Fungsiy = dosaX

Grafik fungsinya adalah sinusoidal.

Bagian gelombang sinus yang tidak berulang disebut gelombang sinus.

Setengah gelombang dari gelombang sinus disebut setengah gelombang dari gelombang sinus (atau lengkungan).

Properti Fungsiy = dosaX:

Untuk memplot fungsi y= dosa X Lebih mudah menggunakan skala berikut:

Pada selembar sel, kami mengambil panjang dua sel sebagai satuan segmen.

pada poros X mari kita ukur panjang π. Pada saat yang sama, untuk kenyamanan, 3,14 akan direpresentasikan sebagai 3 - yaitu, tanpa pecahan. Kemudian pada selembar sel π akan menjadi 6 sel (tiga kali 2 sel). Dan setiap sel akan menerima nama aslinya (dari yang pertama hingga keenam): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Inilah nilai-nilainya X.

Pada sumbu y, tandai 1, yang mencakup dua sel.

Mari buat tabel nilai fungsi menggunakan nilai kita X:

Selanjutnya, mari kita membuat grafik. Anda akan mendapatkan setengah gelombang, titik tertingginya adalah (π / 2; 1). Ini adalah grafik fungsi y= dosa X pada segmen. Mari tambahkan setengah gelombang simetris ke grafik yang dibuat (simetris dengan titik asal, yaitu pada segmen -π). Puncak setengah gelombang ini berada di bawah sumbu x dengan koordinat (-1; -1). Hasilnya adalah gelombang. Ini adalah grafik fungsi y= dosa X pada segmen [-π; π].

Dimungkinkan untuk melanjutkan gelombang dengan membangunnya pada segmen [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], dll. Pada semua segmen ini, grafik fungsinya akan terlihat sama seperti pada segmen [-π; π]. Anda akan mendapatkan garis bergelombang terus menerus dengan gelombang yang sama.

Fungsiy = cosX.

Grafik fungsinya adalah gelombang sinus (kadang-kadang disebut gelombang kosinus).

Properti Fungsiy = cosX:

Fungsiy = mf(X).

Ambil fungsi sebelumnya y= cos X. Seperti yang sudah Anda ketahui, grafiknya adalah gelombang sinus. Jika kita mengalikan kosinus fungsi ini dengan bilangan tertentu m, maka gelombang akan meregang dari sumbu X(atau menyusut, tergantung pada nilai m).
Gelombang baru ini akan menjadi grafik fungsi y = mf(x), di mana m adalah sembarang bilangan real.

Jadi, fungsi y = mf(x) adalah fungsi biasa y = f(x) dikalikan dengan m.

JikaM< 1, то синусоида сжимается к оси X dengan koefisienM. Jikam > 1, maka sinusoidal direntangkan dari sumbuX dengan koefisienM.

Melakukan peregangan atau kompresi, pertama-tama Anda hanya dapat membangun satu setengah gelombang sinusoid, lalu menyelesaikan seluruh grafik.

Fungsiy= F(kx).

Jika fungsi y=mf(X) menyebabkan peregangan sinusoid dari sumbu X atau kompresi ke sumbu X, maka fungsi y = f(kx) mengarah ke ekspansi dari sumbu y atau kompresi ke sumbu y.

Dan k adalah sembarang bilangan real.

Pada 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y dengan koefisienk. Jikak > 1, maka sinusoid dikompresi ke sumbuy dengan koefisienk.

Saat menyusun grafik fungsi ini, pertama-tama Anda dapat membuat satu setengah gelombang sinusoidal, lalu menyelesaikan seluruh grafik dengan menggunakannya.

Fungsiy = tgX.

Grafik Fungsi y=tg X adalah tangentoid.

Cukup membuat sebagian grafik pada interval dari 0 hingga π/2, lalu Anda dapat melanjutkannya secara simetris pada interval dari 0 hingga 3π/2.

Properti Fungsiy = tgX:

Fungsiy = ctgX

Grafik Fungsi y=ctg X juga merupakan tangentoid (kadang-kadang disebut cotangentoid).

Properti Fungsiy = ctgX:

Dalam pelajaran ini, kami akan mempertimbangkan secara rinci fungsi y \u003d sin x, sifat dan grafik utamanya. Di awal pelajaran kita akan memberikan definisi fungsi trigonometri y \u003d sin t pada koordinat lingkaran dan memperhatikan grafik fungsi pada lingkaran dan garis. Mari tunjukkan periodisitas fungsi ini pada grafik dan pertimbangkan sifat utama dari fungsi tersebut. Di akhir pelajaran, kita akan menyelesaikan beberapa soal sederhana menggunakan grafik fungsi dan sifat-sifatnya.

Topik: Fungsi trigonometri

Pelajaran: Fungsi y=sinx, sifat utamanya dan grafik

Saat mempertimbangkan suatu fungsi, penting untuk mengaitkan satu nilai fungsi dengan setiap nilai argumen. Ini hukum korespondensi dan disebut fungsi.

Mari kita definisikan hukum korespondensi untuk .

Setiap bilangan real sesuai dengan satu titik pada lingkaran satuan Titik tersebut memiliki satu ordinat, yang disebut sinus dari bilangan tersebut (Gbr. 1).

Setiap nilai argumen diberi nilai fungsi tunggal.

Properti yang jelas mengikuti dari definisi sinus.

Angka tersebut menunjukkan bahwa Karena adalah ordinat suatu titik pada lingkaran satuan.

Pertimbangkan grafik fungsi. Mari kita mengingat interpretasi geometris dari argumen tersebut. Argumennya adalah sudut pusat diukur dalam radian. Pada sumbu, kita akan memplot bilangan real atau sudut dalam radian, sepanjang sumbu, nilai fungsi yang sesuai.

Misalnya, sudut pada lingkaran satuan sesuai dengan titik pada grafik (Gbr. 2)

Kami mendapatkan grafik fungsi di situs, tetapi mengetahui periode sinus, kami dapat menggambarkan grafik fungsi di seluruh domain definisi (Gbr. 3).

Periode utama dari fungsi tersebut adalah Ini berarti bahwa grafik dapat diperoleh pada suatu segmen dan kemudian berlanjut ke seluruh domain definisi.

Pertimbangkan sifat-sifat fungsi:

1) Domain definisi:

2) Rentang nilai:

3) Fungsi ganjil:

4) Periode positif terkecil:

5) Koordinat titik potong grafik dengan sumbu x:

6) Koordinat titik potong grafik dengan sumbu y:

7) Interval di mana fungsi mengambil nilai positif:

8) Interval di mana fungsi mengambil nilai negatif:

9) Meningkatkan interval:

10) Interval menurun:

11) Poin rendah:

12) Fitur minimum:

13) Poin tinggi:

14) Fitur maksimal:

Kami telah mempertimbangkan sifat-sifat fungsi dan grafiknya. Properti akan berulang kali digunakan dalam memecahkan masalah.

Bibliografi

1. Aljabar dan analisis awal, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku teks untuk lembaga pendidikan (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Aljabar dan analisis awal, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku tugas untuk lembaga pendidikan (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Analisis aljabar dan matematika untuk kelas 10 (buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi matematika mendalam) - M .: Pendidikan, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studi mendalam tentang aljabar dan analisis matematika.-M .: Pendidikan, 1997.

5. Kumpulan soal matematika untuk pelamar ke universitas teknik (di bawah redaksi M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Pelatih aljabar.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tugas dalam Aljabar dan Awal Analisis (panduan untuk siswa kelas 10-11 lembaga pendidikan umum).-M .: Pendidikan, 2003.

8. Karp A.P. Kumpulan soal aljabar dan awal analisis: buku teks. tunjangan untuk 10-11 sel. dengan dalam belajar matematika.-M.: Pendidikan, 2006.

Pekerjaan rumah

Aljabar dan Awal Analisis, Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku tugas untuk lembaga pendidikan (tingkat profil), ed.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Sumber daya web tambahan

3. Portal pendidikan untuk persiapan ujian ().

>>Matematika: Fungsi y \u003d sin x, y \u003d cos x, sifat dan grafiknya

Fungsi y \u003d sin x, y \u003d cos x, properti dan grafiknya

Pada bagian ini, kita membahas beberapa sifat dari fungsi y = sin x, y = cos x dan memplot grafiknya.

1. Fungsi y \u003d sin X.

Di atas, dalam § 20, kami merumuskan aturan yang memungkinkan setiap angka t dikaitkan dengan biaya angka t, yaitu dicirikan fungsi y = sin t. Kami mencatat beberapa propertinya.

Properti dari fungsi u = sint.

Domain definisinya adalah himpunan K dari bilangan real.
Ini mengikuti dari fakta bahwa setiap angka 2 sesuai dengan titik M(1) pada lingkaran angka, yang memiliki ordinat yang terdefinisi dengan baik; ordinat ini adalah cos t.

u = sin t adalah fungsi ganjil.

Ini mengikuti dari fakta bahwa, seperti yang dibuktikan dalam § 19, untuk setiap persamaan
Ini berarti bahwa grafik fungsi u \u003d sin t, seperti grafik fungsi ganjil apa pun, adalah simetris terhadap titik asal dalam sistem koordinat persegi panjang tOi.

Fungsi u = sin t meningkat pada interval
Ini mengikuti fakta bahwa ketika titik bergerak di sepanjang seperempat pertama lingkaran numerik, ordinat secara bertahap meningkat (dari 0 menjadi 1 - lihat Gambar 115), dan ketika titik bergerak di sepanjang seperempat kedua lingkaran numerik, ordinat secara bertahap menurun (dari 1 menjadi 0 - lihat Gambar 115).Gbr. 116).

Fungsi u = sin t dibatasi baik dari bawah maupun dari atas. Ini mengikuti dari fakta bahwa, seperti yang kita lihat di § 19, untuk setiap t pertidaksamaan

(fungsi mencapai nilai ini di sembarang titik formulir (fungsi mencapai nilai ini di sembarang titik formulir
Menggunakan properti yang diperoleh, kami membuat grafik fungsi yang menarik bagi kami. Tapi (perhatian!) daripada u - sin t, kita akan menulis y \u003d sin x (toh kita lebih terbiasa menulis y \u003d f (x), dan bukan u \u003d f (t)). Artinya kita akan membuat grafik dalam sistem koordinat biasa хОу (dan bukan mainan).

Mari kita buat tabel nilai fungsi dengan - sin x:

Komentar.

Berikut adalah salah satu versi asal mula istilah "sinus". Dalam bahasa Latin, sinus berarti tikungan (tali busur).

Grafik yang dibangun sampai batas tertentu membenarkan terminologi ini.

Garis yang berfungsi sebagai grafik fungsi y \u003d sin x disebut sinusoidal. Bagian dari sinusoid, yang ditunjukkan pada Gambar. 118 atau 119, disebut gelombang sinusoidal, dan bagian dari sinusoidal, yang ditunjukkan pada gambar. 117 disebut setengah gelombang atau lengkungan gelombang sinus.

2. Fungsi y = cos x.

Studi tentang fungsi y \u003d cos x dapat dilakukan kira-kira sesuai dengan skema yang sama yang digunakan di atas untuk fungsi y \u003d sin x. Tapi kami akan memilih jalur yang mengarah ke tujuan lebih cepat. Pertama, kami akan membuktikan dua formula yang penting dalam dirinya sendiri (Anda akan melihatnya di sekolah menengah), tetapi sejauh ini hanya memiliki nilai tambahan untuk tujuan kami.

Untuk setiap nilai t, persamaan

Bukti. Misalkan angka t sesuai dengan titik M dari lingkaran numerik n, dan angka * + - ke titik P (Gbr. 124; demi kesederhanaan, kami mengambil titik M pada kuartal pertama). Busur AM dan BP masing-masing sama, dan segitiga siku-siku OKM dan OBP juga sama. Jadi, OK = Ob, MK = Pb. Dari persamaan tersebut dan dari letak segitiga OKM dan OLR dalam sistem koordinat, kami menarik dua kesimpulan:

1) ordinat titik P baik dalam nilai absolut maupun tanda bertepatan dengan absis titik M; itu berarti bahwa

2) absis titik P sama nilainya dengan ordinat titik M, tetapi berbeda tandanya; itu berarti bahwa

Kira-kira penalaran yang sama dilakukan dalam kasus di mana titik M bukan milik kuartal pertama.
Mari kita gunakan rumusnya (ini adalah rumus yang dibuktikan di atas, hanya sebagai pengganti variabel t kita menggunakan variabel x). Apa yang diberikan rumus ini kepada kita? Ini memungkinkan kita untuk menegaskan bahwa fungsinya

identik, sehingga grafiknya sama.
Mari kita plot fungsinya Untuk melakukan ini, mari beralih ke sistem koordinat tambahan dengan titik asal pada suatu titik (garis putus-putus digambar pada Gambar 125). Ikat fungsi y \u003d sin x ke sistem koordinat baru - ini akan menjadi grafik fungsi (Gbr. 125), mis. grafik fungsi y - cos x. Itu, seperti grafik fungsi y \u003d sin x, disebut sinusoid (yang cukup alami).

Properti dari fungsi y = cos x.

y = cos x adalah fungsi genap.

Tahapan konstruksi ditunjukkan pada gambar. 126:

1) kami membuat grafik fungsi y \u003d cos x (lebih tepatnya, satu setengah gelombang);
2) dengan merentangkan grafik yang dibangun dari sumbu x dengan koefisien 0,5, kita mendapatkan satu setengah gelombang dari grafik yang diperlukan;
3) menggunakan setengah gelombang yang dihasilkan, kami membangun seluruh grafik fungsi y \u003d 0,5 cos x.

, Kompetisi "Presentasi untuk pelajaran"

Presentasi untuk pelajaran

Kembali ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Karat besi, tidak menemukan kegunaannya sendiri,
genangan air membusuk atau membeku dalam cuaca dingin,
dan pikiran manusia, tidak menemukan kegunaannya, merana.
Leonardo da Vinci

Teknologi yang digunakan: pembelajaran berbasis masalah, berpikir kritis, komunikasi komunikatif.

Sasaran:

• Pengembangan minat kognitif dalam belajar.
• Mempelajari sifat-sifat fungsi y \u003d sin x.
• Pembentukan keterampilan praktis menyusun grafik fungsi y \u003d sin x berdasarkan materi teori yang dipelajari.

Tugas:

1. Gunakan potensi pengetahuan yang ada tentang sifat-sifat fungsi y \u003d sin x dalam situasi tertentu.

2. Terapkan pembentukan hubungan yang sadar antara model analitik dan geometris dari fungsi y \u003d sin x.

Kembangkan inisiatif, kesiapan dan minat tertentu untuk mencari solusi; kemampuan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ, untuk mempertahankan sudut pandang seseorang.

Untuk mendidik siswa dalam aktivitas kognitif, rasa tanggung jawab, saling menghormati, saling pengertian, saling mendukung, percaya diri; budaya komunikasi.

Selama kelas

Tahap 1. Aktualisasi pengetahuan dasar, motivasi untuk mempelajari materi baru

"Masuk Pelajaran"

Ada 3 pernyataan tertulis di papan tulis:

1. Persamaan trigonometri sin t = a selalu memiliki solusi.
2. Fungsi ganjil dapat dibuat grafiknya menggunakan transformasi simetri terhadap sumbu y.
3. Fungsi trigonometri dapat digambarkan menggunakan satu setengah gelombang utama.

Siswa berdiskusi secara berpasangan: Apakah pernyataan tersebut benar? (1 menit). Hasil pembahasan awal (ya, tidak) kemudian dimasukkan ke dalam tabel pada kolom Sebelum.

Guru menetapkan tujuan dan sasaran pelajaran.

2. Memperbarui pengetahuan (frontal pada model lingkaran trigonometri).

Kami telah bertemu dengan fungsi s = sin t.

1) Nilai apa yang dapat diambil oleh variabel t. Apa ruang lingkup fungsi ini?

2) Dalam interval berapa nilai ekspresi sin t. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi s = sin t.

3) Selesaikan persamaan sin t = 0.

4) Apa yang terjadi pada ordinat titik tersebut saat bergerak sepanjang kuarter pertama? (ordinatnya bertambah). Apa yang terjadi pada ordinat suatu titik saat bergerak sepanjang kuarter kedua? (ordinat secara bertahap menurun). Bagaimana ini berhubungan dengan monotonitas fungsi? (fungsi s = sin t bertambah pada segmen dan berkurang pada segmen ).

5) Mari kita tulis fungsi s = sin t dalam bentuk biasa untuk kita y = sin x (kita akan membuat sistem koordinat xOy biasa) dan menyusun tabel nilai untuk fungsi ini.

Tahap 2. Persepsi, pemahaman, konsolidasi primer, hafalan yang tidak disengaja

Tahap 4. Sistematisasi utama pengetahuan dan metode aktivitas, transfer dan penerapannya dalam situasi baru

6. No.10.18 (b,c)

Tahap 5 Kontrol akhir, koreksi, penilaian dan penilaian diri

7. Kembali ke pernyataan (awal pelajaran), diskusikan menggunakan properti fungsi trigonometri y \u003d sin x, dan isi kolom "Setelah" pada tabel.

8. D / z: butir 10, No.10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Video tutorial "Fungsi y = sinx, sifat dan grafiknya" menyajikan materi visual tentang topik ini, serta komentar tentangnya. Selama demonstrasi, bentuk fungsi, propertinya dipertimbangkan, perilaku pada berbagai segmen bidang koordinat, fitur grafik dijelaskan secara rinci, contoh solusi grafik persamaan trigonometri yang mengandung sinus dijelaskan. Dengan bantuan video pelajaran, guru lebih mudah membentuk konsep siswa tentang fungsi ini, mengajarkan cara menyelesaikan masalah secara grafis.

Pelajaran video menggunakan alat yang memfasilitasi menghafal dan memahami informasi pendidikan. Dalam penyajian grafik dan deskripsi solusi masalah, efek animasi digunakan yang membantu memahami perilaku fungsi, untuk menyajikan kemajuan solusi secara berurutan. Selain itu, pemaparan materi melengkapinya dengan komentar-komentar penting yang menggantikan penjelasan guru. Dengan demikian, bahan ini juga dapat digunakan sebagai alat bantu visual. Dan sebagai bagian mandiri dari pelajaran, bukan penjelasan guru tentang topik baru.

Demonstrasi dimulai dengan memperkenalkan topik pelajaran. Fungsi sinus disajikan, deskripsinya disorot dalam kotak memori - s=sint, di mana argumen t dapat berupa bilangan real apa pun. Deskripsi properti dari fungsi ini dimulai dengan ruang lingkup. Perlu dicatat bahwa domain definisi fungsi adalah seluruh sumbu numerik bilangan real, yaitu D(f)=(- ∞;+∞). Properti kedua adalah keanehan dari fungsi sinus. Siswa diingatkan bahwa sifat ini dipelajari di kelas 9, ketika diketahui bahwa untuk fungsi ganjil berlaku persamaan f(-x)=-f(x). Untuk sinus, konfirmasi keganjilan fungsi ditunjukkan pada lingkaran satuan yang dibagi menjadi empat. Mengetahui tanda apa yang diambil oleh fungsi di bagian yang berbeda dari bidang koordinat, diketahui bahwa untuk argumen dengan tanda yang berlawanan, menggunakan contoh titik L(t) dan N(-t) untuk sinus, kondisi ganjil terpenuhi. Oleh karena itu s=sint adalah fungsi ganjil. Ini berarti grafik fungsi tersebut simetris terhadap titik asal.

Properti ketiga dari sinus menunjukkan interval kenaikan dan penurunan fungsi. Perhatikan bahwa fungsi ini meningkat pada interval, dan menurun pada interval [π/2;π]. Properti ditunjukkan pada gambar, yang menunjukkan lingkaran satuan dan ketika bergerak dari titik A berlawanan arah jarum jam, ordinat bertambah, yaitu nilai fungsi bertambah menjadi π/2. Saat berpindah dari titik B ke C, yaitu saat sudut berubah dari π / 2 menjadi π, nilai ordinatnya berkurang. Pada seperempat lingkaran ketiga, saat berpindah dari titik C ke titik D, ordinatnya berkurang dari 0 menjadi -1, yaitu nilai sinusnya berkurang. Pada kuartal terakhir, saat berpindah dari titik D ke titik A, nilai ordinat bertambah dari -1 menjadi 0. Dengan demikian, kita dapat menarik kesimpulan umum tentang perilaku fungsi tersebut. Layar menampilkan keluaran yang dinaikkan sint pada segmen [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], menurun pada interval [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] untuk sembarang bilangan bulat k.

Properti keempat dari sinus mempertimbangkan batasan fungsi. Perlu dicatat bahwa fungsi sint dibatasi di atas dan di bawah. Siswa diingatkan akan informasi dari aljabar kelas 9 ketika mereka mengenal konsep keterbatasan suatu fungsi. Layar menampilkan kondisi fungsi yang dibatasi dari atas, di mana ada beberapa angka yang pertidaksamaannya f(x)>=M terpenuhi di titik mana pun dari fungsi tersebut. Kami juga mengingat kondisi fungsi yang dibatasi di bawah, yang terdapat m kurang dari setiap titik fungsi. Untuk sint, kondisinya adalah -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Properti kelima mempertimbangkan nilai fungsi terkecil dan terbesar. Pencapaian nilai terkecil -1 pada setiap titik t=-(π/2)+2πk, dan terbesar - pada titik t=(π/2)+2πk dicatat.

Berdasarkan sifat-sifat yang dipertimbangkan, grafik fungsi sint diplot pada interval . Untuk membangun fungsi, nilai tabel sinus dari titik yang sesuai digunakan. Koordinat titik π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π ditandai pada bidang koordinat. Setelah menandai nilai tabel fungsi pada titik-titik ini dan menghubungkannya dengan garis halus, kami membuat grafik.

Untuk memplot sint fungsi pada segmen [-π; π], properti simetri fungsi sehubungan dengan titik asal digunakan. Gambar tersebut menunjukkan bagaimana garis yang diperoleh sebagai hasil konstruksi dipindahkan dengan mulus secara simetris relatif terhadap asal ke segmen [-π; 0].

Dengan menggunakan sifat fungsi sint yang dinyatakan dalam rumus reduksi sin (x + 2π) \u003d sin x, diketahui bahwa setiap 2π grafik sinus berulang. Jadi, pada interval [π; 3π] grafik akan sama seperti pada grafik [-π;π]. Dengan demikian, grafik fungsi ini adalah fragmen berulang [-π; π] di seluruh domain definisi. Secara terpisah, diketahui bahwa grafik fungsi seperti itu disebut sinusoid. Konsep gelombang sinusoid juga diperkenalkan - fragmen grafik yang dibangun di atas segmen [-π; π], dan lengkungan sinusoid yang dibangun di atas segmen tersebut . Fragmen ini ditampilkan lagi untuk dihafal.

Perhatikan bahwa fungsi sint adalah fungsi kontinu di seluruh domain definisi, dan juga bahwa rentang fungsi terletak pada himpunan nilai segmen [-1;1].

Di akhir video tutorial, solusi grafis untuk persamaan sin x \u003d x + π dipertimbangkan. Jelas, solusi grafis dari persamaan tersebut akan menjadi perpotongan grafik fungsi yang diberikan oleh ekspresi di sisi kiri dan fungsi yang diberikan oleh ekspresi di sisi kanan. Untuk mengatasi masalah tersebut, sebuah bidang koordinat dibuat, di mana sinusoid y \u003d sin x yang sesuai diuraikan, dan garis lurus yang sesuai dengan grafik fungsi y \u003d x + π dibuat. Grafik yang dibangun berpotongan pada satu titik В(-π;0). Oleh karena itu, x \u003d -π akan menjadi solusi dari persamaan tersebut.

Pelajaran video "Fungsi y = sinx, sifat-sifatnya dan grafik" akan membantu meningkatkan keefektifan pelajaran matematika tradisional di sekolah. Anda juga dapat menggunakan materi visual saat melakukan pembelajaran jarak jauh. Manual dapat membantu untuk menguasai topik bagi siswa yang membutuhkan kelas tambahan untuk pemahaman materi yang lebih dalam.

INTERPRETASI TEKS:

Topik pelajaran kita adalah "Fungsi y \u003d sin x, properti dan grafiknya."

Sebelumnya kita sudah mengenal fungsi s = sin t, dimana tϵR (es sama dengan sinus dari te, dimana te milik himpunan bilangan real). Mari kita periksa properti dari fungsi ini:

INDIVIDU 1. Domain definisi adalah himpunan bilangan real R (er), yaitu D (f) = (-; +) (de dari ef menyatakan selang waktu dari minus tak hingga hingga tambah tak hingga).

SIFAT 2. Fungsi s = sin t ganjil.

Pada pelajaran di kelas 9, kita belajar bahwa fungsi y \u003d f (x), x ϵX (y sama dengan eff dari x, dimana x milik himpunan x besar) disebut ganjil jika untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan

f (- x) \u003d - f (x) (ef dari minus x sama dengan minus ef dari x).

Dan karena koordinat titik L dan N, yang simetris terhadap sumbu absis, berlawanan, maka sin (- t) = -sint.

Artinya, s \u003d sin t adalah fungsi ganjil dan grafik fungsi s \u003d sin t simetris dengan titik asal dalam sistem koordinat persegi panjang tos(te o es).

Pertimbangkan PROPERTI 3. Pada segmen [ 0; ] (dari nol ke pi dengan dua) fungsi s = sin t bertambah dan berkurang pada ruas [; ](dari pi kali dua ke pi).

Ini terlihat jelas dari gambar: ketika sebuah titik bergerak di sepanjang lingkaran bilangan dari nol ke pi sebanyak dua (dari titik A ke B), ordinat secara bertahap meningkat dari 0 ke 1, dan ketika berpindah dari pi sebanyak dua ke pi (dari titik B ke C), ordinat secara bertahap menurun dari 1 ke 0.

Saat titik bergerak sepanjang kuartal ketiga (dari titik C ke titik D), ordinat titik bergerak berkurang dari nol menjadi minus satu, dan saat bergerak sepanjang kuartal keempat, ordinatnya meningkat dari minus satu menjadi nol. Oleh karena itu, kita dapat menarik kesimpulan umum: fungsi s = sin t bertambah pada ruas tersebut

(dari minus pi sebanyak dua tambah dua puncak menjadi pi sebanyak dua tambah dua puncak), dan berkurang pada interval [; (dari pi kali dua tambah dua pi ka menjadi tiga pi kali dua tambah dua pi ka), dimana

(ka milik himpunan bilangan bulat).

SIFAT 4. Fungsi s = sin t dibatasi dari atas dan bawah.

Dari kelas 9, ingat definisi batasan: fungsi y \u003d f (x) disebut dibatasi dari bawah jika semua nilai fungsi tidak kurang dari beberapa angka M M sehingga untuk sembarang nilai x dari domain fungsi, pertidaksamaan f (x) ≥ M(ef dari x lebih besar dari atau sama dengan em). Fungsi y \u003d f (x) disebut dibatasi dari atas jika semua nilai fungsi tidak lebih besar dari beberapa angka M, yang artinya ada angka M sehingga untuk sembarang nilai x dari domain fungsi, pertidaksamaan f (x) ≤ M(ef dari x kurang dari atau sama dengan em) Suatu fungsi disebut dibatasi jika dibatasi baik dari bawah maupun dari atas.

Mari kita kembali ke fungsi kita: batasan mengikuti fakta bahwa untuk setiap te ketidaksetaraan benar - 1 ≤ sint ≤ 1. (sinus te lebih besar dari atau sama dengan minus satu, tetapi lebih kecil dari atau sama dengan satu).

SIFAT 5. Nilai terkecil dari fungsi sama dengan minus satu dan fungsi tersebut mencapai nilai ini di sembarang titik dalam bentuk t = (te sama dengan minus pi dengan dua ditambah dua puncak, dan nilai terbesar dari fungsi tersebut sama ke satu dan dicapai oleh fungsi di sembarang titik dalam bentuk t = (te sama dengan pi dengan dua ditambah dua pi ka).

Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi s = sin t dilambangkan dengan s min. dan maks. .

Dengan menggunakan properti yang diperoleh, kita akan memplot fungsi y \u003d sin x (y sama dengan sinus x), karena kita lebih mengenal notasi y \u003d f (x), dan bukan s \u003d f (t).

Untuk memulainya, mari kita pilih skala: di sepanjang sumbu ordinat, kita mengambil satu segmen, dua sel, dan di sepanjang sumbu absis, dua sel - ini adalah pi kali tiga (karena ≈ 1). Pertama, mari buat grafik fungsi y \u003d sin x pada segmen tersebut. Kami membutuhkan tabel nilai fungsi pada segmen ini, untuk membangunnya kami akan menggunakan tabel nilai untuk sudut kosinus dan sinus yang sesuai:

Jadi, untuk membangun tabel argumen dan nilai fungsi, perlu diingat itu X(x) adalah bilangan yang masing-masing sama dengan sudut pada selang dari nol sampai pi, dan pada(Yunani) Nilai sinus dari sudut ini.

Mari tandai titik-titik ini pada bidang koordinat. Menurut PROPERTI 3 pada segmen

[0; ] (dari nol ke pi dengan dua) fungsi y \u003d sin x meningkat, tetapi menurun pada segmen [; ] (dari pi dengan dua ke pi) dan menghubungkan titik-titik yang diperoleh dengan garis halus, kita mendapatkan bagian dari grafik (Gbr. 1)

Dengan menggunakan simetri grafik fungsi ganjil sehubungan dengan asalnya, kami memperoleh grafik fungsi y \u003d sin x sudah ada di segmen tersebut

[-π; π ] (dari minus pi ke pi) (Gbr. 2)

Ingatlah bahwa sin(x + 2π)= sinx

(sinus x ditambah dua pi sama dengan sinus x). Ini berarti bahwa pada titik x + 2π fungsi y = sin x memiliki nilai yang sama seperti pada titik x. Dan sejak (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x ditambah dua pi milik segmen dari pi ke tiga pi), jika xϵ[-π; π ], lalu pada interval [π; 3π ] grafik fungsi terlihat sama persis seperti pada interval [-π; π]. Demikian pula, pada segmen , , [-3π; -π] dan seterusnya, grafik fungsi y \u003d sin x terlihat sama seperti pada ruas

[-π; π]. (Gbr. 3)

Garis yang merupakan grafik fungsi y \u003d sin x disebut sinusoidal. Bagian dari gelombang sinus yang ditunjukkan pada Gambar 2 disebut gelombang sinus, dan pada Gambar 1 disebut lengkungan gelombang sinus atau setengah gelombang.

Dengan menggunakan grafik yang dibuat, kami akan menuliskan beberapa properti lagi dari fungsi ini.

SIFAT 6. Fungsi y \u003d sin x merupakan fungsi kontinu. Ini berarti bahwa grafik fungsi tersebut kontinu, yaitu tidak memiliki lompatan dan tusukan.

PROPERTI 7. Rentang fungsi y \u003d sin x adalah segmen [-1; 1] (dari minus satu ke satu) atau dapat ditulis sebagai berikut: (e dari ef sama dengan ruas dari minus satu ke satu).

Pertimbangkan sebuah CONTOH. Selesaikan secara grafis persamaan sin x \u003d x + π (sinus x sama dengan x ditambah pi).

Larutan. Mari kita buat grafik fungsi y= dosa X Dan y = x + π.

Grafik fungsi y \u003d sin x adalah sinusoidal.

y \u003d x + π adalah fungsi linier yang grafiknya berupa garis lurus yang melewati titik-titik dengan koordinat (0; π) dan (- π; 0).

Grafik yang dibangun memiliki satu titik perpotongan - titik B (- π; 0) (dengan koordinat dikurangi pi, nol). Artinya persamaan ini hanya memiliki satu akar - absis dari titik B - -π. Menjawab: X = - π.