Kas ir logaritms?

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Kas ir logaritms? Kā atrisināt logaritmus? Šie jautājumi mulsina daudzus absolventus. Tradicionāli logaritmu tēma tiek uzskatīta par sarežģītu, nesaprotamu un biedējošu. Īpaši - vienādojumi ar logaritmiem.

Tā absolūti nav taisnība. Pilnīgi noteikti! Netici? Labi. Tagad kādas 10–20 minūtes jūs:

1. Saprast kas ir logaritms.

2. Iemācīties atrisināt veselu eksponenciālo vienādojumu klasi. Pat ja jūs par tiem neesat dzirdējuši.

3. Iemācieties aprēķināt vienkāršus logaritmus.

Turklāt, lai to izdarītu, jums būs jāzina tikai reizināšanas tabula un tas, kā skaitlis tiek palielināts līdz pakāpei ...

Es jūtu, ka šaubāties... Nu, paturiet laiku! Aiziet!

Vispirms savā prātā atrisiniet šādu vienādojumu:

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

(no grieķu valodas λόγος - "vārds", "attiecības" un ἀριθμός - "skaitlis") b saprāta dēļ a(log α b) sauc par šādu skaitli c, Un b= a c, tas ir, log α b=c Un b=ac ir līdzvērtīgi. Logaritmam ir jēga, ja a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Citiem vārdiem sakot logaritms cipariem b saprāta dēļ A formulēts kā eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).

No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x= log α b, ir ekvivalents vienādojuma a x =b atrisināšanai.

Piemēram:

log 2 8 = 3, jo 8 = 2 3 .

Mēs atzīmējam, ka norādītais logaritma formulējums ļauj nekavējoties noteikt logaritma vērtība kad skaitlis zem logaritma zīmes ir noteikta bāzes pakāpe. Patiešām, logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b saprāta dēļ a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritma tēma ir cieši saistīta ar tēmu skaitļa pakāpe.

Tiek minēts logaritma aprēķins logaritms. Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmu, faktoru produkti tiek pārveidoti par terminu summām.

Potenciācija ir matemātiskā darbība, kas ir apgriezta logaritmam. Potencējot, dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpēm, uz kuras tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru reizinājumu.

Diezgan bieži tiek izmantoti reāli logaritmi ar bāzēm 2 (binārais), e Eilera skaitlis e ≈ 2,718 (dabiskais logaritms) un 10 (decimālskaitlis).

Šajā posmā ir vērts padomāt logaritmu paraugižurnāls 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Un ierakstiem lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nav jēgas, jo pirmajā no tiem zem logaritma zīmes ir ievietots negatīvs skaitlis, otrajā - negatīvs skaitlis bāze, bet trešajā - un negatīvs skaitlis zem logaritma zīmes un vienības bāzē.

Logaritma noteikšanas nosacījumi.

Ir vērts atsevišķi apsvērt nosacījumus a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritma definīcija. Padomāsim, kāpēc tiek pieņemti šie ierobežojumi. Tas mums palīdzēs ar vienādību formā x = log α b, ko sauc par pamata logaritmisko identitāti, kas tieši izriet no iepriekš dotās logaritma definīcijas.

Pieņem nosacījumu a≠1. Tā kā viens ir vienāds ar vienu ar jebkuru pakāpju, tad vienādība x=log α b var pastāvēt tikai tad, kad b=1, bet log 1 1 būs jebkurš reāls skaitlis. Lai novērstu šo neskaidrību, mēs ņemam a≠1.

Pierādīsim nosacījuma nepieciešamību a>0. Plkst a=0 saskaņā ar logaritma formulējumu var pastāvēt tikai tad, kad b=0. Un tad attiecīgi žurnāls 0 0 var būt jebkurš reāls skaitlis, kas nav nulle, jo no nulles līdz jebkurai nullei atšķirīgai pakāpei ir nulle. Lai novērstu šo neskaidrību, nosacījums a≠0. Un tad, kad a<0 mums būtu jānoraida logaritma racionālo un iracionālo vērtību analīze, jo eksponents ar racionālu un iracionālu eksponentu tiek definēts tikai nenegatīvām bāzēm. Šī iemesla dēļ nosacījums a>0.

Un pēdējais nosacījums b>0 izriet no nevienlīdzības a>0, jo x=log α b, un grāda vērtība ar pozitīvu bāzi a vienmēr pozitīvi.

Logaritmu iezīmes.

Logaritmi raksturīgs raksturīgs Iespējas, kas noveda pie to plašas izmantošanas, lai ievērojami atvieglotu rūpīgus aprēķinus. Pārejā "uz logaritmu pasauli" reizināšana tiek pārveidota par daudz vieglāku saskaitīšanu, dalīšana atņemšanā, bet paaugstināšana līdz pakāpei un saknes ņemšana tiek pārveidota attiecīgi par reizināšanu un dalīšanu ar eksponentu.

Logaritmu formulējumu un to vērtību tabulu (trigonometriskām funkcijām) pirmo reizi publicēja skotu matemātiķis Džons Napiers 1614. Logaritmiskās tabulas, ko citi zinātnieki palielināja un sīki izstrādāja, plaši izmantoja zinātniskajos un inženiertehniskajos aprēķinos, un tās bija aktuālas līdz brīdim, kad sāka izmantot elektroniskos kalkulatorus un datorus.

Pieņemamais logaritma diapazons (ODZ).

Tagad parunāsim par ierobežojumiem (ODZ - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību apgabals).

Mēs atceramies, ka, piemēram, kvadrātsakni nevar ņemt no negatīviem skaitļiem; vai ja mums ir daļskaitlis, tad saucējs nevar būt vienāds ar nulli. Logaritmiem ir līdzīgi ierobežojumi:

Tas ir, gan argumentam, gan bāzei jābūt lielākai par nulli, un bāze nevar būt vienāda.

Kāpēc ir tā, ka?

Sāksim vienkārši: teiksim tā. Tad, piemēram, skaitlis neeksistē, jo neatkarīgi no tā, kādu grādu mēs celtu, tas vienmēr izrādās. Turklāt tas neeksistē nevienam. Bet tajā pašā laikā tas var būt vienāds ar jebko (tā paša iemesla dēļ - tas ir vienāds ar jebkuru grādu). Tāpēc objekts neinteresē, un tas tika vienkārši izmests no matemātikas.

Mums ir līdzīga problēma gadījumā: jebkurā pozitīvā pakāpē - tas, bet to vispār nevar pacelt negatīvā pakāpē, jo radīsies dalīšana ar nulli (to atgādinu).

Kad mēs saskaramies ar problēmu, kas saistīta ar paaugstināšanu līdz daļējai pakāpei (kas tiek attēlota kā sakne:. Piemēram, (tas ir), bet neeksistē.

Tāpēc negatīvus iemeslus ir vieglāk izmest, nekā ar tiem sajaukt.

Nu, tā kā bāze a mums ir tikai pozitīva, tad neatkarīgi no tā, kādā pakāpē mēs to pacelsim, mēs vienmēr saņemsim stingri pozitīvu skaitli. Tātad argumentam jābūt pozitīvam. Piemēram, tas neeksistē, jo tas nekādā mērā nebūs negatīvs skaitlis (un pat nulle, tāpēc tas arī neeksistē).

Problēmās ar logaritmiem pirmais solis ir pierakstīt ODZ. Es sniegšu piemēru:

Atrisināsim vienādojumu.

Atgādiniet definīciju: logaritms ir jauda, ​​līdz kurai jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Un pēc nosacījuma šī pakāpe ir vienāda ar: .

Mēs iegūstam parasto kvadrātvienādojumu: . Mēs to atrisinām, izmantojot Vietas teorēmu: sakņu summa ir vienāda, un reizinājums. Viegli paņemt, tie ir cipari un.

Bet, ja uzreiz ņemat un atbildē pierakstāt abus šos skaitļus, par uzdevumu var iegūt 0 punktu. Kāpēc? Padomāsim par to, kas notiks, ja mēs šīs saknes aizstājam sākotnējā vienādojumā?

Tas ir acīmredzami nepatiess, jo bāze nevar būt negatīva, tas ir, sakne ir "trešā puse".

Lai izvairītos no šādiem nepatīkamiem trikiem, jums ir jāpieraksta ODZ pat pirms vienādojuma risināšanas:

Pēc tam, saņēmuši saknes un, mēs nekavējoties izmetam sakni un uzrakstām pareizo atbildi.

1. piemērs(mēģiniet to atrisināt pats) :

Atrodiet vienādojuma sakni. Ja saknes ir vairākas, atbildē norādiet mazāko.

Risinājums:

Vispirms uzrakstīsim ODZ:

Tagad mēs atceramies, kas ir logaritms: ar kādu spēku jums jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu? Otrajā. Tas ir:

Šķiet, ka mazākā sakne ir vienāda. Bet tas tā nav: saskaņā ar ODZ sakne ir trešā puse, tas ir, tā vispār nav šī vienādojuma sakne. Tādējādi vienādojumam ir tikai viena sakne: .

Atbilde: .

Pamatlogaritmiskā identitāte

Atgādiniet logaritma definīciju vispārīgi:

Logaritma vietā aizstājiet otro vienādību:

Šo vienlīdzību sauc logaritmiskā identitāte. Lai gan pēc būtības šī vienlīdzība vienkārši ir rakstīta savādāk logaritma definīcija:

Tas ir spēks, kas jums jāpalielina, lai iegūtu.

Piemēram:

Atrisiniet šādus piemērus:

2. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Atgādiniet noteikumu no sadaļas:, tas ir, paaugstinot pakāpi līdz jaudai, rādītāji tiek reizināti. Pielietosim to:

3. piemērs

Pierādiet to.

Risinājums:

Logaritmu īpašības

Diemžēl uzdevumi ne vienmēr ir tik vienkārši - bieži vien vispirms ir jāvienkāršo izteiksme, jāsaved to ierastajā formā, un tikai tad būs iespējams aprēķināt vērtību. Visvieglāk to izdarīt, zinot logaritmu īpašības. Tātad, apgūsim logaritmu pamatīpašības. Es pierādīšu katru no tiem, jo ​​jebkuru noteikumu ir vieglāk atcerēties, ja zini, no kurienes tas nāk.

Jāatceras visas šīs īpašības, bez tām nevar atrisināt lielāko daļu problēmu ar logaritmiem.

Un tagad par visām logaritmu īpašībām sīkāk.

1. īpašums:

Pierādījums:

Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.

2. īpašība: logaritmu summa

Logaritmu summa ar tādu pašu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu: .

Pierādījums:

Lai tad. Lai tad.

Piemērs: Atrodiet izteiksmes vērtību: .

Risinājums:.

Tikko apgūtā formula palīdz vienkāršot logaritmu summu, nevis starpību, lai šos logaritmus nevarētu uzreiz apvienot. Bet jūs varat rīkoties otrādi - "sadaliet" pirmo logaritmu divās daļās: Un šeit ir solītais vienkāršojums:
.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Nu, piemēram: kāda tam nozīme?

Tagad tas ir skaidrs.

Tagad padariet to viegli sev:

Uzdevumi:

Atbildes:

3. īpašums: logaritmu atšķirība:

Pierādījums:

Viss ir tieši tāpat kā 2. punktā:

Lai tad.

Lai tad. Mums ir:

Piemērs no pēdējā punkta tagad ir vēl vienkāršāks:

Sarežģītāks piemērs: . Uzminiet paši, kā izlemt?

Šeit jāatzīmē, ka mums nav vienas formulas par logaritmiem kvadrātā. Tas ir kaut kas līdzīgs izteicienam — to nevar uzreiz vienkāršot.

Tāpēc atkāpsimies no logaritmu formulām un padomāsim, kādas formulas mēs matemātikā parasti lietojam visbiežāk? Jau kopš 7. klases!

Šis -. Jāpierod, ka tās ir visur! Un eksponenciālajās, trigonometriskajās un iracionālajās problēmās tie ir atrodami. Tāpēc tie ir jāatceras.

Ja paskatās uzmanīgi uz pirmajiem diviem terminiem, kļūst skaidrs, ka tas tā ir kvadrātu atšķirība:

Atbilde, lai pārbaudītu:

Vienkāršojiet sevi.

Piemēri

Atbildes.

4. īpašība: eksponenta atvasināšana no logaritma argumenta:

Pierādījums: Un šeit mēs arī izmantojam logaritma definīciju: pieņemsim, tad. Mums ir: , h.t.d.

Šo noteikumu varat saprast šādi:

Tas nozīmē, ka argumenta pakāpe tiek virzīta uz priekšu no logaritma kā koeficients.

Piemērs: Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums: .

Izlemiet paši:

Piemēri:

Atbildes:

5. īpašums: eksponenta atvasināšana no logaritma bāzes:

Pierādījums: Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.
Atcerieties: no pamatojums grāds tiek atveidots kā otrādi numuru, atšķirībā no iepriekšējā gadījuma!

6. īpašība: eksponenta atvasināšana no logaritma bāzes un argumenta:

Vai arī, ja grādi ir vienādi: .

7. īpašums: pāreja uz jaunu bāzi:

Pierādījums: Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.

8. īpašums: logaritma bāzes un argumenta apmaiņa:

Pierādījums:Šis ir īpašs 7. formulas gadījums: ja mēs aizstājam, mēs iegūstam: , p.t.d.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

4. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Mēs izmantojam logaritmu Nr. 2 īpašību - logaritmu summa ar vienādu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu:

5. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Mēs izmantojam logaritmu Nr. 3 un Nr. 4 īpašību:

6. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Izmantojot īpašuma numuru 7 — dodieties uz 2. bāzi:

7. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Kā jums patīk raksts?

Ja lasāt šīs rindas, tad esat izlasījis visu rakstu.

Un tas ir forši!

Tagad pastāstiet mums, kā jums patīk raksts?

Vai esat iemācījušies atrisināt logaritmus? Ja nē, kāda ir problēma?

Rakstiet mums zemāk esošajos komentāros.

Un jā, lai veicas eksāmenos.

Vienotajā valsts eksāmenā un OGE un vispār dzīvē

Tātad, mums ir divas pilnvaras. Ja ņemat skaitli no apakšējās rindas, tad varat viegli atrast jaudu, līdz kurai jums ir jāpalielina divi, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajai pakāpei. To var redzēt no tabulas.

Un tagad - faktiski logaritma definīcija:

Argumenta x logaritma bāze ir pakāpe, līdz kurai ir jāpalielina skaitlis a, lai iegūtu skaitli x.

Apzīmējums: log a x \u003d b, kur a ir bāze, x ir arguments, b faktiski ir vienāds ar logaritmu.

Piemēram, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2. bāzes logaritms no 8 ir trīs, jo 2 3 = 8). Varētu arī reģistrēt 2 64 = 6, jo 2 6 = 64.

Darbību, lai atrastu skaitļa logaritmu noteiktai bāzei, sauc par logaritmu. Tāpēc pievienosim mūsu tabulai jaunu rindu:

Diemžēl ne visi logaritmi tiek izskatīti tik vienkārši. Piemēram, mēģiniet atrast log 2 5. Skaitlis 5 nav tabulā, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur segmentā. Jo 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Šādus skaitļus sauc par iracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās neracionāls, labāk to atstāt šādi: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (bāze un arguments). Sākumā daudzi jauc, kur ir pamats un kur arguments. Lai izvairītos no kaitinošiem pārpratumiem, vienkārši apskatiet attēlu:

Mūsu priekšā ir nekas vairāk kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir jauda, uz kuru jums ir jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir bāze, kas tiek pacelta līdz jaudai - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Šo brīnišķīgo likumu saviem skolēniem izstāstu jau pirmajā stundā – un tur nav nekādas neskaidrības.

Mēs izdomājām definīciju - atliek iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no "baļķa" zīmes. Vispirms mēs atzīmējam, ka no definīcijas izriet divi svarīgi fakti:

1. Argumentam un bāzei vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu eksponentu, līdz kuram tiek reducēta logaritma definīcija.
2. Bāzei ir jāatšķiras no vienotības, jo vienība jebkurai jaudai joprojām ir vienība. Šī iemesla dēļ jautājums “uz kādu spēku jāpaceļ viens, lai iegūtu divus” ir bezjēdzīgs. Nav tādas pakāpes!

Tādus ierobežojumus sauc derīgs diapazons(ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ņemiet vērā, ka skaitlim b (logaritma vērtība) nav ierobežojumu. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 = −1, jo 0,5 = 2–1.

Taču tagad mēs aplūkojam tikai skaitliskas izteiksmes, kur nav nepieciešams zināt logaritma ODZ. Visus ierobežojumus problēmu sastādītāji jau ņēmuši vērā. Bet, kad stājas spēkā logaritmiski vienādojumi un nevienādības, IDD prasības kļūs obligātas. Patiešām, pamatā un argumentācijā var būt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem.

Tagad apsveriet vispārējo logaritmu aprēķināšanas shēmu. Tas sastāv no trim soļiem:

1. Izsakiet bāzi a un argumentu x kā pakāpju ar mazāko iespējamo bāzi, kas lielāka par vienu. Pa ceļam labāk ir atbrīvoties no decimāldaļskaitļiem;
2. Atrisiniet mainīgā b vienādojumu: x = a b ;
3. Iegūtais skaitlis b būs atbilde.

Tas ir viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Prasība, ka bāzei jābūt lielākai par vienu, ir ļoti svarīga: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Līdzīgi ir ar decimāldaļskaitļiem: ja tos uzreiz pārveidosit par parastajiem, kļūdu būs daudzkārt mazāk.

Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 5 25

1. Attēlosim bāzi un argumentu kā piecu pakāpju: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Saņemta atbilde: 2.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 4 64

1. Attēlosim bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Saņemta atbilde: 3.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1

1. Attēlosim bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Saņemta atbilde: 0.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 7 14

1. Attēlosim bāzi un argumentu kā septiņu pakāpju: 7 = 7 1 ; 14 nav attēlots kā septiņi pakāpē, jo 7 1< 14 < 7 2 ;
2. No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek ņemts vērā;
3. Atbilde ir bez izmaiņām: žurnāls 7 14.

Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā pārliecināties, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa pakāpe? Ļoti vienkārši - vienkārši sadaliet to galvenajos faktoros. Un, ja šādus faktorus nevar savākt pakāpē ar vienādiem rādītājiem, tad sākotnējais skaitlis nav precīzs grāds.

Uzdevums. Uzziniet, vai skaitļa precīzās pilnvaras ir: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 ir precīza pakāpe, jo ir tikai viens reizinātājs;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nav precīza jauda, ​​jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - precīzs grāds;
35 \u003d 7 5 - atkal nav precīzs grāds;
14 \u003d 7 2 - atkal nav precīzs grāds;

Ņemiet vērā arī to, ka paši pirmskaitļi vienmēr ir paši precīzas pilnvaras.

Decimālais logaritms

Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un apzīmējums.

Argumenta x decimālais logaritms ir 10. bāzes logaritms, t.i. jauda, ​​līdz kurai jāpalielina skaitlis 10, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: lg x .

Piemēram, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - utt.

Turpmāk, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0.01”, ziniet, ka tā nav drukas kļūda. Šis ir decimālais logaritms. Tomēr, ja neesat pieradis pie šāda apzīmējuma, vienmēr varat to pārrakstīt:
log x = log 10 x

Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāldaļām.

naturālais logaritms

Ir vēl viens logaritms, kuram ir savs apzīmējums. Savā ziņā tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Šis ir dabiskais logaritms.

Argumenta x naturālais logaritms ir logaritms uz bāzi e , t.i. jauda, ​​līdz kurai jāpalielina skaitlis e, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: ln x .

Daudzi jautās: kas vēl ir skaitlis e? Tas ir neracionāls skaitlis, tā precīzu vērtību nevar atrast un pierakstīt. Šeit ir tikai pirmie skaitļi:
e = 2,718281828459...

Mēs neiedziļināsimies, kas ir šis numurs un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir naturālā logaritma bāze:
ln x = log e x

Tādējādi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - utt. No otras puses, ln 2 ir iracionāls skaitlis. Kopumā jebkura racionāla skaitļa naturālais logaritms ir iracionāls. Protams, izņemot vienotību: ln 1 = 0.

Dabiskajiem logaritmiem ir spēkā visi noteikumi, kas ir spēkā parastajiem logaritmiem.

Dotas galvenās logaritma īpašības, logaritma grafiks, definīcijas joma, vērtību kopa, pamatformulas, palielinājums un samazinājums. Tiek apsvērta logaritma atvasinājuma atrašana. Kā arī integrālis, pakāpju rindu paplašināšana un attēlošana ar komplekso skaitļu palīdzību.

Domēns, vērtību kopa, augoša, dilstoša

Logaritms ir monotona funkcija, tāpēc tai nav ekstrēmu. Galvenās logaritma īpašības ir parādītas tabulā.

Privātās vērtības

Tiek izsaukts 10 bāzes logaritms decimāllogaritms un ir atzīmēts šādi:

bāzes logaritms e sauca naturālais logaritms:

Pamata logaritma formulas

Logaritma īpašības, kas izriet no apgrieztās funkcijas definīcijas:

Logaritmu galvenā īpašība un tās sekas

Bāzes nomaiņas formula

Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmu, faktoru produkti tiek pārvērsti terminu summās.
Potenciācija ir matemātiska darbība, kas ir apgriezta logaritmam. Potencējot, dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpēm, uz kuras tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārvērstas faktoru reizinājumiem.

Logaritmu pamatformulu pierādījums

Ar logaritmiem saistītās formulas izriet no eksponenciālo funkciju formulām un no apgrieztās funkcijas definīcijas.

Apsveriet eksponenciālās funkcijas īpašību
.
Tad
.
Lietojiet eksponenciālās funkcijas īpašību
:
.

Pierādīsim bāzes maiņas formulu.
;
.
Iestatījums c = b , mums ir:

Apgrieztā funkcija

Pamata logaritma apgrieztā vērtība ir eksponenciāla funkcija ar eksponentu a.

Ja tad

Ja tad

Logaritma atvasinājums

Logaritma moduļa x atvasinājums:
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>

Lai atrastu logaritma atvasinājumu, tas jāsamazina līdz bāzei e.
;
.

Integrāls

Logaritma integrāli aprēķina, integrējot pa daļām: .
Tātad,

Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē

Apsveriet komplekso skaitļu funkciju z:
.
Izteiksim kompleksu skaitli z caur moduli r un arguments φ :
.
Tad, izmantojot logaritma īpašības, mums ir:
.
Or

Tomēr arguments φ nav skaidri definēts. Ja liekam
, kur n ir vesels skaitlis,
tad tas būs vienāds numurs dažādiem n.

Tāpēc logaritms kā kompleksa mainīgā funkcija nav vienvērtības funkcija.

Jaudas sērijas paplašināšana

Attiecībā uz , paplašināšana notiek:

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.