Funkcijay = grēksx

Funkcijas grafiks ir sinusoīds.

Sinusoidālā viļņa pilnu neatkārtojamo daļu sauc par sinusoidālo vilni.

Sinusoidālā viļņa pusvilni sauc par sinusoidālā viļņa (vai arkas) pusvilni.

Funkciju īpašībasy = grēksx:

Lai attēlotu funkciju y= grēks x Ir ērti izmantot šādus svarus:

Uz lapas šūnā mēs ņemam divu šūnu garumu kā segmenta vienību.

uz ass x izmērīsim garumu π. Tajā pašā laikā ērtības labad 3,14 tiks attēlots kā 3 - tas ir, bez daļskaitļa. Tad uz lapas šūnā π būs 6 šūnas (trīs reizes 2 šūnas). Un katra šūna saņems savu dabisko nosaukumu (no pirmās līdz sestajai): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Tās ir vērtības x.

Uz y ass atzīmējiet 1, kas ietver divas šūnas.

Izmantojot mūsu vērtības, izveidosim funkciju vērtību tabulu x:

Tālāk izveidosim diagrammu. Jūs iegūsit pusviļņu, kura augstākais punkts ir (π / 2; 1). Šis ir funkcijas grafiks y= grēks x segmentā. Konstruētajam grafam pievienosim simetrisku pusviļņu (simetriski attiecībā uz izcelsmi, tas ir, uz segmentu -π). Šī pusviļņa virsotne atrodas zem x ass ar koordinātām (-1; -1). Rezultāts ir vilnis. Šis ir funkcijas grafiks y= grēks x uz segmenta [-π; π].

Vilni var turpināt konstruējot uz segmenta [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] utt. Visos šajos segmentos funkcijas grafiks izskatīsies tāpat kā segmentā [-π; π]. Jūs iegūsit nepārtrauktu viļņotu līniju ar tādiem pašiem viļņiem.

Funkcijay = cosx.

Funkcijas grafiks ir sinusa vilnis (dažreiz saukts par kosinusa vilni).

Funkciju īpašībasy = cosx:

Funkcijay = mf(x).

Paņemiet iepriekšējo funkciju y= cos x. Kā jūs jau zināt, tā grafiks ir sinusoidāls vilnis. Ja šīs funkcijas kosinusu reizinām ar noteiktu skaitli m, tad vilnis stiepsies no ass x(vai sarukt, atkarībā no m vērtības).
Šis jaunais vilnis būs funkcijas y = mf(x) grafiks, kur m ir jebkurš reāls skaitlis.

Tādējādi funkcija y = mf(x) ir parastā funkcija y = f(x), kas reizināta ar m.

Jam< 1, то синусоида сжимается к оси x pēc koeficientam. Jam > 1, tad sinusoīds tiek izstiepts no assx pēc koeficientam.

Veicot stiepšanu vai saspiešanu, vispirms varat izveidot tikai vienu sinusoīda pusviļņu un pēc tam pabeigt visu grafiku.

Funkcijay= f(kx).

Ja funkcija y=mf(x) noved pie sinusoīda stiepšanās no ass x vai saspiešana uz asi x, tad funkcija y = f(kx) noved pie izplešanās no ass y vai saspiešana uz asi y.

Un k ir jebkurš reāls skaitlis.

0< k< 1 синусоида растягивается от оси y pēc koeficientak. Jak > 1, tad sinusoīds tiek saspiests līdz asijy pēc koeficientak.

Veidojot šīs funkcijas grafiku, vispirms varat izveidot vienu sinusoīda pusviļņu un pēc tam pabeigt visu grafiku, izmantojot to.

Funkcijay = tgx.

Funkciju grafiks y=tg x ir tangentoīds.

Pietiek izveidot grafa daļu uz intervāla no 0 līdz π/2, un tad to var turpināt simetriski intervālā no 0 līdz 3π/2.

Funkciju īpašībasy = tgx:

Funkcijay = ctgx

Funkciju grafiks y=ctg x ir arī tangentoīds (dažreiz saukts par kotangentoīdu).

Funkciju īpašībasy = ctgx:

Šajā nodarbībā mēs detalizēti aplūkosim funkciju y \u003d sin x, tās galvenās īpašības un grafiku. Nodarbības sākumā mēs sniegsim trigonometriskās funkcijas y \u003d sin t definīciju uz koordinātu apļa un ņemsim vērā funkcijas grafiku uz apļa un taisnes. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim dažas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.

Tēma: Trigonometriskās funkcijas

Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās galvenās īpašības un grafiks

Apsverot funkciju, ir svarīgi saistīt vienu funkcijas vērtību ar katru argumenta vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.

Definēsim korespondences likumu priekš .

Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienību apļa.Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).

Katrai argumenta vērtībai tiek piešķirta viena funkcijas vērtība.

Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.

Attēlā redzams, ka jo ir vienības apļa punkta ordināta.

Apsveriet funkciju grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Uz ass mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi, atbilstošās funkcijas vērtības.

Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)

Mēs saņēmām funkcijas grafiku vietnē, bet, zinot sinusa periodu, varam attēlot funkcijas grafiku visā definīcijas jomā (3. att.).

Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.

Apsveriet funkcijas īpašības:

1) Definīcijas joma:

2) Vērtību diapazons:

3) Funkcija nepāra:

4) Mazākais pozitīvais periods:

5) Grafika krustošanās punktu koordinātas ar x asi:

6) Grafika krustošanās punkta koordinātas ar y asi:

7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:

8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:

9) Intervālu palielināšana:

10) Dilstoši intervāli:

11) Zemākie punkti:

12) Minimālās funkcijas:

13) Augstākie punkti:

14) Maksimālās iespējas:

Mēs esam apsvēruši funkcijas un tās grafika īpašības. Rekvizīti tiks atkārtoti izmantoti problēmu risināšanā.

Bibliogrāfija

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi) - M .: Izglītība, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināts algebras un matemātiskās analīzes pētījums.-M .: Education, 1997.

5. Matemātikas uzdevumu krājums reflektantiem uz tehniskajām augstskolām (M.I.Skanavi redakcijā).-M.: Augstskola, 1992.g.

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais treneris.-K.: A.S.K., 1997.g.

7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Uzdevumi algebrā un analīzes pirmsākumi (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klašu skolēniem).-M .: Izglītība, 2003.g.

8. Karp A.P. Algebras uzdevumu krājums un analīzes sākums: mācību grāmata. pabalsts 10-11 šūnām. ar dziļu pētījums matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

Mājasdarbs

Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), izd.

A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Papildu tīmekļa resursi

3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().

>>Matemātika: funkcijas y \u003d sin x, y \u003d cos x, to īpašības un grafiki

Funkcijas y \u003d sin x, y \u003d cos x, to īpašības un grafiki

Šajā sadaļā mēs aplūkojam dažas funkciju y = sin x, y = cos x īpašības un uzzīmējam to grafikus.

1. Funkcija y \u003d sin X.

Iepriekš, 20. paragrāfā, mēs formulējām noteikumu, kas ļauj katru skaitli t saistīt ar skaitli cos t, t.i. raksturoja funkciju y = sin t. Mēs atzīmējam dažas tās īpašības.

Funkcijas u = sint īpašības.

Definīcijas apgabals ir reālo skaitļu kopa K.
Tas izriet no fakta, ka jebkurš skaitlis 2 atbilst punktam M(1) uz skaitļu apļa, kuram ir precīzi noteikta ordināta; šī ordināta ir cos t.

u = sin t ir nepāra funkcija.

Tas izriet no tā, ka, kā tika pierādīts 19. pantā, jebkurai t vienlīdzībai
Tas nozīmē, ka funkcijas u \u003d sin t grafiks, tāpat kā jebkuras nepāra funkcijas grafiks, ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi taisnstūra koordinātu sistēmā tOi.

Funkcija u = sin t palielinās intervālā
Tas izriet no tā, ka, punktam pārvietojoties pa skaitliskā apļa pirmo ceturtdaļu, ordināta pakāpeniski palielinās (no 0 līdz 1 - sk. 115. att.), un, punktam pārvietojoties pa skaitliskā apļa otro ceturtdaļu, ordināta pakāpeniski samazinās (no 1 līdz 0 – skat. 115. att.). 116. att.).

Funkcija u = sin t ir ierobežota gan no apakšas, gan no augšas. Tas izriet no tā, ka, kā mēs redzējām 19.§, jebkurai t nevienlīdzībai

(funkcija sasniedz šo vērtību jebkurā formas punktā (funkcija sasniedz šo vērtību jebkurā formas punktā
Izmantojot iegūtās īpašības, mēs izveidojam mums interesējošās funkcijas grafiku. Bet (uzmanību!) u - sin t vietā mēs rakstīsim y \u003d sin x (galu galā mēs esam vairāk pieraduši rakstīt y \u003d f (x), nevis u \u003d f (t)). Tas nozīmē, ka mēs veidosim grafiku parastajā koordinātu sistēmā хОу (un nevis tOy).

Izveidosim funkciju vērtību tabulu, izmantojot - sin x:

komentēt.

Šeit ir viena no termina "sine" izcelsmes versijām. Latīņu valodā sinus nozīmē saliekt (bowstring).

Izveidotais grafiks zināmā mērā attaisno šo terminoloģiju.

Līniju, kas kalpo kā funkcijas y \u003d sin x grafiks, sauc par sinusoīdu. Tā sinusoīda daļa, kas parādīta attēlā. 118 vai 119, sauc par sinusoīda vilni, un to sinusoīda daļu, kas parādīta att. 117 sauc par pusviļņu vai sinusoidālā viļņa arku.

2. Funkcija y = cos x.

Funkcijas y \u003d cos x izpēti varētu veikt aptuveni saskaņā ar to pašu shēmu, kas tika izmantota iepriekš funkcijai y \u003d sin x. Bet mēs izvēlēsimies ceļu, kas ātrāk ved uz mērķi. Pirmkārt, mēs pierādīsim divas formulas, kas pašas par sevi ir svarīgas (to jūs redzēsiet vidusskolā), bet līdz šim tām ir tikai palīgvērtība mūsu mērķiem.

Jebkurai t vērtībai vienādības

Pierādījums. Lai skaitlis t atbilst skaitliskā n apļa punktam M, bet skaitlis * + - punktam P (124. att.; vienkāršības labad punktu M ņēmām pirmajā ceturksnī). Loki AM un BP ir attiecīgi vienādi, un arī taisnleņķa trīsstūri OKM un OBP ir vienādi. Tādējādi O K = Ob, MK = Pb. No šīm vienādībām un trīsstūru OKM un OLR atrašanās vietas koordinātu sistēmā mēs izdarām divus secinājumus:

1) punkta P ordināta gan absolūtā vērtībā, gan zīmē sakrīt ar punkta M abscisi; tas nozīmē, ka

2) punkta P abscise pēc absolūtās vērtības ir vienāda ar punkta M ordinātu, bet atšķiras no tās pēc zīmes; tas nozīmē, ka

Apmēram tāda pati argumentācija tiek veikta gadījumos, kad punkts M nepieder pirmajai ceturtdaļai.
Izmantosim formulu (šī ir iepriekš pierādītā formula, tikai mainīgā t vietā izmantojam mainīgo x). Ko šī formula mums dod? Tas ļauj mums apgalvot, ka funkcijas

ir identiski, tāpēc to grafiki ir vienādi.
Uzzīmēsim funkciju Lai to izdarītu, pārejam uz palīgkoordinātu sistēmu ar sākumpunktu kādā punktā (punktētā līnija novilkta 125. att.). Saistīsim funkciju y \u003d sin x jaunajai koordinātu sistēmai - tas būs funkcijas grafiks (125. att.), t.i. funkcijas y - cos x grafiks. To, tāpat kā funkcijas y \u003d sin x grafiku, sauc par sinusoīdu (kas ir diezgan dabiski).

Funkcijas y = cos x īpašības.

y = cos x ir pāra funkcija.

Būvniecības posmi ir parādīti attēlā. 126:

1) mēs izveidojam funkcijas y \u003d cos x grafiku (precīzāk, vienu pusviļņu);
2) izstiepjot konstruēto grafiku no x ass ar koeficientu 0,5, iegūstam vienu vajadzīgā grafa pusviļņu;
3) izmantojot iegūto pusviļņu, mēs izveidojam visu funkcijas y \u003d 0,5 cos x grafiku.

, Konkurss "Prezentācija nodarbībai"

Prezentācija nodarbībai

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Dzelzs rūsē, neatrodot sev pielietojumu,
stāvošs ūdens aukstumā pūst vai sasalst,
un cilvēka prāts, neatrodot sev pielietojumu, nīkuļo.
Leonardo da Vinči

Izmantotās tehnoloģijas: problēmmācība, kritiskā domāšana, komunikatīva komunikācija.

Mērķi:

• Kognitīvās intereses par mācīšanos attīstība.
• Funkcijas y \u003d sin x īpašību izpēte.
• Praktisko iemaņu veidošana funkcijas y \u003d sin x grafika konstruēšanai, pamatojoties uz pētīto teorētisko materiālu.

Uzdevumi:

1. Izmantojiet esošo zināšanu potenciālu par funkcijas y \u003d sin x īpašībām konkrētās situācijās.

2. Pielietojiet apzinātu saikņu izveidi starp funkcijas y \u003d sin x analītiskajiem un ģeometriskajiem modeļiem.

Attīstīt iniciatīvu, zināmu gatavību un interesi rast risinājumu; spēja pieņemt lēmumus, neapstāties pie tā, aizstāvēt savu viedokli.

Izglītot skolēnus izziņas darbībā, atbildības sajūtu, cieņu vienam pret otru, savstarpējo sapratni, savstarpēju atbalstu, pašapziņu; komunikācijas kultūra.

Nodarbību laikā

1. posms. Pamatzināšanu aktualizēšana, motivācija jauna materiāla apguvei

"Ieraksts nodarbībā"

Uz tāfeles ir uzrakstīti 3 apgalvojumi:

1. Trigonometriskajam vienādojumam sin t = a vienmēr ir risinājumi.
2. Nepāra funkciju var grafiski attēlot, izmantojot simetrijas transformāciju ap y asi.
3. Trigonometrisko funkciju var attēlot, izmantojot vienu galveno pusviļņu.

Skolēni pāros pārrunā: vai apgalvojumi ir patiesi? (1 minūte). Sākotnējās diskusijas rezultāti (jā, nē) tiek ievadīti tabulā ailē "Pirms".

Skolotājs nosaka stundas mērķus un uzdevumus.

2. Zināšanu papildināšana (frontāli uz trigonometriskā apļa modeļa).

Mēs jau esam tikušies ar funkciju s = sin t.

1) Kādas vērtības var iegūt mainīgais t. Kāda ir šīs funkcijas darbības joma?

2) Kādā intervālā ir izteiksmes sin t vērtības. Atrodiet funkcijas s = sin t lielāko un mazāko vērtību.

3) Atrisiniet vienādojumu sin t = 0.

4) Kas notiek ar punkta ordinātu, pārvietojoties pa pirmo ceturtdaļu? (ordinātas palielinās). Kas notiek ar punkta ordinātu, kad tā pārvietojas otrajā ceturtdaļā? (ordinātas pakāpeniski samazinās). Kā tas ir saistīts ar funkcijas monotonitāti? (funkcija s = sin t segmentā palielinās un segmentā samazinās).

5) Uzrakstīsim funkciju s = sin t mums parastajā formā y = sin x (veidosim parastajā xOy koordinātu sistēmā) un sastādīsim šīs funkcijas vērtību tabulu.

2. posms. Uztvere, izpratne, primārā nostiprināšanās, piespiedu iegaumēšana

4. posms. Primārā zināšanu un darbības metožu sistematizēšana, to pārnese un pielietošana jaunās situācijās

6. Nr. 10.18 (b, c)

5. posms Noslēguma kontrole, korekcija, novērtēšana un pašvērtējums

7. Mēs atgriežamies pie apgalvojumiem (nodarbības sākuma), apspriežam, izmantojot trigonometriskās funkcijas y \u003d sin x īpašības, un aizpildām tabulas kolonnu "Pēc".

8. D/z: 10. pozīcija, 10.7. a), 10.8. b), 10.11. b), 10.16. a)

Video pamācībā "Funkcija y = sinx, tās īpašības un grafiks" ir sniegts vizuālais materiāls par šo tēmu, kā arī komentāri par to. Demonstrācijas laikā tiek apskatīta funkcijas forma, tās īpašības, detalizēti aprakstīta uzvedība dažādos koordinātu plaknes segmentos, grafa pazīmes, aprakstīts sinusu saturošu trigonometrisko vienādojumu grafiskā risinājuma piemērs. Ar video nodarbības palīdzību skolotājam ir vieglāk veidot skolēna priekšstatu par šo funkciju, iemācīt grafiski risināt problēmas.

Video nodarbībā tiek izmantoti rīki, kas atvieglo izglītojošas informācijas iegaumēšanu un izpratni. Grafiku prezentācijā un uzdevumu risinājuma aprakstā tiek izmantoti animācijas efekti, kas palīdz izprast funkcijas uzvedību, secīgi prezentēt risinājuma gaitu. Tāpat materiāla izrunāšanās to papildina ar svarīgiem komentāriem, kas aizstāj skolotāja skaidrojumu. Tādējādi šo materiālu var izmantot arī kā uzskates līdzekli. Un kā patstāvīga stundas daļa skolotāja skaidrojuma vietā par jaunu tēmu.

Demonstrācija sākas ar iepazīšanos ar nodarbības tēmu. Tiek parādīta sinusa funkcija, kuras apraksts ir iezīmēts atmiņas lodziņā - s=sint, kurā arguments t var būt jebkurš reāls skaitlis. Šīs funkcijas īpašību apraksts sākas ar darbības jomu. Jāatzīmē, ka funkcijas definīcijas apgabals ir visa reālo skaitļu ass, tas ir, D(f)=(- ∞;+∞). Otra īpašība ir sinusa funkcijas dīvainība. Skolēniem jāatgādina, ka šī īpašība tika pētīta 9. klasē, kad tika konstatēts, ka nepāra funkcijai pastāv vienādība f(-x)=-f(x). Sinusam funkcijas nepāra apstiprinājums tiek demonstrēts uz vienības apļa, kas sadalīts ceturtdaļās. Zinot, kādu zīmi funkcija ieņem dažādās koordinātu plaknes ceturtdaļās, jāatzīmē, ka argumentiem ar pretējām zīmēm, izmantojot sinusa punktu L(t) un N(-t) piemēru, nepāra nosacījums ir izpildīts. Tāpēc s=sint ir nepāra funkcija. Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Trešā sinusa īpašība parāda funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus. Tas norāda, ka šī funkcija palielinās intervālā un samazinās intervālā [π/2;π]. Īpašība ir parādīta attēlā, kas parāda vienības apli un, virzoties no punkta A pretēji pulksteņrādītāja virzienam, ordināta palielinās, tas ir, funkcijas vērtība palielinās līdz π/2. Pārejot no punkta B uz C, tas ir, kad leņķis mainās no π / 2 uz π, ordinātu vērtība samazinās. Apļa trešajā ceturksnī, pārejot no punkta C uz punktu D, ordināta samazinās no 0 līdz -1, tas ir, sinusa vērtība samazinās. Pēdējā ceturksnī, pārejot no punkta D uz punktu A, ordinātu vērtība palielinās no -1 līdz 0. Tādējādi varam izdarīt vispārīgu secinājumu par funkcijas uzvedību. Ekrānā tiek parādīta izvade, kas sint palielinās segmentā [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], samazinoties intervālā [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] jebkuram veselam skaitlim k.

Sinusa ceturtā īpašība ņem vērā funkcijas robežu. Jāatzīmē, ka sint funkcija ir ierobežota gan augšā, gan apakšā. Iepazīstoties ar funkcijas ierobežotības jēdzienu, skolēniem tiek atgādināta informācija no 9. klases algebras. Ekrānā tiek parādīts no augšas ierobežotas funkcijas nosacījums, kuram ir kāds skaitlis, kuram jebkurā funkcijas punktā ir izpildīta nevienādība f(x)>=M. Mēs arī atgādinām zemāk ierobežotas funkcijas nosacījumu, ja pastāv skaitlis m, kas ir mazāks par katru funkcijas punktu. Sintam nosacījums ir -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Piektais īpašums ņem vērā mazākās un lielākās funkcijas vērtības. Tiek atzīmēts mazākās vērtības -1 sasniegšana katrā punktā t=-(π/2)+2πk, bet lielākā - punktos t=(π/2)+2πk.

Pamatojoties uz aplūkotajām īpašībām, sint funkcijas grafiks tiek uzzīmēts uz intervāla . Lai izveidotu funkciju, tiek izmantotas atbilstošo punktu sinusa tabulas vērtības. Koordinātu plaknē ir atzīmētas punktu π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π koordinātas. Šajos punktos atzīmējot funkcijas tabulas vērtības un savienojot tās ar gludu līniju, mēs izveidojam grafiku.

Funkcijas sint attēlošanai segmentā [-π; π] tiek izmantota funkcijas simetrijas īpašība attiecībā pret izcelsmi. Attēlā parādīts, kā konstruēšanas rezultātā iegūtā līnija vienmērīgi tiek simetriski pārnesta uz nogriezni [-π; 0].

Izmantojot sint funkcijas īpašību, kas izteikta redukcijas formulā sin (x + 2π) \u003d sin x, tiek atzīmēts, ka sinusa grafiks atkārtojas ik pēc 2π. Tādējādi uz intervāla [π; 3π] grafiks būs tāds pats kā uz [-π;π]. Tādējādi šīs funkcijas grafiks ir atkārtoti fragmenti [-π; π] visā definīcijas jomā. Atsevišķi jāatzīmē, ka šādu funkciju grafiku sauc par sinusoīdu. Tiek ieviests arī sinusoidālā viļņa jēdziens - uz segmenta [-π; π] uzbūvēta grafa fragments un uz segmenta uzbūvēta sinusoidāla arka . Šie fragmenti atkal tiek parādīti iegaumēšanai.

Jāatzīmē, ka sint funkcija ir nepārtraukta funkcija visā definīcijas jomā, kā arī tas, ka funkcijas diapazons atrodas segmenta vērtību kopā [-1;1].

Video pamācības beigās tiek apskatīts vienādojuma sin x \u003d x + π grafisks risinājums. Acīmredzot vienādojuma grafiskais risinājums būs kreisās puses izteiksmes dotās funkcijas grafika un labās puses izteiksmes dotās funkcijas grafika krustpunkts. Lai atrisinātu problēmu, tiek konstruēta koordinātu plakne, uz kuras ir iezīmēta atbilstošā sinusoīda y \u003d sin x, un tiek konstruēta taisne, kas atbilst funkcijas y \u003d x + π grafikam. Konstruētie grafiki krustojas vienā punktā В(-π;0). Tāpēc x \u003d - π būs vienādojuma risinājums.

Video nodarbība "Funkcija y = sinx, tās īpašības un grafiks" palīdzēs paaugstināt tradicionālās matemātikas stundas stundas efektivitāti skolā. Veicot tālmācību, varat izmantot arī vizuālo materiālu. Rokasgrāmata var palīdzēt apgūt tēmu skolēniem, kuriem nepieciešamas papildu nodarbības materiāla dziļākai izpratnei.

TEKSTA INTERPRETĀCIJA:

Mūsu nodarbības tēma ir "Funkcija y \u003d sin x, tās īpašības un grafiks".

Iepriekš mēs jau iepazināmies ar funkciju s = sin t, kur tϵR (es ir vienāds ar te sinusu, kur te pieder reālo skaitļu kopai). Apskatīsim šīs funkcijas īpašības:

INDIVIDUĀLS 1. Definīcijas apgabals ir reālu skaitļu kopa R (er), tas ir, D (f) = (-; +) (de no ef apzīmē intervālu no mīnus bezgalības līdz plus bezgalībai).

ĪPAŠĪBA 2. Funkcija s = sin t ir nepāra.

9. klases stundās uzzinājām, ka funkcija y \u003d f (x), x ϵX (y ir vienāds ar eff no x, kur x pieder pie kopas x ir liels) tiek saukta par nepāra, ja jebkurai vērtībai x no kopa X vienādība

f (- x) \u003d - f (x) (ef no mīnus x ir vienāds ar mīnus ef no x).

Un tā kā punktu L un N ordinātas, kas ir simetriskas pret abscisu asi, ir pretējas, tad sin (- t) = -sint.

Tas ir, s \u003d sin t ir nepāra funkcija, un funkcijas s \u003d sin t grafiks ir simetrisks pret sākumu taisnstūra koordinātu sistēmā tos(te o es).

Apsveriet ĪPAŠUMU 3. Segmentā [ 0; ] (no nulles līdz pi par diviem) funkcija s = sin t palielinās un samazinās intervālā [; ] (no pi ar diviem līdz pi).

Tas ir skaidri redzams no attēliem: kad punkts pārvietojas pa skaitļa apli no nulles uz pi par diviem (no punkta A uz B), ordināta pakāpeniski palielinās no 0 līdz 1, un, pārvietojoties no pi par diviem uz pi (no punkts B līdz C), ordinātas pakāpeniski samazinās no 1 līdz 0.

Punktam pārvietojoties pa trešo ceturtdaļu (no punkta C uz punktu D), kustīgā punkta ordināta samazinās no nulles līdz mīnus viens, savukārt, pārvietojoties pa ceturto ceturksni, ordināta palielinās no mīnus viena līdz nullei. Tāpēc mēs varam izdarīt vispārīgu secinājumu: funkcija s = sin t palielinās intervālā

(no mīnus pī par diviem plus diviem maksimumiem līdz pī par diviem plus diviem pīķiem), un samazinās segmentā [; (no pi pa divi plus divi pi ka līdz trīs pi pa divi plus divi pi ka), kur

(ka pieder veselu skaitļu kopai).

ĪPAŠĪBA 4. Funkcija s = sin t ir ierobežota no augšas un apakšas.

No 9. klases kursa atcerieties ierobežotības definīciju: funkciju y \u003d f (x) sauc par ierobežotu no apakšas, ja visas funkcijas vērtības nav mazākas par kādu skaitli m m tā, ka jebkurai vērtībai x no funkcijas domēna nevienādība f (x) ≥ m(ef no x ir lielāks vai vienāds ar em). Funkciju y \u003d f (x) sauc par ierobežotu no augšas, ja visas funkcijas vērtības nav lielākas par kādu skaitli M, kas nozīmē, ka ir skaitlis M tā, ka jebkurai vērtībai x no funkcijas domēna nevienādība f (x) ≤ M(ef no x ir mazāks vai vienāds ar em) Funkciju sauc par ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan no apakšas, gan no augšas.

Atgriezīsimies pie mūsu funkcijas: robeža izriet no tā, ka jebkurai te nevienādība ir patiesa - 1 ≤ sint ≤ 1. (te sinuss ir lielāks vai vienāds ar mīnus viens, bet mazāks vai vienāds ar vienu).

ĪPAŠĪBA 5. Funkcijas mazākā vērtība ir vienāda ar mīnus viens, un funkcija sasniedz šo vērtību jebkurā formas t = punktā (te ir vienāds ar mīnus pi ar diviem plus diviem maksimumiem, un funkcijas lielākā vērtība ir vienāda uz vienu un ar funkciju sasniedz jebkurā formas t = punktā (te ir vienāds ar pi ar divi plus divi pi ka).

Funkcijas s = sin t lielākā un mazākā vērtība apzīmē s min. un s maks. .

Izmantojot iegūtās īpašības, mēs uzzīmēsim funkciju y \u003d sin x (y ir vienāds ar sinusu x), jo mēs esam labāk pazīstami ar apzīmējumu y \u003d f (x), nevis s \u003d f (t).

Sākumā izvēlēsimies mērogu: pa ordinātu asi ņemam vienu segmentu, divas šūnas un pa abscisu asi divas šūnas - tas ir pi ar trīs (jo ≈ 1). Vispirms segmentā izveidosim funkcijas y \u003d sin x grafiku. Mums ir nepieciešama šī segmenta funkciju vērtību tabula, lai to izveidotu, mēs izmantosim vērtību tabulu attiecīgajiem kosinusa un sinusa leņķiem:

Tādējādi, lai izveidotu argumentu un funkciju vērtību tabulu, tas ir jāatceras X(x) ir skaitlis, kas attiecīgi vienāds ar leņķi intervālā no nulles līdz pi, un plkst(grieķu val.) Šī leņķa sinusa vērtība.

Atzīmēsim šos punktus koordinātu plaknē. Saskaņā ar ĪPAŠUMU 3 segmentā

[0; ] (no nulles līdz pi par diviem) funkcija y \u003d sin x palielinās, bet samazinās segmentā [; ] (no pi pa diviem uz pi) un savienojot iegūtos punktus ar gludu līniju, iegūstam daļu no grafika.(1. att.)

Izmantojot nepāra funkcijas grafika simetriju attiecībā pret izcelsmi, mēs iegūstam funkcijas y \u003d sin x grafiku jau segmentā

[-π; π ] (no mīnus pi līdz pi). (2. att.)

Atcerieties, ka sin(x + 2π)= sinx

(sinuss no x plus divi pi ir vienāds ar x sinusu). Tas nozīmē, ka punktā x + 2π funkcijai y = sin x ir tāda pati vērtība kā punktā x. Un tā kā (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus divi pi pieder segmentam no pi līdz trim pi), ja xϵ[-π; π ], tad uz intervāla [π; 3π ] funkcijas grafiks izskatās tieši tāds pats kā intervālā [-π; π]. Līdzīgi uz segmentiem , , [-3π; -π] un tā tālāk, funkcijas y \u003d sin x grafiks izskatās tāpat kā segmentā

[-π; π ]. (3. att.)

Līniju, kas ir funkcijas y \u003d sin x grafiks, sauc par sinusoīdu. 2. attēlā redzamā sinusoidālā viļņa daļa tiek saukta par sinusoidālo vilni, un 1. attēlā to sauc par sinusoidālā viļņa vai pusviļņa arku.

Izmantojot izveidoto grafiku, mēs pierakstīsim vēl dažas šīs funkcijas īpašības.

ĪPAŠĪBA 6. Funkcija y \u003d sin x ir nepārtraukta funkcija. Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir nepārtraukts, tas ir, tajā nav lēcienu un punkciju.

ĪPAŠĪBA 7. Funkcijas y \u003d sin x diapazons ir segments [-1; 1] (no mīnus viens līdz vienam) vai to var uzrakstīt šādi: (e no ef ir vienāds ar segmentu no mīnus viens līdz viens).

Apsveriet PIEMĒRU. Grafiski atrisiniet vienādojumu sin x \u003d x + π (sinuss x ir vienāds ar x plus pi).

Risinājums. Veidosim funkciju grafikus y= grēks X Un y = x + π.

Funkcijas y \u003d sin x grafiks ir sinusoīds.

y \u003d x + π ir lineāra funkcija, kuras grafiks ir taisna līnija, kas iet caur punktiem ar koordinātām (0; π) un (- π; 0).

Konstruētajiem grafikiem ir viens krustošanās punkts - punkts B (- π; 0) (būt ar koordinātēm mīnus pi, nulle). Tas nozīmē, ka šim vienādojumam ir tikai viena sakne - punkta B abscisa - -π. Atbilde: X = - π.