Dengan layanan ini, Anda bisa mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi satu variabel f(x) dengan desain solusi di Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, maka perlu dicari titik ekstrem dari fungsi dua variabel. Anda juga dapat menemukan interval kenaikan dan penurunan fungsi.

Aturan entri fungsi:

Kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem dari satu variabel

Persamaan f "0 (x *) \u003d 0 merupakan syarat perlu untuk ekstrem suatu fungsi suatu variabel, yaitu pada titik x * turunan pertama dari fungsi tersebut harus hilang. Persamaan ini memilih titik stasioner x c di mana fungsi tersebut tidak bertambah dan tidak berkurang.

Kondisi cukup untuk suatu fungsi ekstrem dari satu variabel

Misalkan f 0 (x) terdiferensialkan dua kali terhadap x yang termasuk dalam himpunan D . Jika pada titik x* syarat terpenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Maka titik x* adalah titik minimum lokal (global) dari fungsi tersebut.

Jika pada titik x* syarat terpenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Titik x* tersebut adalah maksimum lokal (global).

Contoh 1. Temukan nilai fungsi terbesar dan terkecil: pada segmen .
Larutan.

Titik kritisnya adalah satu x 1 = 2 (f'(x)=0). Titik ini termasuk dalam segmen tersebut. (Intinya x=0 tidak kritis, karena 0∉).
Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik kritis.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawaban: f min = 5/2 untuk x=2; f maks =9 pada x=1

Contoh #2. Dengan menggunakan turunan orde tinggi, carilah titik ekstrem dari fungsi y=x-2sin(x) .
Larutan.
Tentukan turunan dari fungsi tersebut: y’=1-2cos(x) . Mari kita cari titik kritisnya: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Kita mencari y''=2sin(x), hitung , jadi x= π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik minimum dari fungsi tersebut; , jadi x=- π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.

Contoh #3. Selidiki fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Larutan. Di sini perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsinya. Jika ekstrem x=0 , cari tahu jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik-titik yang ditemukan tidak ada x = 0, maka hitunglah nilai fungsi f(x=0).
Perlu dicatat bahwa ketika turunan pada setiap sisi suatu titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin terjadi tidak habis bahkan untuk fungsi-fungsi yang terdiferensiasi: dapat terjadi bahwa untuk lingkungan kecil sembarang di satu sisi titik x 0 atau di kedua sisi, turunannya berubah tanda. Pada titik ini, kita harus menerapkan metode lain untuk mempelajari fungsi secara ekstrem.

Contoh #4. Bagilah bilangan 49 menjadi dua suku, yang hasil kali bilangan terbesarnya.
Larutan. Misalkan x adalah suku pertama. Maka (49-x) adalah suku kedua.
Hasil kali maksimal: x (49-x) → maks
atau
49x-x2

Volume silinder terbesar

Tentukan ukuran silinder dengan volume terbesar yang terbuat dari benda kerja berbentuk bola berjari-jari R.
Larutan:

Volume silinder adalah: V = πr 2 H
dimana H = 2 jam,
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam fungsi tujuan.

V → maks
Temukan ekstrem dari fungsinya. Karena fungsi volume V(h) hanya bergantung pada satu variabel, kita akan mencari turunannya menggunakan layanan tersebut

Dari artikel ini, pembaca akan belajar tentang apa itu nilai fungsional ekstrem, serta tentang ciri-ciri penggunaannya dalam praktik. Studi tentang konsep semacam itu sangat penting untuk memahami dasar-dasar matematika tingkat tinggi. Topik ini sangat penting untuk mempelajari kursus lebih dalam.

Dalam kontak dengan

Apa yang ekstrim?

Dalam pelajaran sekolah banyak diberikan definisi tentang konsep “ekstrim”. Artikel ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman terdalam dan jelas mengenai istilah tersebut bagi mereka yang awam terhadap permasalahan tersebut. Jadi, istilah tersebut dipahami sejauh mana interval fungsional memperoleh nilai minimum atau maksimum pada suatu himpunan tertentu.

Ekstremnya adalah nilai minimum dari suatu fungsi dan nilai maksimum pada saat yang bersamaan. Ada titik minimum dan titik maksimum, yaitu nilai ekstrim argumen pada grafik. Ilmu-ilmu utama yang menggunakan konsep ini:

  • statistik;
  • kontrol mesin;
  • ekonometrika.

Titik ekstrim memegang peranan penting dalam menentukan barisan suatu fungsi tertentu. Sistem koordinat pada grafik paling baik menunjukkan perubahan posisi ekstrim tergantung pada perubahan fungsi.

Ekstrem dari fungsi turunan

Ada juga yang namanya "turunan". Penting untuk menentukan titik ekstrem. Penting untuk tidak mengacaukan titik minimum dan maksimum dengan nilai terbesar dan terkecil. Ini adalah konsep yang berbeda, meskipun mungkin tampak serupa.

Nilai fungsi merupakan faktor utama dalam menentukan cara mencari titik maksimum. Turunannya tidak terbentuk dari nilai-nilai, melainkan semata-mata dari posisi ekstrimnya dalam satu urutan atau lainnya.

Turunannya sendiri ditentukan berdasarkan data titik ekstrimnya, dan bukan nilai terbesar atau terkecil. Di sekolah-sekolah Rusia, garis antara kedua konsep ini tidak ditarik dengan jelas, sehingga mempengaruhi pemahaman topik ini secara umum.

Sekarang mari kita pertimbangkan hal seperti "ekstrim tajam". Sampai saat ini, terdapat nilai minimum akut dan nilai maksimum akut. Definisi tersebut diberikan sesuai dengan klasifikasi titik kritis suatu fungsi Rusia. Konsep titik ekstrem menjadi dasar untuk menemukan titik-titik kritis pada sebuah grafik.

Untuk mendefinisikan konsep seperti itu, digunakan teorema Fermat. Ini adalah hal terpenting dalam studi tentang titik-titik ekstrem dan memberikan gambaran yang jelas tentang keberadaannya dalam satu atau lain bentuk. Untuk memastikan ekstremitas, penting untuk menciptakan kondisi tertentu untuk penurunan atau kenaikan pada grafik.

Untuk menjawab pertanyaan “bagaimana mencari titik maksimal” secara akurat, ketentuan berikut harus diikuti:

  1. Menemukan area definisi yang tepat pada grafik.
  2. Mencari turunan suatu fungsi dan titik ekstrem.
  3. Selesaikan pertidaksamaan standar untuk domain argumen.
  4. Mampu membuktikan fungsi mana yang suatu titik pada suatu grafik terdefinisi dan kontinu.

Perhatian! Pencarian titik kritis suatu fungsi hanya mungkin dilakukan jika terdapat turunan setidaknya orde kedua, yang dijamin dengan sebagian besar keberadaan titik ekstrem.

Kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem

Agar titik ekstrem ada, penting bahwa terdapat titik minimum dan titik maksimum. Jika aturan ini hanya dipatuhi sebagian, maka kondisi keberadaan ekstrem dilanggar.

Setiap fungsi dalam posisi apa pun harus dibedakan untuk mengidentifikasi makna barunya. Penting untuk dipahami bahwa kasus hilangnya suatu titik bukanlah prinsip utama dalam menemukan titik terdiferensiasi.

Ekstrem lancip, serta fungsi minimum, merupakan aspek yang sangat penting dalam menyelesaikan masalah matematika menggunakan nilai ekstrem. Untuk lebih memahami komponen ini, penting untuk mengacu pada nilai tabel untuk penugasan fungsional.

Eksplorasi makna secara menyeluruh Merencanakan Nilai
1. Penentuan titik kenaikan dan penurunan nilai.

2. Menemukan titik putus, ekstrem dan perpotongan dengan sumbu koordinat.

3. Proses penentuan perubahan posisi pada grafik.

4. Penentuan indeks dan arah konveksitas dan konveksitas, dengan memperhatikan adanya asimtot.

5. Pembuatan tabel ringkasan penelitian ditinjau dari penentuan koordinatnya.

6. Menemukan interval kenaikan dan penurunan titik ekstrim dan lancip.

7. Penentuan kecembungan dan kecekungan suatu kurva.

8. Membangun grafik berdasarkan penelitian memungkinkan Anda menemukan minimum atau maksimum.

 Elemen utama, bila perlu bekerja dengan ekstrem, adalah konstruksi grafiknya yang tepat.

Guru sekolah seringkali tidak memberikan perhatian yang maksimal terhadap aspek penting tersebut, sehingga merupakan pelanggaran berat terhadap proses pendidikan.

Grafik dibuat hanya berdasarkan hasil kajian data fungsional, definisi ekstrem tajam, serta titik-titik pada grafik.

Ekstrem tajam dari turunan suatu fungsi ditampilkan pada plot nilai eksak menggunakan prosedur standar untuk menentukan asimtot.

Titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut disertai dengan plot yang lebih kompleks. Hal ini disebabkan oleh kebutuhan yang lebih mendalam untuk mengatasi masalah ekstrem yang tajam.

Turunan dari fungsi kompleks dan sederhana juga perlu dicari, karena ini adalah salah satu konsep terpenting dalam masalah ekstrem.

Ekstrem fungsional

Untuk menemukan nilai di atas, Anda harus mematuhi aturan berikut:

  • menentukan kondisi yang diperlukan untuk rasio ekstrem;
  • memperhitungkan kondisi kecukupan titik-titik ekstrim pada grafik;
  • melakukan perhitungan ekstrem akut.

Ada juga konsep seperti minimum lemah dan minimum kuat. Ini harus diperhitungkan saat menentukan titik ekstrem dan perhitungan pastinya. Pada saat yang sama, fungsionalitas yang tajam adalah pencarian dan pembuatan semua kondisi yang diperlukan untuk bekerja dengan grafik fungsi.

Ini adalah bagian matematika yang cukup menarik yang pasti dihadapi oleh semua mahasiswa pascasarjana dan mahasiswa. Namun, tidak semua orang menyukai matan. Beberapa gagal memahami bahkan hal-hal mendasar seperti studi fungsi yang tampaknya standar. Artikel ini bertujuan untuk memperbaiki kekeliruan ini. Ingin mempelajari lebih lanjut tentang analisis fungsi? Ingin tahu apa itu titik ekstrem dan bagaimana cara menemukannya? Maka artikel ini untuk Anda.

Penyelidikan grafik suatu fungsi

Untuk memulainya, perlu dipahami mengapa perlu menganalisis grafik. Ada fungsi sederhana yang mudah digambar. Contoh mencolok dari fungsi tersebut adalah parabola. Tidak sulit untuk menggambar bagannya. Yang diperlukan hanyalah, dengan menggunakan transformasi sederhana, mencari bilangan yang fungsinya bernilai 0. Dan pada prinsipnya, hanya ini yang perlu Anda ketahui untuk menggambar grafik parabola.

Namun bagaimana jika fungsi yang kita perlukan untuk membuat grafik jauh lebih rumit? Karena sifat-sifat fungsi kompleks agak tidak jelas, analisis menyeluruh perlu dilakukan. Hanya dengan demikian fungsinya dapat direpresentasikan secara grafis. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menemukan jawaban atas pertanyaan ini di artikel ini.

Rencana analisis fungsi

Hal pertama yang harus dilakukan adalah melakukan studi fungsi secara dangkal, di mana kita akan menemukan domain definisinya. Jadi, mari kita mulai secara berurutan. Domain definisi adalah himpunan nilai-nilai yang digunakan untuk mendefinisikan suatu fungsi. Sederhananya, ini adalah angka-angka yang dapat digunakan dalam fungsi tersebut selain x. Untuk menentukan cakupannya, Anda hanya perlu melihat catatannya. Misalnya, jelas bahwa fungsi y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 memiliki domain definisi - himpunan bilangan real. Nah, dengan fungsi seperti (x 2 - 2x) / x, semuanya sedikit berbeda. Karena bilangan penyebutnya tidak boleh sama dengan 0, maka domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real, kecuali nol.

Selanjutnya, Anda perlu menemukan apa yang disebut nol dari fungsi tersebut. Ini adalah nilai argumen yang seluruh fungsinya bernilai nol. Untuk melakukan ini, perlu menyamakan fungsinya dengan nol, mempertimbangkannya secara detail dan melakukan beberapa transformasi. Mari kita ambil fungsi yang sudah familiar y(x) = (x 2 - 2x)/x. Dari pelajaran di sekolah kita mengetahui bahwa pecahan adalah 0 jika pembilangnya nol. Oleh karena itu, kita membuang penyebutnya dan mulai mengerjakan pembilangnya, menyamakannya dengan nol. Kita peroleh x 2 - 2x = 0 dan keluarkan x dari tanda kurung. Oleh karena itu x (x - 2) = 0. Hasilnya, kita mendapatkan bahwa fungsi kita sama dengan nol jika x sama dengan 0 atau 2.

Dalam mempelajari grafik suatu fungsi, banyak yang dihadapkan pada permasalahan berupa titik ekstrem. Dan itu aneh. Bagaimanapun, topik ekstrem adalah topik yang cukup sederhana. Tidak percaya? Buktikan sendiri dengan membaca bagian artikel ini, di mana kita akan membahas tentang poin minimum dan maksimum.

Untuk memulainya, ada baiknya memahami apa itu ekstrem. Ekstrem adalah nilai limit yang dicapai suatu fungsi pada suatu grafik. Dari sini ternyata ada dua nilai ekstrim – maksimum dan minimum. Untuk lebih jelasnya, Anda dapat melihat gambar di atas. Pada luasan yang diteliti, titik -1 merupakan maksimum dari fungsi y (x) = x 5 - 5x, dan titik 1 masing-masing adalah minimum.

Juga, jangan bingung antara konsep satu sama lain. Titik ekstrem suatu fungsi adalah argumen di mana fungsi tertentu memperoleh nilai ekstrem. Pada gilirannya, ekstrem adalah nilai minimum dan maksimum dari fungsi tersebut. Misalnya, perhatikan kembali gambar di atas. -1 dan 1 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut, dan 4 dan -4 adalah titik ekstremnya sendiri.

Menemukan titik ekstrem

Tapi bagaimana cara mencari titik ekstrem suatu fungsi? Semuanya cukup sederhana. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari turunan persamaan tersebut. Katakanlah kita mendapat tugas: "Temukan titik ekstrem dari fungsi y (x), x adalah argumennya. Untuk lebih jelasnya, mari kita ambil fungsi y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Mari kita bedakan dan dapatkan persamaan berikut: 3x 2 + 4x + 1. Hasilnya, kita mendapatkan persamaan kuadrat standar, yang perlu dilakukan hanyalah menyamakannya dengan nol dan mencari akar-akarnya, karena diskriminan lebih besar dari nol (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), persamaan ini ditentukan oleh dua akar. Kita temukan keduanya dan dapatkan dua nilai: 1/3 dan -1. Ini akan menjadi titik ekstrem dari fungsi tersebut. Namun, bagaimana Anda masih bisa menentukan siapa adalah siapa? Titik mana yang maksimum dan mana yang minimum? Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil titik tetangga dan mencari nilainya. Misalnya, ambil angka -2 yang ada di sebelah kiri garis koordinat dari -1. Kita substitusikan nilai ini ke persamaan kita y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Hasilnya kita mendapat bilangan positif, artinya pada interval 1/3 sampai -1 fungsi tersebut meningkat, yang pada gilirannya berarti bahwa pada interval dari minus tak terhingga hingga 1/3 dan dari -1 hingga plus tak terhingga fungsinya menurun. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa angka 1/3 adalah titik minimum fungsi pada interval yang diselidiki, dan -1 adalah titik maksimum.

Perlu juga dicatat bahwa USE tidak hanya memerlukan pencarian titik ekstrem, tetapi juga melakukan beberapa jenis operasi dengannya (menambah, mengalikan, dll.). Oleh karena itu, perhatian khusus perlu diberikan pada kondisi permasalahan. Memang, karena kurangnya perhatian, Anda bisa kehilangan poin.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik dalam domain fungsi yang nilai fungsi tersebut bernilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik ini disebut ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi tersebut.

Definisi. Dot X1 ruang lingkup fungsi F(X) disebut titik maksimum dari fungsi tersebut , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, terletak di kanan dan kirinya (yaitu pertidaksamaan F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Definisi. Dot X2 ruang lingkup fungsi F(X) disebut titik minimum dari fungsi tersebut, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Dalam hal ini, fungsi tersebut dikatakan ada pada titik X2 minimum.

Katakanlah intinya X1 - titik maksimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X1 fungsi meningkat, jadi turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ), dan dalam interval setelahnya X1 fungsinya menurun, jadi turunan fungsi kurang dari nol ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Mari kita asumsikan juga hal itu X2 - titik minimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X2 fungsinya menurun dan turunan fungsinya kurang dari nol ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fungsinya meningkat dan turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya X2 turunan fungsi tersebut nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (kriteria yang diperlukan untuk keberadaan fungsi ekstrem). Jika poin X0 - titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) , maka pada titik ini turunan fungsinya sama dengan nol ( F "(X) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Contoh 1 Mari kita pertimbangkan suatu fungsi.

Pada intinya X= 0 turunan fungsi sama dengan nol, maka titik X= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti terlihat pada grafik fungsinya, fungsi tersebut meningkat di seluruh domain definisi, begitu pula intinya X= 0 bukan merupakan titik ekstrem dari fungsi ini.

Jadi, kondisi bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol atau tidak ada merupakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan yang memenuhi kondisi ini, tetapi fungsinya tidak memiliki titik ekstrem pada titik yang bersesuaian. Itu sebabnya harus mempunyai indikasi yang cukup, yang memungkinkan untuk menilai apakah ada titik ekstrem pada titik kritis tertentu dan mana yang maksimum atau minimum.

Teorema (kriteria cukup pertama untuk keberadaan suatu fungsi ekstrem). Titik kritis X0 F(X) , jika turunan fungsi tersebut berubah tanda ketika melewati titik tersebut, dan jika tandanya berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik maksimumnya, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik minimumnya .

Jika dekat dengan titik tersebut X0 , di kiri dan kanannya, turunannya tetap bertanda, artinya fungsi tersebut hanya berkurang atau hanya bertambah di beberapa lingkungan titik X0 . Dalam hal ini, pada intinya X0 tidak ada ekstrem.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut :

  1. Temukan turunan suatu fungsi.
  2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
  3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik-titik kritis pada sumbu numerik dan tentukan tanda-tanda turunan fungsi pada interval yang diperoleh. Jika tanda turunannya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka titik kritisnya adalah titik minimumnya.
  4. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2 Temukan ekstrem suatu fungsi .

Larutan. Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Samakan turunannya dengan nol untuk mencari titik kritis:

.

Karena untuk sembarang nilai "x" penyebutnya tidak sama dengan nol, maka kita samakan pembilangnya dengan nol:

Ada satu poin penting X= 3 . Kami menentukan tanda turunannya dalam interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam rentang dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsinya menurun,

dalam kisaran dari 3 hingga plus tak terhingga - tanda tambah, yaitu fungsinya meningkat.

Yaitu, intinya X= 3 adalah poin minimum.

Temukan nilai fungsi pada titik minimum:

Jadi, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0) , dan itu adalah titik minimum.

Teorema (kriteria cukup kedua untuk keberadaan fungsi ekstrem). Titik kritis X0 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) , jika turunan kedua fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( F ""(X) ≠ 0 ), apalagi jika turunan keduanya lebih besar dari nol ( F ""(X) > 0 ), maka titik maksimumnya, dan jika turunan keduanya kurang dari nol ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada suatu titik X0 baik turunan pertama maupun turunan kedua hilang, maka pada titik ini tidak mungkin menilai keberadaan ekstrem berdasarkan tanda cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk fungsi ekstrem.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi juga tidak dapat diterapkan jika turunan pertama tidak ada pada titik stasioner (maka turunan kedua juga tidak ada). Dalam hal ini, kriteria cukup pertama untuk fungsi ekstrem juga perlu digunakan.

Sifat lokal dari fungsi ekstrem

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai terdekat.

Misalkan Anda mempertimbangkan penghasilan Anda dalam rentang waktu satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan bulan Mei adalah maksimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai terdekat. Namun pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, sehingga penghasilan bulan Oktober adalah fungsi penghasilan minimum dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa nilai maksimum pada bulan April-Mei-Juni kurang dari nilai minimum pada bulan September-Oktober-November.

Secara umum, suatu fungsi mungkin memiliki beberapa ekstrem pada suatu interval, dan mungkin saja fungsi minimumnya lebih besar daripada maksimumnya. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, kita tidak boleh berpikir bahwa fungsi maksimum dan minimum masing-masing adalah nilai maksimum dan minimumnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar hanya jika dibandingkan dengan nilai yang dimilikinya di semua titik cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum, nilai terkecil hanya dibandingkan dengan nilai tersebut. bahwa ia mempunyai titik-titik yang cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat menyempurnakan konsep titik ekstrem suatu fungsi di atas dan menyebut titik minimum sebagai titik minimum lokal, dan titik maksimum sebagai titik maksimum lokal.

Kami mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 3

Solusi Fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada garis bilangan bulat. Turunannya juga ada pada seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, hanya titik-titik yang , yaitu, berfungsi sebagai titik kritis. , dari mana dan . Titik kritis dan bagi seluruh domain fungsi menjadi tiga interval monotonisitas: . Kami memilih satu titik kontrol di masing-masing titik tersebut dan menemukan tanda turunannya pada titik ini.

Untuk intervalnya, titik acuannya dapat berupa : kita temukan . Dengan mengambil sebuah titik dalam interval tersebut, kita mendapatkan , dan mengambil sebuah titik dalam interval tersebut, kita mendapatkan . Jadi, di interval dan , dan di interval . Berdasarkan tanda cukup pertama dari suatu ekstrem, tidak ada ekstrem di titik tersebut (karena turunannya tetap bertanda pada interval ), dan fungsinya memiliki minimum di titik tersebut (karena turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus ketika melewati melalui titik ini). Temukan nilai fungsi yang sesuai: , dan . Dalam interval tersebut, fungsinya menurun, karena dalam interval ini , dan dalam interval tersebut meningkat, karena dalam interval ini.

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kita mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat. Ketika kita memperoleh persamaan yang akar-akarnya dan , yaitu dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi tersebut ditemukan. Dengan menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat contoh di awal).

Untuk pengecekan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Contoh 4 Temukan ekstrem dari fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Daerah asal fungsi tersebut adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, yaitu. .

Untuk mempersingkat pembelajaran, kita dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbunya Oi dan penelitian hanya dapat dilakukan untuk selang waktu.

Menemukan turunannya dan titik kritis dari fungsi tersebut:

1) ;

2) ,

tetapi fungsinya mengalami jeda pada titik ini, sehingga tidak bisa menjadi titik ekstrem.

Jadi, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Dengan mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya memeriksa titik dengan tanda ekstrem kedua yang cukup. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan keduanya dan tentukan tandanya di : kita peroleh . Karena dan , maka adalah titik minimum dari fungsi tersebut, sedangkan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang grafik suatu fungsi, mari kita cari tahu perilakunya pada batas-batas domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan X ke nol di sebelah kanan, dan X tetap positif; sama artinya aspirasi X ke nol di sebelah kiri, dan X tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita temukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik fungsi tidak mempunyai titik potong dengan sumbunya. Gambarnya ada di awal contoh.

Untuk pengecekan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Kami terus mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 8 Temukan ekstrem dari fungsinya .

Larutan. Temukan domain dari fungsi tersebut. Karena pertidaksamaan harus dipertahankan, kita peroleh dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut.

Perhatikan grafik fungsi kontinu kamu=f(x) ditunjukkan pada gambar.

Nilai fungsi pada titik X 1 akan lebih besar dari nilai fungsi di semua titik tetangga baik di kiri maupun di kanan X 1 . Dalam hal ini, fungsi tersebut dikatakan ada pada titik X 1 maks. Pada intinya X Fungsi ke 3 tersebut jelas juga sudah maksimal. Jika kita mempertimbangkan intinya X 2 , maka nilai fungsi di dalamnya lebih kecil dari semua nilai tetangganya. Dalam hal ini, fungsi tersebut dikatakan ada pada titik X minimal 2. Begitu pula dengan intinya X 4 .

Fungsi kamu=f(x) pada intinya X 0 punya maksimum, jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilainya di semua titik pada suatu interval yang memuat titik tersebut X 0 , yaitu jika ada lingkungan seperti itu intinya X 0 , yang untuk semua orang X≠X 0 , menjadi bagian dari lingkungan ini, kita mempunyai kesenjangan f(x)<f(x 0 ) .

Fungsi kamu=f(x) Memiliki minimum pada intinya X 0 , jika ada lingkungan seperti itu intinya X 0 , apa yang diperuntukkan bagi semua orang X≠X 0 milik lingkungan ini, kita memiliki ketidaksetaraan f(x)>f(x0.

Titik-titik di mana fungsi mencapai maksimum dan minimum disebut titik ekstrem, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut disebut ekstrem fungsi.

Mari kita perhatikan fakta bahwa suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu segmen dapat mencapai maksimum dan minimumnya hanya pada titik-titik yang terdapat dalam segmen yang ditinjau.

Perhatikan bahwa jika suatu fungsi memiliki nilai maksimum pada suatu titik, ini tidak berarti bahwa pada titik tersebut fungsi tersebut memiliki nilai maksimum di seluruh domain. Pada gambar di atas, fungsi pada titik X 1 mempunyai nilai maksimum, meskipun ada titik yang nilai fungsinya lebih besar dari pada titik tersebut X 1 . Secara khusus, F(X 1) < F(X 4) yaitu minimum fungsi lebih besar dari maksimum. Dari definisi maksimum dapat disimpulkan bahwa ini adalah nilai fungsi terbesar pada titik-titik yang cukup dekat dengan titik maksimum.

Teorema 1. (Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan suatu ekstrem.) Jika fungsi terdiferensiasi kamu=f(x) ada pada intinya x= x 0 ekstrem, maka turunannya pada titik ini hilang.

Bukti. Biarlah, untuk lebih jelasnya, pada intinya X 0 fungsinya maksimal. Kemudian untuk peningkatan yang cukup kecil Δ X kita punya f(x 0 + Δ X) 0 ) , yaitu. Tapi kemudian

Meneruskan pertidaksamaan ini ke batas sebagai Δ X→ 0 dan memperhitungkan turunannya F "(X 0) ada, dan karenanya limit di sebelah kiri tidak bergantung pada bagaimana Δ X→ 0, kita mendapatkan: untuk Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 dan pada Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Sejak F"(X 0) mendefinisikan suatu bilangan, maka kedua pertidaksamaan ini kompatibel hanya jika F"(X 0) = 0.

Teorema yang terbukti menyatakan bahwa titik maksimum dan minimum hanya dapat berada di antara nilai argumen yang turunannya hilang.

Kita telah membahas kasus ketika suatu fungsi memiliki turunan di semua titik pada segmen tertentu. Apa yang terjadi jika turunannya tidak ada? Perhatikan contohnya.

Contoh.

  1. kamu=|X|.

    Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di suatu titik X=0 (pada titik ini, grafik fungsi tersebut tidak memiliki garis singgung pasti), tetapi pada titik ini fungsi tersebut memiliki minimum, karena kamu(0)=0, dan untuk semua X≠ 0kamu > 0.

    2. Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di X=0, karena ia menuju tak terhingga kapan X=0. Namun saat ini fungsinya sudah maksimal.

    Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di X=0 karena pada X→0. Pada titik ini, fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum dan minimum. Benar-benar, f(x)=0 dan pada X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.

    Jadi, dari contoh-contoh di atas dan teorema yang dirumuskan, jelas bahwa suatu fungsi dapat mempunyai ekstrem hanya dalam dua kasus: 1) pada titik-titik di mana turunannya ada dan sama dengan nol; 2) pada titik dimana turunannya tidak ada.

    Namun, jika suatu saat nanti X 0 kita tahu itu f"(x 0 ) =0, maka tidak dapat disimpulkan bahwa pada intinya X 0 fungsinya memiliki ekstrem.

    Misalnya. .

    Tapi intinya X=0 bukan merupakan titik ekstrem, karena di sebelah kiri titik ini nilai fungsi terletak di bawah sumbu Sapi, dan di sebelah kanan atas.

    Nilai argumen dari domain suatu fungsi, yang turunannya dari fungsi tersebut hilang atau tidak ada, disebut poin kritis.


    Berdasarkan penjelasan di atas bahwa titik ekstrem suatu fungsi termasuk titik kritis, namun tidak semua titik kritis merupakan titik ekstrem. Oleh karena itu, untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu mencari semua titik kritis fungsi tersebut, lalu memeriksa masing-masing titik tersebut secara terpisah untuk mengetahui nilai maksimum dan minimumnya. Untuk ini, teorema berikut berfungsi.

    Teorema 2. (Kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem.) Biarkan fungsi tersebut kontinu pada suatu interval yang mengandung titik kritis X 0 , dan terdiferensiasi di semua titik pada interval ini (kecuali, mungkin, titik itu sendiri X 0). Jika ketika melewati titik ini dari kiri ke kanan, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka di titik tersebut X = X 0 fungsinya maksimal. Jika, saat melewati X 0 dari kiri ke kanan, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka fungsinya mempunyai minimum pada titik ini.

    Jadi, jika

    Bukti. Mari kita asumsikan dulu ketika melewatinya X 0, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, yaitu untuk semua X dekat dengan intinya X 0 f "(x)> 0 untuk X< x 0 , f"(x)< 0 untuk x > x 0 . Mari kita terapkan teorema Lagrange pada perbedaannya f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), dimana C berada diantara X Dan X 0 .

    1. Membiarkan X< x 0 . Kemudian C< x 0 dan f "(c)> 0. Itu sebabnya f "(c)(xx 0)< 0 dan, oleh karena itu,

      f(x) - f(x 0 )< 0, yaitu f(x)< f(x 0 ).

    2. Membiarkan x > x 0 . Kemudian c>x 0 dan f"(c)< 0. Cara f "(c)(xx 0)< 0. Itu sebabnya f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

    Jadi, untuk semua nilai X cukup dekat dengan X 0 f(x)< f(x 0 ) . Dan ini berarti pada intinya X 0 fungsinya maksimal.

    Bagian kedua dari teorema minimum dibuktikan dengan cara yang sama.

    Mari kita ilustrasikan arti teorema ini pada gambar. Membiarkan f"(x 1 ) =0 dan untuk apa pun X, cukup dekat dengan X 1 , ketidaksetaraan

    f"(x)< 0 jam X< x 1 , f "(x)> 0 jam x > x 1 .

    Lalu ke kiri titik X 1 fungsinya meningkat dan menurun di sebelah kanan, oleh karena itu, kapan X = X 1 fungsi berubah dari naik ke turun, yaitu maksimal.

    Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan poin-poinnya X 2 dan X 3 .


    Secara skematis, semua hal di atas dapat digambarkan pada gambar:

    Aturan mempelajari fungsi y=f(x) untuk suatu ekstrem

    1. Temukan ruang lingkup suatu fungsi f(x).
    2. Temukan turunan pertama suatu fungsi f"(x).
    3. Tentukan titik-titik kritis, untuk ini:
      1. carilah akar-akar persamaan yang sebenarnya f"(x)=0;
      2. temukan semua nilai X di mana turunannya f"(x) tidak ada.
    4. Tentukan tanda turunan di kiri dan kanan titik kritis. Karena tanda turunan tetap konstan di antara dua titik kritis, maka cukup menentukan tanda turunan di satu titik di kiri dan di satu titik di kanan titik kritis.
    5. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

    Contoh. Jelajahi fungsi minimum dan maksimum.


    NILAI FUNGSI TERBESAR DAN MINIMUM PADA INTERCEPT

    terbesar nilai suatu fungsi pada suatu segmen adalah yang terbesar dari semua nilainya pada segmen tersebut, dan paling sedikit adalah yang terkecil dari semua nilainya.

    Pertimbangkan fungsinya kamu=f(x) kontinu pada interval [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya, baik pada batas segmen, maupun di dalamnya. Jika nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tercapai pada titik dalam ruas, maka nilai tersebut merupakan maksimum atau minimum fungsi tersebut, yaitu dicapai pada titik kritis.

    Jadi, kita mendapatkan yang berikut ini aturan mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada segmen [ a, b] :

    1. Temukan semua titik kritis suatu fungsi dalam interval ( a, b) dan hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut.
    2. Hitung nilai fungsi di ujung-ujung segmen untuk x=sebuah, x=b.
    3. Dari semua nilai yang didapat, pilihlah yang terbesar dan terkecil.