Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC un punktu D, kas neatrodas šī trijstūra plaknē. Savienojiet šo punktu ar segmentiem ar trijstūra ABC virsotnēm. Rezultātā mēs iegūstam trīsstūrus ADC , CDB , ABD . Virsmu, ko ierobežo četri trīsstūri ABC, ADC, CDB un ABD, sauc par tetraedru un apzīmē ar DABC.
Trijstūrus, kas veido tetraedru, sauc par tā skaldnēm.
Šo trīsstūru malas sauc par tetraedra malām. Un to virsotnes ir tetraedra virsotnes

Tetraedram ir 4 sejas, 6 ribas Un 4 virsotnes.
Divas malas, kurām nav kopīgas virsotnes, sauc par pretējām.
Bieži vien ērtības labad tiek saukta viena no tetraedra skaldnēm pamata, un pārējās trīs sejas ir sānu malas.

Tādējādi tetraedrs ir vienkāršākais daudzskaldnis, kura skaldnes ir četri trīsstūri.

Bet ir arī taisnība, ka jebkura patvaļīga trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs. Tad arī ir taisnība, ka sauc tetraedru piramīda ar trīsstūri tās pamatnē.

Tetraedra augstums sauc par segmentu, kas savieno virsotni ar punktu, kas atrodas pretējā pusē un ir tai perpendikulārs.
Tetraedra mediāna sauc par segmentu, kas savieno virsotni ar pretējās skaldnes mediānu krustpunktu.
Bimedian tetraedrs sauc par segmentu, kas savieno tetraedra krustošanās malu viduspunktus.

Tā kā tetraedrs ir piramīda ar trīsstūra pamatni, jebkura tetraedra tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu

• S ir jebkuras sejas laukums,
• H- augums pazemināts uz šīs sejas

Regulārais tetraedrs - īpašs tetraedra veids

Tiek saukts tetraedrs, kura visas skaldnes ir vienādmalu trijstūri pareizi.
Parasta tetraedra īpašības:

• Visas malas ir vienādas.
• Visi regulāra tetraedra plaknes leņķi ir 60°
• Tā kā katra no tās virsotnēm ir trīs regulāru trīsstūru virsotne, plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 180°
• Jebkura regulāra tetraedra virsotne tiek projicēta uz pretējās skaldnes ortocentru (līdz trijstūra augstumu krustpunktam).

Piešķirsim regulāru tetraedru ABCD ar malām, kas vienādas ar a . DH ir tā augstums.
Veidosim papildu konstrukcijas BM - trijstūra ABC augstums un DM - trijstūra ACD augstums .
Augstums BM ir vienāds ar BM un vienāds
Apsveriet trīsstūri BDM , kur DH , kas ir tetraedra augstums, ir arī šī trijstūra augstums.
Trīsstūra augstumu, kas nokrīt uz malu MB, var atrast, izmantojot formulu

, Kur
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Aizstājiet šīs vērtības augstuma formulā. gūt


Izņemsim 1/2a. gūt

Pielietojiet kvadrātu formulu starpību

Pēc dažām nelielām pārvērtībām mēs iegūstam


Jebkura tetraedra tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu
,
Kur ,

Aizstājot šīs vērtības, mēs iegūstam

Tādējādi regulāra tetraedra tilpuma formula ir

Kur a-tetraedra mala

Tetraedra tilpuma aprēķināšana, ja ir zināmas tā virsotņu koordinātas

Dosim mums tetraedra virsotņu koordinātas

Zīmējiet vektorus no virsotnes , , .
Lai atrastu katra no šiem vektoriem koordinātas, no beigu koordinātas atņemiet atbilstošo sākuma koordinātu. gūt

Sadaļas: Matemātika

Nodarbības sagatavošanas un vadīšanas plāns:

I. Sagatavošanas posms:

1. Trīsstūrveida piramīdas zināmo īpašību atkārtojums.
2. Izvirzīt hipotēzes par iespējamām, iepriekš neapskatītām tetraedra iezīmēm.
3. Grupu veidošana šo hipotēžu pētījumu veikšanai.
4. Uzdevumu sadale katrai grupai (ņemot vērā vēlmi).
5. Atbildības sadale par uzdevumu.

II. Galvenā skatuve:

1. Hipotēzes risinājums.
2. Konsultācijas ar skolotāju.
3. Darba forma.

III. Pēdējais posms:

1. Hipotēzes izklāsts un aizstāvēšana.

Nodarbības mērķi:

• vispārināt un sistematizēt skolēnu zināšanas un prasmes; apgūt papildu teorētisko materiālu par norādīto tēmu; iemācīt pielietot zināšanas nestandarta problēmu risināšanā, saskatīt tajos vienkāršas sastāvdaļas;
• veidot studentu prasmi strādāt ar papildliteratūru, pilnveidot spēju analizēt, vispārināt, atrast lasītajā galveno, pierādīt jaunas lietas; attīstīt skolēnu komunikācijas prasmes;
• izkopt grafisko kultūru.

Sagatavošanas posms (1 nodarbība):

1. Studenta vēstījums "Lielo piramīdu noslēpumi".
2. Skolotājas ievadruna par piramīdu veidu daudzveidību.
3. Diskusijas jautājumi:

• Uz kāda pamata var apvienot neregulāras trīsstūrveida piramīdas
• Ko mēs saprotam ar trijstūra ortocentru un ko var saukt par tetraedra ortocentru
• Vai taisnstūra tetraedram ir ortocentrs?
• Kuru tetraedru sauc par izoedrisku Kādas īpašības tam var būt

1. Apsverot dažādus tetraedrus, apspriežot to īpašības, jēdzieni tiek precizēti un parādās noteikta struktūra:

1. Apsveriet regulāra tetraedra īpašības. (Pielikums)

Īpašības 1-4 ir pierādītas mutiski, izmantojot 1. slaidu.

1. īpašība: visas malas ir vienādas.

2. īpašība: visi plaknes leņķi ir 60°.

3. īpašība: plaknes leņķu summas jebkurās trijās tetraedra virsotnēs ir 180°.

4. īpašība: ja tetraedrs ir regulārs, tad jebkura tā virsotne tiek projicēta pretējās skaldnes ortocentrā.

Ņemot vērā:

ABCD ir regulārs tetraedrs

AH - augstums

Pierādīt:

H - ortocentrs

Pierādījums:

1) punkts H var sakrist ar jebkuru no punktiem A, B, C. Pieņemsim, ka H ?B, H ?C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Apsveriet ABH, BCH, ADH

AD - vispārīgi => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB \u003d AC \u003d AD t. H - ir ABC ortocentrs

Q.E.D.

1. Pirmajā nodarbībā Īpašības 5-9 tiek formulētas kā hipotēzes, kurām nepieciešams pierādījums.

Katra grupa saņem savu mājasdarbu:

Pierādi kādu no īpašībām.

Sagatavojiet pamatojumu ar prezentāciju.

II. Galvenais posms (nedēļas laikā):

1. Hipotēzes risinājums.
2. Konsultācijas ar skolotāju.
3. Darba forma.

III. Noslēguma posms (1-2 nodarbības):

Hipotēzes atspoguļošana un aizstāvēšana, izmantojot prezentācijas.

Sagatavojot materiālu nobeiguma stundai, skolēni nonāk pie secinājuma par augstumu krustošanās punkta iezīmēm, piekrītam to saukt par “apbrīnojamo” punktu.

5. īpašība: norobežotās un ierakstītās sfēras centri sakrīt.

Ņemot vērā:

DABC ir regulārs tetraedrs

Apmēram 1 - aprakstītās sfēras centrs

O - ierakstītās sfēras centrs

N ir ierakstītās sfēras saskares punkts ar seju ABC

Pierādīt: O 1 = O

Pierādījums:

Lai OA = OB =OD = OC ir ierobežotā apļa rādiusi

Drop ON + (ABC)

AON = CON - taisnstūrveida, gar kāju un hipotenūzu => AN = CN

Izlaist OM + (BCD)

COM DOM - taisnstūrveida, gar kāju un hipotenūzu => CM = DM

No 1. punkta CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON,OM - ierakstītā apļa rādiusi.

Teorēma ir pierādīta.

Parastajam tetraedram pastāv tā savstarpēja izkārtojuma iespēja ar sfēru - kontakts ar noteiktu sfēru ar visām tās malām. Šādu sfēru dažreiz sauc par “daļēji ierakstītu” sfēru.

Īpašums 6: segmenti, kas savieno pretējo malu viduspunktus un ir perpendikulāri šīm malām, ir daļēji ierakstītas sfēras rādiusi.

Ņemot vērā:

ABCD ir regulārs tetraedrs;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

Pierādīt:

LO=OK=OS=OM=ON=OP

Pierādījums.

Tetraedrs ABCD - regulārs => AO= BO = CO = DO

Apsveriet trīsstūrus AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – vienādsānu =>
OL - mediāna, augstums, bisektrise
AO=CO=>?AOC– vienādsānu =>
OK - mediāna, augstums, bisektrise
CO=DO=>?COD– vienādsānu =>
ON– mediāna, augstums, bisektrise AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD–vienādsānu => BOD=BOC=AOD
OM – mediāna, augstums, bisektrise
AO=DO=>?AOD– vienādsānu =>
OS - mediāna, augstums, bisektrise
BO=CO=>?BOC– vienādsānu =>
OP – mediāna, augstums, bisektrise
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP — augstumi vienādos OL,OK,ON,OM,OS, OP rādiusos

sfēras vienādsānu trīsstūri

Sekas:

Parasts tetraedrs satur daļēji ierakstītu sfēru.

7. īpašums: ja tetraedrs ir regulārs, tad katras divas pretējās tetraedra malas ir savstarpēji perpendikulāras.

Ņemot vērā:

DABC ir regulārs tetraedrs;

H - ortocentrs

Pierādīt:

Pierādījums:

DABC - regulārs tetraedrs => ADB - vienādmalu

(ADB) (EDC) = ED

ED — ADB augstums => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

Līdzīgi tiek pierādīta arī citu šķautņu perpendikulitāte.

8. īpašība: sešas simetrijas plaknes krustojas vienā punktā. Četras taisnes krustojas punktā O, kas novilktas caur to riņķu centriem, kas ir apzīmēti blakus skaldnēm, kas ir perpendikulāras plakņu plaknēm, un punkts O ir norobežotās sfēras centrs.

Ņemot vērā:

ABCD ir regulārs tetraedrs

Pierādīt:

O ir aprakstītās sfēras centrs;

6 simetrijas plaknes krustojas punktā O;

Pierādījums.

CG + BD BCD - vienādmalu => GO + BD (pēc trīs GO + BD perpendikulu teorēmas)

BG = GD, jo AG — ABD mediāna

ABD (ABD)=> ? BOD – vienādsānu => BO=DO

ED + AB, kā ABD - vienādmalu => OE + AD (pēc trīs perpendikulu teorēmas)

BE = AE, jo DE — mediāna?ABD

ABD (ABD) =>?AOB - vienādsānu =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

IESLĒGTS + (ABC) OF + AC (pa trīs

BF + AC, jo ABC — vienādmalu perpendikuli)

AF = FC, jo BF — mediāna? ABC

ABC (ABC) => AOC - vienādsānu => AO = CO

(AOC) ? (ABC) = AC

BO = AO => AO = BO = CO = DO ir sfēras rādiusi,

AO = CO, kas norobežots ap tetraedru ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

Tātad:

Punkts O ir norobežotās sfēras centrs,

6 simetrijas plaknes krustojas punktā O.

9. īpašums: strups leņķis starp perpendikuliem, kas iet caur tetraedra virsotnēm uz ortocentriem, ir 109°28"

Ņemot vērā:

ABCD ir regulārs tetraedrs;

O ir aprakstītās sfēras centrs;

Pierādīt:

Pierādījums:

1)AS - augstums

ASB = 90 o OSB taisnstūrveida

2) (pēc regulāra tetraedra īpašībām)

3)AO=BO - norobežotās sfēras rādiusi

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

Secinājums.

(Skolotājs un skolēni apkopo stundu. Viens no skolēniem runā ar īsu ziņojumu par tetraedriem kā ķīmisko elementu struktūrvienību.)

Tiek pētītas regulāra tetraedra īpašības un tā “pārsteidzošais” punkts.

Tika konstatēts, ka silikātu un ogļūdeņražu molekulas var aizņemt tikai tāda tetraedra formu, kuram ir visas iepriekš minētās īpašības, kā arī “ideāls” punkts. Vai arī molekulas var sastāvēt no vairākiem regulāriem tetraedriem. Šobrīd tetraedrs ir pazīstams ne tikai kā senās civilizācijas, matemātikas pārstāvis, bet arī kā vielu uzbūves pamats.

Silikāti ir sāļiem līdzīgas vielas, kas satur silīcija savienojumus ar skābekli. Viņu nosaukums cēlies no latīņu vārda "silex" - "krams". Silikātu molekulu pamatā ir atomu radikāļi, kuriem ir tetraedra forma.

Silikāti ir smiltis un māls, un ķieģelis, un stikls, un cements, un emalja, un talks, un azbests, un smaragds un topāzs.

Silikāti veido vairāk nekā 75% no zemes garozas (un kopā ar kvarcu aptuveni 87%) un vairāk nekā 95% no magmatiskajiem iežiem.

Svarīga silikātu iezīme ir divu vai vairāku silīcija-skābekļa tetraedru savstarpēja kombinācija (polimerizācija) caur kopīgu skābekļa atomu.

Tajā pašā molekulu formā ir piesātināti ogļūdeņraži, taču tie atšķirībā no silikātiem sastāv no oglekļa un ūdeņraža. Vispārīgā molekulu formula

Ogļūdeņraži ietver dabasgāzi.

Jāņem vērā taisnstūra un izoedrāla tetraedra īpašības.

Literatūra.

• Potapovs V.M., Tatarinčiks S.N. "Organiskā ķīmija", Maskava 1976.
• Babarin V.P. “Lielo piramīdu noslēpumi”, Sanktpēterburga, 2000.g
• Šarigins I. F. “Ģeometrijas problēmas”, Maskava, 1984
• Lielā enciklopēdiskā vārdnīca.
• “Skolu katalogs”, Maskava, 2001.

Parastajam tetraedram visi divskaldņu leņķi malās un visi trīsstūrveida leņķi virsotnēs ir vienādi

Tetraedram ir 4 skaldnes, 4 virsotnes un 6 malas.

Parasta tetraedra pamatformulas ir dotas tabulā.

Kur:
S - regulāra tetraedra virsmas laukums
V - apjoms
h - augstums nolaists līdz pamatnei
r - tetraedrā ierakstītā riņķa rādiuss
R - ierobežotā apļa rādiuss
a - ribas garums

Praktiski piemēri

Risinājums.
Tā kā visas trīsstūrveida piramīdas malas ir vienādas, tas ir pareizi. Regulāras trīsstūrveida piramīdas virsmas laukums ir S = a 2 √3.
Tad
S = 3√3

Atbilde: 3√3

Uzdevums.
Regulāras trīsstūrveida piramīdas visas malas ir 4 cm.Atrodiet piramīdas tilpumu

Risinājums.
Tā kā regulārā trīsstūrveida piramīdā piramīdas augstums tiek projicēts pamatnes centrā, kas vienlaikus ir arī ierobežotā apļa centrs, tad

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3/3

Tādējādi piramīdas OM augstumu var atrast no taisnleņķa trijstūra AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 — AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3/3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2/√3

Piramīdas tilpumu nosaka pēc formulas V = 1/3 Sh
Šajā gadījumā mēs atrodam bāzes laukumu pēc formulas S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3/4*16) (4√2/√3)
V=16√2/3

Atbilde: 16√2/3cm

Regulārs tetraedrs. Sastāv no četriem vienādmalu trijstūriem. Katra tā virsotne ir trīs trīsstūru virsotne. Tāpēc plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 180?. Rīsi. 1.

Izmēri: 445 x 487 pikseļi, formāts: jpg. Lai bez maksas lejupielādētu attēlu ģeometrijas nodarbībai, ar peles labo pogu noklikšķiniet uz attēla un noklikšķiniet uz "Saglabāt attēlu kā...". Lai nodarbībā parādītu bildes, bez maksas var lejupielādēt arī pilnu prezentāciju "Polyhedron 2.ppt" ar visām bildēm zip arhīvā. Arhīva lielums - 197 KB.

regulārs daudzskaldnis

"Pitagora teorēmas pierādījums" - Eiklida pierādījums. Teorēmas pierādījumi. Algebriskais pierādījums. ģeometriskais pierādījums. Pitagora teorēmas nozīme. Apsveriet attēlā redzamo kvadrātu. Un tagad Pitagora Verna teorēma, kā viņa tālajā laikmetā. Teorēmas paziņojums. Pitagora teorēma ir viena no svarīgākajām ģeometrijas teorēmām.

"Parastais daudzskaldnis" - regulārs oktaedrs. Pareizs dodekaedrs. Antimona nātrija sulfāta kristālam ir tetraedra forma. Daudzskaldņu nosaukumi. Sāls (NaCl) kristāli ir kuba formas. Regulāru ikosaedru veido divdesmit vienādmalu trīsstūri. Regulāru tetraedru veido četri vienādmalu trīsstūri.

"Ģeometrijas vēsture" - VI gadsimts pirms mūsu ēras. Ģeometrijā ir daudz formulu, attēlu, teorēmu, problēmu, aksiomu. Viduslaiki. Thales ierosināja metodi attāluma noteikšanai līdz kuģim jūrā. Senā Ēģipte. Kopumā Eiklida darbs ir majestātisks. Thales aprēķināja Ēģiptes piramīdas Heopsa augstumu pēc metās ēnas garuma. Ļubačevska ģeometrijā trijstūra leņķu summa ir mazāka par 180°, tajā nav līdzīgu skaitļu.

"Leņķis starp vektoriem" — ņemiet vērā vadošās līnijas D1B un CB1. Atrodiet leņķi starp līnijām BD un CD1. Leņķa kosinuss starp vektoriem. Atrodiet vektoru DD1 un MN koordinātas. Vektoru skalārais reizinājums. Kā tiek noteikts attālums starp punktiem? Leņķis starp vektoriem. Leņķu aprēķins starp taisnēm un plaknēm. Virziena vektors ir taisns.

"Lobačevska ģeometrija" - vai burti attēlā ir paralēli (stāv taisni) vai nē? Vai ne-eiklīda ģeometrija ir vienīgā pareizā? Rīmaņa ģeometrija savu nosaukumu ieguvusi no B. Rīmaņa, kurš lika pamatus 1854. gadā. Zinātne nekad nestāvēs uz vietas. Vai attēlā ir redzama spirāle vai vairāki apļi?

"Vienādsānu trīsstūris" - sānu puse. BD ir mediāna. Augstums. Bāze. Vienādsānu trīsstūris. Līdz pamatnei novilkta vienādsānu trijstūra augstums ir mediāna un bisektrise. AB un BC ir malas. Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi. BD - augstums. BD - bisektrise. Trijstūri, kura visas malas ir vienādas, sauc par vienādmalu trīsstūri.

Pavisam tēmā ir 15 prezentācijas

NODARBĪBAS TEKSTS SKAIDROJUMS:

Labdien Mēs turpinām pētīt tēmu: "Līniju un plakņu paralēlisms".

Manuprāt, jau tagad ir skaidrs, ka šodien mēs runāsim par daudzskaldņiem – ģeometrisku ķermeņu virsmām, kas veidotas no daudzstūriem.

Proti, tetraedrs.

Mēs pētīsim daudzskaldni pēc plāna:

1. tetraedra definīcija

2. tetraedra elementi

3. tetraedra attīstība

4. attēls lidmašīnā

1. izveido trijstūri ABC

2. punkts D, kas neatrodas šī trijstūra plaknē

3. savieno punktu D pa segmentiem ar trijstūra ABC virsotnēm. Mēs iegūstam trīsstūrus DAB, DBC un DCA.

Definīcija: Virsmu, kas sastāv no četriem trijstūriem ABC, DAB, DBC un DCA, sauc par tetraedru.

Apzīmējums: DABC.

Tetraedra elementi

Trijstūrus, kas veido tetraedru, sauc par skaldnēm, to malas ir malas, un to virsotnes ir tetraedra virsotnes.

Cik skaldņu, šķautņu un virsotņu ir tetraedram?

Tetraedram ir četras skaldnes, sešas malas un četras virsotnes.

Divas tetraedra malas, kurām nav kopīgu virsotņu, sauc par pretējām.

Attēlā malas AD un BC, BD un AC, CD un AB ir pretējas.

Dažreiz vienu no tetraedra skaldnēm izceļ un sauc par tās pamatni, bet pārējās trīs sauc par sānu virsmām.

Tetraedrs izvēršas.

Lai no papīra izveidotu tetraedru, jums būs nepieciešama šāda skenēšana:

tas jāpārnes uz bieza papīra, jāizgriež, jāsaloka pa punktētām līnijām un jāpielīmē.

Tetraedrs ir attēlots plaknē

Izliekta vai neizliekta četrstūra formā ar diagonālēm. Pārtrauktās līnijas apzīmē neredzamas malas.

Pirmajā attēlā AC ir neredzama mala,

otrajā - EK, LK un KF.

Atrisināsim vairākas tipiskas tetraedra problēmas:

Atrodiet regulāra tetraedra attīstības laukumu ar 5 cm malu.

Risinājums. Uzzīmēsim tetraedra tīklu

(ekrānā parādās tetraedra slaucīšana)

Šis tetraedrs sastāv no četriem vienādmalu trijstūriem, tāpēc regulāra tetraedra attīstības laukums ir vienāds ar tetraedra kopējo virsmas laukumu vai četru regulāru trīsstūru laukumu.

Mēs meklējam regulāra trīsstūra laukumu, izmantojot formulu:

Tad mēs iegūstam tetraedra laukumu, kas vienāds ar:

Formulā aizstājiet malas garumu a \u003d 5 cm,

izrādās

Atbilde: Regulāra tetraedra laukums

Izveidojiet tetraedra posmu ar plakni, kas iet caur punktiem M, N un K.

a) Patiešām, savienosim punktus M un N (tie pieder sejai ADC), punktus M un K (tie pieder sejai ADB), punktus N un K (virsmas DBC). Tetraedra griezums ir trīsstūris MKN.

b) Savienojiet punktus M un K (pieder pie sejas ADB), punktus K un N (pieder pie sejas DCB), tad turpiniet taisnes MK un AB līdz krustojumam un novietojiet punktu P. Taisne PN un punkts T atrodas vienā plaknē ABC, un tagad mēs varam izveidot taisnes MK krustpunktu ar katru skalu. Rezultāts ir četrstūris MKNT, kas ir vajadzīgā sadaļa.