Perhatikan segitiga sembarang ABC dan titik D yang tidak terletak pada bidang segitiga tersebut. Mari kita hubungkan titik ini dengan titik sudut segitiga ABC menggunakan ruas. Hasilnya, kita mendapatkan segitiga ADC, CDB, ABD. Permukaan yang dibatasi oleh empat segitiga ABC, ADC, CDB dan ABD disebut tetrahedron dan diberi nama DABC.
Segitiga yang membentuk tetrahedron disebut mukanya.
Sisi-sisi segitiga ini disebut tepi tetrahedron. Dan simpulnya adalah simpul tetrahedron

Tetrahedron memiliki 4 wajah, 6 tulang rusuk Dan 4 puncak.
Dua sisi yang tidak mempunyai titik sudut yang sama disebut berhadapan.
Seringkali, untuk kenyamanan, salah satu wajah tetrahedron disebut dasar, dan tiga sisi sisanya adalah sisi samping.

Jadi, tetrahedron adalah polihedron paling sederhana yang mukanya berupa empat segitiga.

Namun benar juga bahwa setiap piramida segitiga sembarang adalah tetrahedron. Maka benar juga kalau disebut tetrahedron sebuah piramida dengan segitiga di alasnya.

Ketinggian tetrahedron disebut segmen yang menghubungkan suatu titik sudut dengan suatu titik yang terletak pada sisi berhadapan dan tegak lurus terhadap titik tersebut.
Median tetrahedron disebut segmen yang menghubungkan suatu titik sudut dengan titik potong median sisi yang berhadapan.
Bimedian dari tetrahedron disebut segmen yang menghubungkan titik tengah tepi berpotongan tetrahedron.

Karena tetrahedron adalah piramida dengan alas segitiga, volume tetrahedron apa pun dapat dihitung menggunakan rumus

• S– area wajah mana pun,
• H– tinggi diturunkan ke wajah ini

Tetrahedron biasa - jenis tetrahedron khusus

Tetrahedron yang semua sisinya sama sisi disebut segitiga. benar.
Sifat-sifat tetrahedron beraturan:

• Semua sisinya sama.
• Semua sudut bidang tetrahedron beraturan adalah 60°
• Karena setiap titik sudutnya merupakan titik sudut dari tiga segitiga beraturan, maka jumlah sudut bidang pada setiap titik sudutnya adalah 180°
• Setiap titik sudut dari tetrahedron beraturan diproyeksikan ke ortosenter sisi yang berlawanan (pada titik perpotongan ketinggian segitiga).

Mari kita diberi ABCD tetrahedron beraturan dengan rusuk sama dengan a. DH adalah tingginya.
Mari kita buat konstruksi tambahan BM - tinggi segitiga ABC dan DM - tinggi segitiga ACD.
Ketinggian BM sama dengan BM dan sama dengan
Perhatikan segitiga BDM, dimana DH yang merupakan tinggi tetrahedron juga merupakan tinggi segitiga tersebut.
Ketinggian segitiga yang dijatuhkan ke sisi MB dapat dicari dengan menggunakan rumus

, Di mana
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus tinggi badan. Kita mendapatkan


Mari kita ambil 1/2a. Kita mendapatkan

Mari kita terapkan rumus selisih kuadrat

Setelah transformasi kecil yang kita dapatkan


Volume tetrahedron apa pun dapat dihitung menggunakan rumus
,
Di mana ,

Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan

Jadi, rumus volume tetrahedron beraturan adalah

Di mana A–tepi tetrahedron

Menghitung volume tetrahedron jika koordinat titik-titiknya diketahui

Mari kita diberikan koordinat titik-titik tetrahedron

Dari titik puncak kita menggambar vektor , , .
Untuk mencari koordinat masing-masing vektor, kurangi koordinat awal yang bersesuaian dengan koordinat akhir. Kita mendapatkan

Bagian: Matematika

Rencana persiapan dan pelaksanaan pelajaran:

I.Tahap persiapan:

1. Pengulangan sifat-sifat piramida segitiga yang diketahui.
2. Mengajukan hipotesis tentang kemungkinan fitur tetrahedron yang belum pernah dipertimbangkan sebelumnya.
3. Pembentukan kelompok untuk melakukan penelitian terhadap hipotesis tersebut.
4. Pembagian tugas untuk masing-masing kelompok (dengan memperhatikan keinginan).
5. Pembagian tanggung jawab untuk menyelesaikan tugas.

II. Panggung utama:

1. Solusi hipotesis.
2. Konsultasi dengan guru.
3. Pendaftaran pekerjaan.

AKU AKU AKU. Tahap terakhir:

1. Presentasi dan pembelaan hipotesis.

Tujuan pelajaran:

• menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan dan keterampilan siswa; mempelajari materi teoretis tambahan tentang topik ini; mengajar menerapkan pengetahuan ketika memecahkan masalah non-standar, melihat komponen-komponen sederhana di dalamnya;
• mengembangkan kemampuan siswa dalam bekerja dengan literatur tambahan, meningkatkan kemampuan menganalisis, menggeneralisasi, menemukan pokok bahasan dari apa yang dibacanya, dan membuktikan sesuatu yang baru; mengembangkan keterampilan komunikasi siswa;
• menumbuhkan budaya grafis.

Tahap persiapan (1 pelajaran):

1. Pesan siswa “Rahasia Piramida Besar.”
2. Pidato pengantar oleh guru tentang macam-macam jenis piramida.
3. Pembahasan pertanyaan:

• Dengan kriteria apa piramida segitiga tak beraturan dapat digabungkan?
• Apa yang dimaksud dengan ortosenter suatu segitiga, dan apa yang disebut dengan ortosenter suatu tetrahedron
• Apakah tetrahedron persegi panjang memiliki orthocenter?
• Tetrahedron apa yang disebut isohedral?Sifat apa yang dimilikinya?

1. Sebagai hasil dari mempertimbangkan berbagai tetrahedra dan mendiskusikan sifat-sifatnya, konsep-konsep tersebut menjadi jelas dan struktur tertentu muncul:

1. Mari kita perhatikan sifat-sifat tetrahedron beraturan (Lampiran)

Sifat 1-4 dibuktikan secara lisan menggunakan Slide 1.

Properti 1: Semua sisinya sama.

Sifat 2: Semua sudut bidang sama dengan 60°.

Sifat 3: Jumlah sudut bidang pada tiga titik sudut suatu tetrahedron sama dengan 180°.

Properti 4: Jika tetrahedron beraturan, maka salah satu simpulnya diproyeksikan ke ortosenter sisi berlawanannya.

Diberikan:

ABCD – tetrahedron biasa

Ah - tinggi

Membuktikan:

H - pusat orto

Bukti:

1) titik H bisa berimpit dengan salah satu titik A, B, C. Misalkan H ?B, H ?C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Perhatikan ABH, BCH, ADH

IKLAN – umum => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD t.H – adalah ortosenter ABC

Q.E.D.

1. Pada pelajaran pertama, Sifat 5-9 dirumuskan sebagai hipotesis yang memerlukan pembuktian.

Setiap kelompok menerima pekerjaan rumahnya sendiri:

Buktikan salah satu sifat tersebut.

Siapkan alasan dengan presentasi.

II. Panggung utama (dalam seminggu):

1. Solusi hipotesis.
2. Konsultasi dengan guru.
3. Pendaftaran pekerjaan.

AKU AKU AKU. Tahap akhir (1-2 pelajaran):

Mempresentasikan dan mempertahankan hipotesis menggunakan presentasi.

Saat mempersiapkan materi untuk pelajaran akhir, siswa sampai pada kesimpulan tentang kekhasan titik potong ketinggian, kami sepakat menyebutnya sebagai titik “menakjubkan”.

Properti 5: Pusat-pusat bola yang dibatasi dan yang tertulis bertepatan.

Diberikan:

DABC – tetrahedron biasa

O 1 - pusat bola yang dijelaskan

O adalah pusat dari bola yang tertulis

N – titik kontak bola bertulisan dengan muka ABC

Buktikan: O 1 = O

Bukti:

Misalkan OA = OB =OD = OC – jari-jari lingkaran yang dibatasi

Mari kita hilangkan ON + (ABC)

AON = CON – persegi panjang, sepanjang kaki dan sisi miring => AN = CN

Mari kita hilangkan OM + (BCD)

COM DOM - persegi panjang, sepanjang kaki dan sisi miring => CM = DM

Dari poin 1 CON COM => ON =OM

ON + (ABC) => ON,OM – jari-jari lingkaran yang tertulis.

Teorema tersebut telah terbukti.

Untuk tetrahedron biasa, ada kemungkinan posisi timbal baliknya dengan bola - menyentuh bola tertentu dengan semua tepinya. Bola seperti itu kadang-kadang disebut “semi-tertulis”.

Sifat 6: Ruas-ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan dan tegak lurus terhadap sisi-sisi tersebut adalah jari-jari bola setengah bertulisan.

Diberikan:

ABCD – tetrahedron biasa;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

Membuktikan:

LO = Oke = OS = OM = AKTIF =OP

Bukti.

Tetrahedron ABCD – benar => AO= BO = CO =DO

Perhatikan segitiga AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – sama kaki =>
OL – median, tinggi, garis bagi
AO=CO=>?AOC– sama kaki =>
OK – median, tinggi, garis bagi
CO=DO=>?COD– sama kaki =>
ON– median, tinggi, garis bagi AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– sama kaki => BOD= Dewan Komisaris= AOD
OM – median, tinggi, garis bagi
AO=DO=>?AOD– sama kaki =>
OS – median, tinggi, garis bagi
BO=CO=>?Dewan Komisaris– sama kaki =>
OP – median, tinggi, garis bagi
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - tingginya sama dengan jari-jari OL, OK, ON, OM, OS, OP

bola segitiga sama kaki

Konsekuensi:

Bola setengah bertulisan dapat digambar dalam tetrahedron beraturan.

Properti 7: jika tetrahedronnya beraturan, maka setiap dua sisi yang berhadapan dari tetrahedron tersebut saling tegak lurus.

Diberikan:

DABC – tetrahedron biasa;

H – pusat orto

Membuktikan:

Bukti:

DABC – tetrahedron beraturan =>?ADB – sama sisi

(ADB) (EDC) = ED

ED – tinggi ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

Tegak lurus sisi-sisi lainnya dibuktikan dengan cara yang sama.

Sifat 8: Enam bidang simetri berpotongan di satu titik. Di titik O, empat garis lurus berpotongan, ditarik melalui pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar permukaannya, tegak lurus terhadap bidang permukaannya, dan titik O adalah pusat bola yang dibatasi tersebut.

Diberikan:

ABCD – tetrahedron biasa

Membuktikan:

O – pusat bola yang dijelaskan;

6 bidang simetri berpotongan di titik O;

Bukti.

CG + BD, karena BCD - sama sisi => GO + BD (dengan teorema tiga garis tegak lurus GO + BD)

BG = GD, karena AG – median ABD

ABD (ABD)=> ? BOD - sama kaki => BO=DO

ED + AB, karena ABD – sama sisi => OE + AD (dengan teorema tiga garis tegak lurus)

BE = AE, karena DE – median?ABD

ABD (ABD) =>?AOB – sama kaki =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (dengan teorema tiga

BF + AC, karena ABC - tegak lurus sama sisi)

AF = FC, karena BF – median?ABC

ABC (ABC) => AOC - sama kaki => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = AC

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – jari-jari bola,

AO = CO dijelaskan dekat tetrahedron ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (KED) = LAKUKAN

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

Karena itu:

Titik O adalah pusat bola yang dibatasi,

6 bidang simetri berpotongan di titik O.

Properti 9: Sudut tumpul antara garis tegak lurus yang melalui titik sudut tetrahedron ke pusat ortosenter adalah 109°28"

Diberikan:

ABCD – tetrahedron biasa;

O – pusat bola yang dibatasi;

Membuktikan:

Bukti:

1)SEBAGAI - tinggi

ASB = 90 o OSB persegi panjang

2) (sesuai dengan sifat tetrahedron beraturan)

3)AO=BO – jari-jari bola yang dibatasi

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

Kesimpulan.

(Guru dan siswa merangkum pelajaran. Salah satu siswa memberikan laporan singkat tentang tetrahedra, sebagai satuan struktur unsur kimia.)

Sifat-sifat tetrahedron biasa dan titik “menakjubkan” dipelajari.

Ditemukan bahwa hanya bentuk tetrahedron, yang memiliki semua sifat di atas, serta titik “ideal”, yang dapat dibentuk oleh molekul silikat dan hidrokarbon. Atau molekul dapat terdiri dari beberapa tetrahedra beraturan. Saat ini, tetrahedron dikenal tidak hanya sebagai representasi peradaban kuno dan matematika, tetapi juga sebagai dasar struktur zat.

Silikat adalah zat mirip garam yang mengandung senyawa silikon dan oksigen. Nama mereka berasal dari kata Latin "silex" - "flint". Dasar molekul silikat adalah radikal atom berbentuk tetrahedron.

Silikat adalah pasir, tanah liat, batu bata, kaca, semen, enamel, bedak, asbes, zamrud, dan topas.

Silikat membentuk lebih dari 75% kerak bumi (dan bersama dengan kuarsa sekitar 87%) dan lebih dari 95% batuan beku.

Ciri penting silikat adalah kemampuannya untuk saling menggabungkan (polimerisasi) dua atau lebih silikon-oksigen tetrahedra melalui atom oksigen yang sama.

Hidrokarbon jenuh memiliki bentuk molekul yang sama, tetapi tidak seperti silikat, hidrokarbon terdiri dari karbon dan hidrogen. Rumus umum molekul

Hidrokarbon termasuk gas alam.

Kita akan membahas sifat-sifat tetrahedra persegi panjang dan isohedral.

Literatur.

• Potapov V.M., Tatarinchik S.N. “Kimia organik”, Moskow 1976
• Babarin V.P. “Rahasia Piramida Besar”, St. Petersburg, 2000.
• Sharygin I.F. "Masalah dalam geometri", Moskow, 1984.
• Kamus ensiklopedis besar.
• “Buku referensi sekolah”, Moskow, 2001.

Dalam tetrahedron beraturan, semua sudut dihedral pada tepinya dan semua sudut trihedral pada titik sudutnya adalah sama besar.

Tetrahedron mempunyai 4 muka, 4 simpul dan 6 rusuk.

Rumus dasar tetrahedron beraturan diberikan dalam tabel.

Di mana:
S - Luas permukaan tetrahedron beraturan
V - volume
h - tinggi diturunkan ke alas
r - jari-jari lingkaran pada tetrahedron
R - keliling
a - panjang tepi

Contoh praktis

Larutan.
Karena semua rusuk limas segitiga sama besar, maka piramida tersebut beraturan. Luas permukaan limas segitiga beraturan adalah S = a 2 √3.
Kemudian
S = 3√3

Menjawab: 3√3

Tugas.
Panjang rusuk sebuah limas segitiga beraturan sama dengan 4 cm. Tentukan volume limas tersebut

Larutan.
Karena pada limas segitiga beraturan tinggi limas diproyeksikan ke pusat alasnya, yang juga merupakan pusat lingkaran yang dibatasi, maka

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Jadi tinggi piramida OM dapat dicari dari segitiga siku-siku AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Kita mencari volume limas menggunakan rumus V = 1/3 Sh
Dalam hal ini, kita mencari luas alasnya menggunakan rumus S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Menjawab: 16√2 / 3cm

Tetrahedron biasa. Terdiri dari empat segitiga sama sisi. Masing-masing simpulnya merupakan simpul dari tiga segitiga. Jadi, jumlah sudut bidang pada setiap titik sudut adalah 180?. Beras. 1.

Dimensi: 445 x 487 piksel, format: jpg. Untuk mendownload gambar gratis untuk pelajaran geometri, klik kanan pada gambar dan klik “Simpan gambar sebagai…”. Untuk menampilkan gambar dalam pelajaran, Anda juga dapat mengunduh seluruh presentasi “Polyhedron 2.ppt” beserta semua gambar dalam arsip zip secara gratis. Ukuran arsipnya adalah 197 KB.

Polihedron biasa

"Bukti Teorema Pythagoras" - Bukti Euclid. Bukti teorema. Bukti aljabar. Bukti geometris. Arti dari teorema Pythagoras. Perhatikan persegi yang ditunjukkan pada gambar. Dan sekarang teorema Pythagoras benar, seperti pada zamannya yang jauh. Pernyataan teorema. Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema terpenting dalam geometri.

"Polihedra biasa" - Oktahedron biasa. Dodecahedron biasa. Kristal natrium antimon sulfat berbentuk tetrahedron. Nama polihedra. Kristal garam meja (NaCl) berbentuk kubus. Icosahedron beraturan terdiri dari dua puluh segitiga sama sisi. Tetrahedron beraturan terdiri dari empat segitiga sama sisi.

"Sejarah Geometri" - abad VI SM. Geometri mengandung banyak rumus, gambar, teorema, soal, dan aksioma. Abad Pertengahan. Thales mengusulkan metode untuk menentukan jarak ke kapal di laut. Mesir Kuno. Secara keseluruhan, karya Euclid sungguh luar biasa. Thales menghitung tinggi piramida Cheops di Mesir dengan panjang bayangannya. Dalam geometri Lyubachevsky, jumlah sudut suatu segitiga kurang dari 180°; tidak ada bangun yang serupa di dalamnya.

“Sudut antar vektor” - Perhatikan garis panduan D1B dan CB1. Tentukan sudut antara garis ВD dan CD1. Kosinus sudut antar vektor. Mari kita cari koordinat vektor DD1 dan MN. Produk titik dari vektor. Bagaimana cara mencari jarak antar titik? Sudut antar vektor. Perhitungan sudut antara garis lurus dan bidang. Vektor arahnya lurus.

"Geometri Lobachevsky" - Pada gambar, apakah huruf-hurufnya sejajar (berdiri lurus) atau tidak? Apakah geometri non-Euclidean satu-satunya yang benar? Geometri Riemann mendapatkan namanya dari B. Riemann, yang meletakkan fondasinya pada tahun 1854. Sains tidak akan pernah berhenti. Apakah gambar tersebut menunjukkan spiral atau beberapa lingkaran?

"Segitiga Sama Kaki" - Sisi. BD - median. Tinggi. Basis. Segitiga sama kaki. Ketinggian segitiga sama kaki yang ditarik ke alasnya adalah median dan garis bagi. AB dan BC adalah sisi lateralnya. Pada segitiga sama kaki, sudut alasnya sama besar. BD - tinggi. ВD - garis bagi. Segitiga yang semua sisinya sama panjang disebut sama sisi.

Total ada 15 presentasi dalam topik tersebut

TRANSKRIP TEKS PELAJARAN:

Selamat siang Kami terus mempelajari topik: “Paralelisme garis dan bidang.”

Saya rasa sudah jelas bahwa hari ini kita akan berbicara tentang polihedra - permukaan benda geometris yang terdiri dari poligon.

Yaitu tentang tetrahedron.

Kami akan mempelajari polihedra sesuai rencana:

1. pengertian tetrahedron

2. unsur tetrahedron

3. perkembangan tetrahedron

4. gambar di pesawat

1. buatlah segitiga ABC

2. titik D tidak terletak pada bidang segitiga tersebut

3. menghubungkan titik D dengan ruas-ruas ke titik sudut segitiga ABC. Kami mendapatkan segitiga DAB, DBC dan DCA.

Definisi: Permukaan yang terdiri dari empat segitiga ABC, DAB, DBC dan DCA disebut tetrahedron.

Penunjukan: DABC.

Elemen tetrahedron

Segitiga-segitiga yang membentuk suatu tetrahedron disebut muka, sisi-sisinya disebut rusuk, dan simpul-simpulnya disebut simpul-simpul tetrahedron.

Berapa banyak sisi, tepi, dan simpul yang dimiliki tetrahedron?

Tetrahedron memiliki empat sisi, enam sisi, dan empat simpul

Dua sisi suatu tetrahedron yang tidak mempunyai simpul-simpul yang sama disebut berhadapan.

Pada gambar, rusuk AD dan BC, BD dan AC, CD dan AB berhadapan.

Kadang-kadang salah satu muka tetrahedron diisolasi dan disebut alasnya, dan tiga muka lainnya disebut muka samping.

Pengembangan tetrahedron.

Untuk membuat tetrahedron dari kertas diperlukan pengembangan sebagai berikut:

itu perlu dipindahkan ke kertas tebal, dipotong, dilipat sepanjang garis putus-putus dan direkatkan.

Di pesawat, tetrahedron digambarkan

Berbentuk segi empat cembung atau tidak cembung dengan diagonal-diagonalnya. Dalam hal ini, tepi yang tidak terlihat digambarkan dengan garis putus-putus.

Pada gambar pertama, AC adalah tepi yang tidak terlihat,

yang kedua - EK, LK dan KF.

Mari kita selesaikan beberapa masalah tetrahedron yang umum:

Temukan luas pengembangan tetrahedron beraturan dengan rusuk 5 cm.

Larutan. Mari kita menggambar perkembangan tetrahedron

(pemindaian tetrahedron muncul di layar)

Tetrahedron ini terdiri dari empat segitiga sama sisi, oleh karena itu luas pengembangan tetrahedron beraturan sama dengan luas seluruh permukaan tetrahedron atau luas empat segitiga beraturan.

Kita mencari luas segitiga beraturan menggunakan rumus:

Kemudian kita mendapatkan luas tetrahedron sama dengan:

Mari kita substitusikan panjang rusuk a = 5 cm ke dalam rumus,

ternyata

Jawaban : Daerah perkembangan tetrahedron beraturan

Buatlah bagian tetrahedron dengan bidang yang melalui titik M, N dan K.

a) Memang benar, mari kita hubungkan titik M dan N (milik muka ADC), titik M dan K (milik muka ADB), titik N dan K (muka DBC). Penampang tetrahedron adalah segitiga MKN.

b) Hubungkan titik M dan K (milik sisi ADB), titik K dan N (milik sisi DCB), kemudian lanjutkan garis MK dan AB hingga berpotongan dan letakkan titik P. Garis PN dan titik T terletak pada bidang yang sama ABC dan sekarang kita dapat membuat perpotongan garis lurus MK dengan masing-masing mukanya. Hasilnya adalah MKNT segi empat yang merupakan bagian yang diinginkan.