Izmantojot šo pakalpojumu, jūs varat atrast funkcijas lielāko un mazāko vērtību viens mainīgais f(x) ar risinājuma noformējumu programmā Word. Ja ir dota funkcija f(x,y), tad jāatrod divu mainīgo funkcijas ekstrēmi. Varat arī atrast funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervālus.

Funkciju ievadīšanas noteikumi:

Nepieciešams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmam

Pietiekams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmam

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tad punkts x * ir funkcijas lokālā (globālā) minimuma punkts.

Ja punktā x * nosacījums ir izpildīts:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Šis punkts x * ir lokālais (globālais) maksimums.

1. piemērs. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību: segmentā .
Risinājums.

Kritiskais punkts ir viens x 1 = 2 (f'(x)=0). Šis punkts pieder segmentam . (Punkts x=0 nav kritisks, jo 0∉).
Mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos un kritiskajā punktā.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atbilde: f min = 5/2, ja x=2; f max = 9 pie x = 1

2. piemērs. Izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus, atrodiet funkcijas y=x-2sin(x) ekstrēmu.
Risinājums.
Atrodiet funkcijas atvasinājumu: y’=1-2cos(x) . Atradīsim kritiskos punktus: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Mēs atrodam y''=2sin(x), aprēķina , tātad x= π / 3 +2πk, k∈Z ir funkcijas minimālie punkti; , tātad x=- π / 3 +2πk, k∈Z ir funkcijas maksimālie punkti.

3. piemērs. Izpētīt ekstrēmuma funkciju punkta x=0 tuvumā.
Risinājums. Šeit ir jāatrod funkcijas galējība. Ja ekstrēmums x=0 , tad noskaidro tā veidu (minimums vai maksimums). Ja starp atrastajiem punktiem nav x = 0, tad aprēķiniet funkcijas f(x=0) vērtību.
Jāņem vērā, ka tad, kad atvasinājums katrā noteiktā punkta pusē nemaina savu zīmi, iespējamās situācijas nav izsmeltas pat diferencējamām funkcijām: var gadīties, ka patvaļīgi mazai apkārtnei vienā punkta pusē x 0 vai abās pusēs atvasinājums maina zīmi. Šajos punktos ir jāpiemēro citas metodes, lai pētītu ekstrēma funkcijas.

4. piemērs. Sadaliet skaitli 49 divos terminos, kuru reizinājums būs lielākais.
Risinājums. Lai x ir pirmais vārds. Tad (49-x) ir otrais termins.
Produkts būs maksimālais: x (49-x) → maks
vai
49x-x2

Lielākais cilindra tilpums

No šī raksta lasītājs uzzinās par to, kas ir funkcionālās vērtības ekstrēms, kā arī par tā izmantošanas iezīmēm praksē. Šādas koncepcijas izpēte ir ārkārtīgi svarīga, lai izprastu augstākās matemātikas pamatus. Šī tēma ir būtiska kursa dziļākai izpētei.

Saskarsmē ar

Kas ir galējība?

Skolas kursā ir sniegtas daudzas jēdziena "ekstrēmums" definīcijas. Šis raksts ir paredzēts, lai sniegtu visdziļāko un skaidrāko izpratni par šo terminu tiem, kuri šo jautājumu nezina. Tātad termins ir saprotams, cik lielā mērā funkcionālais intervāls iegūst minimālo vai maksimālo vērtību noteiktā kopā.

Ekstrēmums vienlaikus ir gan funkcijas minimālā, gan maksimālā vērtība. Ir minimālais punkts un maksimālais punkts, tas ir, argumenta galējās vērtības grafikā. Galvenās zinātnes, kurās šis jēdziens tiek izmantots:

• statistika;
• mašīnu vadība;
• ekonometrija.

Ekstrēmiem punktiem ir svarīga loma noteiktās funkcijas secības noteikšanā. Koordinātu sistēma grafikā vislabāk parāda galējās pozīcijas izmaiņas atkarībā no funkcionalitātes izmaiņām.

Atvasinātās funkcijas ekstrēma

Ir arī tāda lieta kā "atvasinājums". Ir nepieciešams noteikt galējo punktu. Ir svarīgi nejaukt minimālos vai maksimālos punktus ar lielākajām un mazākajām vērtībām. Tie ir dažādi jēdzieni, lai gan tie var šķist līdzīgi.

Funkcijas vērtība ir galvenais faktors, kas nosaka, kā atrast maksimālo punktu. Atvasinājums veidojas nevis no vērtībām, bet tikai no tā galējās pozīcijas vienā vai otrā secībā.

Pats atvasinājums tiek noteikts, pamatojoties uz galējo punktu datiem, nevis lielāko vai mazāko vērtību. Krievu skolās robeža starp šiem diviem jēdzieniem nav skaidri novilkta, kas ietekmē izpratni par šo tēmu kopumā.

Tagad apsvērsim tādu lietu kā "asu ekstrēmu". Līdz šim ir noteikta akūtā minimālā vērtība un akūta maksimālā vērtība. Definīcija ir dota saskaņā ar Krievijas funkcijas kritisko punktu klasifikāciju. Ekstrēma punkta jēdziens ir pamats kritisko punktu atrašanai diagrammā.

Lai definētu šādu jēdzienu, tiek izmantota Fermā teorēma. Tas ir vissvarīgākais ekstremālo punktu izpētē un sniedz skaidru priekšstatu par to esamību vienā vai otrā veidā. Lai nodrošinātu ekstrēmumu, ir svarīgi radīt noteiktus nosacījumus diagrammā samazināšanai vai palielināšanai.

Lai precīzi atbildētu uz jautājumu "kā atrast maksimālo punktu", jums jāievēro šādi noteikumi:

1. Precīzas definīcijas apgabala atrašana diagrammā.
2. Meklējiet funkcijas un ekstrēma punkta atvasinājumu.
3. Atrisiniet standarta nevienādības argumenta jomā.
4. Prast pierādīt, kādās funkcijās punkts grafikā ir definēts un nepārtraukts.

Uzmanību! Funkcijas kritiskā punkta meklēšana iespējama tikai tad, ja ir vismaz otrās kārtas atvasinājums, ko nodrošina liels ekstrēma punkta klātbūtnes īpatsvars.

Nepieciešams nosacījums funkcijas ekstremitātei

Lai ekstrēms pastāvētu, ir svarīgi, lai būtu gan minimālie punkti, gan maksimālie punkti. Ja šis noteikums tiek ievērots tikai daļēji, tad tiek pārkāpts ekstrēma pastāvēšanas nosacījums.

Katra funkcija jebkurā pozīcijā ir jādiferencē, lai identificētu tās jaunās nozīmes. Ir svarīgi saprast, ka gadījums, kad punkts pazūd, nav galvenais diferencējamā punkta atrašanas princips.

Asa ekstremitāte, kā arī funkcijas minimums ir ārkārtīgi svarīgs aspekts matemātiskas problēmas risināšanā, izmantojot ekstrēmas vērtības. Lai labāk izprastu šo komponentu, ir svarīgi atsaukties uz tabulas vērtībām, lai definētu funkciju.

Funkcionālais ekstremums

Lai atrastu iepriekš minēto vērtību, jums jāievēro šādi noteikumi:

• noteikt nepieciešamo nosacījumu ekstremālajai attiecībai;
• ņem vērā grafikas galējo punktu pietiekamu stāvokli;
• veikt akūtas ekstremitātes aprēķinu.

Ir arī tādi jēdzieni kā vājš minimums un spēcīgais minimums. Tas jāņem vērā, nosakot ekstrēmu un tā precīzu aprēķinu. Tajā pašā laikā asa funkcionalitāte ir visu nepieciešamo apstākļu meklēšana un radīšana darbam ar funkciju grafiku.

Šī ir diezgan interesanta matemātikas sadaļa, ar kuru saskaras absolūti visi absolventi un studenti. Tomēr ne visiem patīk matāns. Daži nesaprot pat tādas pamata lietas kā šķietami standarta funkciju pētījums. Šī raksta mērķis ir novērst šo kļūdu. Vai vēlaties uzzināt vairāk par funkciju analīzi? Vai vēlaties uzzināt, kas ir ekstremālie punkti un kā tos atrast? Tad šis raksts ir paredzēts jums.

Funkcijas grafika izpēte

Sākumā ir vērts saprast, kāpēc diagramma vispār ir jāanalizē. Ir vienkāršas funkcijas, kuras ir viegli uzzīmēt. Spilgts šādas funkcijas piemērs ir parabola. Nav grūti uzzīmēt viņas diagrammu. Viss, kas nepieciešams, ir, izmantojot vienkāršu transformāciju, lai atrastu skaitļus, pie kuriem funkcija iegūst vērtību 0. Un principā tas ir viss, kas jums jāzina, lai uzzīmētu parabola grafiku.

Bet ko darīt, ja funkcija, kas mums jāgrafē, ir daudz sarežģītāka? Tā kā sarežģīto funkciju īpašības ir diezgan neskaidras, ir jāveic visa analīze. Tikai tad funkciju var attēlot grafiski. Kā to izdarīt? Atbildi uz šo jautājumu varat atrast šajā rakstā.

Funkciju analīzes plāns

Pirmā lieta, kas jādara, ir veikt virspusēju funkcijas izpēti, kuras laikā mēs atradīsim definīcijas jomu. Tātad, sāksim secībā. Definīcijas domēns ir to vērtību kopa, ar kurām funkcija tiek definēta. Vienkārši sakot, tie ir skaitļi, kurus var izmantot funkcijā x vietā. Lai noteiktu darbības jomu, jums vienkārši jāaplūko ieraksts. Piemēram, ir acīmredzams, ka funkcijai y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 ir definīcijas domēns - reālo skaitļu kopa. Nu, ar tādu funkciju kā (x 2 - 2x) / x viss ir nedaudz savādāk. Tā kā saucējā skaitlim nevajadzētu būt vienādam ar 0, tad šīs funkcijas domēns būs visi reālie skaitļi, izņemot nulli.

Tālāk jums jāatrod tā sauktās funkcijas nulles. Šīs ir argumenta vērtības, kurām visai funkcijai ir nulles vērtība. Lai to izdarītu, funkcija ir jāpielīdzina nullei, rūpīgi jāapsver un jāveic dažas transformācijas. Ņemsim jau pazīstamo funkciju y(x) = (x 2 - 2x)/x. No skolas kursa mēs zinām, ka daļskaitlis ir 0, ja skaitītājs ir nulle. Tāpēc mēs atmetam saucēju un sākam strādāt ar skaitītāju, pielīdzinot to nullei. Mēs iegūstam x 2 - 2x \u003d 0 un izņemam x no iekavām. Tādējādi x (x - 2) \u003d 0. Rezultātā mēs iegūstam, ka mūsu funkcija ir vienāda ar nulli, ja x ir vienāda ar 0 vai 2.

Funkcijas grafika izpētes laikā daudzi saskaras ar problēmu galējo punktu veidā. Un tas ir dīvaini. Galu galā galējības ir diezgan vienkārša tēma. Netici? Pārliecinies pats, izlasot šo raksta daļu, kurā mēs runāsim par minimālo un maksimālo punktu skaitu.

Sākumā ir vērts saprast, kas ir ekstrēms. Ekstrēmums ir robežvērtība, ko funkcija sasniedz grafikā. No tā izrādās, ka ir divas galējās vērtības - maksimālā un minimālā. Skaidrības labad varat apskatīt attēlu augstāk. Pētītajā apgabalā punkts -1 ir funkcijas y (x) maksimums \u003d x 5 - 5x, un punkts 1 ir attiecīgi minimums.

Tāpat nejauciet jēdzienus savā starpā. Funkcijas galējie punkti ir tie argumenti, pie kuriem dotā funkcija iegūst galējās vērtības. Savukārt ekstrēmums ir funkcijas minimumu un maksimumu vērtība. Piemēram, vēlreiz apsveriet iepriekš minēto attēlu. -1 un 1 ir funkcijas galējie punkti, un 4 un -4 ir paši galējības punkti.

Ekstrēmu punktu atrašana

Bet kā atrast funkcijas galējos punktus? Viss ir diezgan vienkārši. Pirmā lieta, kas jādara, ir atrast vienādojuma atvasinājumu. Pieņemsim, ka mēs saņēmām uzdevumu: "Atrodiet funkcijas y (x) galējos punktus, x ir arguments. Skaidrības labad ņemsim funkciju y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Atšķirsim un iegūstam šādu vienādojumu: 3x 2 + 4x + 1. Rezultātā mēs saņēmām standarta kvadrātvienādojumu. Viss, kas jādara, ir jāpielīdzina nullei un jāatrod saknes. Tā kā diskriminants ir lielāks par nulli (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), šo vienādojumu nosaka divas saknes. Mēs tās atrodam un iegūstam divas vērtības: 1/3 un -1. Tie būs funkcijas galējie punkti. Tomēr kā jūs joprojām varat noteikt kurš ir kurš? Kurš punkts ir maksimālais un kurš ir minimums? Lai to izdarītu, jāņem blakus esošais punkts un jānoskaidro tā vērtība. Piemēram, ņemiet skaitli -2, kas atrodas pa kreisi no koordinātu līnijas no -1. Mēs aizstājam šo vērtību vienādojumā y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Rezultātā mēs ieguvām pozitīvu skaitli. Tas nozīmē, ka intervālā no 1/3 līdz -1 funkcija palielinās, kas savukārt nozīmē, ka intervālos no mīnus bezgalības līdz 1/3 un no -1 līdz plus bezgalībai funkcija samazinās. Tādējādi varam secināt, ka skaitlis 1/3 ir funkcijas minimālais punkts pētāmajā intervālā, bet -1 ir maksimālais punkts.

Ir arī vērts atzīmēt, ka USE ir nepieciešams ne tikai atrast ekstremālos punktus, bet arī veikt ar tiem kādu darbību (saskaitīt, reizināt utt.). Šī iemesla dēļ ir vērts pievērst īpašu uzmanību problēmas apstākļiem. Galu galā neuzmanības dēļ jūs varat zaudēt punktus.

Funkcijas galējais punkts ir punkts funkcijas domēnā, kurā funkcijas vērtība iegūst minimālo vai maksimālo vērtību. Funkciju vērtības šajos punktos sauc par funkcijas galējībām (minimālo un maksimālo)..

Definīcija. Punkts x1 funkciju apjoms f(x) tiek saukts funkcijas maksimālais punkts , ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka par funkcijas vērtībām pietiekami tuvu tai punktos, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimums.

Definīcija. Punkts x2 funkciju apjoms f(x) tiek saukts funkcijas minimālais punkts, ja funkcijas vērtība šajā punktā ir mazāka par funkcijas vērtībām pietiekami tuvu tai punktos, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka funkcijai ir punktā x2 minimums.

Teiksim būtību x1 - funkcijas maksimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x1 funkcija palielinās, tāpēc funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0 ), un intervālā pēc x1 funkcija samazinās, tāpēc funkcijas atvasinājums mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pieņemsim arī, ka punkts x2 - funkcijas minimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x2 funkcija samazinās, un funkcijas atvasinājums ir mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija palielinās un funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0). Šajā gadījumā arī punktā x2 funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē.

Fermā teorēma (nepieciešams kritērijs funkcijas ekstrēma pastāvēšanai). Ja punkts x0 - funkcijas galējais punkts f(x), tad šajā punktā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli ( f "(x) = 0 ) vai neeksistē.

Definīcija. Tiek izsaukti punkti, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē kritiskie punkti .

1. piemērs Apskatīsim funkciju.

Punktā x= 0 funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli, tāpēc punkts x= 0 ir kritiskais punkts. Tomēr, kā redzams funkcijas grafikā, tas palielinās visā definīcijas jomā, tāpēc punkts x= 0 nav šīs funkcijas galējības punkts.

Tādējādi nosacījumi, ka funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar nulli vai nepastāv, ir nepieciešami nosacījumi galējībai, bet nav pietiekami, jo var sniegt citus funkciju piemērus, kurām šie nosacījumi ir izpildīti, bet funkcija nav ekstrēma attiecīgajā punktā. Tāpēc jābūt pietiekamām norādēm, kas ļauj spriest, vai konkrētajā kritiskajā punktā ir ekstrēmums un kurš - maksimums vai minimums.

Teorēma (pirmais pietiekošais kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 f(x) , ja funkcijas atvasinājums maina zīmi, ejot cauri šim punktam, un ja zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad maksimālais punkts, un ja no "mīnus" uz "pluss", tad minimālais punkts. .

Ja tuvu punktam x0 , pa kreisi un pa labi no tā atvasinājums saglabā savu zīmi, tas nozīmē, ka funkcija vai nu tikai samazinās, vai tikai palielinās kādā punkta apkārtnē. x0 . Šajā gadījumā punktā x0 nav nekāda ekstrēma.

Tātad, lai noteiktu funkcijas galējos punktus, jums jāveic šādas darbības :

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Pielīdziniet atvasinājumu nullei un nosakiet kritiskos punktus.
3. Garīgi vai uz papīra atzīmējiet kritiskos punktus uz skaitliskās ass un nosakiet funkcijas atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos. Ja atvasinājuma zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad kritiskais punkts ir maksimālais punkts, un, ja no "mīnus" uz "pluss", tad kritiskais punkts ir minimālais punkts.
4. Aprēķiniet funkcijas vērtību galējos punktos.

2. piemērs Atrodiet funkcijas galējības .

Risinājums. Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

Pielīdziniet atvasinājumu nullei, lai atrastu kritiskos punktus:

.

Tā kā jebkurai "x" vērtībai saucējs nav vienāds ar nulli, tad mēs pielīdzinām skaitītāju nullei:

Ir viens kritisks punkts x= 3. Mēs nosakām atvasinājuma zīmi intervālos, ko norobežo šis punkts:

diapazonā no mīnus bezgalības līdz 3 - mīnus zīme, tas ir, funkcija samazinās,

diapazonā no 3 līdz plus bezgalībai - plus zīme, tas ir, funkcija palielinās.

Tas ir, punkts x= 3 ir minimālais punkts.

Atrodiet funkcijas vērtību minimālajā punktā:

Tādējādi tiek atrasts funkcijas galējais punkts: (3; 0) , un tas ir minimālais punkts.

Teorēma (otrais pietiekams kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 ir funkcijas galējais punkts f(x), ja funkcijas otrais atvasinājums šajā punktā nav vienāds ar nulli ( f ""(x) ≠ 0 ), turklāt, ja otrais atvasinājums ir lielāks par nulli ( f ""(x) > 0 ), tad maksimālais punkts un, ja otrais atvasinājums ir mazāks par nulli ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Piezīme 1. Ja kādā punktā x0 pazūd gan pirmais, gan otrais atvasinājums, tad šajā brīdī nav iespējams spriest par ekstrēma esamību pēc otrās pietiekamās zīmes. Šajā gadījumā ir jāizmanto pirmais pietiekams funkcijas galējības kritērijs.

2. piezīme. Otrs pietiekams kritērijs funkcijas ekstrēmam nav piemērojams arī tad, ja stacionārajā punktā nav pirmā atvasinājuma (tad neeksistē arī otrs atvasinājums). Šajā gadījumā ir nepieciešams arī izmantot pirmo pietiekamo kritēriju funkcijas ekstremitātei.

Funkcijas ekstrēmu lokālais raksturs

No iepriekšminētajām definīcijām izriet, ka funkcijas ekstrēmam ir lokāls raksturs - tā ir lielākā un mazākā funkcijas vērtība, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām.

Pieņemsim, ka apsverat savus ienākumus viena gada laika posmā. Ja maijā jūs nopelnījāt 45 000 rubļu, bet aprīlī - 42 000 rubļu un jūnijā 39 000 rubļu, tad maija ienākumi ir peļņas funkcijas maksimums, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām. Bet oktobrī jūs nopelnījāt 71 000 rubļu, septembrī 75 000 rubļu un novembrī 74 000 rubļu, tāpēc oktobra peļņa ir peļņas funkcijas minimums, salīdzinot ar tuvējām vērtībām. Un jūs varat viegli redzēt, ka maksimums starp aprīļa-maija-jūnija vērtībām ir mazāks par septembra-oktobra-novembra minimumu.

Vispārīgi runājot, funkcijai vienā intervālā var būt vairākas galējības, un var izrādīties, ka jebkurš funkcijas minimums ir lielāks par jebkuru maksimumu. Tātad, funkcijai, kas parādīta iepriekš attēlā, .

Tas ir, nevajadzētu domāt, ka funkcijas maksimālā un minimālā vērtība ir attiecīgi tās maksimālā un minimālā vērtība visā aplūkojamā segmentā. Maksimuma punktā funkcijai ir lielākā vērtība tikai salīdzinājumā ar tām vērtībām, kuras tai ir visos punktos pietiekami tuvu maksimālajam punktam, un minimālajā punktā mazākā vērtība tikai salīdzinājumā ar šīm vērtībām. ka tā visos punktos ir pietiekami tuvu minimālajam punktam.

Tāpēc mēs varam precizēt iepriekš minēto funkcijas ekstremālo punktu jēdzienu un nosaukt minimālos punktus par vietējiem minimālajiem punktiem, bet maksimālos punktus - par vietējiem maksimālajiem punktiem.

Mēs kopā meklējam funkcijas galējības

3. piemērs

Risinājums Funkcija ir definēta un nepārtraukta veselā skaitļa rindā. Tā atvasinājums eksistē arī visā skaitļu rindā. Tāpēc šajā gadījumā tikai tie, kuros , t.i., kalpo kā kritiskie punkti. , no kurienes un . Kritiskos punktus un sadaliet visu funkcijas domēnu trīs monotonības intervālos: . Katrā no tiem izvēlamies vienu kontrolpunktu un šajā punktā atrodam atvasinājuma zīmi.

Intervālam atskaites punkts var būt: mēs atrodam . Ņemot punktu intervālā, mēs iegūstam , un, ņemot punktu intervālā, mums ir . Tātad, intervālos un , Un intervālā . Saskaņā ar pirmo pietiekamo ekstrēma zīmi punktā nav ekstrēma (jo atvasinājums saglabā savu zīmi intervālā ), un funkcijai punktā ir minimums (jo atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu caur šo punktu). Atrodiet atbilstošās funkcijas vērtības: , un . Intervālā funkcija samazinās, jo šajā intervālā , un intervālā tā palielinās, jo šajā intervālā.

Lai precizētu grafa uzbūvi, atrodam tā krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Iegūstot vienādojumu, kura saknes un , t.i., ir atrasti divi funkcijas grafika punkti (0; 0) un (4; 0). Izmantojot visu saņemto informāciju, mēs veidojam grafiku (skatiet piemēra sākumā).

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

4. piemērs Atrodiet funkcijas galējību un izveidojiet tās grafiku.

Funkcijas domēns ir visa skaitļa līnija, izņemot punktu, t.i. .

Lai saīsinātu pētījumu, mēs varam izmantot faktu, ka šī funkcija ir pat, jo . Tāpēc tā grafiks ir simetrisks pret asi Oy un pētījumu var veikt tikai intervālam .

Atvasinājuma atrašana un funkcijas kritiskie punkti:

1) ;

2) ,

taču funkcija šajā brīdī tiek pārtraukta, tāpēc tā nevar būt galējības punkts.

Tādējādi dotajai funkcijai ir divi kritiskie punkti: un . Ņemot vērā funkcijas paritāti, mēs pārbaudām tikai punktu ar otro pietiekamo ekstrēma zīmi. Lai to izdarītu, mēs atrodam otro atvasinājumu un noteikt tā zīmi pie : mēs saņemam . Kopš un , tad ir funkcijas minimālais punkts, while .

Lai iegūtu pilnīgāku priekšstatu par funkcijas grafiku, noskaidrosim tās uzvedību definīcijas domēna robežās:

(šeit simbols norāda vēlmi x uz nulli labajā pusē un x paliek pozitīvs; līdzīgi nozīmē tiekšanos x uz nulli kreisajā pusē un x paliek negatīvs). Tādējādi, ja , tad . Tālāk mēs atrodam

,

tie. ja tad .

Funkcijas grafikam nav krustošanās punktu ar asīm. Attēls ir piemēra sākumā.

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

Kopā turpinām meklēt funkcijas ekstrēmus

8. piemērs Atrodiet funkcijas galējību.

Risinājums. Atrodiet funkcijas domēnu. Tā kā nevienlīdzībai ir jābūt spēkā, mēs iegūstam no .

Atradīsim funkcijas pirmo atvasinājumu.

Apsveriet nepārtrauktas funkcijas grafiku y=f(x) parādīts attēlā.

Funkcijas vērtība punktā x 1 būs lielākas par funkcijas vērtībām visos blakus punktos gan pa kreisi, gan pa labi no x 1 . Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka funkcijai ir punktā x 1 maks. Punktā x 3 funkcijai acīmredzami ir arī maksimums. Ja ņemam vērā būtību x 2 , tad funkcijas vērtība tajā ir mazāka par visām blakus vērtībām. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka funkcijai ir punktā x 2 minimums. Līdzīgi par punktu x 4 .

Funkcija y=f(x) punktā x 0 ir maksimums, ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka par tās vērtībām visos intervāla punktos, kas satur punktu x 0 , t.i. ja ir tāda punkta apkārtne x 0, kas ir visiem x≠x 0 , piederot šai apkārtnei, mums ir nevienlīdzība f(x)<f(x 0 ) .

Funkcija y=f(x) Tā ir minimums punktā x 0 , ja ir tāda punkta apkārtne x 0 , kas ir visiem x≠x 0, kas pieder šai apkārtnei, mums ir nevienlīdzība f(x)>f(x0.

Punktus, kuros funkcija sasniedz maksimumu un minimumu, sauc par galējībām, un funkcijas vērtības šajos punktos ir funkcijas galējības.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka segmentā definēta funkcija savu maksimumu un minimumu var sasniegt tikai apskatāmā segmenta punktos.

Ņemiet vērā: ja funkcijai noteiktā punktā ir maksimums, tas nenozīmē, ka šajā brīdī funkcijai ir maksimālā vērtība visā domēnā. Iepriekš apskatītajā attēlā funkcija punktā x 1 ir maksimums, lai gan ir punkti, kuros funkcijas vērtības ir lielākas nekā punktā x 1 . It īpaši, f(x 1) < f(x 4) t.i. funkcijas minimums ir lielāks par maksimumu. No maksimuma definīcijas tikai izriet, ka šī ir lielākā funkcijas vērtība punktos, kas ir pietiekami tuvu maksimālajam punktam.

Teorēma 1. (Nepieciešams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai.) Ja diferencējamā funkcija y=f(x) ir punktā x=x 0 ekstrēmu, tad tā atvasinājums šajā punktā pazūd.

Pierādījums. Ļaujiet, lai noteiktu, pie punkta x 0 funkcijai ir maksimums. Tad pietiekami maziem soļiem Δ x mums ir f(x 0 + Δ x) 0 ) , t.i. Bet tad