

คลื่นไซน์ส่วนที่ไม่ซ้ำกันทั้งหมดเรียกว่าคลื่นไซน์

ครึ่งคลื่นของคลื่นไซน์เรียกว่าครึ่งคลื่นของคลื่นไซน์ (หรือส่วนโค้ง)

คุณสมบัติฟังก์ชันย = บาปx:

เพื่อพล็อตฟังก์ชัน ย= บาป xสะดวกในการใช้เครื่องชั่งต่อไปนี้:

บนแผ่นงานในเซลล์ เราใช้ความยาวของสองเซลล์เป็นหน่วยของส่วน

บนเพลา xลองวัดความยาว π กัน ในเวลาเดียวกัน เพื่อความสะดวก 3.14 จะแสดงเป็น 3 นั่นคือไม่มีเศษส่วน จากนั้นบนแผ่นงานในเซลล์ π จะเป็น 6 เซลล์ (สามคูณ 2 เซลล์) และแต่ละเซลล์จะได้รับชื่อตามธรรมชาติ (ตั้งแต่เซลล์แรกถึงเซลล์ที่หก): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π เหล่านี้คือค่าต่างๆ x.

บนแกน y ให้ทำเครื่องหมาย 1 ซึ่งมีเซลล์สองเซลล์

มาสร้างตารางค่าฟังก์ชันโดยใช้ค่าของเรากัน x:

ต่อไปเรามาสร้างแผนภูมิกัน คุณจะได้ครึ่งคลื่น ซึ่งจุดสูงสุดคือ (π / 2; 1) นี่คือกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป xบนส่วน มาเพิ่มครึ่งคลื่นแบบสมมาตรให้กับกราฟที่สร้างขึ้น (สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด นั่นคือ บนส่วน -π) ยอดของครึ่งคลื่นนี้อยู่ใต้แกน x โดยมีพิกัด (-1; -1) ผลที่ได้คือคลื่น นี่คือกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป xบนส่วน [-π; π].

มีความเป็นไปได้ที่จะต่อคลื่นโดยการสร้างมันบนส่วน [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] เป็นต้น ในส่วนทั้งหมดเหล่านี้ กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะเหมือนกับในส่วน [-π; π]. คุณจะได้เส้นหยักต่อเนื่องกันเป็นคลื่นเดียวกัน

การทำงานย = เพราะx.

กราฟของฟังก์ชันคือคลื่นไซน์ (บางครั้งเรียกว่าคลื่นโคไซน์)

คุณสมบัติฟังก์ชันย = เพราะx:

การทำงานย = มฟ(x).

ใช้ฟังก์ชั่นก่อนหน้า ย= cos x. ดังที่คุณทราบแล้วว่ากราฟของมันคือคลื่นไซน์ หากเราคูณโคไซน์ของฟังก์ชันนี้ด้วยตัวเลข m จำนวนหนึ่ง คลื่นก็จะยืดออกจากแกน x(หรือหดตัว ขึ้นอยู่กับค่า m)
คลื่นลูกใหม่นี้จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน y = mf(x) โดยที่ m คือจำนวนจริงใดๆ

ดังนั้น ฟังก์ชัน y = mf(x) จึงเป็นฟังก์ชันปกติ y = f(x) คูณด้วย m

ถ้าม< 1, то синусоида сжимается к оси xโดยสัมประสิทธิ์ม. ถ้าm > 1 จากนั้นไซนัสอยด์จะยืดออกจากแกนxโดยสัมประสิทธิ์ม.

ในการยืดหรือบีบอัด ขั้นแรกคุณสามารถสร้างไซนัสอยด์เพียงครึ่งคลื่นเดียว จากนั้นจึงสร้างกราฟให้สมบูรณ์

การทำงานย= ฉ(เคเอ็กซ์).

ถ้าฟังก์ชั่น ย=มฟ(x) ทำให้เกิดการยืดไซนัสอยด์ออกจากแกน xหรืออัดเข้ากับแกน xจากนั้นฟังก์ชัน y = f(kx) ทำให้เกิดการขยายตัวจากแกน ยหรืออัดเข้ากับแกน ย.

และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ

เวลา 0< เค< 1 синусоида растягивается от оси ยโดยสัมประสิทธิ์เค ถ้าk > 1 จากนั้นไซนัสอยด์จะถูกบีบอัดเข้ากับแกนยโดยสัมประสิทธิ์เค

เมื่อเขียนกราฟของฟังก์ชันนี้ คุณสามารถสร้างไซนูซอยด์ครึ่งคลื่นหนึ่งคลื่น จากนั้นจึงสร้างกราฟทั้งหมดให้สมบูรณ์โดยใช้กราฟดังกล่าว

การทำงานย = ทีจีx.

กราฟฟังก์ชัน ย=tg xคือแทนเจนตอยด์

การสร้างกราฟส่วนหนึ่งในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง π/2 ก็เพียงพอแล้ว จากนั้นคุณสามารถดำเนินการต่อแบบสมมาตรในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 3π/2 ได้

คุณสมบัติฟังก์ชันย = ทีจีx:

การทำงานย = กะรัตx

กราฟฟังก์ชัน ย=กะทิ xยังเป็นแทนเจนตอยด์ด้วย (บางครั้งเรียกว่าโคแทนเจนตอยด์)

คุณสมบัติฟังก์ชันย = กะรัตx:

ในบทนี้เราจะพิจารณารายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชัน y \u003d sin x คุณสมบัติหลักและกราฟ ในตอนต้นของบทเรียนเราจะให้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y \u003d sin t บนวงกลมพิกัดและพิจารณากราฟของฟังก์ชันบนวงกลมและเส้น ลองแสดงคาบของฟังก์ชันนี้บนกราฟและพิจารณาคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะแก้ปัญหาง่ายๆ โดยใช้กราฟของฟังก์ชันและคุณสมบัติของฟังก์ชัน

หัวข้อ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทเรียน: ฟังก์ชัน y=sinx คุณสมบัติหลักและกราฟ

เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือต้องเชื่อมโยงค่าเดียวของฟังก์ชันกับแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ นี้ กฎหมายการติดต่อสื่อสารและเรียกว่าฟังก์ชัน

ให้เรากำหนดกฎหมายการติดต่อสำหรับ

จำนวนจริงใดๆ สอดคล้องกับจุดเดียวบนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดนี้มีเลขลำดับเดียว ซึ่งเรียกว่าไซน์ของตัวเลข (รูปที่ 1)

ค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละค่าถูกกำหนดให้เป็นค่าฟังก์ชันเดียว

คุณสมบัติที่ชัดเจนเป็นไปตามคำจำกัดความของไซน์

รูปนี้แสดงให้เห็นว่า เพราะ คือพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย

พิจารณากราฟฟังก์ชัน ให้เรานึกถึงการตีความทางเรขาคณิตของการโต้แย้ง อาร์กิวเมนต์คือมุมศูนย์กลางที่วัดเป็นเรเดียน บนแกน เราจะพล็อตจำนวนจริงหรือมุมเป็นเรเดียนตามแนวแกนซึ่งเป็นค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วยตรงกับจุดบนกราฟ (รูปที่ 2)

เราได้กราฟของฟังก์ชันบนไซต์ แต่เมื่อทราบคาบของไซน์ เราก็สามารถพรรณนากราฟของฟังก์ชันบนขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดได้ (รูปที่ 3)

คาบหลักของฟังก์ชันคือ ซึ่งหมายความว่าสามารถรับกราฟได้บนเซ็กเมนต์แล้วดำเนินการต่อไปจนถึงขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชัน:

1) โดเมนของคำจำกัดความ:

2) ช่วงของค่า:

3) ฟังก์ชั่นคี่:

4) ช่วงบวกที่น้อยที่สุด:

5) พิกัดของจุดตัดของกราฟกับแกน x:

6) พิกัดของจุดตัดของกราฟกับแกน y:

7) ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าบวก:

8) ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าลบ:

9) การเพิ่มช่วงเวลา:

10) ช่วงเวลาจากมากไปน้อย:

11) คะแนนต่ำ:

12) คุณสมบัติขั้นต่ำ:

13) แต้มสูง:

14) คุณสมบัติสูงสุด:

เราได้พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันและกราฟแล้ว คุณสมบัติจะถูกนำมาใช้ซ้ำในการแก้ปัญหา

บรรณานุกรม

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งเป็นสองส่วน) หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed. เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2009.

2. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งเป็นสองส่วน) หนังสืองานสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed. เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2550.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburgd S.I. พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 10 (หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก) - ม.: การศึกษา, 2539

4. Galitsky M.L. , Moshkovich M.M. , Shvartsburg S.I. การศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: การศึกษา, 2540

5. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครมหาวิทยาลัยเทคนิค (ภายใต้บรรณาธิการของ M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ครูฝึกพีชคณิต-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. งานในพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ (คู่มือสำหรับนักเรียนเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป) - ม.: การศึกษา, 2546

8. คาร์ป เอ.พี. การรวบรวมปัญหาพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน ค่าเผื่อสำหรับ 10-11 เซลล์ ด้วยความลึก ศึกษา คณิตศาสตร์.-ม.: การศึกษา, 2549.

การบ้าน

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งออกเป็นสองส่วน) หนังสืองานสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed.

เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2550.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติมบนเว็บ

3. พอร์ทัลการศึกษาเพื่อเตรียมสอบ ()

>>คณิตศาสตร์: ฟังก์ชัน y \u003d sin x, y \u003d cos x คุณสมบัติและกราฟ

ฟังก์ชัน y \u003d sin x, y \u003d cos x คุณสมบัติและกราฟ

ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x และวาดกราฟของฟังก์ชันเหล่านั้น

1. ฟังก์ชั่น y \u003d sin X

ข้างต้น ในมาตรา 20 เราได้กำหนดกฎที่อนุญาตให้แต่ละหมายเลข t เชื่อมโยงกับจำนวน cos t เช่น กำหนดลักษณะฟังก์ชัน y = sin t เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของมัน

คุณสมบัติของฟังก์ชัน u = sint

โดเมนของคำจำกัดความคือเซต K ของจำนวนจริง
ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเลข 2 ใดๆ ตรงกับจุด M(1) บนวงกลมตัวเลข ซึ่งมีการกำหนดลำดับไว้อย่างชัดเจน ลำดับนี้คือ cos t

u = sin t เป็นฟังก์ชันคี่

สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ดังที่ได้พิสูจน์แล้วในมาตรา 19 ในเรื่องความเท่าเทียมกันใดๆ
ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชัน u \u003d sin t เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชันคี่ใด ๆ มีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม tOi

ฟังก์ชัน u = sin t เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา
สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามควอเตอร์แรกของวงกลมตัวเลข พิกัดจะค่อยๆ เพิ่มขึ้น (จาก 0 เป็น 1 - ดูรูปที่ 115) และเมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามควอเตอร์ที่สองของวงกลมตัวเลข ลำดับค่อยๆ ลดลง (จาก 1 เป็น 0 - ดูรูปที่ 115) รูปที่ 116)

ฟังก์ชัน u = sin t มีขอบเขตทั้งจากด้านล่างและด้านบน สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ดังที่เราเห็นในมาตรา 19 สำหรับความไม่เท่าเทียมกันใดๆ

(ฟังก์ชันถึงค่านี้ที่จุดใดก็ได้ของแบบฟอร์ม (ฟังก์ชันถึงค่านี้ที่จุดใดก็ได้ของแบบฟอร์ม
การใช้คุณสมบัติที่ได้รับเราสร้างกราฟของฟังก์ชันที่เราสนใจ แต่ (สนใจ!) แทนที่จะเป็น u - sin t เราจะเขียน y \u003d sin x (ท้ายที่สุดเราคุ้นเคยกับการเขียน y \u003d f (x) มากกว่าไม่ใช่ u \u003d f (t)) ซึ่งหมายความว่าเราจะสร้างกราฟในระบบพิกัดปกติ хОу (ไม่ใช่ tOy)

มาสร้างตารางค่าฟังก์ชันโดย - sin x:

ความคิดเห็น

นี่คือต้นกำเนิดของคำว่า "ไซน์" รุ่นหนึ่ง ในภาษาลาติน ไซนัส แปลว่า โค้งงอ (สายธนู)

กราฟที่สร้างขึ้นสามารถอธิบายคำศัพท์นี้ได้ในระดับหนึ่ง

เส้นที่ทำหน้าที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x เรียกว่าไซน์ซอยด์ ส่วนของไซนัสอยด์นั้น ดังแสดงในรูปที่ 1 118 หรือ 119 เรียกว่าคลื่นไซนูซอยด์ และส่วนนั้นของไซนูซอยด์ ซึ่งแสดงไว้ในรูปที่ 1 117 เรียกว่าครึ่งคลื่นหรือส่วนโค้งของคลื่นไซน์

2. ฟังก์ชัน y = cos x

การศึกษาฟังก์ชัน y \u003d cos x สามารถดำเนินการได้โดยประมาณตามรูปแบบเดียวกับที่ใช้ด้านบนสำหรับฟังก์ชัน y \u003d sin x แต่เราจะเลือกเส้นทางที่นำไปสู่เป้าหมายได้เร็วขึ้น อันดับแรก เราจะพิสูจน์สูตรสองสูตรที่มีความสำคัญในตัวเอง (คุณจะเห็นสิ่งนี้ในโรงเรียนมัธยม) แต่จนถึงตอนนี้มีเพียงค่าเสริมสำหรับจุดประสงค์ของเราเท่านั้น

สำหรับค่าใดๆ ของ t ความเท่าเทียมกัน

การพิสูจน์. ให้ตัวเลข t ตรงกับจุด M ของวงกลมตัวเลข n และตัวเลข * + - ถึงจุด P (รูปที่ 124 เพื่อความเรียบง่ายเราจึงเอาจุด M ในไตรมาสแรก) ส่วนโค้ง AM และ BP เท่ากันตามลำดับ และสามเหลี่ยมมุมฉาก OKM และ OBP ก็เท่ากันเช่นกัน ดังนั้น O K = Ob, MK = Pb จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้และจากตำแหน่งของสามเหลี่ยม OKM และ OLR ในระบบพิกัด เราได้ข้อสรุปสองประการ:

1) พิกัดของจุด P ทั้งในค่าสัมบูรณ์และเครื่องหมายเกิดขึ้นพร้อมกับ abscissa ของจุด M; มันหมายความว่าอย่างนั้น

2) abscissa ของจุด P มีค่าเท่ากับค่าสัมบูรณ์กับพิกัดของจุด M แต่แตกต่างจากเครื่องหมายนั้น มันหมายความว่าอย่างนั้น

มีการใช้เหตุผลเดียวกันโดยประมาณในกรณีที่จุด M ไม่ได้เป็นของไตรมาสแรก
ลองใช้สูตรกัน (นี่คือสูตรที่พิสูจน์แล้วข้างต้น แทนที่จะใช้ตัวแปร t เราใช้ตัวแปร x) สูตรนี้ให้อะไรเราบ้าง? ช่วยให้เรายืนยันได้ว่าฟังก์ชันต่างๆ

เหมือนกัน ดังนั้นกราฟจึงเหมือนกัน
ลองพลอตฟังก์ชันกัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เรามาดูระบบพิกัดเสริมที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดหนึ่ง (เส้นประจะถูกวาดในรูปที่ 125) มาผูกฟังก์ชัน y \u003d sin x กับระบบพิกัดใหม่ - นี่จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน (รูปที่ 125) เช่น กราฟของฟังก์ชัน y - cos x เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x เรียกว่าไซนัสอยด์ (ซึ่งค่อนข้างเป็นธรรมชาติ)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = cos x

y = cos x เป็นฟังก์ชันคู่

ขั้นตอนการก่อสร้างแสดงไว้ในรูป 126:

1) เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d cos x (แม่นยำยิ่งขึ้นคือครึ่งหนึ่งของคลื่น)
2) โดยการยืดกราฟที่สร้างขึ้นจากแกน x โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ 0.5 เราจะได้กราฟครึ่งคลื่นที่ต้องการ
3) โดยใช้ครึ่งคลื่นที่เกิดขึ้นเราสร้างกราฟทั้งหมดของฟังก์ชัน y \u003d 0.5 cos x

, การแข่งขัน "การนำเสนอบทเรียน"

การนำเสนอสำหรับบทเรียน

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของการนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

สนิมเหล็กหาประโยชน์ไม่ได้
น้ำนิ่งเน่าหรือแข็งตัวในที่เย็น
และจิตมนุษย์หาประโยชน์ไม่ได้ย่อมเสื่อมถอยไป
เลโอนาร์โด ดา วินชี

เทคโนโลยีที่ใช้:การเรียนรู้บนปัญหา การคิดเชิงวิพากษ์ การสื่อสารเพื่อการสื่อสาร

เป้าหมาย:

• การพัฒนาความสนใจทางปัญญาในการเรียนรู้
• ศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน y \u003d sin x
• การก่อตัวของทักษะการปฏิบัติสำหรับการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x ตามเนื้อหาทางทฤษฎีที่ศึกษา

งาน:

1. ใช้ศักยภาพความรู้ที่มีอยู่เกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y \u003d sin x ในสถานการณ์เฉพาะ

2. ใช้การสร้างการเชื่อมโยงอย่างมีสติระหว่างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์และเรขาคณิตของฟังก์ชัน y \u003d sin x

พัฒนาความคิดริเริ่ม ความพร้อมและความสนใจในการหาแนวทางแก้ไข ความสามารถในการตัดสินใจ ไม่หยุดอยู่แค่นั้น เพื่อปกป้องมุมมองของตนเอง

เพื่อให้ความรู้แก่นักเรียนในด้านกิจกรรมการรับรู้ ความรู้สึกรับผิดชอบ การเคารพซึ่งกันและกัน ความเข้าใจซึ่งกันและกัน การสนับสนุนซึ่งกันและกัน ความมั่นใจในตนเอง วัฒนธรรมการสื่อสาร

ในระหว่างเรียน

ขั้นที่ 1 การทำให้ความรู้พื้นฐานเป็นจริง แรงจูงใจในการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

“การเข้าบทเรียน”

มีข้อความ 3 คำที่เขียนไว้บนกระดาน:

1. สมการตรีโกณมิติ sin t = a มีคำตอบเสมอ
2. ฟังก์ชันคี่สามารถเขียนกราฟได้โดยใช้การแปลงสมมาตรรอบแกน y
3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถเขียนกราฟได้โดยใช้คลื่นครึ่งหลักหนึ่งคลื่น

นักเรียนอภิปรายเป็นคู่: ข้อความดังกล่าวเป็นจริงหรือไม่ (1 นาที). จากนั้นผลลัพธ์ของการสนทนาเบื้องต้น (ใช่ ไม่ใช่) จะถูกป้อนลงในตารางในคอลัมน์ "ก่อน"

ครูกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

2. การอัพเดตความรู้ (ด้านหน้าบนแบบจำลองวงกลมตรีโกณมิติ).

เราได้พบกับฟังก์ชัน s = sin t แล้ว

1) ตัวแปรสามารถรับค่าใดได้บ้าง ฟังก์ชันนี้มีขอบเขตอะไรบ้าง?

2) ค่าของนิพจน์ sin t อยู่ในช่วงใด ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน s = sin t

3) แก้สมการ sin t = 0

4) จะเกิดอะไรขึ้นกับลำดับของจุดเมื่อเคลื่อนไปตามควอเตอร์แรก? (ลำดับเพิ่มขึ้น). จะเกิดอะไรขึ้นกับการวางลำดับของจุดหนึ่งในขณะที่เคลื่อนไปตามควอเตอร์ที่สอง? (ลำดับจะค่อยๆลดลง) สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความน่าเบื่อของฟังก์ชันอย่างไร (ฟังก์ชัน s = sin t เพิ่มขึ้นในส่วนและลดลงในส่วน)

5) มาเขียนฟังก์ชัน s = sin t ในรูปแบบปกติสำหรับเรา y = sin x (เราจะสร้างในระบบพิกัด xOy ปกติ) และรวบรวมตารางค่าสำหรับฟังก์ชันนี้

ขั้นที่ 2 การรับรู้ ความเข้าใจ การรวมหลัก การท่องจำโดยไม่สมัครใจ

ด่าน 4 การจัดระบบเบื้องต้นของความรู้และวิธีการทำกิจกรรม การถ่ายทอดและการประยุกต์ในสถานการณ์ใหม่

6. หมายเลข 10.18 (ข, ค)

ขั้นที่ 5 การควบคุมขั้นสุดท้าย การแก้ไข การประเมิน และการประเมินตนเอง

7. เรากลับไปที่ข้อความ (จุดเริ่มต้นของบทเรียน) หารือเกี่ยวกับการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y \u003d sin x และกรอกข้อมูลในคอลัมน์ "หลัง" ในตาราง

8. D / z: ข้อ 10 หมายเลข 10.7(ก) 10.8(ข) 10.11(ข) 10.16(ก)

วิดีโอสอน "ฟังก์ชัน y = sinx คุณสมบัติและกราฟ" นำเสนอเนื้อหาที่เป็นภาพในหัวข้อนี้ ตลอดจนความคิดเห็นเกี่ยวกับหัวข้อนี้ ในระหว่างการสาธิต พิจารณารูปแบบของฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน พฤติกรรมในส่วนต่างๆ ของระนาบพิกัด อธิบายคุณลักษณะของกราฟโดยละเอียด ตัวอย่างของการแก้ปัญหากราฟิกของสมการตรีโกณมิติที่มีไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของบทเรียนวิดีโอ ครูจะสร้างแนวคิดของนักเรียนเกี่ยวกับฟังก์ชันนี้ได้ง่ายขึ้น เพื่อสอนวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก

บทเรียนวิดีโอใช้เครื่องมือที่อำนวยความสะดวกในการท่องจำและทำความเข้าใจข้อมูลทางการศึกษา ในการนำเสนอกราฟและคำอธิบายวิธีแก้ปัญหา เอฟเฟกต์แอนิเมชั่นถูกนำมาใช้เพื่อช่วยให้เข้าใจพฤติกรรมของฟังก์ชัน เพื่อนำเสนอความคืบหน้าของการแก้ปัญหาตามลำดับ นอกจากนี้ การเปล่งเสียงของเนื้อหายังเสริมด้วยข้อคิดเห็นที่สำคัญซึ่งมาแทนที่คำอธิบายของครู ดังนั้นวัสดุนี้จึงสามารถใช้เป็นเครื่องช่วยในการมองเห็นได้ และเป็นส่วนอิสระของบทเรียนแทนคำอธิบายของครูในหัวข้อใหม่

การสาธิตเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อของบทเรียน มีการนำเสนอฟังก์ชันไซน์ คำอธิบายซึ่งถูกเน้นไว้ในกล่องหน่วยความจำ - s=sint ซึ่งอาร์กิวเมนต์ t สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ได้ คำอธิบายของคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้เริ่มต้นด้วยขอบเขต สังเกตว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือแกนตัวเลขทั้งหมดของจำนวนจริง นั่นคือ D(f)=(- ∞;+∞) คุณสมบัติที่สองคือความคี่ของฟังก์ชันไซน์ นักเรียนจะได้รับการเตือนว่าคุณสมบัตินี้ได้รับการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เมื่อสังเกตเห็นว่าสำหรับฟังก์ชันคี่ ความเท่าเทียมกัน f(-x)=-f(x) ยังคงอยู่ สำหรับไซน์ การยืนยันความคี่ของฟังก์ชันจะแสดงบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วน เมื่อรู้ว่าเครื่องหมายใดที่ฟังก์ชันใช้ในไตรมาสต่างๆ ของระนาบพิกัด จะสังเกตว่าสำหรับการโต้แย้งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม โดยใช้ตัวอย่างของจุด L(t) และ N(-t) สำหรับไซน์ เงื่อนไขคี่จะเป็นที่พอใจ ดังนั้น s=sint จึงเป็นฟังก์ชันคี่ ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

คุณสมบัติที่สามของไซน์แสดงช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน โปรดทราบว่าฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา และลดลงในช่วงเวลา [π/2;π] คุณสมบัติจะแสดงในรูป ซึ่งแสดงหน่วยวงกลม และเมื่อเคลื่อนที่จากจุด A ทวนเข็มนาฬิกา ค่าพิกัดจะเพิ่มขึ้น กล่าวคือ ค่าของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นเป็น π/2 เมื่อย้ายจากจุด B ไปยัง C นั่นคือเมื่อมุมเปลี่ยนจาก π / 2 เป็น π ค่าของพิกัดจะลดลง ในไตรมาสที่สามของวงกลม เมื่อย้ายจากจุด C ไปยังจุด D พิกัดจะลดลงจาก 0 เป็น -1 นั่นคือค่าของไซน์ลดลง ในไตรมาสสุดท้าย เมื่อย้ายจากจุด D ไปยังจุด A ค่าของการเรียงลำดับจะเพิ่มขึ้นจาก -1 เป็น 0 ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปข้อสรุปทั่วไปเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันได้ หน้าจอจะแสดงเอาต์พุตที่เพิ่มขึ้นในส่วน [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk] ลดลงในช่วงเวลา [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] สำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ

คุณสมบัติที่สี่ของไซน์พิจารณาขอบเขตของฟังก์ชัน สังเกตว่าฟังก์ชัน sint มีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่าง นักเรียนจะได้รับการเตือนถึงข้อมูลจากพีชคณิตเกรด 9 เมื่อพวกเขาได้ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องขอบเขตของฟังก์ชัน หน้าจอจะแสดงสภาวะของฟังก์ชันที่ขอบเขตจากด้านบน ซึ่งมีตัวเลขจำนวนหนึ่งที่ทำให้ค่าอสมการ f(x)>=M เป็นที่พอใจ ณ จุดใดๆ ของฟังก์ชัน นอกจากนี้เรายังจำเงื่อนไขของฟังก์ชันที่อยู่ด้านล่างได้ ซึ่งมีตัวเลข m น้อยกว่าแต่ละจุดของฟังก์ชัน สำหรับบาป เงื่อนไขคือ -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

คุณสมบัติที่ห้าพิจารณาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ความสำเร็จของค่าที่น้อยที่สุด -1 ในแต่ละจุด t=-(π/2)+2πk และค่าที่ใหญ่ที่สุด - ที่จุด t=(π/2)+2πk จะถูกบันทึกไว้

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่พิจารณา กราฟของฟังก์ชัน sint จะถูกลงจุดในช่วงเวลา ในการสร้างฟังก์ชันจะใช้ค่าตารางของไซน์ของจุดที่สอดคล้องกัน พิกัดของจุด π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π จะถูกทำเครื่องหมายไว้บนระนาบพิกัด เมื่อทำเครื่องหมายค่าตารางของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้แล้วเชื่อมต่อด้วยเส้นเรียบเราจะสร้างกราฟ

ในการพล็อตฟังก์ชัน Sint บนเซกเมนต์ [-π; π] จะใช้คุณสมบัติสมมาตรของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับจุดกำเนิด รูปนี้แสดงให้เห็นว่าเส้นที่ได้รับจากการก่อสร้างถูกถ่ายโอนอย่างราบรื่นอย่างไรโดยสัมพันธ์กับจุดกำเนิดของส่วน [-π; 0]

การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน sint แสดงในสูตรการลด sin (x + 2π) \u003d sin x สังเกตว่าทุก ๆ 2π กราฟไซน์จะเกิดซ้ำ ดังนั้นในส่วนของ [π; กราฟ 3π] จะเหมือนกับบน [-π;π] ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันนี้จึงเป็นเศษส่วนที่ซ้ำกัน [-π; π] ตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด แยกกันสังเกตได้ว่ากราฟฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าไซนัสอยด์ แนวคิดของคลื่นไซนัสอยด์ก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน - ส่วนของกราฟที่สร้างขึ้นบนส่วน [-π; π] และส่วนโค้งไซน์ซอยด์ที่สร้างขึ้นบนส่วนนั้น ชิ้นส่วนเหล่านี้จะแสดงอีกครั้งเพื่อการท่องจำ

มีข้อสังเกตว่าฟังก์ชัน sint เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด และช่วงของฟังก์ชันนั้นอยู่ในชุดค่าของเซ็กเมนต์ [-1;1]

ในตอนท้ายของวิดีโอสอนจะมีการพิจารณาคำตอบแบบกราฟิกของสมการ sin x \u003d x + π แน่นอนว่า ผลเฉลยเชิงกราฟิกของสมการจะเป็นจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดโดยนิพจน์ทางด้านซ้าย และฟังก์ชันที่กำหนดโดยนิพจน์ทางด้านขวา เพื่อแก้ปัญหานี้ ระนาบพิกัดจะถูกสร้างขึ้นโดยมีการร่างโครงร่างไซนัสอยด์ y \u003d sin x ที่สอดคล้องกันและสร้างเส้นตรงที่สอดคล้องกับกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x + π กราฟที่สร้างขึ้นตัดกันที่จุดเดียว В(-π;0) ดังนั้น x \u003d -π จะเป็นคำตอบของสมการ

บทเรียนวิดีโอ "ฟังก์ชัน y = sinx คุณสมบัติและกราฟ" จะช่วยเพิ่มประสิทธิภาพของบทเรียนของบทเรียนคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมที่โรงเรียน คุณยังสามารถใช้สื่อภาพเมื่อทำการเรียนรู้ทางไกลได้ คู่มือนี้สามารถช่วยเชี่ยวชาญในหัวข้อสำหรับนักเรียนที่ต้องการชั้นเรียนเพิ่มเติมเพื่อความเข้าใจเนื้อหาที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

การตีความข้อความ:

หัวข้อบทเรียนของเราคือ "ฟังก์ชัน y \u003d sin x คุณสมบัติและกราฟ"

ก่อนหน้านี้เราได้คุ้นเคยกับฟังก์ชัน s = sin t โดยที่ tϵR (es เท่ากับไซน์ของ te โดยที่ te อยู่ในเซตของจำนวนจริง) เรามาตรวจสอบคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้กัน:

รายบุคคล 1. โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริง R (er) นั่นคือ D (f) = (-; +) (de จาก ef แทนช่วงจากลบอนันต์ถึงบวกอนันต์)

คุณสมบัติ 2 ฟังก์ชัน s = sin t เป็นเลขคี่

ในบทเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เราได้เรียนรู้ว่าฟังก์ชัน y \u003d f (x), x ϵX (y เท่ากับ eff จาก x โดยที่ x เป็นของเซต x มีขนาดใหญ่) เรียกว่าคี่หากค่าใด ๆ x จาก เซต X คือความเท่าเทียมกัน

f (- x) \u003d - f (x) (ef จากลบ x เท่ากับลบ ef จาก x)

และเนื่องจากพิกัดของจุด L และ N ซึ่งสมมาตรรอบแกนแอบซิสซานั้นอยู่ตรงข้าม ดังนั้น sin (- t) = -sint

นั่นคือ s \u003d sin t เป็นฟังก์ชันคี่และกราฟของฟังก์ชัน s \u003d sin t มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ถึง(เต้ โอ เอส)

พิจารณาคุณสมบัติ 3 ในส่วน [ 0; ] (จากศูนย์ถึง pi คูณสอง) ฟังก์ชัน s = sin t เพิ่มขึ้นและลดลงในส่วน [; ](จาก pi คูณสองถึง pi)

เห็นได้ชัดเจนจากตัวเลข: เมื่อจุดหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามวงกลมตัวเลขจากศูนย์ถึง pi ทีละสอง (จากจุด A ถึง B) ลำดับจะค่อยๆ เพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น 1 และเมื่อย้ายจาก pi ทีละสองเป็น pi (จาก จุด B ถึง C) ลำดับจะค่อยๆ ลดลงจาก 1 เป็น 0

เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามควอเตอร์ที่สาม (จากจุด C ไปยังจุด D) ลำดับของจุดที่เคลื่อนที่จะลดลงจากศูนย์เป็นลบหนึ่ง และเมื่อเคลื่อนที่ไปตามควอเตอร์ที่สี่ ลำดับจะเพิ่มขึ้นจากลบหนึ่งเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ทั่วไป: ฟังก์ชัน s = sin t เพิ่มขึ้นในส่วนนี้

(จากลบ pi คูณสองบวกสองพีค ถึง pi คูณสองบวกสองพีค) และลดลงในช่วงเวลา [; (จาก pi คูณสองบวกสอง pi ka ถึงสาม pi คูณสองบวกสอง pi ka) โดยที่

(ka อยู่ในเซตของจำนวนเต็ม)

คุณสมบัติ 4 ฟังก์ชัน s = sin t มีขอบเขตจากด้านบนและด้านล่าง

จากหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 จำคำจำกัดความของขอบเขต: ฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่าขอบเขตจากด้านล่างหากค่าทั้งหมดของฟังก์ชันไม่น้อยกว่าตัวเลขบางตัว ม มโดยที่ค่า x ใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชันจะเกิดอสมการ f (x) ≥ ม(ef จาก x มากกว่าหรือเท่ากับ em) ฟังก์ชัน y \u003d f (x) ถูกเรียกว่ามีขอบเขตจากด้านบนหากค่าทั้งหมดของฟังก์ชันไม่เกินจำนวนบางตัว มซึ่งหมายความว่ามีตัวเลข มโดยที่ค่า x ใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชันจะเกิดอสมการ f (x) ≤ ม(ef จาก x น้อยกว่าหรือเท่ากับ em) ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตหากฟังก์ชันมีขอบเขตทั้งจากด้านล่างและด้านบน

กลับมาที่ฟังก์ชันของเรากันดีกว่า: ขอบเขตตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับ te ใดๆ อสมการจะเป็นจริง - 1 ≤ sint ≤ 1 (ไซน์ของ te มากกว่าหรือเท่ากับลบหนึ่ง แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง)

คุณสมบัติ 5 ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันเท่ากับลบ 1 และฟังก์ชันถึงค่านี้ ณ จุดใดๆ ของรูปแบบ t = (te เท่ากับลบ pi คูณสองบวกสองพีค และค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันเท่ากับ ถึงหนึ่งและเข้าถึงได้โดยฟังก์ชันที่จุดใดๆ ของรูปแบบ t = (te เท่ากับ pi คูณสองบวกสอง pi ka)

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน s = sin t หมายถึง s min และสูงสุด .

เมื่อใช้คุณสมบัติที่ได้รับเราจะพล็อตฟังก์ชัน y \u003d sin x (y เท่ากับไซน์ x) เพราะเราคุ้นเคยกับสัญกรณ์ y \u003d f (x) มากกว่าไม่ใช่ s \u003d f (t)

เริ่มต้นด้วยการเลือกมาตราส่วน: ตามแกนกำหนดเราใช้ส่วนเดียวสองเซลล์และสองเซลล์ตามแกน abscissa - นี่คือ pi คูณสาม (เพราะ data 1) ก่อนอื่น มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x บนเซกเมนต์นั้นกัน เราจำเป็นต้องมีตารางค่าฟังก์ชันในส่วนนี้ เพื่อสร้างมันขึ้นมาเราจะใช้ตารางค่าสำหรับมุมโคไซน์และไซน์ที่สอดคล้องกัน:

ดังนั้น เพื่อสร้างตารางอาร์กิวเมนต์และค่าฟังก์ชัน จำเป็นต้องจำไว้ เอ็กซ์(x) คือตัวเลขตามลำดับเท่ากับมุมในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง pi และ ที่(กรีก) ค่าไซน์ของมุมนี้

ลองทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนระนาบพิกัดกัน ตามทรัพย์สินที่ 3 ในส่วนนี้

[0; ] (จากศูนย์ถึง pi คูณสอง) ฟังก์ชัน y \u003d sin x เพิ่มขึ้น แต่ลดลงในส่วน [; ] (จาก pi คูณสองถึง pi) และเชื่อมต่อจุดที่ได้รับด้วยเส้นเรียบเราจะได้ส่วนหนึ่งของกราฟ (รูปที่ 1)

เมื่อใช้ความสมมาตรของกราฟของฟังก์ชันคี่เทียบกับจุดกำเนิด เราจะได้กราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x อยู่ในส่วนแล้ว

[-π; π ] (จากลบ pi ถึง pi) (รูปที่ 2)

จำได้ว่า sin(x + 2π)= sinx

(ไซน์ของ x บวก 2 ไพ เท่ากับไซน์ของ x) ซึ่งหมายความว่าที่จุด x + 2π ฟังก์ชัน y = sin x รับค่าเดียวกันกับที่จุด x และเนื่องจาก (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x บวก 2 pi อยู่ในส่วนจาก pi ถึง 3 pi) ถ้า xϵ[-π; π ] จากนั้นในช่วงเวลา [π; 3π ] กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเหมือนกันทุกประการกับช่วงเวลา [-π; π]. ในทำนองเดียวกันในส่วน , , [-3π; -π] และอื่น ๆ กราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x มีลักษณะเหมือนกับบนเซ็กเมนต์

[-π; π]. (รูปที่ 3)

เส้นที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x เรียกว่าไซน์ซอยด์ ส่วนของคลื่นไซน์ที่แสดงในรูปที่ 2 เรียกว่าคลื่นไซน์ และในรูปที่ 1 เรียกว่าส่วนโค้งของคลื่นไซน์หรือครึ่งคลื่น

เมื่อใช้กราฟที่สร้างขึ้น เราจะเขียนคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้เพิ่มเติมอีกเล็กน้อย

คุณสมบัติ 6 ฟังก์ชัน y \u003d sin x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง กล่าวคือ ไม่มีการกระโดดและการเจาะทะลุ

คุณสมบัติ 7 ช่วงของฟังก์ชัน y \u003d sin x คือส่วน [-1; 1] (จากลบหนึ่งถึงหนึ่ง) หรือเขียนได้ดังนี้: (e จาก ef เท่ากับส่วนจากลบหนึ่งต่อหนึ่ง)

ลองพิจารณาตัวอย่าง แก้สมการแบบกราฟิก sin x \u003d x + π (ไซน์ x เท่ากับ x บวก pi)

สารละลาย. มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน ย=บาป เอ็กซ์และ y = x + π.

กราฟของฟังก์ชัน y \u003d sin x คือไซน์ซอยด์

y \u003d x + π เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นซึ่งกราฟเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (0; π) และ (- π; 0)

กราฟที่สร้างขึ้นมีจุดตัดกันหนึ่งจุด - จุด B (- π; 0) (อยู่ในพิกัดลบ pi, ศูนย์) ซึ่งหมายความว่าสมการนี้มีรากเพียงอันเดียว - แอบซิสซาของจุด B - -π คำตอบ: เอ็กซ์ = - π.