1) c+d ≤ z ≤ a+d. Tad

2) a+d ≤ z ≤ b+c. Tad

3) b+c ≤ z ≤ a+b. Tad

Šo sadalījumu sauc par Simpsona likumu. 8., 9. attēlā parādīti SW sadalījuma blīvuma grafiki plkst Ar=0, d=0.

Praksē bieži rodas nepieciešamība atrast sadalījuma likumu nejaušo lielumu summai.

Lai ir sistēma (X b X 2) divas nepārtrauktas s. V. un to summa

Atradīsim sadalījuma blīvumu c. V. U. Saskaņā ar iepriekšējās rindkopas vispārīgo risinājumu mēs atrodam plaknes reģionu, kurā x + x 2 (9.4.1. attēls):

Diferencējot šo izteiksmi attiecībā pret y, mēs iegūstam ap. nejaušais mainīgais Y \u003d X + X 2:

Tā kā funkcija φ (x b x 2) = Xj + x 2 ir simetriska attiecībā pret tās argumentiem, tad

Ja ar. V. X Un X 2 ir neatkarīgas, tad formulas (9.4.2) un (9.4.3) iegūst šādu formu:

Gadījumā, ja neatkarīga c. V. x x Un X 2, runāt par sadales likumu sastāvu. Ražot sastāvu divi sadales likumi - tas nozīmē atrast sadales likumu divu neatkarīgu c summai. c., izplatīti saskaņā ar šiem likumiem. Simbolisko apzīmējumu izmanto, lai apzīmētu sadales likumu sastāvu

ko pēc būtības apzīmē ar formulām (9.4.4.) vai (9.4.5.).

Piemērs 1. Apskatīts divu tehnisko ierīču (TD) darbs. Pirmkārt, TU darbojas pēc tam, kad tā atteice (atteice) ir iekļauta TU 2 darbībā. Darbības laiks TU TU TU 2 - x x Un X 2 - ir neatkarīgi un sadalīti pēc eksponenciālajiem likumiem ar parametriem A,1 un X 2 . Tāpēc laiks Y TU, kas sastāv no TU, darbība bez traucējumiem! un TU 2 tiks noteikts pēc formulas

Nepieciešams atrast p.r. nejaušais mainīgais Y, i., divu eksponenciālu likumu sastāvs ar parametriem un X 2 .

Risinājums. Pēc formulas (9.4.4) iegūstam (y > 0)

Ja ir divu eksponenciālu likumu sastāvs ar vienādiem parametriem (?c = X 2 = Y), tad izteiksmē (9.4.8) tiek iegūta 0/0 tipa nenoteiktība, kuru paplašinot, iegūstam:

Salīdzinot šo izteiksmi ar izteiksmi (6.4.8), mēs esam pārliecināti, ka divu vienādu eksponenciālo likumu sastāvs (?c = X 2 = x) ir otrās kārtas Erlanga likums (9.4.9). Sastādot divus eksponenciālos likumus ar dažādiem parametriem x x un A-2 saņem otrās kārtas vispārinātais Erlanga likums (9.4.8). ?

1. uzdevums. Divu s starpības sadalījuma likums. V. Sistēma ar. V. (X un X 2) ir savienojums r.p./(x x x 2). Atrodi p.r. to atšķirības Y=X - X 2 .

Risinājums. Sistēmai ar V. (X b - X 2) utt. būs / (x b - x 2), i., starpību aizstājām ar summu. Tāpēc a.r. gadījuma mainīgajam U būs forma (sk. (9.4.2), (9.4.3)):

Ja Ar. V. X x iX 2 tad neatkarīgs

2. piemērs. Atrodiet f.r. divu neatkarīgu eksponenciāli sadalītu s starpība. V. ar parametriem x x Un X 2 .

Risinājums. Pēc formulas (9.4.11.) iegūstam

Rīsi. 9.4.2 Rīsi. 9.4.3

9.4.2. attēlā parādīts p. g(y). Ja ņemam vērā divu neatkarīgu eksponenciāli sadalītu s atšķirību. V. ar tiem pašiem iestatījumiem (A-i= X 2 = A,), Tas g(y) \u003d / 2 - jau pazīstams

Laplasa likums (9.4.3. att.). ?

3. piemērs. Atrodiet sadalījuma likumu divu neatkarīgu c summai. V. X Un X 2, sadalīts pēc Puasona likuma ar parametriem a x Un a 2.

Risinājums. Atrodiet notikuma iespējamību (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Tāpēc s. V. Y= X x + X 2 sadalīts saskaņā ar Puasona likumu ar parametru a x2) - a x + a 2. ?

4. piemērs. Atrodiet sadalījuma likumu divu neatkarīgu c summai. V. x x Un X 2, sadalīts pēc binomiālajiem likumiem ar parametriem p x ri p 2 , p attiecīgi.

Risinājums. Iedomājieties ar. V. x x kā:

Kur X 1) - notikumu indikators A wu "th pieredze:

Sadales diapazons ar. V. X,- ir forma

Mēs izveidosim līdzīgu attēlojumu s. V. X 2: kur X] 2) - notikuma indikators A y" pieredzē:

Tāpēc

kur ir X? 1)+(2), ja notikuma indikators A:

Tādējādi mēs to esam parādījuši V. Vīratēva summa (u + n 2) notikumu rādītāji A, no kurienes izriet, ka s. V. ^izdalīts saskaņā ar binoma likumu ar parametriem ( n x + n, 2), lpp.

Ņemiet vērā, ka, ja varbūtības R dažādās eksperimentu sērijās ir atšķirīgas, tad divu neatkarīgu s pievienošanas rezultātā. c., sadalīts pēc binomiāla likumiem, izrādās c. c., sadalīts nevis saskaņā ar binoma likumu. ?

Piemēri 3 un 4 ir viegli vispārināmi ar patvaļīgu skaitu terminu. Sastādot Puasona likumus ar parametriem a b a 2, ..., a t Ar parametru atkal iegūst Puasona likumu a (t) \u003d a x + a 2 + ... + un t.

Sastādot binomiālus likumus ar parametriem (n r); (i 2, R) , (n t, p) atkal mēs iegūstam binoma likumu ar parametriem ("("), R), Kur n (t) \u003d u + n 2 + ... + utt.

Mēs esam pierādījuši svarīgas Puasona likuma un binominālā likuma īpašības: "stabilitātes īpašību". Sadales likumu sauc ilgtspējīgs, ja divu viena veida likumu sastāva rezultātā rodas viena veida likums (atšķiras tikai šī likuma parametri). 9.7. apakšnodaļā mēs parādīsim, ka parastajam likumam ir tāda pati stabilitātes īpašība.

Lēmuma pieņēmējs var izmantot apdrošināšanu, lai mazinātu noteiktu veidu nejaušu notikumu nelabvēlīgo finansiālo ietekmi.

Taču šis apsvērums ir ļoti vispārīgs, jo lēmumu pieņēmējs var nozīmēt gan indivīdu, kas meklē aizsardzību pret kaitējumu īpašumam, uzkrājumiem vai ienākumiem, gan organizāciju, kas meklē aizsardzību pret tāda paša veida bojājumiem.

Faktiski šāda organizācija var būt apdrošināšanas kompānija, kas meklē veidus, kā pasargāt sevi no finansiāliem zaudējumiem pārāk daudzu apdrošināšanas gadījumu dēļ, kas notikuši ar atsevišķu klientu vai ar tā apdrošināšanas portfeli. Šo aizsardzību sauc pārapdrošināšana.

Apsveriet vienu no diviem modeļiem (proti individuālā riska modelis) plaši izmanto apdrošināšanas likmju un rezervju noteikšanā, kā arī pārapdrošināšanā.

Apzīmē ar S apdrošināšanas sabiedrības nejaušo zaudējumu apmērs par kādu tās risku daļu. Šajā gadījumā S ir nejaušs lielums, kuram ir jānosaka varbūtības sadalījums. Vēsturiski izplatīšanai r.v. S bija divi postulātu komplekti. Individuālais riska modelis nosaka Sšādā veidā:

kur r.v. nozīmē apdrošināšanas objekta ar numuru radītos zaudējumus es, A n apzīmē kopējo apdrošināšanas objektu skaitu.

Parasti tiek pieņemts, ka tie ir neatkarīgi gadījuma lielumi, jo šajā gadījumā matemātiskie aprēķini ir vienkāršāki un informācija par to savstarpējo attiecību raksturu nav nepieciešama. Otrais modelis ir kolektīvā riska modelis.

Aplūkotais individuālo risku modelis neatspoguļo naudas vērtības izmaiņas laika gaitā. Tas tiek darīts, lai vienkāršotu modeli, tāpēc raksta virsraksts attiecas uz īsu laika intervālu.

Mēs apsvērsim tikai slēgtos modeļus, t.i. tie, kuros apdrošināšanas objektu skaits n formulā (1.1) ir zināms un fiksēts aplūkotā laika intervāla pašā sākumā. Ja ieviešam pieņēmumus par migrācijas esamību no vai uz apdrošināšanas sistēmu, tad iegūstam atvērtu modeli.

Nejauši mainīgie, kas apraksta atsevišķas izmaksas

Pirmkārt, atcerēsimies galvenos noteikumus attiecībā uz dzīvības apdrošināšanu.

Nāves apdrošināšanas gadījumā uz vienu gadu apdrošinātājs apņemas samaksāt summu b, ja apdrošinājuma ņēmējs nomirst gada laikā no apdrošināšanas līguma noslēgšanas dienas, un neko nemaksā, ja apdrošinājuma ņēmējs dzīvo š.g.

Apdrošināšanas gadījuma iestāšanās iespējamību norādītajā gadā apzīmē ar .

Nejaušajam mainīgajam, kas apraksta apdrošināšanas maksājumus, ir sadalījums, ko var norādīt ar varbūtības funkciju

(2.1)

vai atbilstošā sadales funkcija

(2.2)

No formulas (2.1) un no momentu definīcijas iegūstam

(2.4)

Šīs formulas var iegūt arī rakstot X kā

kur ir nemainīga vērtība, ko maksā nāves gadījumā, un ir gadījuma mainīgais, kas nāves gadījumā iegūst vērtību 1 un pretējā gadījumā 0.

Tādējādi un , un r.v. vidējā vērtība un dispersija. ir vienādi un attiecīgi, un r.v. vidējā vērtība un dispersija. ir vienādi ar un , kas sakrīt ar iepriekš minētajām formulām.

Aktuāra modeļos plaši izmanto nejaušo lielumu ar diapazonu (0,1).

Mācību grāmatās par varbūtību teoriju to sauc indikators, Bernulli izlases veidā vērtība vai binomiāls gadījuma mainīgais vienotā testa dizainā.

Mēs viņai piezvanīsim indikatorsīsuma dēļ, kā arī tāpēc, ka tas norāda uz attiecīgā notikuma sākumu vai nesākšanos.

Pievērsīsimies vispārīgāku modeļu meklēšanai, kuros arī apdrošināšanas iemaksas vērtība ir nejaušs lielums un aplūkotajā laika intervālā var iestāties vairāki apdrošināšanas gadījumi.

Veselības apdrošināšana, automašīnu un cita īpašuma apdrošināšana, kā arī atbildības apdrošināšana nekavējoties sniedz daudzus piemērus. Vispārinot formulu (2.5), mēs uzstādām

kur ir gadījuma lielums, kas raksturo apdrošināšanas maksājumus aplūkotajā laika intervālā, r.v. apzīmē kopējo maksājumu summu šajā intervālā un r.v. ir rādītājs gadījumam, ka ir noticis vismaz viens apdrošināšanas gadījums.

Būdams rādītājs šādam notikumam, r.v. nosaka klātbūtni () vai trūkums () apdrošināšanas gadījumi šajā laika intervālā, bet ne apdrošināšanas gadījumu skaits tajā.

Varbūtība joprojām tiks apzīmēta ar .

Apspriedīsim vairākus piemērus un noteiksim nejaušo lielumu sadalījumu un kādā modelī.

Vispirms apsvērsim nāves apdrošināšanu uz vienu gadu ar papildu samaksu, ja nāve iestājusies nelaimes gadījuma rezultātā.

Precizitātei pieņemsim, ka gadījumā, ja nāve iestājusies nelaimes gadījuma rezultātā, tad iemaksas apmērs būs 50 000. Ja nāve iestājas citu iemeslu dēļ, iemaksas apmērs būs 25 000.

Pieņemsim, ka noteikta vecuma, veselības stāvokļa un profesijas cilvēkam varbūtība nomirt nelaimes gadījuma rezultātā gada laikā ir 0,0005, bet iespēja nomirt no citiem cēloņiem ir 0,0020. Formulas formā tas izskatās šādi:

Summējot visas iespējamās vērtības, mēs iegūstam

,

Nosacītā sadale c. V. nosacījumam ir forma

Tagad apskatīsim automašīnas sadursmes apdrošināšanu (automašīnas īpašniekam izmaksāta kompensācija par viņa automašīnai nodarītajiem bojājumiem) ar beznosacījuma pašrisku 250 un maksimālo izmaksu 2000.

Skaidrības labad pieņemam, ka viena apdrošināšanas gadījuma iestāšanās iespējamība aplūkotajā laika periodā indivīdam ir 0,15 un vairāk nekā vienas sadursmes iestāšanās iespējamība ir vienāda ar nulli:

, .

Nereāls pieņēmums, ka vienā periodā var iestāties ne vairāk kā viens apdrošināšanas gadījums, tiek veikts, lai vienkāršotu r.v. .

Mēs atteiksimies no šī pieņēmuma nākamajā sadaļā pēc tam, kad apsvērsim vairāku apdrošināšanas atlīdzību summas sadalījumu.

Tā kā ir apdrošinātāja maksājumu vērtība, nevis automašīnai nodarītie bojājumi, varam ņemt vērā divus raksturlielumus un.

Pirmkārt, notikums ietver tās sadursmes, kurās zaudējumi ir mazāki par beznosacījuma pašrisku, kas ir 250.

Otrkārt, r.v. būs iespējamības masas "receklis" apdrošināšanas maksājumu maksimālās summas punktā, kas ir vienāds ar 2000.

Pieņemsim, ka šajā punktā koncentrētā varbūtiskā masa ir 0,1. Turklāt pieņemsim, ka apdrošināšanas maksājumu vērtību intervālā no 0 līdz 2000 var modelēt ar nepārtrauktu sadalījumu ar blīvuma funkciju, kas ir proporcionāla (Praksē nepārtrauktā līkne, kas tiek izvēlēta, lai attēlotu prēmiju sadalījumu, ir iepriekšējā perioda prēmiju pētījumu rezultāts.)

Apkopojot šos pieņēmumus par r.v nosacīto sadalījumu. ar nosacījumu , mēs nonākam pie jaukta tipa sadalījuma, kam ir pozitīvs blīvums diapazonā no 0 līdz 2000 un kāds varbūtības masas "receklis" punktā 2000. To ilustrē grafiks attēlā. 2.2.1.

Šī nosacītā sadalījuma sadalījuma funkcija izskatās šādi:

2.1.att. R.v. sadalījuma funkcija. B ar nosacījumu I = 1

Aplūkojamajā piemērā ar automašīnas apdrošināšanu mēs aprēķinām matemātisko cerību un dispersiju divos veidos.

Pirmkārt, mēs izrakstām sadalījumu r.v. un izmantojiet to, lai aprēķinātu un . Ar sadalījuma funkciju apzīmējot r.v. , mums ir

Priekš x<0

Šis ir jaukts sadalījums. Kā parādīts attēlā. 2.2, tai ir gan diskrēta (varbūtiskās masas “kopa” 2000. punktā), gan nepārtraukta daļa. Šāda sadalījuma funkcija atbilst varbūtības funkcijas kombinācijai

Rīsi. 2.2. R.v. sadalījuma funkcija. X=IB

un blīvuma funkcijas

Jo īpaši, un . Tāpēc .

Ir vairākas formulas, kas saista nejaušo mainīgo momentus ar nosacītām matemātiskām cerībām. Matemātiskām prognozēm un dispersijai šīm formulām ir forma

(2.10)

(2.11)

Tiek pieņemts, ka izteiksmes šo vienādību kreisajā pusē ir aprēķinātas tieši no r.v sadalījuma. . Aprēķinot izteiksmes labajā pusē, proti, un , tiek izmantots r.v nosacīts sadalījums. pie fiksētas vērtības r.v. .

Tāpēc šīs izteiksmes ir r.v. funkcijas. , un mēs varam aprēķināt to momentus, izmantojot r.v sadalījumu. .

Nosacītie sadalījumi tiek izmantoti daudzos aktuāra modeļos, un tas ļauj tieši piemērot iepriekš minētās formulas. Mūsu modelī. Ņemot vērā r.v. kā un r.v. kā , mēs saņemam

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

un apsveriet nosacītās matemātiskās cerības

(2.16)

(2.17)

Formulas (2.16) un (2.17) ir definētas kā funkcija no r.v. , ko var uzrakstīt kā šādu formulu:

Kopš plkst (2.21)

Jo mums ir un (2.22)

Formulas (2.21) un (2.22) var apvienot: (2.23)

Tādējādi (2.24)

Aizstājot (2.21), (2.20) un (2.24) ar (2.12) un (2.13), mēs iegūstam

Saņemtās formulas izmantosim aprēķinam un auto apdrošināšanas piemērā (2.2. att.). Tā kā blīvuma funkcija r.v. Nosacījums tiek izteikts ar formulu

un P(B=2000|I=1)= 0,1, mums ir

Visbeidzot, pieņemot q= 0,15, no formulām (2.25) un (2.26) iegūstam šādas vienādības:

Lai aprakstītu citu apdrošināšanas situāciju, varam piedāvāt citus modeļus r.v. .

Piemērs: aviācijas negadījumu izraisīto nāves gadījumu skaita modelis

Piemēram, apsveriet modeli aviācijas negadījumu izraisīto nāves gadījumu skaitam viena gada aviosabiedrības darbības periodā.

Mēs varam sākt ar nejaušu lielumu, kas apraksta nāves gadījumu skaitu vienā lidojumā, un pēc tam summēt šos nejaušos mainīgos par visiem lidojumiem gadā.

Vienam lidojumam notikums liecinās par aviokatastrofas sākumu. Bojāgājušo skaits, ko izraisīja šī katastrofa, tiks attēlots ar divu nejaušu lielumu reizinājumu, kur ir gaisa kuģa noslogojuma koeficients, t.i., cilvēku skaits lidmašīnā avārijas brīdī, un bojāgājušo cilvēku īpatsvars dēlis.

Nāves gadījumu skaits tiek parādīts šādā veidā, jo atsevišķa statistika par un ir pieejamāka nekā statistika par r.v. . Tātad, lai gan bojāgājušo cilvēku īpatsvars uz kuģa esošajām personām un uz kuģa esošo personu skaits, iespējams, ir saistīti, kā pirmo tuvinājumu var pieņemt, ka r.v. un neatkarīgs.

Neatkarīgo gadījuma lielumu summas

Individuālā riska modelī apdrošināšanas sabiedrības veiktie apdrošināšanas maksājumi tiek uzrādīti kā maksājumu summa daudzām personām.

Atgādiniet divas metodes neatkarīgu gadījuma lielumu summas sadalījuma noteikšanai. Vispirms apsveriet divu nejaušo mainīgo summu, kuru izlases telpa ir parādīta attēlā. 3.1.

Rīsi. 2.3.1. Pasākums

Līnija un laukums zem šīs līnijas apzīmē notikumu. Tāpēc sadales funkcija r.v. S ir forma (3.1)

Diviem diskrētiem nenegatīviem gadījuma mainīgajiem mēs varam izmantot kopējās varbūtības formulu un ierakstīt (3.1) kā

Ja X Un Y ir neatkarīgi, pēdējo summu var pārrakstīt kā

(3.3)

Šai sadalījuma funkcijai atbilstošo varbūtības funkciju var atrast pēc formulas

(3.4)

Nepārtrauktiem nenegatīviem nejaušiem mainīgajiem formulas, kas atbilst (3.2.), (3.3.) un (3.4.) formulām, ir šādā formā:

Kad viens vai abi nejaušie mainīgie X Un Y ir jaukta tipa sadalījums (kas raksturīgs atsevišķiem riska modeļiem), formulas ir līdzīgas, bet apgrūtinošākas. Gadījuma mainīgajiem, kuriem var būt arī negatīvas vērtības, summas un integrāļi iepriekš minētajās formulās tiek pārņemtas visas y vērtības no līdz .

Varbūtību teorijā darbību formulās (3.3) un (3.6) sauc par divu sadalījuma funkciju konvolūciju un un apzīmē ar . Konvolūcijas darbību var definēt arī varbūtības vai blīvuma funkciju pārim, izmantojot formulas (3.4) un (3.7).

Lai noteiktu vairāk nekā divu nejaušu lielumu summas sadalījumu, mēs varam izmantot konvolūcijas procesa iterācijas. Priekš , kur ir neatkarīgi gadījuma mainīgie, apzīmē r.v sadalījuma funkciju un ir r.v sadalījuma funkcija. , mēs saņemsim

3.1. piemērs ilustrē šo procedūru trim diskrētiem gadījuma lielumiem.

Piemērs 3.1. Nejaušie mainīgie , un ir neatkarīgi, un tiem ir sadalījums, kas noteikts tālāk esošās tabulas 1., 2. un 3. slejā.

Uzrakstīsim varbūtības funkciju un r.v sadalījuma funkciju.

Risinājums. Tabulā izmantots apzīmējums, kas ieviests pirms piemēra:

Ailes (1)–3) satur pieejamo informāciju.

(4) kolonnu iegūst no (1) un (2) kolonnas, izmantojot (3.4).

(5) kolonnu iegūst no (3) un (4) kolonnas, izmantojot (3.4).

Ailes (5) definīcija pabeidz varbūtības funkcijas noteikšanu r.v. . Tās sadalījuma funkcija kolonnā (8) ir kolonnas (5) daļējo summu kopa, sākot no augšas.

Skaidrības labad esam iekļāvuši kolonnu (6), sadales funkciju kolonnai (1), kolonnai (7), ko var iegūt tieši no kolonnas (1) un (6), izmantojot (2.3.3), un kolonnu (8). ) līdzīgi nosaka (3) un (7) kolonnai. Kolonnu (5) var noteikt no (8) kolonnas, secīgi atņemot.

Pievērsīsimies divu piemēru izskatīšanai ar nepārtrauktiem gadījuma mainīgajiem.

Piemērs 3.2.Ļaujiet r.v. ir vienmērīgs sadalījums intervālā (0,2), un ļaujiet r.v. nav atkarīgs no r.v. un tam ir vienmērīgs sadalījums intervālā (0,3). Definēsim r.v sadalījuma funkciju.

Risinājums. Tā kā sadalījumi r.v. un nepārtraukti, mēs izmantojam formulu (3.6):

Tad

R.v. parauga vieta. un ir parādīts attēlā. 3.2. Taisnstūra laukums satur visas iespējamās pāra un vērtības. Mūs interesējošais notikums, , ir attēlots attēlā piecām vērtībām s.

Katrai vērtībai līnija krustojas ar asi Y punktā s un līnija punktā. Funkciju vērtības šiem pieciem gadījumiem ir aprakstītas ar šādu formulu:

Rīsi. 3.2. Divu vienmērīgu sadalījumu konvolūcija

Piemērs 3.3. Apskatīsim trīs neatkarīgus r.v. . Par r.v. ir eksponenciāls sadalījums un . Ļaujiet mums atrast blīvuma funkciju r.v. pielietojot konvolūcijas operāciju.

Risinājums. Mums ir

Izmantojot formulu (3.7) trīs reizes, mēs iegūstam

Vēl viena neatkarīgo gadījuma lielumu summas sadalījuma noteikšanas metode ir balstīta uz momentu ģenerējošās funkcijas unikalitāti, kas r.v. nosaka attiecība .

Ja šī matemātiskā cerība visiem ir ierobežota t no kāda atvērta intervāla, kas satur izcelsmi, tad ir vienīgā r.v sadales momentu ģenerējošā funkcija. tādā nozīmē, ka nav citas funkcijas kā vien , kas būtu r.v sadales momentu ģenerējošā funkcija. .

Šo unikalitāti var izmantot šādi: summai

Ja tie ir neatkarīgi, tad formulas (3.8) reizinājuma sagaidīšana ir vienāda ar ..., Tātad

Atrodot skaidru izteiksmi vienīgajam sadalījumam, kas atbilst momentu ģenerēšanas funkcijai (3.9), tiktu pabeigta r.v sadalījuma atrašana. . Ja to nav iespējams skaidri norādīt, tad to var meklēt ar skaitliskām metodēm.

Piemērs 3.4. Apsveriet gadījuma lielumus no 3.3. piemēra. Definēsim r.v blīvuma funkciju. , izmantojot r.v. momentu ģenerēšanas funkciju. .

Risinājums. Saskaņā ar vienādību (3.9), ko var uzrakstīt kā izmantojot sadalīšanas vienkāršās frakcijās metodi. Risinājums ir . Bet vai eksponenciālā sadalījuma momentu ģenerējošā funkcija ar parametru , lai blīvuma funkcija r.v. ir forma

Piemērs 3.5. Nejaušo procesu izpētē tika ieviests apgrieztais Gausa sadalījums. To izmanto kā izplatīšanu r.v. IN, apdrošināšanas maksājumu summa. Apgrieztā Gausa sadalījuma momentu blīvuma funkcija un ģenerējošā funkcija ir dota ar formulām

Ļaujiet mums atrast sadalījumu r.v. , kur r.v. ir neatkarīgi un tiem ir vienādi apgriezti Gausa sadalījumi.

Risinājums. Izmantojot formulu (3.9), mēs iegūstam šādu izteiksmi r.v. momentu ģenerēšanas funkcijai. :

Momentu ģenerējošā funkcija atbilst unikālam sadalījumam, un var redzēt, ka tai ir apgriezts Gausa sadalījums ar parametriem un .

Summu sadalījuma tuvinājumi

Centrālā robežu teorēma sniedz metodi skaitlisko vērtību atrašanai neatkarīgo nejaušo lielumu summas sadalījumam. Parasti šī teorēma tiek formulēta neatkarīgu un vienādi sadalītu gadījuma lielumu summai, kur .

Jebkuram n sadalījums r.v. kur = , ir matemātiskā cerība 0 un dispersija 1. Kā zināms, šādu sadalījumu secība (par n= 1, 2, ...) tiecas uz standarta normālo sadalījumu. Kad n liela, šī teorēma tiek piemērota, lai tuvinātu r.v sadalījumu. normāls sadalījums ar vidējo μ un dispersija. Tāpat arī summas sadalījums n nejaušie mainīgie tiek tuvināti ar normālu sadalījumu ar vidējo un dispersiju.

Šādas aproksimācijas efektivitāte ir atkarīga ne tikai no terminu skaita, bet arī no terminu sadalījuma tuvuma parastajam. Daudzi elementārās statistikas kursi nosaka, ka n ir jābūt vismaz 30, lai tuvinājums būtu saprātīgs.

Tomēr viena no simulācijas modelēšanā izmantotajām programmām normāli sadalītu gadījuma lielumu ģenerēšanai realizē parasto gadījuma lielumu kā vidēji 12 neatkarīgus gadījuma lielumus, kas vienmērīgi sadalīti pa intervālu (0,1).

Daudzos atsevišķos riska modeļos summās iekļautie nejaušie mainīgie nav vienādi sadalīti. Tas tiks ilustrēts ar piemēriem nākamajā sadaļā.

Centrālā robežu teorēma attiecas arī uz nevienmērīgi sadalītu gadījuma lielumu sekvencēm.

Lai ilustrētu dažus individuālā riska modeļa pielietojumus, skaitlisku risinājumu iegūšanai izmantosim neatkarīgu gadījuma lielumu summas sadalījuma normālu tuvinājumu. Ja , Tas

un tālāk, ja r.v. tad neatkarīgs

Attiecīgajai lietojumprogrammai mums ir nepieciešams tikai:

• atrast gadījuma lielumu vidējos un dispersijas, kas imitē individuālos zaudējumus,
• summējot tos, lai iegūtu apdrošināšanas sabiedrības zaudējumu vidējo lielumu un dispersiju kopumā,
• izmantojiet parasto tuvinājumu.

Zemāk mēs ilustrējam šo darbību secību.

Pieteikumi apdrošināšanai

Šī sadaļa ilustrē parastās aproksimācijas izmantošanu ar četriem piemēriem.

Piemērs 5.1. Personām, kuru nāves varbūtība ir 0,02 vai 0,01, dzīvības apdrošināšanas sabiedrība piedāvā nāves apdrošināšanas līgumu uz vienu gadu ar maksājumiem 1 un 2 vienības. Zemāk esošajā tabulā parādīts personu skaits nk katrā no četrām klasēm, kas izveidotas atbilstoši samaksai b k un apdrošināšanas gadījuma iespējamība qk:

Apdrošināšanas sabiedrība no šīs 1800 personu grupas vēlas piedzīt summu, kas vienāda ar šīs grupas kopējo apdrošināšanas maksājumu sadalījuma 95. procentili. Turklāt viņa vēlas, lai katras personas daļa no šīs summas būtu proporcionāla personas paredzamajai apdrošināšanas izmaksai.

Personas daļai ar numuru, kuras vidējais maksājums ir vienāds ar , jābūt . No 95. procentiles prasības izriet, ka . Virsvērtība, , ir riska prēmija, un to sauc par relatīvā riska prēmiju. Aprēķināsim.

Risinājums. Vērtību nosaka attiecība = 0,95, kur S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 .Šis varbūtības paziņojums ir līdzvērtīgs šim:

Saskaņā ar to, kas tika teikts par centrālo robežu teorēmu Sec. 4, mēs aptuvenam r.v sadalījumu. standarta normālais sadalījums un izmantojiet tā 95. procentili, no kuras iegūstam:

Par četrām kategorijām, kurās ir sadalīti apdrošinājuma ņēmēji, mēs iegūstam šādus rezultātus:

Tādējādi

Tāpēc relatīvā riska prēmija ir

Piemērs 5.2. Auto apdrošināšanas kompānijas klienti tiek iedalīti divās kategorijās:

Saīsināto eksponenciālo sadalījumu nosaka sadalījuma funkcija

Šis ir jaukta tipa sadalījums ar blīvuma funkciju , un varbūtības masas "klucis" punktā L. Šīs sadalījuma funkcijas grafiks ir parādīts 5.1. attēlā.

Rīsi. 5.1. Saīsināts eksponenciālais sadalījums

Tāpat kā līdz šim, varbūtībai, ka apdrošināšanas maksājumu kopsumma pārsniedz no apdrošinājuma ņēmējiem iekasēto summu, jābūt vienādai ar 0,05. Mēs pieņemsim, ka relatīvā riska prēmijai ir jābūt vienādai katrā no divām aplūkojamajām klasēm. Aprēķināsim.

Risinājums.Šis piemērs ir ļoti līdzīgs iepriekšējam. Vienīgā atšķirība ir tā, ka apdrošināšanas maksājumu vērtības tagad ir nejauši mainīgie.

Pirmkārt, mēs iegūsim izteiksmes saīsinātā eksponenciālā sadalījuma momentiem. Šis būs sagatavošanās posms formulu (2.25) un (2.26) piemērošanai:

Izmantojot nosacījumā dotās parametru vērtības un pielietojot formulas (2.25) un (2.26), iegūstam šādus rezultātus:

Tātad, S, kopējā apdrošināšanas maksājumu summa, ir momenti

Definīcijas nosacījums paliek tāds pats kā 5.1. piemērā, proti,

Izmantojot atkal normālā sadalījuma aproksimāciju, mēs iegūstam

Piemērs 5.3. Apdrošināšanas sabiedrības portfelī ir 16 000 nāves apdrošināšanas līgumu uz vienu gadu saskaņā ar tabulu:

Apdrošināšanas gadījuma q iespējamība katram no 16 000 klientiem (tiek pieņemts, ka šie notikumi ir savstarpēji neatkarīgi) ir 0,02. Uzņēmums vēlas noteikt savu saglabāšanas līmeni. Katram apdrošinājuma ņēmējam paša ieturējuma līmenis ir vērtība, zem kuras šis uzņēmums (cesionārs) veic maksājumus patstāvīgi, un maksājumus, kas pārsniedz šo vērtību, saskaņā ar pārapdrošināšanas līgumu sedz cits uzņēmums (pārapdrošinātājs).

Piemēram, ja pašu ieturējuma likme ir 200 000, tad uzņēmums rezervē segumu līdz 20 000 katram apdrošinātajam un pērk pārapdrošināšanu, lai segtu starpību starp prēmiju un summu 20 000 katram no 4500 apdrošinājuma ņēmējiem, kuru apdrošināšanas prēmijas pārsniedz 20 000 .

Uzņēmums par lēmuma kritēriju izvēlas iespējamības samazināšanu, ka uz paša atskaitījumiem atstātās apdrošināšanas atlīdzības, pieskaitot par pārapdrošināšanu samaksāto summu, pārsniegs 8 250 000. Pārapdrošināšanas izmaksas 0,025 par seguma vienību (t.i., 125% no paredzamās atlīdzības). apdrošināšanas maksājumu vērtība par vienību 0,02).

Uzskatām, ka attiecīgais portfelis ir slēgts: kārtējā gada laikā noslēgtie jaunie apdrošināšanas līgumi aprakstītajā lēmumu pieņemšanas procesā netiks ņemti vērā.

Daļējs risinājums. Vispirms veiksim visus aprēķinus, kā izmaksas vienību izvēloties 10 000. Piemēram, pieņemsim, ka c. V. S ir pašu atskaitījumu atlikusī maksājumu summa, tai ir šāda forma:

Uz šīm apdrošināšanas izmaksām, kas atstātas uz jūsu pašu atskaitījumu S, tiek pieskaitīta pārapdrošināšanas prēmiju summa. Kopumā kopējais seguma apjoms saskaņā ar šo shēmu ir

Summa, kas paliek paša atskaitījumam, ir vienāda ar

Tādējādi kopējā pārapdrošinātā vērtība ir 35 000-24 000=11 000 un pārapdrošināšanas izmaksas ir

Tādējādi, ja pašu saglabāšanas līmenis ir vienāds ar 2, apdrošināšanas maksājumi, kas paliek pašu paturēti, plus pārapdrošināšanas izmaksas ir . Lēmuma kritērijs ir balstīts uz varbūtību, ka šī kopsumma pārsniegs 825,

Izmantojot normālo sadalījumu, mēs iegūstam, ka šī vērtība ir aptuveni vienāda ar 0,0062.

Apdrošināšanas maksājumu vidējās vērtības par pārsnieguma zaudējumu apdrošināšanu, kā vienu no pārapdrošināšanas veidiem, var tuvināt, izmantojot parasto sadalījumu kā kopējo apdrošināšanas maksājumu sadalījumu.

Lai kopējiem apdrošināšanas maksājumiem X ir normāls sadalījums ar vidējo un dispersiju

Piemērs 5.4. Apskatīsim apdrošināšanas portfeli, kā tas ir piemērā 5.3. Atradīsim apdrošināšanas maksājumu apmēra matemātisko cerību apdrošināšanas līgumā par nerentabilitātes pārsniegumu, ja

a) nav individuālas pārapdrošināšanas, un beznosacījuma pašrisks ir noteikts 7 500 000

(b) tiek noteikts personīgais ieturējums 20 000 apmērā par atsevišķiem apdrošināšanas līgumiem, un portfeļa beznosacījuma pašrisks ir 5 300 000.

Risinājums.

(a) Ja nav individuālas pārapdrošināšanas un pārejot uz 10 000 kā valūtu

pielietojot formulu (5.2.), iegūst

kas ir summa 43 770 sākotnējās vienībās.

(b) 5.3. pielikumā mēs iegūstam kopējo prēmiju vidējo vērtību un dispersiju individuālajam pašriskam 20 000, kas ir attiecīgi 480 un 784, izmantojot 10 000 kā vienību. Tādējādi =28.

pielietojot formulu (5.2.), iegūst

kas ir summa 4140 sākotnējās vienībās.

Izmantosim augstāk minēto vispārīgo metodi, lai atrisinātu vienu uzdevumu, proti, lai atrastu sadalījuma likumu divu nejaušu lielumu summai. Pastāv divu nejaušu lielumu (X,Y) sistēma ar sadalījuma blīvumu f(x,y).

Aplūkosim nejaušo lielumu X un Y summu: un atrodam vērtības Z sadalījuma likumu. Lai to izdarītu, uz xOy plaknes izveidojam taisni, kuras vienādojums (6.3.1. att.). Šī ir taisna līnija, kas nogriež segmentus, kas vienādi ar z uz asīm. Taisni sadala xy plakni divās daļās; pa labi un augšā ; pa kreisi un zemāk

Reģions D šajā gadījumā ir xOy plaknes apakšējā kreisā daļa, kas iekrāsota attēlā. 6.3.1. Saskaņā ar formulu (6.3.2) mums ir:

Šī ir divu nejaušu lielumu summas sadalījuma blīvuma vispārīgā formula.

Lai nodrošinātu problēmas simetriju attiecībā pret X un Y, mēs varam uzrakstīt citu tās pašas formulas versiju:

Nepieciešams izveidot šo likumu sastāvu, t.i., atrast lieluma sadalījuma likumu: .

Mēs izmantojam vispārīgo formulu sadales likumu sastāvam:

Šo izteiksmju aizstāšana formulā, ar kuru mēs jau esam saskārušies

un tas nav nekas cits kā normāls likums ar izkliedes centru

To pašu secinājumu var izdarīt daudz vieglāk, izmantojot šādu kvalitatīvu argumentāciju.

Neatverot iekavas un neveicot transformācijas integrandā (6.3.3.), mēs uzreiz nonākam pie secinājuma, ka eksponents ir kvadrātveida trinomāls attiecībā pret formas x.

kur z vērtība vispār nav iekļauta koeficientā A, tā ir iekļauta koeficientā B pirmajā pakāpē, un koeficients C ir iekļauts kvadrātā. Paturot to prātā un izmantojot formulu (6.3.4.), secinām, ka g(z) ir eksponenciāla funkcija, kuras eksponents ir kvadrātveida trinomāls attiecībā pret z un sadalījuma blīvumu; šāda veida atbilst parastajam likumam. Tādējādi mēs; mēs nonākam pie tīri kvalitatīva secinājuma: z sadalījuma likumam ir jābūt normālam. Lai atrastu šī likuma parametrus - un - izmantot matemātisko gaidu saskaitīšanas teorēmu un dispersiju saskaitīšanas teorēmu. Saskaņā ar matemātisko gaidu saskaitīšanas teorēmu . Saskaņā ar dispersijas saskaitīšanas teorēmu vai no kā izriet formula (6.3.7.).

Pārejot no vidējās kvadrātiskās novirzes uz tām proporcionālām iespējamām novirzēm, mēs iegūstam:
.

Tādējādi mēs esam nonākuši pie šāda noteikuma: kad tiek sastādīti normāli likumi, atkal tiek iegūts normāls likums, un tiek summētas matemātiskās cerības un dispersijas (vai iespējamās novirzes kvadrātā).

Normālo likumu sastāva noteikumu var vispārināt patvaļīga skaita neatkarīgu gadījuma mainīgo gadījumā.

Ja ir n neatkarīgi gadījuma lielumi: pakļauti normāliem likumiem ar dispersijas centriem un standartnovirzēm , tad vērtība ir pakļauta arī parastajam likumam ar parametriem

Ja gadījuma lielumu sistēma (X, Y) ir sadalīta pēc parastā likuma, bet lielumi X, Y ir atkarīgi, tad to ir viegli pierādīt, tāpat kā iepriekš, pamatojoties uz vispārīgo formulu (6.3.1.) ka daudzuma sadales likums arī ir normāls likums. Izkliedes centri joprojām tiek pievienoti algebriski, bet standarta novirzēm noteikums kļūst sarežģītāks: , kur r ir X un Y vērtību korelācijas koeficients.

Saskaitot vairākus atkarīgus gadījuma lielumus, kuri kopumā pakļaujas normāllikumam, arī summas sadalījuma likums ar parametriem izrādās normāls

kur ir lielumu X i, X j korelācijas koeficients, un summēšana attiecas uz visām dažādajām lielumu pāru kombinācijām.

Mēs esam redzējuši ļoti svarīgu normālā likuma īpašību: kad tiek apvienoti normāli likumi, atkal tiek iegūts normāls likums. Tas ir tā sauktais "stabilitātes īpašums". Sadales likums tiek uzskatīts par stabilu, ja, sastādot divus šāda veida likumus, atkal tiek iegūts tāda paša veida likums. Iepriekš mēs esam parādījuši, ka parastais likums ir stabils. Ļoti nedaudziem izplatīšanas likumiem ir stabilitātes īpašība. Vienmērīga blīvuma likums ir nestabils: sastādot divus vienmērīga blīvuma likumus sadaļās no 0 līdz 1, mēs ieguvām Simpsona likumu.

Parasta likuma stabilitāte ir viens no būtiskiem nosacījumiem tā plašai piemērošanai praksē. Taču stabilitātes īpašība papildus parastajai piemīt arī dažiem citiem sadales likumiem. Parastā likuma iezīme ir tāda, ka, sastādot pietiekami lielu skaitu praktiski patvaļīgu sadalījuma likumu, kopējais likums izrādās patvaļīgi tuvs parastajam neatkarīgi no tā, kādi bija terminu sadalījuma likumi. To var ilustrēt, piemēram, sastādot trīs vienmērīga blīvuma likumu sastāvu sekcijās no 0 līdz 1. Iegūtais sadalījuma likums g(z) ir parādīts att. 6.3.1. Kā redzams zīmējumā, funkcijas g(z) grafiks ir ļoti līdzīgs normālā likuma grafikam.

SADALES FUNKCIJAS

Ļaujiet x(k) ir kāds nejaušs mainīgais. Tad jebkurai fiksētai vērtībai x nejaušs notikums x(k) x definēts kā visu iespējamo rezultātu kopums k tāds, ka x(k) x. Runājot par sākotnējo varbūtības mērījumu, kas norādīts parauga telpā, sadales funkcijaP(x) definēta kā punktu kopai piešķirtā varbūtība k x(k) x. Ņemiet vērā, ka punktu kopa k apmierinot nevienlīdzību x(k) x, ir to punktu kopas apakškopa, kas apmierina nevienlīdzību x(k) . Formāli

Ir skaidrs, ka

Ja nejaušā lieluma vērtību diapazons ir nepārtraukts, kas tiek pieņemts tālāk, tad varbūtības blīvums(viendimensionāls) p(x) nosaka diferenciālā attiecība

(4)

Tāpēc

(6)

Lai varētu aplūkot diskrētus gadījumus, ir jāatzīst delta funkciju klātbūtne varbūtības blīvuma sastāvā.

PAREDZAMĀ VĒRTĪBA

Ļaujiet nejaušajam mainīgajam x(k)ņem vērtības no diapazona no -  līdz + . Vidējā vērtība(pretējā gadījumā, paredzamā vērtība vai paredzamā vērtība) x(k) tiek aprēķināts, izmantojot atbilstošo pāreju uz robežu vērtību reizinājumu summā x(k) par šo notikumu iespējamību:

(8)

Kur E- izteiksmes matemātiskā sagaidīšana kvadrātiekavās pēc indeksa k. Reālas vienvērtības nepārtrauktas funkcijas matemātiskās cerības tiek definētas līdzīgi g(x) no nejauša lieluma x(k)

(9)

Kur p(x)- nejauša lieluma varbūtības blīvums x(k). Jo īpaši ņemot g(x)=x, mēs saņemam vidējais kvadrāts x(k) :

(10)

Izkliedex(k) definēts kā starpības vidējais kvadrāts x(k) un tā vidējā vērtība,

i., šajā gadījumā g(x)= Un

A-prioritāte, standarta novirze nejaušais mainīgais x(k), apzīmēts , ir dispersijas kvadrātsaknes pozitīvā vērtība. Standarta novirzi mēra tajās pašās vienībās kā vidējo.

SVARĪGĀKĀS SADALES FUNKCIJAS

VIENOTS (TASSTŪRA) SADALĪJUMS.

Pieņemsim, ka eksperiments sastāv no punkta nejaušas izvēles no intervāla [ a, b] , ieskaitot tā beigu punktus. Šajā piemērā kā gadījuma mainīgā lieluma vērtību x(k) varat ņemt izvēlētā punkta skaitlisko vērtību. Atbilstošajai sadales funkcijai ir forma

Tāpēc varbūtības blīvumu nosaka formula

Šajā piemērā vidējā un dispersijas aprēķins, izmantojot formulas (9) un (11), dod

NORMĀLS (GAUSA) IZPLATĪJUMS

, - vidējais aritmētiskais, - RMS.

z vērtība, kas atbilst varbūtībai P(z)=1-, t.i.

ČI — KVADU SADAĻA

Ļaujiet - n neatkarīgi gadījuma lielumi, no kuriem katram ir normāls sadalījums ar nulles vidējo un vienības dispersiju.

Hī kvadrāta gadījuma lielums ar n brīvības pakāpēm.

varbūtības blīvums.

DF: 100 - procentu punkti - sadalījumus apzīmē ar , t.i.

vidējais un dispersija ir vienādi

t - STUDENTU SADALE

y, z ir neatkarīgi gadījuma lielumi; y - ir - sadalījums, z - normāli sadalīts ar nulles vidējo un vienības dispersiju.

vērtība - ir t- Studentu sadalījums ar n brīvības pakāpēm

DF: 100 - procentpunkts t - norādīts sadalījums

Vidējā vērtība un dispersija ir vienādas

F - IZPLATĪŠANA

Neatkarīgi nejauši mainīgie; has - sadalījums ar brīvības pakāpēm; sadalījums ar brīvības pakāpēm. Izlases vērtība:

,

F ir sadalīts gadījuma lielums ar un brīvības pakāpēm.

,

DF: 100 — procentu punkts:

Vidējā vērtība un dispersija ir vienādas:

SUMMAS SADAĻA

DIVI NEJAUŠI MAINĪGIE

Ļaujiet x(k) Un y(k) ir nejauši mainīgie ar kopīgu varbūtības blīvumu p(x,y). Atrodiet nejaušo lielumu summas varbūtības blīvumu

Pie fiksēta x mums ir y=z–x. Tāpēc

Pie fiksēta z vērtības x palaist intervālu no – līdz +. Tāpēc

(37)

no kā redzams, ka, lai aprēķinātu vēlamo summas blīvumu, ir jāzina sākotnējais savienojuma varbūtības blīvums. Ja x(k) Un y(k) ir neatkarīgi gadījuma lielumi ar blīvumu un, attiecīgi, tad un

(38)

PIEMĒRS: DIVU NEATKARĪGU, VIENMĒRĪGI SADALĪTO NEJAUŠU MAINĪGO SUMMA.

Lai diviem nejaušiem neatkarīgiem mainīgajiem ir formas blīvums

Citos gadījumos Atradīsim to summas z= x+ y varbūtības blīvumu p(z).

Varbūtības blīvums Priekš t.i., priekš Tāpēc x nepārsniedz z. Turklāt nav vienāds ar nulli pēc formulas (38), mēs atklājam, ka

Ilustrācija:

Divu neatkarīgu, vienmērīgi sadalītu gadījuma lielumu summas varbūtības blīvums.

NEJAUŠA KONVERSIJA

VĒRTĪBAS

Ļaujiet x(t)- nejaušs lielums ar varbūtības blīvumu p(x),ļaujiet tai iet g(x) ir vienvērtīga reāla nepārtraukta funkcija x. Vispirms apsveriet gadījumu, kad apgrieztā funkcija x(g) ir arī vienvērtības nepārtraukta funkcija g. Varbūtības blīvums p(g), kas atbilst nejaušam mainīgajam g(x(k)) = g(k), var noteikt pēc varbūtības blīvuma p(x) nejaušais mainīgais x(k) un atvasinājums dg/dx pieņemot, ka atvasinājums pastāv un atšķiras no nulles, proti:

(12)

Tāpēc limitā dg/dx#0

(13)

Izmantojot šo formulu, tās labajā pusē seko mainīgā vietā x aizstāt atbilstošo vērtību g.

Apsveriet tagad gadījumu, kad apgrieztā funkcija x(g) ir derīgs n-vērtīga funkcija g, Kur n ir vesels skaitlis, un visas n vērtības ir vienādi iespējamas. Tad

(14)

PIEMĒRS:

HARMONISKĀS FUNKCIJAS SADALĪJUMS.

Harmoniskā funkcija ar fiksētu amplitūdu X un biežumu f būs nejaušs lielums, ja tā sākuma fāzes leņķis  =  (k)- nejauša vērtība. Jo īpaši ļaujiet t fiksēts un vienāds t o, un lai harmoniskajam gadījuma mainīgajam ir forma

Izliksimies tā  (k) ir vienmērīgs varbūtības blīvums p( ) laipns

Atrodiet varbūtības blīvumu p(x) nejaušais mainīgais x(k).

Šajā piemērā tiešā funkcija x( ) viennozīmīgi, un apgrieztā funkcija  (x) neviennozīmīgi.