1) c+d ≤ z ≤ a+d. แล้ว

2) a+d ≤ z ≤ b+c. แล้ว

3) b+c ≤ z ≤ a+b. แล้ว

การแจกแจงนี้เรียกว่ากฎของซิมป์สัน รูปที่ 8, 9 แสดงกราฟความหนาแน่นของการแจกแจง SW ที่ กับ=0, ง=0.

ในทางปฏิบัติ มักจะจำเป็นต้องค้นหากฎการแจกแจงสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่ม

ให้มีระบบ. (XขX2)สองวินาทีต่อเนื่อง วี. และผลรวมของพวกเขา

ให้เราหาความหนาแน่นของการแจกแจง c วี. U. ตามวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของย่อหน้าก่อนหน้า เราจะพบพื้นที่ของระนาบที่ x + x 2 (รูปที่ 9.4.1):

การสร้างความแตกต่างให้กับนิพจน์นี้ด้วยความเคารพต่อ y เราได้รับ AP ตัวแปรสุ่ม Y \u003d X + X 2:

เนื่องจากฟังก์ชัน φ (x b x 2) = Xj + x 2 มีความสมมาตรด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ ดังนั้น

ถ้าด้วย. วี. เอ็กซ์และ เอ็กซ์ 2 มีความเป็นอิสระ ดังนั้นสูตร (9.4.2) และ (9.4.3) จะอยู่ในรูปแบบ:

ในกรณีที่เป็นอิสระค. วี. x xและ เอ็กซ์ 2,พูดคุยเกี่ยวกับองค์ประกอบของกฎหมายการกระจายสินค้า ผลิต องค์ประกอบกฎการกระจายสองฉบับ - นี่หมายถึงการค้นหากฎการกระจายสำหรับผลรวมของสอง c ที่เป็นอิสระ ค. เผยแพร่ตามกฎหมายเหล่านี้ สัญกรณ์เชิงสัญลักษณ์ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบของกฎหมายการกระจายสินค้า

ซึ่งแสดงโดยสูตร (9.4.4) หรือ (9.4.5)

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาการทำงานของอุปกรณ์ทางเทคนิคสองตัว (TD) ขั้นแรก TU ทำงานหลังจากความล้มเหลว (ความล้มเหลว) รวมอยู่ในการดำเนินการของ TU 2 สถานะการออนไลน์ TU TU TU 2 - x xและ เอ็กซ์ 2 - มีความเป็นอิสระและกระจายตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์ A,1 และ เอ็กซ์ 2 .ดังนั้นเวลา ยการดำเนินงานที่ไร้ปัญหาของ TU ประกอบด้วย TU! และ TU 2 จะถูกกำหนดโดยสูตร

จำเป็นต้องหาพี.อาร์. ตัวแปรสุ่ม ใช่นั่นคือองค์ประกอบของกฎเอ็กซ์โปเนนเชียลสองข้อพร้อมพารามิเตอร์และ เอ็กซ์ 2 .

สารละลาย. ตามสูตร (9.4.4) เราได้ (y > 0)

หากมีองค์ประกอบของกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลสองข้อที่มีพารามิเตอร์เดียวกัน (?c = เอ็กซ์ 2 = Y) จากนั้นในนิพจน์ (9.4.8) จะได้ค่าความไม่แน่นอนประเภท 0/0 ซึ่งขยายออกไปซึ่งเราจะได้:

เมื่อเปรียบเทียบนิพจน์นี้กับนิพจน์ (6.4.8) เราเชื่อว่าองค์ประกอบของกฎเลขชี้กำลังสองข้อที่เหมือนกัน (?c = เอ็กซ์ 2 = เอ็กซ์)คือกฎเออร์แลงลำดับที่สอง (9.4.9) เมื่อเขียนกฎเอ็กซ์โปเนนเชียลสองข้อที่มีพารามิเตอร์ต่างกัน x xและ A-2 ได้ กฎเออร์แลงทั่วไปลำดับที่สอง (9.4.8). ?

ปัญหาที่ 1. กฎการกระจายตัวของผลต่างของสองวินาที วี. ระบบด้วย. วี. (เอ็กซ์ และ เอ็กซ์ 2)มีข้อต่อ r.p./(x x x 2) ค้นหาร้านขายยา ความแตกต่างของพวกเขา ย=เอ็กซ์ - เอ็กซ์ 2 .

สารละลาย. สำหรับระบบด้วย วี. (เอ็กซ์ ข - เอ็กซ์ 2)ฯลฯ จะเป็น / (xb - x2)นั่นคือเราแทนที่ส่วนต่างด้วยผลรวม ดังนั้นอาร์. ตัวแปรสุ่ม U จะมีรูปแบบ (ดู (9.4.2), (9.4.3))

ถ้า กับ. วี. เอ็กซ์ x เอ็กซ์ 2 เป็นอิสระแล้ว

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาเพื่อน ผลต่างของการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียลอิสระสองตัว วี. พร้อมพารามิเตอร์ x xและ เอ็กซ์ 2 .

สารละลาย. ตามสูตร (9.4.11) ที่เราได้รับ

ข้าว. 9.4.2 ข้าว. 9.4.3

รูปที่ 9.4.2 แสดง p ก(ญ). หากเราพิจารณาความแตกต่างของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลสองตัวที่เป็นอิสระ วี. ด้วยการตั้งค่าเดียวกัน (AI= เอ็กซ์ 2 = เอ)ที่ ก(y) \u003d / 2 - คุ้นเคยแล้ว

กฎของลาปลาซ (รูปที่ 9.4.3) ?

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหากฎการกระจายของผลรวมของ c อิสระสองตัว วี. เอ็กซ์และ เอ็กซ์ 2,กระจายตามกฎปัวซองพร้อมพารามิเตอร์ เอ็กซ์และ 2 .

สารละลาย. ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (เอ็กซ์เอ็กซ์ + เอ็กซ์ 2 = เสื้อ) (เสื้อ = 0, 1,

ดังนั้นส. วี. ย= X x + เอ็กซ์ 2 กระจายตามกฎปัวซองด้วยพารามิเตอร์ ก x2) - ก x + ก 2 ?

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหากฎการกระจายของผลรวมของ c อิสระสองตัว วี. x xและ เอ็กซ์ 2,กระจายตามกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ พี x ริ พี 2 ,พีตามลำดับ

สารละลาย. จินตนาการด้วย. วี. x xเช่น:

ที่ไหน เอ็กซ์ 1) -ตัวบ่งชี้เหตุการณ์ ก wu "ประสบการณ์:

ช่วงการกระจายสินค้าด้วย วี. X,- มีรูปแบบ

เราจะทำการแสดงที่คล้ายกันสำหรับ s วี. เอ็กซ์ 2:โดยที่ X] 2) - ตัวบ่งชี้เหตุการณ์ กในประสบการณ์ "th":

เพราะฉะนั้น,

เอ็กซ์อยู่ไหน? 1)+(2) ถ้าตัวบ่งชี้เหตุการณ์ ตอบ:

ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นแล้วว่า วี. จำนวนพ่อตา (คุณ + n 2)ตัวบ่งชี้เหตุการณ์ กโดยเหตุใดจึงเป็นไปตามนั้น วี. ^กระจายตามกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ ( ไม่มี + n 2) น.

โปรดทราบว่าหากความน่าจะเป็น รในชุดการทดลองที่แตกต่างกันจะมีความแตกต่างกัน จากนั้นเป็นผลจากการเพิ่ม s อิสระสองตัว ค. กระจายตามกฎทวินาม จะได้ว่า ค. ค. แจกแจงไม่เป็นไปตามกฎทวินาม ?

ตัวอย่างที่ 3 และ 4 สามารถสรุปได้ง่ายตามจำนวนคำศัพท์ที่ต้องการ เมื่อเขียนกฎของปัวซองด้วยพารามิเตอร์ ข 2 , ..., ที่ได้รับกฎของปัวซองอีกครั้งพร้อมพารามิเตอร์ ก (t) \u003d a x + a 2 + ... + และที

เมื่อเขียนกฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ (ไม่มี); (ฉัน 2 , ร) , (ไม่ใช่ พี)อีกครั้งเราได้กฎทวินามพร้อมพารามิเตอร์ (“(“) ร)ที่ไหน n (t) \u003d คุณ + n 2 + ... + ฯลฯ

เราได้พิสูจน์คุณสมบัติที่สำคัญของกฎของปัวซองและกฎทวินามแล้ว: "คุณสมบัติความเสถียร" กฎหมายการกระจายเรียกว่า ที่ยั่งยืน,หากองค์ประกอบของกฎหมายสองฉบับที่เป็นประเภทเดียวกันส่งผลให้เกิดกฎหมายประเภทเดียวกัน (เฉพาะพารามิเตอร์ของกฎหมายนี้เท่านั้นที่แตกต่างกัน) ในหัวข้อย่อย 9.7 เราจะแสดงให้เห็นว่ากฎปกติมีคุณสมบัติความเสถียรเหมือนกัน

ผู้มีอำนาจตัดสินใจอาจใช้ประกันภัยเพื่อลดผลกระทบทางการเงินที่ไม่พึงประสงค์จากเหตุการณ์สุ่มบางประเภท

แต่การพิจารณานี้เป็นเรื่องทั่วไปมาก เนื่องจากผู้มีอำนาจตัดสินใจอาจหมายถึงทั้งบุคคลที่แสวงหาความคุ้มครองจากความเสียหายต่อทรัพย์สิน เงินออม หรือรายได้ และองค์กรที่แสวงหาความคุ้มครองจากความเสียหายประเภทเดียวกัน

ในความเป็นจริง องค์กรดังกล่าวอาจเป็นบริษัทประกันภัยที่กำลังมองหาวิธีการป้องกันตัวเองจากการสูญเสียทางการเงินอันเนื่องมาจากเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยมากเกินไปที่เกิดขึ้นกับลูกค้าแต่ละรายหรือกับพอร์ตโฟลิโอประกันภัย การป้องกันนี้เรียกว่า ประกันภัยต่อ.

พิจารณาหนึ่งในสองรุ่น (กล่าวคือ โมเดลความเสี่ยงส่วนบุคคล) ใช้กันอย่างแพร่หลายในการกำหนดอัตราประกันภัยและเงินสำรองตลอดจนในการประกันภัยต่อ

แสดงโดย สจำนวนความสูญเสียจากอุบัติเหตุของบริษัทประกันภัยสำหรับความเสี่ยงบางส่วน ในกรณีนี้ สเป็นตัวแปรสุ่มที่เราต้องหาการแจกแจงความน่าจะเป็น ในอดีต สำหรับการแจกแจงของ r.v. สมีสมมุติฐานสองชุด โมเดลความเสี่ยงส่วนบุคคลกำหนด สด้วยวิธีดังต่อไปนี้:

ที่ไหน r.v. หมายถึง ความสูญเสียที่เกิดจากวัตถุประสงค์ของการประกันภัยด้วยจำนวน ฉัน,ก nหมายถึงจำนวนวัตถุประกันภัยทั้งหมด

โดยปกติจะสันนิษฐานว่าเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ เนื่องจากในกรณีนี้การคำนวณทางคณิตศาสตร์จะง่ายกว่าและไม่จำเป็นต้องใช้ข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเหล่านั้น โมเดลที่สองคือโมเดลความเสี่ยงโดยรวม

รูปแบบการพิจารณาความเสี่ยงส่วนบุคคลไม่ได้สะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงมูลค่าของเงินเมื่อเวลาผ่านไป การทำเช่นนี้เพื่อทำให้โมเดลง่ายขึ้น ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมชื่อของบทความจึงอ้างถึงช่วงเวลาสั้นๆ

เราจะพิจารณาเฉพาะรุ่นปิดเท่านั้นเช่น ซึ่งในจำนวนวัตถุประกันภัย nในสูตร (1.1) เป็นที่รู้จักและแก้ไขที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาที่พิจารณา หากเราแนะนำสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของการโยกย้ายจากหรือไปยังระบบประกันภัย เราก็จะได้โมเดลแบบเปิด

ตัวแปรสุ่มที่อธิบายการจ่ายเงินแต่ละรายการ

ขั้นแรก ให้เรานึกถึงข้อกำหนดหลักเกี่ยวกับการประกันชีวิต

กรณีประกันมรณะมีระยะเวลา 1 ปี ผู้ประกันตนจะต้องชำระเงินจำนวนนั้น ขหากผู้ถือกรมธรรม์เสียชีวิตภายในหนึ่งปีนับจากวันที่สรุปสัญญาประกันภัยและไม่ต้องจ่ายอะไรเลยหากผู้ถือกรมธรรม์ยังมีชีวิตอยู่ในปีนี้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยจะเกิดขึ้นในระหว่างปีที่กำหนดจะแสดงด้วย

ตัวแปรสุ่มที่อธิบายการจ่ายเงินประกันมีการแจกแจงที่สามารถระบุได้ด้วยฟังก์ชันความน่าจะเป็น

(2.1)

หรือฟังก์ชันการกระจายที่สอดคล้องกัน

(2.2)

จากสูตร (2.1) และจากคำจำกัดความของโมเมนต์ เราได้

(2.4)

สามารถรับสูตรเหล่านี้ได้โดยการเขียน เอ็กซ์เช่น

โดยที่ คือค่าคงที่ที่จ่ายในกรณีเสียชีวิต และเป็นตัวแปรสุ่มที่รับค่า 1 เมื่อเสียชีวิต และ 0 หากเป็นอย่างอื่น

ดังนั้นและ และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ r.v. เท่ากันและตามลำดับ และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ r.v. เท่ากับ และ ซึ่งตรงกับสูตรข้างต้น

ตัวแปรสุ่มที่มีช่วง (0,1) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองคณิตศาสตร์ประกันภัย

ในตำราเรียนทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่า ตัวบ่งชี้, เบอร์นูลลี่สุ่มค่าหรือ ตัวแปรสุ่มทวินามในการออกแบบการทดสอบเดี่ยว

เราจะโทรหาเธอ ตัวบ่งชี้ด้วยเหตุผลสั้นๆ และเพราะมันบ่งบอกถึงการเริ่มเกิดขึ้นหรือไม่เริ่มของเหตุการณ์ที่เป็นปัญหา

ให้เราหันมาค้นหาโมเดลทั่วไปมากขึ้น ซึ่งมูลค่าการชำระค่าประกันก็เป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน และเหตุการณ์ประกันภัยหลายเหตุการณ์อาจเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่พิจารณา

การประกันสุขภาพ การประกันภัยรถยนต์และทรัพย์สินอื่นๆ และการประกันภัยความรับผิดมีตัวอย่างมากมายในทันที การสรุปสูตร (2.5) เรากำหนดไว้

โดยที่ เป็นตัวแปรสุ่มที่อธิบายการจ่ายเงินประกันในช่วงเวลาที่พิจารณา r.v. หมายถึงจำนวนเงินรวมของการชำระเงินในช่วงเวลานี้และ r.v. เป็นตัวบ่งชี้เหตุการณ์ที่มีผู้เอาประกันภัยเกิดขึ้นอย่างน้อย 1 เหตุการณ์

เป็นตัวบ่งชี้ถึงเหตุการณ์ดังกล่าว r.v. แก้ไขการมีอยู่ () หรือขาด () เหตุการณ์ที่ประกันในช่วงเวลานี้ แต่ไม่ใช่จำนวนเหตุการณ์ที่ประกันในช่วงเวลานี้

ความน่าจะเป็นจะยังคงแสดงโดย

เรามาพูดคุยกันหลายตัวอย่างและพิจารณาการแจกแจงของตัวแปรสุ่มและในบางรุ่น

อันดับแรกให้เราพิจารณาการประกันการเสียชีวิตเป็นระยะเวลา 1 ปีพร้อมจ่ายเงินเพิ่มเติมหากเสียชีวิตจากอุบัติเหตุ

เพื่อความชัดเจน สมมติว่า หากการเสียชีวิตเกิดขึ้นจากอุบัติเหตุ จำนวนเงินที่จ่ายจะเท่ากับ 50,000 หากเสียชีวิตด้วยสาเหตุอื่น จำนวนเงินที่จ่ายจะเท่ากับ 25,000

สมมติว่าสำหรับคนในช่วงอายุ ภาวะสุขภาพ และอาชีพ ความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตเนื่องจากอุบัติเหตุในระหว่างปีคือ 0.0005 และความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตด้วยสาเหตุอื่นคือ 0.0020 ในรูปแบบสูตร มีลักษณะดังนี้:

เมื่อรวมค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ เราได้รับ

,

การกระจายแบบมีเงื่อนไขค วี. สภาพมีรูปแบบ

ตอนนี้เรามาดูประกันภัยรถชนกันดีกว่า (ค่าสินไหมทดแทนที่เจ้าของรถจ่ายให้สำหรับความเสียหายที่เกิดกับรถของเขา) โดยหักค่าเสียหายส่วนแรกแบบไม่มีเงื่อนไข 250 และจ่ายสูงสุด 2,000

เพื่อความชัดเจน เราถือว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยหนึ่งครั้งในช่วงเวลาพิจารณาของแต่ละบุคคลคือ 0.15 และความน่าจะเป็นที่จะมีการชนกันมากกว่าหนึ่งครั้งจะเท่ากับศูนย์:

, .

ข้อสันนิษฐานที่ไม่สมจริงว่าเหตุการณ์ของผู้ประกันตนสามารถเกิดขึ้นได้ไม่เกิน 1 เหตุการณ์ในช่วงเวลาหนึ่งนั้นเกิดขึ้นเพื่อลดความซับซ้อนในการกระจายรถบ้าน .

เราจะยกเลิกสมมติฐานนี้ในหัวข้อถัดไปหลังจากที่เราพิจารณาการกระจายของผลรวมของการเคลมประกันหลายรายการ

เนื่องจากเป็นมูลค่าการชำระของผู้ประกันตน ไม่ใช่มูลค่าความเสียหายที่เกิดกับรถ เราจึงพิจารณาได้ 2 ลักษณะ คือ

ประการแรก เหตุการณ์นี้รวมการชนกันซึ่งความเสียหายน้อยกว่าค่าเสียหายส่วนแรกแบบไม่มีเงื่อนไขซึ่งก็คือ 250

ประการที่สอง การกระจายรถอาร์วี จะมี "ก้อน" ของมวลความน่าจะเป็น ณ จุดจำนวนเงินค่าประกันสูงสุดซึ่งเท่ากับ 2,000

สมมติว่ามวลความน่าจะเป็นที่มีความเข้มข้น ณ จุดนี้เท่ากับ 0.1 นอกจากนี้ สมมติว่ามูลค่าการชำระค่าประกันในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2000 สามารถจำลองได้โดยการแจกแจงแบบต่อเนื่องโดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นเป็นสัดส่วนกับ (ในทางปฏิบัติเส้นโค้งต่อเนื่องที่เลือกเพื่อแสดงการกระจายเบี้ยประกันภัยเป็นผลจากการศึกษาเบี้ยประกันภัยในช่วงก่อนหน้า)

สรุปสมมติฐานเหล่านี้เกี่ยวกับการกระจายแบบมีเงื่อนไขของ rv ภายใต้เงื่อนไข เรามาถึงการแจกแจงแบบผสมซึ่งมีความหนาแน่นเป็นบวกในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2000 และมี "ก้อน" บางส่วนของมวลความน่าจะเป็นที่จุด 2000 ซึ่งแสดงโดยกราฟในรูปที่ 2.2.1.

ฟังก์ชันการกระจายของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขมีลักษณะดังนี้:

รูปที่.2.1. ฟังก์ชันการกระจายของ r.v. B ภายใต้เงื่อนไข I = 1

เราคำนวณความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างที่พิจารณากับการประกันภัยรถยนต์ในสองวิธี

ขั้นแรก เราเขียนการกระจายตัวของ r.v. และใช้ในการคำนวณและ แสดงถึงฟังก์ชันการกระจายของ r.v. , เรามี

สำหรับ x<0

นี่คือการกระจายแบบผสม ดังแสดงในรูป 2.2 มีทั้งแบบแยก (“กลุ่ม” ของมวลความน่าจะเป็นที่จุด 2000) และส่วนที่ต่อเนื่องกัน ฟังก์ชันการแจกแจงดังกล่าวสอดคล้องกับการรวมกันของฟังก์ชันความน่าจะเป็น

ข้าว. 2.2. ฟังก์ชันการกระจายของ r.v. X=ไอบี

และฟังก์ชันความหนาแน่น

โดยเฉพาะและ . นั่นเป็นเหตุผล .

มีหลายสูตรที่เกี่ยวข้องกับโมเมนต์ของตัวแปรสุ่มกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข สำหรับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวน สูตรเหล่านี้จะมีรูปแบบ

(2.10)

(2.11)

สันนิษฐานว่านิพจน์ทางด้านซ้ายมือของความเท่าเทียมกันเหล่านี้คำนวณโดยตรงจากการกระจายตัวของ r.v. . เมื่อคำนวณนิพจน์ทางด้านขวามือ ได้แก่ และ จะใช้การกระจายแบบมีเงื่อนไขของ r.v. ที่ค่าคงที่ของ r.v. .

ดังนั้น สำนวนเหล่านี้จึงเป็นฟังก์ชันของ r.v. และเราสามารถคำนวณโมเมนต์ของมันได้โดยใช้การกระจายตัวของ r.v. .

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขใช้ในแบบจำลองคณิตศาสตร์ประกันภัยหลายแบบ และทำให้สามารถนำสูตรข้างต้นไปใช้โดยตรงได้ ในแบบของเรา. เมื่อพิจารณาถึงรถอาร์วี as และ r.v. ตามที่เราได้รับ

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

และพิจารณาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข

(2.16)

(2.17)

สูตร (2.16) และ (2.17) ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของ r.v. ซึ่งสามารถเขียนได้เป็นสูตรดังนี้

ตั้งแต่เมื่อนั้นเป็นต้นมา (2.21)

เพราะเรามี และ (2.22)

สามารถรวมสูตร (2.21) และ (2.22) ได้: (2.23)

ดังนั้น (2.24)

แทน (2.21), (2.20) และ (2.24) ลงใน (2.12) และ (2.13) เราจะได้

ลองใช้สูตรที่ได้รับในการคำนวณและในตัวอย่างประกันภัยรถยนต์ (รูปที่ 2.2) เนื่องจากฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. ในเงื่อนไขแสดงโดยสูตร

และ ป(B=2000|ผม=1)= 0.1 เรามี

สุดท้ายก็สมมติ. ถาม= 0.15 จากสูตร (2.25) และ (2.26) เราได้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

เพื่ออธิบายสถานการณ์ประกันภัยอื่น เราสามารถเสนอรุ่นอื่นสำหรับรถบ้าน .

ตัวอย่าง: แบบจำลองจำนวนผู้เสียชีวิตจากอุบัติเหตุทางการบิน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาแบบจำลองสำหรับจำนวนผู้เสียชีวิตจากอุบัติเหตุทางการบินในช่วงหนึ่งปีของการดำเนินกิจการของสายการบิน

เราสามารถเริ่มต้นด้วยตัวแปรสุ่มที่อธิบายจำนวนผู้เสียชีวิตสำหรับหนึ่งเที่ยวบิน จากนั้นจึงรวมตัวแปรสุ่มเหล่านี้กับเที่ยวบินทั้งหมดในหนึ่งปี

สำหรับเที่ยวบินหนึ่ง เหตุการณ์จะบ่งบอกถึงการเริ่มต้นของอุบัติเหตุทางอากาศ จำนวนผู้เสียชีวิตที่เกิดจากภัยพิบัตินี้จะแสดงด้วยผลคูณของตัวแปรสุ่มสองตัว และ โดยที่ คือปัจจัยน้ำหนักบรรทุกของเครื่องบิน เช่น จำนวนคนบนเครื่อง ณ เวลาที่เกิดอุบัติเหตุ และเป็นสัดส่วนของการเสียชีวิตของผู้คนบนเครื่อง กระดาน.

จำนวนผู้เสียชีวิตจะแสดงในลักษณะนี้ เนื่องจากสถิติแยกสำหรับและเข้าถึงได้ง่ายกว่าสถิติสำหรับ r.v. . ดังนั้น แม้ว่าสัดส่วนการเสียชีวิตระหว่างคนบนเรือและจำนวนคนบนเรืออาจจะมีความสัมพันธ์กัน แต่ในการประมาณครั้งแรกก็สามารถสันนิษฐานได้ว่าเรือ R.V. และเป็นอิสระ

ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ

ในรูปแบบความเสี่ยงรายบุคคล การจ่ายเงินประกันที่ดำเนินการโดยบริษัทประกันภัยจะแสดงเป็นผลรวมของการจ่ายเงินให้กับบุคคลจำนวนมาก

จำสองวิธีในการพิจารณาการกระจายตัวของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ ก่อนอื่นให้พิจารณาผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวซึ่งมีพื้นที่ตัวอย่างแสดงในรูปที่ 1 3.1.

ข้าว. 2.3.1. เหตุการณ์

เส้นและพื้นที่ใต้เส้นนี้แสดงถึงเหตุการณ์ ดังนั้นฟังก์ชันการกระจายของ r.v. สมีรูปแบบ (3.1)

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบสองตัว เราสามารถใช้สูตรความน่าจะเป็นรวมและเขียน (3.1) ได้เป็น

ถ้า เอ็กซ์และ ยเป็นอิสระต่อกัน ผลรวมสุดท้ายสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

(3.3)

สูตรสามารถหาฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับฟังก์ชันการแจกแจงนี้ได้

(3.4)

สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบต่อเนื่อง สูตรที่สอดคล้องกับสูตร (3.2), (3.3) และ (3.4) จะมีรูปแบบ

เมื่อตัวแปรสุ่มตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัว เอ็กซ์และ ยมีการกระจายแบบผสม (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับแบบจำลองความเสี่ยงส่วนบุคคล) สูตรจะคล้ายกันแต่ยุ่งยากกว่า สำหรับตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าลบได้ ผลรวมและปริพันธ์ในสูตรข้างต้นจะถูกนำมาใช้กับค่าทั้งหมดของ y ตั้งแต่ ถึง

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การดำเนินการในสูตร (3.3) และ (3.6) เรียกว่าการบิดของฟังก์ชันการแจกแจงสองฟังก์ชัน และ และ เขียนแทนด้วย การดำเนินการบิดสามารถกำหนดคู่ของความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันความหนาแน่นได้โดยใช้สูตร (3.4) และ (3.7)

เพื่อพิจารณาการกระจายตัวของผลรวมของตัวแปรสุ่มมากกว่าสองตัว เราสามารถใช้การวนซ้ำของกระบวนการบิดตัว สำหรับ โดยที่ เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ แสดงถึงฟังก์ชันการกระจายของ r.v. และเป็นฟังก์ชันการกระจายของ r.v. เราจะได้รับ

ตัวอย่าง 3.1 แสดงขั้นตอนนี้สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องสามตัว

ตัวอย่างที่ 3.1ตัวแปรสุ่ม และเป็นอิสระและมีการแจกแจงที่กำหนดโดยคอลัมน์ (1), (2) และ (3) ของตารางด้านล่าง

ให้เราเขียนฟังก์ชันความน่าจะเป็นและฟังก์ชันการกระจายของ r.v.

สารละลาย.ตารางใช้สัญลักษณ์ที่แนะนำก่อนตัวอย่าง:

คอลัมน์ (1)-(3) มีข้อมูลที่มีอยู่

คอลัมน์ (4) ได้มาจากคอลัมน์ (1) และ (2) โดยใช้ (3.4)

คอลัมน์ (5) ได้มาจากคอลัมน์ (3) และ (4) โดยใช้ (3.4)

คำจำกัดความของคอลัมน์ (5) เสร็จสิ้นการกำหนดฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับ rv . ฟังก์ชันการกระจายในคอลัมน์ (8) คือเซตของผลรวมบางส่วนของคอลัมน์ (5) โดยเริ่มจากด้านบน

เพื่อความชัดเจน เราได้รวมคอลัมน์ (6) ฟังก์ชันการกระจายสำหรับคอลัมน์ (1) คอลัมน์ (7) ซึ่งสามารถหาได้โดยตรงจากคอลัมน์ (1) และ (6) โดยใช้ (2.3.3) และคอลัมน์ (8 ) กำหนดโดยทำนองเดียวกันสำหรับคอลัมน์ (3) และ (7) คอลัมน์ (5) สามารถกำหนดได้จากคอลัมน์ (8) โดยการลบต่อเนื่อง

ให้เราพิจารณาสองตัวอย่างด้วยตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 3.2ให้ r.v. มีการกระจายตัวสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0,2) และให้ r.v. ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรถบ้าน และมีการกระจายสม่ำเสมอในช่วง (0,3) ให้เรานิยามฟังก์ชันการกระจายของ r.v.

สารละลาย.เนื่องจากการกระจายของ r.v. และต่อเนื่องเราใช้สูตร (3.6):

แล้ว

พื้นที่ตัวอย่างของ r.v. และแสดงไว้ในรูปที่. 3.2. พื้นที่สี่เหลี่ยมประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคู่ และ เหตุการณ์ที่เราสนใจ , จะแสดงในรูปของค่าทั้ง 5 ค่า ส.

สำหรับแต่ละค่า เส้นจะตัดกับแกน ยตรงจุด สและเส้นตรงจุด ค่าฟังก์ชันสำหรับห้ากรณีนี้อธิบายโดยสูตรต่อไปนี้:

ข้าว. 3.2. การโคจรของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอสองครั้ง

ตัวอย่างที่ 3.3ให้เราพิจารณาสาม r.v. อิสระ . สำหรับรถบ้าน มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล และ ให้เราหาฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. โดยการประยุกต์ใช้การดำเนินการบิด

สารละลาย.เรามี

จากการใช้สูตร (3.7) สามครั้ง เราได้

อีกวิธีหนึ่งในการพิจารณาการกระจายตัวของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ ซึ่งสำหรับ r.v. ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ .

หากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นี้มีจำกัดสำหรับทุกคน ทีจากช่วงเปิดบางช่วงที่มีจุดกำเนิด จึงเป็นฟังก์ชันการสร้างเพียงฟังก์ชันเดียวของโมเมนต์การกระจายของ rv ในแง่ที่ว่าไม่มีฟังก์ชันอื่นใดนอกจาก ซึ่งจะเป็นฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์การกระจายของ r.v. .

เอกลักษณ์นี้สามารถใช้ได้ดังนี้ สำหรับผลรวม

หากเป็นอิสระต่อกัน ความคาดหวังของผลิตภัณฑ์ในสูตร (3.8) จะเท่ากับ ..., ดังนั้น

การค้นหานิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับการแจกแจงแบบเดียวที่สอดคล้องกับฟังก์ชันการสร้างของโมเมนต์ (3.9) จะทำให้การค้นหาการกระจายตัวของ r.v. สมบูรณ์ . หากไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน สามารถค้นหาด้วยวิธีตัวเลขได้

ตัวอย่างที่ 3.4. พิจารณาตัวแปรสุ่มจากตัวอย่างที่ 3.3 ให้เรานิยามฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. โดยใช้ฟังก์ชันการสร้างช่วงเวลาของ r.v. .

สารละลาย.ตามความเท่าเทียมกัน (3.9) ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น โดยใช้วิธีการสลายให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย วิธีแก้ไขก็คือ . แต่เป็นฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์ ดังนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นของ r.v. มีแบบฟอร์ม

ตัวอย่างที่ 3.5. ในการศึกษากระบวนการสุ่ม ได้มีการแนะนำการแจกแจงแบบเกาส์เซียนแบบผกผัน มันถูกใช้เป็นการกระจายของ r.v. ใน, จำนวนเงินค่าประกัน. ฟังก์ชันความหนาแน่นและฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนแบบผกผันได้มาจากสูตร

ให้เราหาการกระจายตัวของ r.v. , ที่ไหน มีความเป็นอิสระและมีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันเหมือนกัน

สารละลาย.เมื่อใช้สูตร (3.9) เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันการสร้างของโมเมนต์ r.v. : :

ฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์นั้นสอดคล้องกับการแจกแจงแบบเฉพาะ และจะเห็นได้ว่ามีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนแบบผกผันพร้อมพารามิเตอร์ และ

การประมาณการกระจายผลรวม

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางให้วิธีการค้นหาค่าตัวเลขสำหรับการแจกแจงผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ โดยปกติแล้วทฤษฎีบทนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระและตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายเท่ากัน โดยที่ .

สำหรับ n ใดๆ การกระจายตัวของ r.v. ที่ไหน = มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็น 0 และความแปรปรวน 1 ดังที่ทราบกันดีว่าลำดับของการแจกแจงดังกล่าว (สำหรับ n= 1, 2, ...) มีแนวโน้มไปทางการกระจายตัวแบบปกติมาตรฐาน เมื่อไร nใหญ่ ทฤษฎีบทนี้ใช้ในการประมาณการกระจายตัวของ r.v. การแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ย μ และการกระจายตัว ในทำนองเดียวกันการกระจายตัวของผลรวม nตัวแปรสุ่มประมาณโดยการแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

ประสิทธิภาพของการประมาณดังกล่าวไม่เพียงขึ้นอยู่กับจำนวนคำศัพท์เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับความใกล้เคียงของการกระจายคำศัพท์ไปเป็นเงื่อนไขปกติด้วย หลักสูตรสถิติเบื้องต้นหลายหลักสูตรระบุว่า n ต้องมีอย่างน้อย 30 เพื่อให้การประมาณค่ามีความสมเหตุสมผล

อย่างไรก็ตาม หนึ่งในโปรแกรมสำหรับสร้างตัวแปรสุ่มแบบกระจายแบบปกติที่ใช้ในแบบจำลองการจำลองจะใช้ตัวแปรสุ่มแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มอิสระ 12 ตัวที่กระจายสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0,1)

ในแบบจำลองความเสี่ยงส่วนบุคคลจำนวนมาก ตัวแปรสุ่มที่รวมอยู่ในผลรวมจะมีการกระจายไม่เท่ากัน ซึ่งจะอธิบายด้วยตัวอย่างในส่วนถัดไป

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางยังขยายไปถึงลำดับของตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายไม่เท่ากัน

เพื่อแสดงให้เห็นการประยุกต์ใช้แบบจำลองความเสี่ยงส่วนบุคคล เราจะใช้การประมาณปกติของการกระจายตัวของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเพื่อให้ได้คำตอบเชิงตัวเลข ถ้า , ที่

และยิ่งกว่านั้นหาก r.v. เป็นอิสระแล้ว

สำหรับการสมัครที่เป็นปัญหา เราต้องการเพียง:

• ค้นหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่จำลองการสูญเสียแต่ละรายการ
• รวมเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของผลขาดทุนของบริษัทประกันภัยโดยรวม
• ใช้การประมาณปกติ

ด้านล่างเราจะอธิบายลำดับของการกระทำนี้

การสมัครประกันภัย

ในส่วนนี้จะแสดงการใช้การประมาณแบบปกติพร้อมตัวอย่างสี่ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5.1บริษัทประกันชีวิตเสนอสัญญาประกันการเสียชีวิต 1 ปี โดยจ่ายเงิน 1 และ 2 หน่วย ให้กับบุคคลที่มีโอกาสเสียชีวิต 0.02 หรือ 0.01 ตารางด้านล่างแสดงจำนวนคน ไม่เป็นไรในแต่ละชั้นทั้งสี่ที่เกิดขึ้นตามการชำระเงิน ขและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เอาประกันภัย โอเค:

บริษัทประกันภัยต้องการรวบรวมบุคคลจำนวน 1,800 คนจากกลุ่มนี้ในจำนวนเท่ากับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ของการกระจายการชำระเงินประกันทั้งหมดสำหรับกลุ่มนี้ นอกจากนี้ เธอต้องการให้ส่วนแบ่งของแต่ละคนในจำนวนเงินนั้นเป็นสัดส่วนกับการจ่ายเงินประกันที่คาดหวังของบุคคลนั้น

ส่วนแบ่งของบุคคลที่มีหมายเลขซึ่งมีการชำระเงินเฉลี่ยเท่ากับ ควรเป็น เป็นไปตามข้อกำหนดของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ว่า มูลค่าส่วนเกิน คือค่าความเสี่ยง และเรียกว่าค่าความเสี่ยงสัมพัทธ์ มาคำนวณกัน

สารละลาย.ค่าจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน = 0.95 โดยที่ ส = X 1 + X 2 + ... + X 1800 .คำสั่งความน่าจะเป็นนี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ตามสิ่งที่กล่าวไว้เกี่ยวกับทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางในวินาที 4 เราประมาณการกระจายตัวของ r.v. การแจกแจงแบบปกติมาตรฐานและใช้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ซึ่งเราได้รับ:

สำหรับสี่ประเภทที่ผู้ถือกรมธรรม์ถูกแบ่งออก เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

ดังนั้น,

ดังนั้นค่าพรีเมียมความเสี่ยงสัมพัทธ์คือ

ตัวอย่างที่ 5.2ลูกค้าของบริษัทประกันภัยรถยนต์แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ

การแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ถูกตัดทอนถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจง

นี่คือการแจกแจงแบบผสมที่มีฟังก์ชันความหนาแน่น และ "กลุ่ม" ของมวลความน่าจะเป็นที่จุดหนึ่ง ล. กราฟของฟังก์ชันการกระจายนี้แสดงในรูปที่ 5.1

ข้าว. 5.1. การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ถูกตัดทอน

เช่นเดิม ความน่าจะเป็นที่จำนวนเงินประกันรวมจะเกินจำนวนเงินที่เรียกเก็บจากผู้ถือกรมธรรม์ควรเท่ากับ 0.05 เราจะถือว่าค่าพรีเมียมความเสี่ยงสัมพัทธ์ควรเท่ากันในแต่ละประเภททั้งสองที่อยู่ระหว่างการพิจารณา มาคำนวณกัน

สารละลาย.ตัวอย่างนี้คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้ามาก ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตอนนี้มูลค่าการชำระค่าประกันเป็นตัวแปรสุ่ม

ขั้นแรก เราจะได้นิพจน์สำหรับโมเมนต์ของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ถูกตัดทอน นี่จะเป็นขั้นตอนเตรียมการใช้สูตร (2.25) และ (2.26):

การใช้ค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดในเงื่อนไขและการใช้สูตร (2.25) และ (2.26) เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

ดังนั้น, สจำนวนเงินค่าประกันทั้งหมดมีช่วงเวลา

เงื่อนไขสำหรับคำจำกัดความยังคงเหมือนกับในตัวอย่างที่ 5.1 คือ

เราใช้การประมาณการกระจายตัวแบบปกติอีกครั้ง

ตัวอย่างที่ 5.3พอร์ตของบริษัทประกันภัยรวมสัญญาประกันการเสียชีวิต 16,000 ฉบับ เป็นระยะเวลา 1 ปี ตามตารางต่อไปนี้

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่มีการประกัน q สำหรับลูกค้าแต่ละราย 16,000 ราย (เหตุการณ์เหล่านี้ถือว่ามีความเป็นอิสระร่วมกัน) เท่ากับ 0.02 บริษัทต้องการกำหนดอัตราการรักษาลูกค้าของตนเอง สำหรับผู้ถือกรมธรรม์แต่ละราย ระดับการเก็บรักษาของตนเองคือมูลค่าที่ต่ำกว่าที่บริษัทนี้ (บริษัทที่มอบหมาย) ชำระเงินอย่างเป็นอิสระ และการชำระเงินที่เกินมูลค่านี้จะอยู่ภายใต้ข้อตกลงการประกันภัยต่อโดยบริษัทอื่น (บริษัทประกันภัยต่อ)

เช่น หากอัตราเงินประกันของตัวเองอยู่ที่ 200,000 บริษัทขอสงวนความคุ้มครองสูงสุด 20,000 สำหรับผู้เอาประกันภัยแต่ละราย และซื้อประกันภัยต่อเพื่อให้ครอบคลุมส่วนต่างระหว่างเบี้ยประกันภัยและจำนวน 20,000 สำหรับผู้ถือกรมธรรม์แต่ละรายใน 4,500 รายที่มีเบี้ยประกันเกิน 20,000

บริษัทเลือกเป็นเกณฑ์ในการตัดสินใจลดความน่าจะเป็นที่ค่าสินไหมทดแทนจากการเอาประกันภัยที่หักเองบวกกับจำนวนเงินที่จ่ายสำหรับการประกันภัยต่อจะเกินจำนวน 8,250,000 ค่าประกันภัยต่อ 0.025 ต่อหน่วยความคุ้มครอง (เช่น 125% ของที่คาดไว้ มูลค่าการชำระค่าประกันต่อหน่วย 0.02)

เราเชื่อว่าพอร์ตโฟลิโอที่เป็นปัญหาถูกปิดแล้ว: สัญญาประกันภัยใหม่ที่ลงนามในระหว่างปีปัจจุบันจะไม่ถูกนำมาพิจารณาในกระบวนการตัดสินใจที่อธิบายไว้

โซลูชันบางส่วน มาคำนวณทั้งหมดกันก่อน โดยเลือก 10,000 เป็นหน่วยการจ่ายเงิน ตามภาพประกอบ สมมติว่า c. วี. สคือจำนวนเงินที่ชำระคงเหลือจากการหักเองมีรูปแบบดังนี้

การจ่ายเงินประกันเหล่านี้เหลือจากการหักเงินของคุณเอง สจะมีการบวกจำนวนเบี้ยประกันภัยต่อ รวมแล้วยอดความคุ้มครองตามโครงการนี้คือ

ยอดเงินคงเหลือในการหักเองจะเท่ากับ

ดังนั้นมูลค่าการประกันภัยต่อทั้งหมดคือ 35,000-24,000=11,000 และต้นทุนการประกันภัยต่อคือ

ดังนั้น ที่ระดับการเก็บรักษาของตนเองเท่ากับ 2 เงินประกันที่เหลือจากการเก็บรักษาของตนเองบวกด้วยค่าประกันภัยต่อคือ เกณฑ์การตัดสินใจขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่ผลรวมนี้จะเกิน 825

เมื่อใช้การแจกแจงแบบปกติ เราจะได้ค่านี้ประมาณเท่ากับ 0.0062

มูลค่าเฉลี่ยของการชำระค่าประกันสำหรับการประกันการสูญเสียส่วนเกินซึ่งเป็นประเภทประกันภัยต่อประเภทหนึ่งสามารถประมาณได้โดยใช้การแจกแจงแบบปกติเป็นการกระจายการชำระค่าประกันทั้งหมด

ให้ค่าประกันทั้งหมด X มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

ตัวอย่างที่ 5.4ลองพิจารณาพอร์ตโฟลิโอประกันภัยดังตัวอย่างที่ 5.3 ให้เราค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเงินประกันที่จ่ายภายใต้สัญญาประกันสำหรับส่วนที่เกินของการไม่ทำกำไรหาก

(ก) ไม่มีการประกันภัยต่อรายบุคคล และค่าเสียหายส่วนแรกแบบไม่มีเงื่อนไขกำหนดไว้ที่ 7,500,000

(b) มีการหักภาษี ณ ที่จ่ายส่วนบุคคลจำนวน 20,000 สำหรับสัญญาประกันภัยแต่ละรายการ และการหักลดหย่อนแบบไม่มีเงื่อนไขสำหรับพอร์ตโฟลิโอคือ 5,300,000

สารละลาย.

(a) ในกรณีที่ไม่มีการประกันภัยต่อส่วนบุคคลและอยู่ระหว่างการเปลี่ยนเป็น 10,000 เป็นสกุลเงิน

การใช้สูตร (5.2) ให้

ซึ่งก็คือผลรวม 43,770 ในหน่วยเดิม

(b) ในเอกสารแนบ 5.3 เราได้รับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของเบี้ยประกันภัยรวมสำหรับค่าเสียหายส่วนแรกแต่ละรายการที่ 20,000 เป็น 480 และ 784 ตามลำดับ โดยใช้ 10,000 เป็นหน่วย ดังนั้น =28

การใช้สูตร (5.2) ให้

ซึ่งเป็นผลรวมของ 4140 ในหน่วยเดิม

ขอให้เราใช้วิธีทั่วไปข้างต้นในการแก้ปัญหาหนึ่งปัญหา กล่าวคือ หากฎการแจกแจงของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว มีระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว (X,Y) ที่มีความหนาแน่นของการแจกแจง f(x,y)

พิจารณาผลรวมของตัวแปรสุ่ม X และ Y: และค้นหากฎการกระจายของค่า Z เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราสร้างเส้นบนระนาบ xOy ซึ่งมีสมการที่ (รูปที่ 6.3.1) นี่คือเส้นตรงที่ตัดส่วนที่เท่ากับ z บนแกนออก ตรง แบ่งระนาบ xy ออกเป็นสองส่วน ไปทางขวาและด้านบน ; ด้านซ้ายและด้านล่าง

ภูมิภาค D ในกรณีนี้คือส่วนล่างซ้ายของระนาบ xOy ซึ่งแรเงาไว้ในรูปที่ 6.3.1. ตามสูตร (6.3.2) เรามี:

นี่เป็นสูตรทั่วไปสำหรับความหนาแน่นของการแจกแจงของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว

ด้วยเหตุผลของความสมมาตรของปัญหาเกี่ยวกับ X และ Y เราสามารถเขียนสูตรเดียวกันอีกเวอร์ชันหนึ่งได้:

จำเป็นต้องจัดทำองค์ประกอบของกฎหมายเหล่านี้ กล่าวคือ เพื่อค้นหากฎการกระจายของปริมาณ:

เราใช้สูตรทั่วไปสำหรับองค์ประกอบของกฎหมายการจำหน่าย:

แทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสูตรที่เราพบแล้ว

และนี่ไม่ใช่อะไรเลยนอกจากกฎปกติที่มีศูนย์กระจายตัว

ข้อสรุปเดียวกันนี้สามารถทำได้ง่ายกว่ามากโดยใช้เหตุผลเชิงคุณภาพต่อไปนี้

โดยไม่ต้องเปิดวงเล็บและไม่ทำการแปลงในจำนวนเต็ม (6.3.3) เราจะได้ข้อสรุปทันทีว่าเลขชี้กำลังนั้นเป็นตรีโกณมิติกำลังสองเทียบกับ x ของรูปแบบ

โดยที่ค่า z ไม่รวมอยู่ในสัมประสิทธิ์ A เลย จะรวมอยู่ในสัมประสิทธิ์ B ในระดับแรก และสัมประสิทธิ์ C จะรวมอยู่ในกำลังสอง เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้และการใช้สูตร (6.3.4) เราจึงสรุปได้ว่า g(z) เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยเลขชี้กำลังเป็นตรีโกณมิติกำลังสองเทียบกับ z และความหนาแน่นของการแจกแจง ประเภทนี้เป็นไปตามกฎหมายปกติ ดังนั้นเราจึง; เรามาถึงข้อสรุปเชิงคุณภาพล้วนๆ: กฎการกระจายตัวของ z ต้องเป็นปกติ เพื่อค้นหาพารามิเตอร์ของกฎหมายฉบับนี้ - และ - เราจะใช้ทฤษฎีบทการบวกความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีบทการบวกความแปรปรวน ตามทฤษฎีบทการบวกของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ . ตามทฤษฎีบทการบวกความแปรปรวน หรือ ดังนั้นสูตร (6.3.7) จึงตามมา

จากค่าเบี่ยงเบนราก-ค่าเฉลี่ย-กำลังสองไปจนถึงค่าเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ตามสัดส่วน เราจะได้:
.

ดังนั้นเราจึงมาถึงกฎต่อไปนี้: เมื่อมีการประกอบกฎปกติ จะได้กฎปกติอีกครั้ง และความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ (หรือการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้กำลังสอง) จะถูกสรุป

กฎองค์ประกอบสำหรับกฎปกติสามารถสรุปได้ในกรณีของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้

หากมีตัวแปรสุ่มอิสระ n ตัว: ขึ้นอยู่กับกฎปกติที่มีศูนย์กระจายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่านั้นก็ขึ้นอยู่กับกฎปกติพร้อมพารามิเตอร์ด้วย

ถ้าระบบของตัวแปรสุ่ม (X, Y) มีการกระจายตามกฎปกติ แต่ปริมาณ X, Y ขึ้นอยู่ ก็พิสูจน์ได้ง่ายเช่นเดิมตามสูตรทั่วไป (6.3.1) ว่ากฎการกระจายปริมาณก็เป็นกฎปกติเช่นกัน ศูนย์กระจายยังคงบวกพีชคณิต แต่สำหรับการเบี่ยงเบนมาตรฐาน กฎจะซับซ้อนมากขึ้น: โดยที่ r คือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของค่า X และ Y

เมื่อเพิ่มตัวแปรสุ่มตามหลายตัว โดยขึ้นอยู่กับจำนวนทั้งสิ้นของกฎปกติ กฎการกระจายของผลรวมจะกลายเป็นปกติด้วยพารามิเตอร์

โดยที่สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของปริมาณ X i , X j และผลรวมจะขยายไปยังปริมาณที่รวมกันเป็นคู่ที่แตกต่างกันทั้งหมด

เราได้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญมากของกฎปกติ: เมื่อรวมกฎปกติเข้าด้วยกัน ก็จะได้กฎปกติอีกครั้ง นี่คือสิ่งที่เรียกว่า "คุณสมบัติความเสถียร" กฎหมายว่าด้วยการกระจายจะถือว่ามีเสถียรภาพ หากโดยการสร้างกฎประเภทนี้ขึ้นมาสองฉบับ จะได้กฎประเภทเดียวกันอีกครั้ง เราได้แสดงให้เห็นข้างต้นแล้วว่ากฎหมายปกติมีเสถียรภาพ กฎหมายการจำหน่ายเพียงไม่กี่ฉบับมีคุณสมบัติมีเสถียรภาพ กฎความหนาแน่นสม่ำเสมอไม่เสถียร: เมื่อเขียนกฎความหนาแน่นสม่ำเสมอสองข้อในส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1 เราจะได้กฎของซิมป์สัน

ความมั่นคงของกฎหมายปกติถือเป็นเงื่อนไขสำคัญประการหนึ่งสำหรับการนำไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติอย่างกว้างขวาง อย่างไรก็ตาม ทรัพย์สินของความมั่นคง นอกเหนือจากคุณสมบัติปกติแล้ว ยังถูกครอบครองโดยกฎหมายการกระจายอื่นๆ อีกด้วย คุณลักษณะของกฎหมายปกติคือเมื่อมีการประกอบกฎหมายการกระจายตามอำเภอใจในทางปฏิบัติจำนวนมากเพียงพอ กฎหมายทั้งหมดกลับกลายเป็นว่าใกล้เคียงกับกฎหมายปกติโดยพลการ โดยไม่คำนึงว่ากฎหมายการกระจายของข้อกำหนดดังกล่าวจะเป็นอย่างไร ตัวอย่างนี้สามารถอธิบายได้โดยการประกอบองค์ประกอบของกฎสามข้อที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอในส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1 ผลลัพธ์ของกฎการกระจาย g(z) จะแสดงไว้ในรูปที่ 6.3.1. ดังที่เห็นจากภาพวาด กราฟของฟังก์ชัน g(z) มีความคล้ายคลึงกับกราฟของกฎปกติอย่างมาก

ฟังก์ชั่นการกระจาย

อนุญาต เอ็กซ์(เค)เป็นตัวแปรสุ่มบางตัว จากนั้นสำหรับค่าคงที่ใดๆ x เหตุการณ์สุ่ม เอ็กซ์(เค) xถูกกำหนดให้เป็นชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เคดังนั้น x(เค) x. ในแง่ของการวัดความน่าจะเป็นดั้งเดิมที่กำหนดบนพื้นที่ตัวอย่าง ฟังก์ชั่นการกระจายพี(เอ็กซ์)กำหนดเป็นความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับชุดของคะแนน เค x(เค) x. โปรดทราบว่าชุดของจุด เคตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน x(เค) x, เป็นเซตย่อยของเซตคะแนนที่เป็นไปตามอสมการ เอ็กซ์(เค) . อย่างเป็นทางการ

เห็นได้ชัดว่า

หากช่วงของค่าของตัวแปรสุ่มมีความต่อเนื่องซึ่งถือว่าด้านล่างแล้ว ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น(มิติเดียว) พี(เอ็กซ์)ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์

(4)

เพราะฉะนั้น,

(6)

เพื่อให้สามารถพิจารณากรณีที่ไม่ต่อเนื่องได้ จำเป็นต้องยอมรับการมีอยู่ของฟังก์ชันเดลต้าในองค์ประกอบของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

มูลค่าที่คาดหวัง

ปล่อยให้ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(เค)รับค่าจากช่วงตั้งแต่ -  ถึง +  ค่าเฉลี่ย(มิฉะนั้น, มูลค่าที่คาดหวังหรือ มูลค่าที่คาดหวัง) เอ็กซ์(เค)คำนวณโดยใช้ข้อความที่สอดคล้องกันจนถึงขีดจำกัดในผลรวมของผลคูณของค่า เอ็กซ์(เค)ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้น:

(8)

ที่ไหน อี- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมตามดัชนี เค. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าเดียวจริงถูกกำหนดไว้ในลักษณะเดียวกัน ก(เอ็กซ์)จากตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(เค)

(9)

ที่ไหน พี(เอ็กซ์)- ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x(เค)โดยเฉพาะการสละ ก(x)=x,เราได้รับ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง x(k) :

(10)

การกระจายตัวเอ็กซ์(เค)กำหนดให้เป็นกำลังสองเฉลี่ยของผลต่าง เอ็กซ์(เค)และมูลค่าเฉลี่ยของมัน

นั่นคือในกรณีนี้ ก(x)= และ

A-ไพรเออรี่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม x(เค)แสดงว่า คือค่าบวกของรากที่สองของความแปรปรวน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะวัดในหน่วยเดียวกันกับค่าเฉลี่ย

ฟังก์ชั่นการกระจายที่สำคัญที่สุด

การกระจายเครื่องแบบ (สี่เหลี่ยม)

สมมติว่าการทดลองประกอบด้วยการเลือกจุดแบบสุ่มจากช่วง [ ก,ข] รวมถึงจุดสิ้นสุดด้วย ในตัวอย่างนี้เป็นค่าของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(เค)คุณสามารถรับค่าตัวเลขของจุดที่เลือกได้ ฟังก์ชันการแจกแจงที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ

ดังนั้นสูตรจึงกำหนดความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ในตัวอย่างนี้ ให้การคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนโดยใช้สูตร (9) และ (11)

การกระจายแบบปกติ (GAUSSIAN)

, - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - RMS

ค่าของ z ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็น P(z)=1- คือ

CHI - การกระจายแบบสี่เหลี่ยม

อนุญาต - ตัวแปรสุ่มอิสระ ซึ่งแต่ละตัวมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนของหน่วย

ตัวแปรสุ่มไคสแควร์ที่มีดีกรีอิสระ n

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

DF: 100 - คะแนนเปอร์เซ็นต์ - การแจกแจงแสดงโดย เช่น

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน

เสื้อ - การแจกแจงนักเรียน

y, z เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ y - มี - การแจกแจง, z - แจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนของหน่วย

คุณค่า - มี ที- การกระจายตัวของนักเรียนที่มีระดับความอิสระ n

DF: 100 - เปอร์เซ็นต์จุด t - ระบุการกระจาย

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน

F - การกระจาย

ตัวแปรสุ่มอิสระ มี - การกระจายด้วยระดับความเป็นอิสระ การกระจายตัวด้วยระดับความเป็นอิสระ ค่าสุ่ม:

,

F คือตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่มีระดับความอิสระและ

,

DF: 100 - จุดเปอร์เซ็นต์:

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน:

การกระจายของจำนวนเงิน

ตัวแปรสุ่มสองตัว

อนุญาต เอ็กซ์(เค)และ ใช่(k)เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วม พี(เอ็กซ์,ย).ค้นหาความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่ม

คงที่ xเรามี y=z–xนั่นเป็นเหตุผล

คงที่ zค่านิยม xรันช่วงเวลาจาก – ถึง + นั่นเป็นเหตุผล

(37)

โดยเหตุใดจึงเห็นได้ว่าในการคำนวณความหนาแน่นที่ต้องการของผลรวม เราต้องทราบความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของข้อต่อดั้งเดิม ถ้า เอ็กซ์(เค)และ ใช่(k)เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความหนาแน่น และตามลำดับ จากนั้น และ

(38)

ตัวอย่าง:ผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวที่เป็นอิสระและกระจายอย่างเท่าเทียมกัน

ปล่อยให้ตัวแปรอิสระสุ่มสองตัวมีความหนาแน่นของรูปแบบ

ในกรณีอื่นๆ ลองหาความหนาแน่นของความน่าจะเป็น p(z) ของผลรวม z= x+ y

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น สำหรับ นั่นคือสำหรับ เพราะฉะนั้น, xไม่เกิน z. นอกจากนี้ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับตามสูตร (38) เราพบว่า

ภาพประกอบ:

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวที่มีการกระจายสม่ำเสมอ

การแปลงแบบสุ่ม

ค่านิยม

อนุญาต เอ็กซ์(ที)- ตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(เอ็กซ์)ปล่อยมันไป ก.(เอ็กซ์)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจริงค่าเดียวของ x. พิจารณากรณีแรกเมื่อฟังก์ชันผกผัน เอ็กซ์(ก.)ยังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องค่าเดียวของ ก.ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(ก.)สอดคล้องกับตัวแปรสุ่ม ก.(x(k)) = ก.(k)สามารถกำหนดได้จากความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(เอ็กซ์)ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(เค)และอนุพันธ์ ดีจี/ดีเอ็กซ์ภายใต้สมมติฐานว่ามีอนุพันธ์อยู่และแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ

(12)

ดังนั้นในขอบเขตจำกัด dg/dx#0

(13)

ใช้สูตรนี้ตามทางด้านขวาแทนที่จะเป็นตัวแปร xทดแทนค่าที่เหมาะสม ก.

พิจารณากรณีที่ฟังก์ชันผกผัน เอ็กซ์(ก.)ถูกต้อง n-ฟังก์ชันมูลค่าของ ก, ที่ไหน nเป็นจำนวนเต็มและค่า n ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน แล้ว

(14)

ตัวอย่าง:

การกระจายตัวของฟังก์ชันฮาร์มอนิก

ฟังก์ชั่นฮาร์มอนิกที่มีแอมพลิจูดคงที่ เอ็กซ์และความถี่ ฉจะเป็นตัวแปรสุ่มถ้าเป็นมุมเฟสเริ่มต้น  =  (ฎ)- ค่าสุ่ม โดยเฉพาะให้ ทีคงที่และเท่าเทียมกัน ที โอและปล่อยให้ตัวแปรสุ่มฮาร์มอนิกอยู่ในรูปแบบ

สมมุติว่า  (ฎ)มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสม่ำเสมอ พี( ) ใจดี

ค้นหาความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(เอ็กซ์)ตัวแปรสุ่ม x(เค)

ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันโดยตรง เอ็กซ์( ) ชัดเจน และฟังก์ชันผกผัน  (เอ็กซ์)ไม่ชัดเจน